第三章基本题型
第一节极限问题
一、基础知识
1.常见题型
2.常用方法
二、考点精讲
例 1
现有21 朵鲜花分给 5 人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。
A.7
B.8
C.9
D.10
【进阶训练】
? I.将25 台笔记本电脑奖励给不同的单位可以奖励几个单位？
A.5
B.6
C.7
D.8
? II.有8 名同学参加某次总分为名同学得分都是整数，已知每个人至少考绩不超过第5 名的2.5 倍，问第一名最多考多少分？
A.114
B.113
C.112
D.111
例2
抽屉内有黑白红黄蓝五种颜色的球各10 个，那么一次摸出多少个球才能保证至少2个球颜色一样？
【进阶训练】
? I.某班进行一次考试，满分是30 分，已知每个人的得分均为整数，则为保证有两个人的得分一样，请问这个班至少有多少人
A.30
B.31
C.32
D.33
? II.有17 个完全一样的信封，其中7个分别装了1 元钱，8 个分别装了10 元钱，2个是空的，问最少需要从中随机取出几个信封，才能保证支付一笔12 元的款项而无需找零？
A.4
B.7
C.10
D.12
? III.有300 名求职者参加高端人才专场招聘会其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70 和50 人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70 名找到工作的人专业相同？
A.71
B.119
C.258
D.277
三、综合训练
1.要把21 棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数与面积大小成正相关，面积最大的草坪上至少要栽几棵？
A.7
B.8
C.10
D.11
2.4 个人做一批零件，每个人的效率都不同，问要在两天完成300 个零件，效率最低的每天最多做多少个零件？
A.37
B.36
C.38
D.39
3.一次数学考试满分为100 分，某班前六名同学的平均分为95分，排名第六的同学得86 分，假如每个人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最少得多少分？
A.94
B.97
C.95
D.96
4.电视台要播放一部40 集的电视剧，每天至少播放一集，如果要求每天播放的集数互不相等，则该电视剧最多可以播放多少天？
A.5
B.6
C.7
D.8
5.调研人员在一次市场调查活动中收回了435 份调查问卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查问卷中随机抽多少份，才能
保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？
A.101
B.175
C.188
D.200
6.一只鱼缸有很多条鱼共有五个品种，问至少捞出多少条鱼，才能保证有五条相同品种的鱼？
A.20
B.21
C.22
D.23
第二节行程问题
一、基础知识
1.基本数量关系
2.常见题型
二、考点精讲
例1
甲、乙两人在长为30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米，乙的速度是每秒游0.6 米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5 分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内甲比乙多游了（）米。
A.300
B.180
C.120
D.80
【进阶训练】
? I.骑自行车从甲地到乙地，以10 千米/时的速度行进，下午1 时到；以15 千米/时的速度行进，上午11 时到。如果希望中午12 时到，那么应以怎样的速度行进？
A.11 千米/时
B.12 千米/时
C.12.5 千米/时
D.13.5 千米/时
? II.游乐场的溜冰滑道如图所示，溜冰车上坡时每分钟行驶400 米，下坡时每分钟行驶600 米，已知溜冰车从 A 点到B点需要3.7 分钟，从 B 点到A 点只需要2.5 分钟，则AC 比BC 长多少米？
? III.小王从家开车上班，汽车行驶10分钟后发生了故障，小王从后备箱中取出自行车继续赶路。由于自行车的速度只有汽车速度的3/5，小王比预计时间晚了20 分钟到达单位，如果之前汽车再多行驶 6 公里，他就能少迟到10 分钟。问小王从家到单位的距离是多少公里？
A.12
B.14
C.15
D.16
例2
甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米。若两船相向而行，则2 小时相遇；若同向而行，则14 小时甲赶上乙，则甲船的速度为（）千米/时？
A.15
B.30
C.45
D.60
【进阶训练】
? I.某环行跑道长4000 米，甲、乙两人同时同地沿跑道反向而行，20 分钟后相遇，若他们同时同地同向而行，经过40 分钟后，甲追上乙，问乙的速度是：
A.25 米/分钟
B.50 米/分钟
C.100 米/分钟
D.150 米/分钟
? II.甲、乙两人同时从相距30 千米的两地出发，相向而行。甲每小时走3.5 千米，乙每小时走 2.5 千米。与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑 5 千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇为止，则相遇时这只狗共跑了
A.15
B.25
C.45
D.50
? III.一支600 米长的队伍行军，队尾的通讯员要与最前面的连长联系，他用3 分钟跑步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了 2 分24 秒。如队伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间A.48 秒B.1 分钟C.1 分48 秒D.2 分钟
例3
甲、乙二人同时从相距54 千米的A、 B 两地同时相向而行，甲的速度 4 千米/时，乙的速度5 千米/时。到达对方的地点都没有停留，马上原速返回。
（1）甲乙二人经过多长时间第一次相遇？甲乙二人再经过多长时间第二次相遇？（2）甲乙第一次相遇和甲乙从出发到第二次相遇走过的路程和AB 间距是什么关系？
【进阶训练】
? I.甲、乙二人同时同地绕400 米的环形跑道同向而行甲每秒钟跑8 米，乙每秒钟跑9 米，多少秒后甲、乙二人第三次相遇
A.400
B.800
C.1200
D.1600
? II.如下图所示，A、B 两点是圆形体育场直径的两端，两人从A、B 点同时出发，沿环形跑道相向匀速而行。他们在距A点弧形80 米处的 C 点第一次相遇，接着又在距B点弧形60 米处的 D 点第二次相遇。问这个圆形体育场的周长是多少米？
? III.A、B 两地相距540 千米。甲、乙两车往返行驶于A、B 两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。若两辆车同时从 A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中P 地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
A.720
B.1440
C.1860
D.2160
例4
一片草场上草每天都均匀地生长，如果放24 头牛，则 6 天吃完牧草；如果放21 头牛，则8 天吃完牧草。问如果放16 头牛，几天可以吃完牧草？
A.12
B.14
C.16
D.18
【进阶训练】
? I.物美超市的收银台平均每小时有60 名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80 名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始 4 小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台则付款开始几小时就没有顾客排队了
A.2
B.1.8
C.1.6
D.0.8
? II.经计算，地球上的资源可供100亿人生活100 年，或者可供80 亿人生活300 年，假设地球新生资源的生长速度是一定的，为了使人类有不断发展的潜力，地球最多能养（）亿人？
A.50
B.60
C.70
D.90
例5
0:00 后，时针和分针第一次成120°，夹角发生在什么时候？
【进阶训练】
? I.时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？A.30 B.33C.30 8/11 D.32 8/11
?II.在某时刻，钟表时针在10 点到11 点之间，此时刻再过6 分钟后的分针和此时刻3 分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为：
A.10 点15 分
B.10 点19 分
C.10 点20 分
D.10 点25 分
? III.小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束又看了手表，发现时针与分针恰好互换了位置，问这个会议大约开了1 小时多少分？
A.51
B.47
C.45
D.43
例6
一货轮航行于A、B 两个码头之间，水流速度为 3 km/h，若行完全程顺水需2.5h，逆水需3h，则船在静水中的速度为：
A.27 km/h
B.30 km/h
C.33 km/h
D.36 km/h
【进阶训练】
? I.甲、乙两港相距720 千米，轮船往返两港需要35 小时，逆流航行比顺流航行多花5 小时；帆船在静水中每小时行驶24 千米，问帆船往返两港要多少小时？A.58 B.60 C.64 D.66
?II.某河上下游两地相距90 公里，每天定时有甲、乙两艘相同的客轮从两港同时出发相向而行。这天，甲船从上港出发时掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，2 分钟后，与甲船相距 1 公里，预计乙船出发几个小时后与此物相遇？
A.6
B.5
C.4
D.3
? III.一条轮船往返于A、B 两地之间，由A 地到B 地是顺水航行，由B 地到A 地是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时20 千米，由 A 地到B 地用了6 小时，由B地到 A 地所用的时间是由 A 地到 B 地所用时间的 1.5 倍，则水流速度为：
A.3 千米/小时
B.4 千米/小时
C.5 千米/小时
D.6 千米/小时
例7
某路公共汽车，包括起点和终点共有15 个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好在以后的每一站都有一名乘客下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？
A.25
B.30
C.56
D.60
【进阶训练】
? I.有一路电车的起点和终点站分别是甲站和乙站，每隔5 分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了10 辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？
A.40
B.45
C.50
D.35
?II.某条公交线路上共有10 个车站，一辆公交车在始发站上了12 个人，在随后每一站上车的人数都比上一站少1 人。到达终点站时，所有乘客均下了车。如果每个车站下车乘客数相同，那么有多少人在终点站下车？
A.7
B.9
C.10
D.8
三、综合训练
1.张明的家离学校4 千米，他每天早晨骑自行车上学，以20 千米／时的速度行
进，恰好准时到校。一天早晨，因为逆风，他提前0.2 小时出发，以10 千米／时的速度骑行，行至离学校2.4 千米处遇到李强，他俩互相鼓励，加快了骑车的速度，结果比平时提前5分24 秒到校。他遇到李强之后每小时骑行多少千米？
A.16
B.18
C.20
D.22
2.欢欢和乐乐在操场上的A、B 两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8 米，乐乐的速度是每秒5 米。两人同时从 A 点出发，到达 B 点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB 的中点5 米，AB 之间的距离是：
A.150 米
B.140 米
C.130 米
D.120 米
3.一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍？A.1.5 B.2 C.1+ √2 D.1+ √3
4.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20 头牛吃 5 天，或供16 头牛吃 6 天。那么可供11 头牛吃几天？
A.12
B.10
C.8
D.6
5.某时刻时针和分针正好成90 度的夹角，问至少经过多少时间，时针和分针又一次成90 度夹角？
A.30 分钟
B.31.5 分钟
C.32.2 分钟
D.32.7 分钟
6.某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需 3 小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需 4 小时。假设水流速度恒定，甲乙之间的距离为y 公里，旅游船在静水中匀速行驶y 公里需要x 小时，则x 满足的方程为：
7.一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3 倍。现该船靠人工划动从 A 地顺流到达 B 地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少2/5 。问船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的多少倍？
A.2
B.3
C.4
D.5
第三节工程问题
一、基础知识
1.基本数量关系
2.常见题型
二、考点精讲
例1
某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工50 双，要比原计划晚3 天完成，如果每天加工60 双，则要比原计划提前2天完成，若每天加工75 双，则要比原计划提前多少天完成？
A.4
B.5
C.6
D.7
【进阶训练】
? I.某打桩工程队共有34 台打桩机，每台打桩机每周工作40 小时。某地块需1 台打桩机工作5440 小时才完工，今完全相同的3块地块，需要整个打桩工程队工作几周才能完工？
A.9
B.10
C.11
D.12
?II.某木器厂有38 名工人，2 名工人每天可以加工3张课桌，3 名工人每天可以加工10 把椅子，调配多少名工人加工椅子才能使每天生产的桌椅配套？（1张课桌配两把椅）
A.18
B.14
C.16
D.21
例2
收割一块稻田，丈夫单独收割需要3天完成，妻子单独收割需要 6 天完成，夫妻两人共同收割，则需要（）天完成。
A.2
B.3
C.6
D.9
【进阶训练】
? I.一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18 天，乙、丙合作完成需15天。甲、乙、丙三人共同完成该工程需：
A.8 天
B.9 天
C.10 天
D.12 天
?II.有20 人修筑一条公路，计划15天完成。动工3 天后抽出5 人植树，留下的人继续修路。如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？
A.16
B.17
C.18
D.19
? III.甲乙两个水管单独开，注满一池水分别需要20 小时，15 小时。丙水管单独开，排一池水要12 小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，4 小时后，再打开排水管丙，问水池注满还需要多少小时？
A.10
B.12
C.15
D.16
例3
一个水池有甲乙两个进水管，一个丙出水管，单开甲管6 小时注满；单开乙管5 小时注满；单开丙管 3 小时放完；水池原来是空的，如果按甲乙丙的顺序轮流开放三个水管，每轮中各水管均开放 1 小时，那么经过多少小时后水池中的水注满？
A.59
B.60
C.79
D.90
【进阶训练】
? I.一项工作，甲单独做需要4 天，乙单独做需要6 天，如果甲乙轮流做这项工作，需要几天？（不足一天计为一天）
A.3
B.4
C.5
D.6
?II.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完成，如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17 天完成，甲单独做这项工程要多少天？
A.8
B.8.5
C.10
D.10.5
? III.某工程由一、二、三小队合干，需要8 天完成；由二、三、四小队合干，需要10 天完成；由一、四小队合干，需15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的顺序，每个小队轮流干一天，那么工程由哪个队最后完成？
A.一
B.二
C.三
D.四
三、综合训练
1.3 个人用3 分钟时间可以把3 只箱子装上卡车，按这个工作效率，如用1 小时39分钟把99 只箱子（假设每只箱子的重量是一样的）装上卡车，需要（）个人。
A.3
B.9
C.18
D.99
2.修一条水渠，单独修，甲队需要20 天完成，乙队需要30 天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率会降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16 天修完这条水渠，且要求两队合作天数尽可能少，那么乙要工作多少天？
A.5
B.8
C.10
D.12
3.甲、乙两车运一堆货物。若单独运，则甲车运的次数比乙车少5 次；如果两车合运，那么各运6 次就能运完，甲车单独运完这堆货物需要多少次？
A.9
B.10
C.13
D.15
4.有一个蓄水池装有9 根水管，其中一根为进水管，其余8 根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水，后来有人想打开出水管，使池内的水全部排完（这时池内已注入了一些水），如果8 根出水管全部打开，需3 小时把池内的水全部排光；如果仅打开 5 根出水管，需 6 小时把池内的水全部排光。问：要想在4.5 小时内把池内的水全部排光，需同时打开几个出水管？
5.甲乙两项工程分别由一、二队来完成，在晴天，一队完成甲工程需要12 天，二队完成乙工程需要15 天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降20%，如果两队同时完成这两项工程。那么在施工的日子里，雨天有多少天？
A.9
B.12
C.15
D.18
6.某项工作，甲单独做要18 小时完成，乙要24 小时完成，丙需要30 小时才能完成。现按甲、乙、丙的顺序轮班做，每人工作一小时后换班，问当该项工作完成时，乙共做了：
A.7 小时44 分
B.7 小时58 分
C.8 小时
D.9 小时10 分
第四节
一、基础知识
1.分类
2．常见考点
二、考点精讲
例1
2 个红球和1 个白球里面取2个球，有几种情况？取得两个红球的概率是多少？
【进阶训练】
?I.有3 个相同的红球和2 个相同的白球，从中抓取3 个球，其中有2 个红球的概率是多少？小明的解法如下：抓取的3 个球有3种情况：3 红、2 红 1 白、1 红2 白。所以，有两个红球的概率是1/3。小明的做法对吗
?II.桌子上有光盘15 张，其中音乐光盘6张、电影光盘6 张、游戏光盘3 张，从中任取3 张，其中恰好有音乐、电影游戏光盘各 1 张的概率是：
A.4/91
B.1/108
C.108/455
D.414/455
?III.某商店搞店庆，购物满200元可以抽奖一次。一个袋中装有标号为0 到9 的十个完全相同的球，满足抽奖条件的顾客在袋中摸球，一共摸两次，每次摸出一个球（球放回），如果第一次摸出球上的数字比第二次摸出的小，即可获奖，则某抽奖顾客获奖概率是：
A.5%
B.25%
C.45%
D.85%
例2
某射击运动员每次射击命中10 环的概率是80%，5 次射击有4 次命中10 环的概率是：
A.80%
B.63.22%
C.40.96%
D.32.81%
【进阶训练】
?I.某气象站天气预报的准确率为80%，问5 次预报中至少有4 次准确的概率：A.80% B.74%C.70% D.65%
?II.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2/3和3/4，假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响。求：
（1）甲射击5 次，有两次未击中目标的概率；
（2）假设某人连续 2 次未击中目标，则中止其射击，求乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率。
例3
将一个点扔向[ 0，2] 这个区间内，落到每一个点上的概率都相等，则这个点落入[0，0.5]的概率是：
【进阶训练】
?I.已知所有的电子都围绕原子核运动，并且在距离原子核为R 以内的任何位置出现的概率相等，则电子和原子核的距离小于r的概率是：（r A1/3B1/4C7/16D9/16 三、综合训练 1.四张奖券中只有一张有奖，有3 人购买，每人一张，有人中奖的概率为： A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 3/4 2.一个盒子里面装有10 张奖券，只有三张奖券上有中奖标志，现在5 人每人摸出一张奖券，至少有一人中奖的概率是： A. 4/5 B. 7/10 C. 8/9 D. 11/12 3.一个袋子中装有6 个黑球3 个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为： A. 1/9 B. 1/2 C. 1/3 D. 2/3 4.一个口袋共有2 个红球和8 个黄球，从中随机连取三个球（有放回），则恰有一个红球概率是： A. 16/125 B. 48/125 C. 12/125 D. 8/105 5.甲、乙、丙、丁、戊、己6 个人围圆桌而坐，问甲和丁相邻的概率为： A. 1/3 B. 2/5 C. 4/5 D5/6 6.一个袋子里有4 个珠子，其中2 个红色，2 个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取 2 个珠子，都是蓝色珠子的概率是： A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/6 7.现有甲、乙两个水平相当的技术工人需进行三次技术比赛，规定三局两胜者为胜方。如果在第一次比赛中甲获胜，这时乙最终取胜的可能性为： A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 1/6 8.甲、乙两个射击运动员分别对一目标射击1 次，甲射中的概率为0.8，乙射中的 概率为0.9，则两人至少有 1 人射中目标的概率为： A.0.26 B.0.72 C.0.98 D.1 9.甲、乙两人约定在下午1 点到2 点之间到某车站乘公共汽车，这段时间内有4 班公共汽车，发车时间分别为1:15，1:30，1:45，2:00。如果规定见车就上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率？ 第五节利润问题 一、基础知识 1．基本数量关系 2．常见考点 二、考点精讲 例1 商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54 元。问该商品原来的售价是多少元？ A.324 B.270 C.135 D.378 【进阶训练】 ? I.某商品2 月份价格较1 月份上涨了20%，由于政府调控政策的出台，3 月份该商品价格又降了20%，则该商品3 月份的价格与1月份的价格相比： A.涨高了 B.持平 C.降低了 D.不能确定 ? II.某草莓种植基地利用恒温库储存草莓准备反季节销售。据测算，每储存1 斤草莓可增加收入2.5 元。小王去年收获草莓5吨，当时市场价为每斤3 元，如果都利用恒温库储存，小王的草莓收入可以达到： A.27500 元 B.32500 元 C.45000 元 D.55000 元 ? III.一件商品相继两次分别按折扣率为10%和20%进行折扣，已知折扣后的售价为540 元，那么折扣前的售价为： A.600 元 B.680 元 C.720 元 D.750 元 例2 一人去商店买某种商品，听说这种商品的进价降低了20%。于是，对老板说：“ 我给你我上次购买时一样的钱数，你比上次购买时多给我200个。这样你每个商品能赚的钱数是一样的，而利润率还能提高2.5 个百分点。”问上次这个人购买了（）个。 A.80 B.90 C.100 D.110 【进阶训练】 ? I.2010 年某种货物的进口价格是15元/公斤，2011 年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%。问2011 年该货物的进口价格是多少元/公斤 A.10 B.12 C.18 D.24 ? II.某公司计划采购一批电脑，正好赶上促销期，电脑打9 折出售，同样的预算可以比平时多买10 台电脑。问该公司的预算在平时能买多少台电脑？ A.60 B.70 C.80 D.90 ?III.某网店以高于进价10%的定价销售T恤，在售出2/3后，以定价的8 折将余下的T 恤全部售出，该网店的预计盈利为成本的： A.1.6% B.2.7% C.3.2% D.不赚也不亏 例3 某商店花10000 元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价。结果只销售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000 元。 （1）商品最终的利润率是多少？ （2）后面卖掉的那70%商品是按照几折出售的？ 【进阶训练】 ? I.有一批商品以70%的利润出售，售出80%后，剩下的商品全部以5 折出售，则商品的最终利润率为： A.50% B.53 % C.46% D.48% ? II.某超市购进一批商品，按照能获得50%的利润定价，结果只销售了70%，为尽快将余下的商品销售出去，超市决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获得利润的82%，问余下的商品几折出售？ A.6.5 折 B.7 折 C.7.5 折 D.8 折 ? III.某家具店购进100 套桌椅，每套进价200 元，按期望获利50%定价出售。卖掉60 套桌椅后，店主为提前收回资金，打折出售余下的桌椅。售完全部桌椅后，实际利润比期望利润低了18%。问余下的桌椅是打几折出售的？ A.七五折 B.八二折 C.八五折 D.九五折 例4 某企业计划从2003 年起产量每年比上一年增长7%，按此计划2008 年产量比2003 年增加： A.35% B.42% 【进阶训练】 ? I.一吨土豆的价格是200 元，一吨洋葱的价格是290元。如果土豆的价格1 个月提高15%，而洋葱的价格保持不变。那么，要使一吨洋葱的价格低于一吨土豆的价格，需要几个月的时间？ A.2 B.3 C.4 D.5 ? II.去年10 月份一台电脑的利润率为50%，11 月份降价10%，后在12 月份价格又上涨5%，则12 月份该电脑的利润率为： A.37% B.42% C.45% D.55% 例5 某原料供应商对其顾客实行如下优惠措施：①一次购买金额不超过1 万元，不予优惠； ②一次购买金额超过1 万元，但不超过3万元，给九折优惠；③一次购买金额超过 3 万元，其中3 万元九折优惠，超过3 万元的部分八折优惠。某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付款8800 元，第二次购买原料付款25200 元。如果该厂一次购买同样数量的原料，可以少付： A.1560 元 B.1920 元 C.3800 元 D.4360 元 【进阶训练】 ? I.某市为合理用电，鼓励各用户安装“峰谷”电表。该市原电价为每度0.53 元，改装新电表后，每天晚上10 点至次日早上8点为“低谷”，每度收取0.28 元，其余时间为“高峰”，每度收取0.56 元。为改装新电表每个用户须收取100元改装费。假定某用户每月用200 度电，两个不同时段的耗电量各为100 度。那么改装电表12 个月后，该用户可节约（）元。 A.161 B.162 C.163 D.164 ? II.某市出租车收费标准是：5 千米内起步费10.8元，以后每增加1 千米增收1.2 元，不足1 千米按1 千米计费。现老方乘出租车从A地到 B 地共支出24 元，如果从A 地到B地先步行460 米，然后再乘出租车也是24元，那么从AB 的中点C 到B 地需车费（）元。（不计等候时间所需费用） A.12 B.13.2 C.14.4 D.15.6 三、综合训练 1.某公司为客户出售货物，收取3%的服务费；代客户购置设备，收取2%的服务费，某客户委托该公司出售自产的某种物质并为购置新设备。已知公司共收取该客户服务费200 元，客户收支恰好平衡，则自产的物品销售价是多少元？ A.3380 B.4080 C.3920 D.7960 2.某日人民币外汇牌价如下表（货币单位：人民币元），按照这一汇率，100 元人民币约可以兑换（）美元。 A.12.61 B.12.66 C.12.71 D.12.76 3.甲商品8 折后的价格是乙商品原价的 4 倍，小王分别以8 折和7 折的价格买下了甲、乙两种商品，支出总额比甲商品原价少6 元，问乙商品的实际销售价格是多少元？ A.10 B.14 C.21 D.28 4.某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费；每月用电不超过100 度时，按每度0.57 元计算；每月用电超过100 度时，其中的100 度仍按原 标准收费，超过部分每度按0.50 元计算。 （1）设月用电x 度时，应交电费y 元，当x≤100 和x>100 时，分别写出y 关于x 的函数关系式； （2）小王家第一季度交纳电费情况如下： 则小王家一季度用电共计多少度？ 4.某企业发奖金是根据利润提成的。利润低于或等于10 万元时可提成10%，低于或 等于20 万元时，高于10 万元的部分按7.5%提成；高于20 万元时，高于20 万元的部分按5%提成。当利润额为40 万元时，应发放奖金多少万元？ A.2 B.2.75 C.3 D.4.5 6.生产一件A 产品日耗原料甲4 千克、乙2 升，可获得1000 元利润，生产一件 B 产品消耗原料甲3 千克、乙5 升，可获得1300 元利润。现有原料甲40 千克、乙38 升，通过生产这两种产品，可获得的最大利润为多少元？ A.15000 B.14500 C.13500 D.12500 第六节几何问题 一、基础知识 1基本公式 2常用方法 二、考点精讲 例1 图中多边形的周长是多少厘米？ 【进阶训练】 ? I.一个周长为20 厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上。则小圆的周长之和为多少厘米？ A.10 B.15 C.20 D.25 ? II.一直角三角形的两直角边的长度之和为14，假如这个三角形的周长与面积数值 相等，那么该三角形的面积为： A.20 B.22.5 C.24 D.24.5 例2 如图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为1∶3，若阴影长方形面积为1 平方厘米，则原长方形面积为（）平方厘米？ 【进阶训练】 ? I.一张面积为2 平方米的长方形纸张，对折三次后得到的小长方形的面积是： A. 1/2m2 B. 1/3m2 C. 1/4m2 D. 1/8m2 ? II.平行四边形ABCD 的面积是60 平方厘米，其中B、C、D 是圆O 上的三点，O为圆心，DC 为直径，则图中阴影部分的面积是（）平方厘米。 ? III.如图，平行四边形ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积是24，OD 长是12，OB 的长是6。那么四边形OECD 的面积是： 例3 下图是一个矩形，长为10 厘米，宽为5 厘米，则阴影部分面积为（）平方厘米？ 【进阶训练】 ? I.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积？（pi 取3） ? II.如图，大正方形的面积为9，中间小正方形的面积为1，甲、乙、丙、丁是四个梯形，那么乙与丁的面积之和是： ? III.在下图的长方形内，有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对，“四”为最小的正方形），每一对是相同的正方形, 那么中间这个小正方形的面积为： ? IV.如下图所示，正方形ABCD的边长为5cm，AC、BD 分别是以点D 和点C 为圆心、5cm 为半径作的圆弧。则阴影部分a的面积比阴影部分 b 小：（π 取3.14） 例4 一只蚂蚁从下图的正方体 A 顶点沿正方体的表面爬到正方体 C 顶点。设正方体边长为a，问该蚂蚁爬过的最短路程为： 【进阶训练】 ? I.某公司要在长、宽、高分别为50 米、40 米、30 米的长方体建筑物的表面架设专用电路管道连接建筑物内最远两点，预设的最短管道长度介于： A.90-100 米之间 B.80-90 米之间 C.70-80 米之间 D.60-70 米之间 ? II.将边长为1 的正方体一刀切割为2个多面体，其表面积之和最大为： A.6+2 √2 B.6+2 √3 C.6+ √2 D.6+ √3 ?III.工作人员做成了1 个长60厘米、宽40 厘米、高22 厘米的箱子，因丈量 错误，长和宽均比设计尺寸多了2 厘米，而高比设计尺寸少了3 厘米，那么该箱子的表面积与设计时的表面积相差多少平方厘米？ A.4 B.20 C.8 D.40 例5 （1）已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为（）？（2）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S 为（）？ 【进阶训练】 ? I.如图是中央电视台“曲苑杂谈”的一幅图案，他是一扇形图形，其中∠AOB 为120°，OC 长为8cm，CA 长为12cm，则贴纸部分的面积为： ? II.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，则截面上有水部分的面积为： ? III.如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，求：（1）这个圆锥的底面半径r；（2）这个圆锥的高（精确到0.1）。 三、综合训练 1.两口圆柱形水井，甲井的水深是乙井的一半，水面直径是乙井的2 倍，蓄水量为40 立方米。问乙井的蓄水量为多少立方米 A.20 B.40 C.60 D.80 2.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示）。已知正方体的边长为 6 厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？ 3.3 颗气象卫星与地心距离相等，并可同时覆盖全球地表，现假设地球半径为R，这 3 颗卫星距地球最短距离为： A. 1/2R B. 2/3R C.R D.2R 4.下图中的甲和乙都是正方形，BE=6厘米，EF=4 厘米。那么，阴影部分ABC 的面积是多少平方厘米？ 5.已知等边三角形ABC 的边长为a，分别以 A、B、C 为圆心，以a/2 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积S。 6.在边长为1 厘米的正方形ABCD 中，分别以A、B、C、 D 为圆心， 1 厘米长为半径画四分之一圆，交点E、F、G、H，如图所示，则中间阴影部分的周长为多少厘米？ 第七节容斥问题 一、基础知识 1基本方法 2常见题型 二、考点精讲 例1 某班同学均参加了2011 年公务员考试，达到行测分数线的人数占总人数的70%，达到申论分数线的占60%，两个科目的分数线均未达到的有10%。问： （1）至少达到一个科目分数线的有？ （2）两个科目的分数线都达到的有？ （3）只达到行测分数线的有？ （4）只达到申论分数线的有？ 【进阶训练】 ?I.运动会上100 名运动员排成一列，从左向右依次编号为1-100，选出编号为3 的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？ A.46 B.47 C.53 D.54 ?II.50 名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，…依次报数；再让报数是4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。现在面向老师的同学还有： A.30 人 B.34 人 C.36 人 D.38 人 ?III.某单位共有50 名职工，年终任务绩效考核，达到良好的有40 人，群众满意度指标及格的有35 人，据此可知任务绩效考核达到良好而群众满意度指标不及格的 数学运算 第01讲直接代入 一、题型评述 数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时最大的误区之一。 二、破题密钥 “直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果，还可以与其它方法进行结合使用。 三、例题精析 【例 1】（深圳 2013-47）小王的旅行箱密码为 3 位数，且三个数字全是非 0 的偶数，而 且这个三位数恰好是小王今年年龄的平方数。则小王今年（）岁。 A. 17 B. 20 C. 22 D. 34 【例 2】（浙江 2013-50）某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果，其中苹果和柚子 共 30 吨，香蕉、柚子和梨共 50 吨。柚子占水果总数的 1/4。一共运来水果多少吨？( ) A. 56 吨 B. 64 吨 C. 80 吨 D. 120 吨 【例 3】(江苏 2013B-91)三位数 A 除以 51，商是 a（a 是正整数），余数是商的一半，则 A 的最大值是 A. 927 B. 928 C. 929 D. 990 【例 4】（山东 2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是 48 个。问甲仓 库原来有多少个集装箱？ A. 33 B. 36 C. 60 D. 63 【例 5】（河北 2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的 1/3，第三次是第二次的 2 倍。问三个假山的体积之比是（）。 资料分析做题资料分析做题技巧技巧技巧 例：2008年，某省规模以上工业企业中，轻工业实现增加值5451．5亿元，增长13．2％，重工业实现增加值11256.3亿元，增长14．1％，则该省规模以上工业企业实现增加值 16718．8亿元，增长13．2％< 例1：2008年，某省规模以上工业企业中，实现增加值16718．8亿元，同比增长13．8％，其中轻工业实现增加值5451．5亿元，增长13．2％，则重工业实现增加值11256．3亿元，增长 例2：2008年，某省规模以上工业企业中，实现增加值16718．8亿元，同比增长13．8％，其中，重工业实现增加值11256．3亿元，增长14．1％，轻工业实现增加值5451．5亿元，则增长 【真题精析】 例1.2009年北京应届真题 2007年我国对韩国货物进出口总额约比上年增长： A．15．6％B．19．1％C．26．1％D．44．2％ [答案]B [解析]根据题意，2007年我国对韩国进出口总额为561+1038=1599亿美元，2006年为 亿美元，则前者比后者增长20％，因此，选B。 【真题精析】 例1.2008年黑龙江真题 据统计，2007年1～8月份黑龙江省对俄贸易进出口实现69．8亿美元，增长72．3％，高于全国对俄进出口增幅31．1个百分点，占黑龙江省对外贸易进出口总值的63．1％，占全国对俄贸易进出口总值的23．2％。其中对俄出口52．5亿美元，增长95．1％，高于全国对俄出口增速13．9个百疑点，占黑龙江省对外贸易出口总值的69％，占全国对俄贸易出口总值的30．9％；对俄进口17．3亿美元，增长27．1％，高于全国对俄进口增速17．4个百分点，占黑龙江省对外贸易进口总值的50％；占全国对俄贸易进口总值的13．3％。 根据统计资料，2006年1～8月份黑龙江对俄出口总值是： A．13．6亿美元B．26．9亿美元C．40．5亿美元D．52．5亿美元[答案]B [解析]根据“对俄出口52．5亿美元，增长95．1％”可知，2006年1～8月份黑龙江对俄出口总值为亿美元。因此，选B。 数量关系 （全二十四讲）主讲：李委明 目录 数学运算................................................................................................................................................................................ .. (2) 第一讲：代入排除法................................................................................... ......................... ......................... .. (2) 第二讲：十字交叉法........................ ................................................ ................................................ ............ ...... .. (3) 第三讲：数列与平均数（上）............................................................................................................................................. .. (5) 第四讲：数列与平均数（下） (6) 第五讲：工程问题................. .. (7) 第六讲：浓度问题................. .. (9) 第七讲：牛吃草问题............ . (10) 第八讲：边端问题............ ............................................................................................................................................. .. (12) 第九讲：行程问题（上）.............................................................................................................................................. ... (13) 第十讲：行程问题（下）.................................................................................................................................................... .. (14) 第十一讲：几何问题..... .................................................................................................................................................... . (16) 第十二讲：年龄问题.......... (19) 第十三讲：容斥原理（上）. (20) 第十四讲：容斥原理（下）. (22) 第十五讲：排列组合（上） (23) 第十六讲：排列组合（下）. (25) 第十七讲：统筹问题......... .......................................................................................................................................... (27) 第十八讲：比赛问题.... ............................................................................................................................................. .. (28) 第十九讲：抽屉原理..... ............................................................................................................................................ ... . (29) 第二十讲：时钟问题.. .................................................................................................................................................... ... .. (30) 数字推理................... ...................................................................................................................... .. (32) 第二十一讲：做差数列... ........................................................................................................................................... .. (32) 第二十二讲：做商数列、多重数列..... (33) 第二十三讲：分数数列、幂次数列... .......................................................................................................................... . (34) 第一章列式能力培养及训练 第一节必须掌握的概念 一、增长 （二）能力培养 例1.【答案】①3185.0-371；②371÷（3185.0-371） 例2.【答案】①2744+289；②289÷（2744+289） 例3.【答案】①1387.4÷（1+9.2%）；②1387.4÷（1+9.2%）×9.2% 例4.【答案】①235.6÷（1-11.1%）；②235.6÷（1-11.1%）×11.1% 例5.【答案】①D 。直接做差得到2007到2010年每年比上年增长的量分别是50527.1，48863.7，26126.8，61858.5，所以最大的是2010年的增长量；②C 。增长率最大的就是分数比较大小，50527.148863.726126.861858.5215883.9266411.0315274.7341401.5、、、 ，显然是2007年的增长率最高；③（403260-215883.9）÷4；④19 .2158834032604-例6.【答案】①4 %)9.101(8 .126+例7.【答案】①直接将四种收入作差，总增量最大的，年均增量也是最大的，明显是工 资性收入。②=1-年份差 末期量年均增长率基期量，由于年份差一致，所以只需比较四种收入末期量与基期量的比值大小，四种收入末期量与基期量的比值分别为137081714520509288973762093940 、、、，明显第二个分数的比值最大，即经营性收入的年均增长率最大。（三）强化训练 例1.【答案】①3.13-0.11，②0.11÷(3.13-0.11) 例2.【答案】①1.56+0.32，②0.32÷（1.56+0.32） 例3.【答案】①549.1÷(1+11.2%)，②549.1÷(1+11.2%)×11.2% 例4.【答案】①61579.1÷(1-13.5%)，②61579.1÷(1-13.5%)×13.5% 例5.【答案】①C ，2007-2010年我国第一产业增加值的增长量分别为756，845，4031，1007，很明显2004年的增长量最大 言语理解与表达冲刺讲义【一、行测命题技术点拨】 【二、行测答题策略概述】 1.取舍策略 2.时间管理 3.判断要求 （1）相信直觉，切忌修改 逻辑填空、图形推理、类比推理、常识判断 （2）仔细思考，慎重判断 片段阅读、语句表达、逻辑判断、定义判断、数量关系、资料分析 一、言语命题技术及作答策略 1.考试学相关的命题原理： （1）题干的来源和选择 （2）提问方式的设置 a.主旨、意图、态度、细节、标题、词语、代词 b.排序、衔接、推断 c.实词、成语 （3）正确答案和干扰选项的设置 正确答案的标志——精简压缩/同义替换 【原文1】和谐的一个条件是对于多样性的认同 【选项1】差异是和谐的必要条件 【原文2】气候变暖对世界经济的负面影响是主要的 【选项2】气候变暖将给世界经济带来消极影响 干扰选项的设置 ①无中生有②概念混搭 【例句】诗歌绝不能仅仅停留在纸质媒体上，要充分利用舞台、影视等多种平台，这样才能为人民群众所接受并保持长久的生命力。很多优秀诗歌作品本身具有较高的艺术性，在走向舞台、影视的过程中又融入了表演者的理解和感受，对诗歌进行了“第二次艺术创作”，辅以声光电等多种现代艺术表现形式，极大地提升了诗歌的欣赏性和观赏性。 A.表演者对诗歌进行“第二次艺术创作”延长了诗歌的生命力 B.普及诗歌需要借助舞台、影视等人民群众喜闻乐见的艺术形式 ③曲解文意（各种偷换，如概念、主体、时态等等） 2.做题顺序： 审设问———读题干———选答案 （明确题型分类）（寻找正确答案的标志） 二、理解能力——梳理文段结构 引子+观点/对策+补充论述 三、何为引子 （一）援引观点 【例1】孔子尝曰：“未知生，焉知死？”生与死自孔子时起便是中国人始终关注的问题，并得到各种回答。尤其在汉代，人们以空前的热情讨论这两个问题。不仅是出于学者的学术兴趣，亦出于普通民众生存的需要。然而，正如孔子所说，在中国思想史上，对生的问题的关注似乎远胜于对死的问题的追问。有时候人们确实觉得后者更重要，但这并非由于死本身，而是因为人们最终分析认为，死是生的延续。 【例2】有一种很流行的观点，即认为中国古典美学注重美与善的统一。言下之意则是中国古典美学不那么重视美与真的统一。笔者认为，中国古典美学比西方美学更看重美与真的统一。它给美既赋予善的品格，又赋予真的品格，而且真的品格大大高于善的品格。概而言之，中国古典美学在对美的认识上，是以善为灵魂而以真为最高境界的。 【例3】法国语言学家梅耶说：“有什么样的文化，就有什么样的语言。”所以，语言的工具性本身就有文化性。如果只重视听、说，读、写的训练或语言、词汇和语法规则的传授，以为这样就能理解英语和用英语进行交际，往往会因为不了解语言的文化背景，而频频出现语词歧义、语用失误等令人尴尬的现象。 （二）背景铺垫/阐述现状 【例1】随着社会老龄化的日益加剧，许多社区空巢老人越来越多，他们生活小事不能自理，需要社会特殊照顾，目前，社会对一些独居老人的关照仍显欠缺。逢年过节，虽然有关部门上门送粮油、衣物、金钱等进行慰问，但对于空巢老人来说，关心还不到位，措施还不得力。在这种情况下，需要成立一些传统的养老院、敬老院、社区互助会等更加适合空巢老人欢度晚年的场所，既可以满足老年人的生活需要，还可以解除子女的后顾之忧，同时也加强了社区群众之间的交流与互助，使越来越多的老人晚年生活得丰富多彩。 【例2】近年来全球油价持续上涨，随着各国原油生产能力的日益提高，全球原油储备资源日趋紧张。据分析人士预测，这一上涨趋势绝不会在短期内逆转。受此影响，尽管汽车已逐渐成为人们不可缺少的日常交通工具，但越来越多的人决定暂缓买车或者开始暂停用车。照此看来，整个汽车销售市场的经营风险在相当长一段时间里有增无减。 【例3】随着社会环境的影响和对儿童阅读市场的认识不断加深，越来越多的作家自觉地思考读者定位，发挥自己的创作特长。从读者年龄段来说，有的作家专心致志地为幼儿写作，有的专门为小学低年级写作，还有的着力满足小学中高年级的阅读需求；从写作内容来说，有的作家专门为孩子写科幻故事，有的一心写冒险小说，有的则认真地为孩子写生活故事。 【例4】改革开放以来，我国经济整体上保持了高速增长态势，但劳动就业的增长却远低于经济增长的速度。目前，尽管我国服务业吸纳劳动就业的比重在不断上升，甚至已经成为吸纳就业的主力军，并且基本消化了包括从农业和制造业中转移出来的劳动力存量在内的所有新增劳动力，但与发达国家相比，它对劳动就业的贡献率还是太低。我们务必利用产业结构调整和增长模式转变的机会，发掘服务业对发展经济和扩大就业的巨大潜力。 联考季——花生十三资料分析单项讲义 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 花生十三资料分析 单项讲义 一：资料分析总体概述 (4) 1、考试大纲描述 (4) 2、考试时间安排 (4) 3、重点考察内容 (4) 4、做题思想 (4) 二、资料分析基础概念与解题技巧 (5) 1、资料分析核心运算公式 (5) 2、资料分析常用基本概念 (6) 3、资料分析读题方法 (9) 4、资料分析速算技巧 (11) 三：资料分析高频考点梳理 (20) 1、ABR类问题 (20) 2、比重类问题 (26) 3、比较类问题 (34) 4、比值类问题 (40) 5、综合类问题 (42) 一：资料分析总体概述 1、考试大纲描述 资料分析主要测查报考者对各种形式的文字、图表等资料的综合理解与分析加工能力，这部分内容通常由统计性的图表、数字及文字材料构成。 针对一段资料一般有1～5个问题，报考者需要根据资料所提供的信息进行分析、比较、推测和计算，从四个备选答案中选出符合题意的答案。 资料分析主要是对文字资料、统计表、统计图（包括条形坐标图、圆形百分比图、坐标曲线图、网状图）等资料进行量化的比较和分析。应该说，这种类型的题目考查的是应试者分析、比较和量化处理的能力。 2、考试时间安排 分题型分析，文字材料：6-8分钟；单纯统计表、统计图：5分钟；综合题：6-8分钟。 若四个资料分析，一般会有一个文字材料，两个综合题，一个单纯统计表或统计图；所需时间为23到29分钟。平时练习控制好时间，考试时一定要预留出充分的时间以便保证准确率。 3、重点考察内容 绝大多数考生都有误区，认为资料分析就是考查计算能力，我做不完只是因为计算的不快，这种观点是极其错误的，没有考官只是想招个计算器，资料分析更侧重的是综合理解与分析加工能力。 资料分析考察内容有三：一是读题：如何选取关键字，如何快速准确的在大量复杂的数据中选取有用的数据。二是分析运算：如何通过分析或列出有效的计算式子计算答案，资料分析常用的公式不多，通过练习，要深刻理解，必须做到如条件反射一般。三是计算：没有人想找个计算器，计算往往都是通过各种巧算估算结合选项来分析出答案，所以，平时的练习就需要我们养成速算的习惯，从而在考试中节省出时间。 4、做题思想 一、读题找出数据与列式计算同等重要：切忌忽视分析，陷入到复杂繁琐的计算当中，不仅速度没有保障，也会影响状态，造成思维混沌。 二、技巧是为做题服务的：学习技巧不是为了卖弄技巧，而是为了提高做题速度。有些题目本身已经非常简单，完全没有必要再去使用技巧，直接计算反而更节约时间并且准确率可以得到保证。 三、估算必然产生误差：在估算前一定要先注意选项，只有当选项差距足够安全时才可以估算，必要时候可以在估算之后估计误差范围，以免出错。 四、有舍才有得，心态决定正确率：我们的目标并不是要做对所有的资料分析题，做之前按照自己平时的水平做好预计，适当放弃永远是一个最明智的选择。 数量关系之数学运算讲义 第一部分--题型综述： 一、数字运算趋势：综合、分析、 生活化 二、数字运算分类： 1、数字运算 2、多位数 3、页码问题 4、循环问题 5、整除问题 6、方阵问题 7、端点问题 8、青蛙跳井9、方程10、比例问题11、浓度问题（增加平均数）12、百分比13、利润问题 14、工程问题15、行程问题16、相对行程17、时钟问题18、鸡兔同笼 19、牛吃草问题 20、年龄问题21、等差数列（增加等比数列）22、排列组合23、概率问题24、抽屉问题 25、集合问题26、分段计算问题27、几何问题 三、5年以来云南省考分类 1234567891011121314 10111 091112111 0821111 071112 06211311 1516171819202122232425262728 1011122 09211111 0812111 071111113 0611 四、复习技巧：紧抓基本、反复练习 五、解题思路：1、把握特点 2、精巧思维 3、小心陷井 六、解题方法： 插值法 基准数法 尾数计算法 乘方尾数估算法 弃九 直接代入 列方程 整除 比例 公倍数 数字特性（凑整、奇偶）十字交叉 精巧思维 例题1：某校初一年级共3个班，一班与二班人数之和为98，一班与三班 人数之和为106，二班与三班人数之和为108，则二班人数为多少人？ A.48 B.60 C.50 D.58 例题2：某学生语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，其中语文、 数学平均成绩90分，语文、英语平均成绩93.5分，则该生语文成绩是多少? A.92 B.95 C.88 D.99 例题3：排成一排的13个皮包的平均价格为130元，前8个皮包的平均价 格为140元，后8个皮包的平均价格为90元，问中间3个皮包的平均价格 是多少元? A.100 B.120 C.50 D.80 例题4：飞行员前4分钟用半速飞行，后4分钟用全速飞行，在8分钟内一 共飞行了72千米，则飞机全速飞行的时速是（ ）千米/小时。A.360 B.540 C.720 D.840 例题5：某月刊杂志，定价2．5元，幸福村有些户订了全年，其余户订 了半年，共需5100元，如果订全年的改订半年，订半年的改订全年，则 共需3000元，幸福村共有多少户？ A.190 B.170 C.200 D.180 例题6：三位采购员定期去某市场采购，小王每隔9天去一次，大刘每隔 6天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在这里碰面，下次 相会将在星期几？ A.星期一 B.星期四 C.星期二 D.星期五 例题7：从装满100克浓度为80%的糖水杯中倒出40克糖水，再倒入清水 把杯子倒满。这样反复三次后，杯中糖水的浓度是多少？（ ）A.48% B.28.8% C.11.52% D.17.28% 例题8：A、B两座城市距离300千米，甲乙两人分别从A、B两座城市同一 时间出发，已知甲和乙的速度都是50km/h，苍蝇的速度是100km/h，苍 蝇和甲一起出发，然后遇到乙再飞回来，遇到甲再回去，直到甲乙相遇 才停下来，请问苍蝇飞的距离是（ ）km？A.100 B.200 C.300 D.400 行测数量关系知识点 整理 行测数量关系知识点整理 1.能被2,3,4,5,6,整除的数字特点。 2.同余问题。一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，这个数字是？（4,5,6的最小公倍数60+1） 3.奇偶特性。奇±奇=偶奇±偶=奇偶±偶=偶奇×偶=偶奇×奇=奇偶×偶=偶；例：同时扔出A、B两个骰子，两个骰子出现的数字的奇为偶数的情形有多少种？ 解析：偶×偶 C3.1*C3.1 + 奇×偶C3.1*C3.1+偶×奇C3.1*C3.1=27； 4.一个数如果被拆分成多个自然数的和，那么这些自然数中3越多，这些自然数的积越大。例如21拆分成3×3×3×3×3×3×3，比其他的如11×10要大。 5.尾数法。 ①自然数的多次幂的尾数都是以4为周期。3的2007次方的尾数和3的2007÷4次方的尾数相同。 ②5和5以后的的自然数的阶乘的尾数都是0。如2003!的尾数为0； ③等差数列的最后一项的尾数。1+2+3+……+N=2005003，则N是（）； A.2002 B.2001 C.2008 D.2009 解析：根据等差公式展开N(N+1)=......6，所以N为尾数为2的数，所以选择A。 ④在木箱中取球，每次拿7个白球、3个黄球，操作M次后剩余24个，原木箱中有乒乓球多少个？ A.246 B.258 C.264 D.272 解析：考察尾数。球总数=10M+24,所以尾数为4,选C。 6.循环特性的数字提取公因式法。 200820082008=2008×100010001（把重复的数字单独列出；列出重复次数个1；在这些1之间添加重复的数的位数-1个0） 7.换元法，整体思维。 8.等差数列。a1+a5=a2+a4; a11-a4=a10-a3; 9.逻辑推断。例：一架飞机的燃料最多支持6小时，去时顺风1500千米/时，返回逆风1200千米/时，飞多远必须返航？ A.2000 B.3000 C.4000 D.5000 解析：中间值为3小时，但顺风时间<3,逆风时间>3;即去<4500,返回>3600，所以只有C项符合。 8.排列组合。 ①定义：N（M）-有序排列->排列问题；N（M）-无序排列->组合问题； ②计算方法：分类用加法，分步用乘法； ③调序法：顺序固定为题。例如6名学生站队，要求甲、乙、丙三人顺序不变，排法有多少种？解析：A6.6÷A3.3 ④插空法：如上题。第一名学生有4种选择，第二名有5种选择，第三名有6种选择，所以答案120。 ⑤插板法：适用于分配问题。例：10台电脑分给5个同学，每人至少一台，多少种分法？ 解析：10台电脑9个空，在9个空中选4个板即可分成5份，所以C9.4即是答案。 ⑥其他公式：Cn.m=An/m!（n.m为下标n和上标m） Cm.n=C(n-m).n 9.集合问题。集合是无序的。 ①▲A+B=A∪B+A∩B 1.资料分析讲义 资料分析讲义师说教育集团考试教学团队编录 一.试题概述资料分析着重考察报考者对文字.图形.表格三种形式的数据性.统计性资料进行综合分析推理与加工的能力。针对一段资料一般有1~5个问题，报考者需要根据资料所提供的信息进行分析.比较.计算，从四个备选答案中选出符合题意的答案。 二.统计术语“◆”表示“掌握型术语”。要求考生对其定义.性质.用法及其变形都能有比较熟练的掌握。 “◇”表示“了解型术语”。只要求考生对其定义有一个基本的认识与了解即可。 ◆百分数量 A 占量B的百分比例：A÷B×100% 【例】 某城市有30 万人口，其中老年人有6 万，则老年人占总人口的百分之几？ 【例】 某城市有老年人6 万，占总人口的比例为20%，请问这个城市共有多少人？ ◆成数几成相当于分之几【例】 某单位有300名员工，其中有60人是党员，则党员占总人数的几成？ ◆折数几折相当于分之几【例】 某服装原件400 元，现价280 元，则该服装打了几折？ ◆倍数 A 是B 的N 倍，则A＝B×N ◆基期（基础时期）.现期（现在时期）如果研究“和xx 年相比较，xx 年的某量发生某种变化”，则年为基期，年为现期； 如果研究“和xx 年8 月相比较，xx年9 月的某量发生某种变化”，则为基期，为现期。 ◆增长量（增量）.减少量（减量）增长量＝现期量－基期量减少量＝基期量－现期量◆增长率（增长幅度.增长速度） 增长率＝增长量÷基期量×100% 【例】 某校去年招生人数2000 人，今年招生人数为2400 人，则今年的增幅为？ 【君子言解析】 2400－2000＝400，400÷2000×100%＝25% ◆减少率（减少幅度.减少速度）减少率＝减少量÷基期量×100% 【例】某校去年招生人数2400人，今年招生人数为1800人，则今年的减幅为？ 【君子言解析】 2400－1800＝600，600÷2400×100%＝25% 【注】 很明显，“减少率”本质上就是一种未带负号的“增长率” ◆现期量.基期量增加N 倍现期量＝基期量＋基期量×N＝基期量×（1＋N）基期量＝现期量÷（1＋N）减少M 倍增长了x% 现期量＝基期量＋基期量×x%＝基期量×（1＋x%）基期量＝现期 资料分析：唯一的办法就是，在正确方法的引导下进行机械化、流程式操作。（做题顺序，排在前二或三位） 主要考察应考人员对各种形式的统计资料（包括文字、图形和表格等）进行正确理解、计算、分析、比较、判断、处理的能力。 解题步骤： （1 读题干（30s ）对象“ ”；陷阱“ ”） （2）以题定位 （3）准确列式 （4）合理估算 计分（0.7-1），17个/20以上 一、统计术语 （一）掌握型术语 （1）百分数<一个是量的比较>：A/B*100%。解答与百分数有关的试题时，要明确是以什么作为标准来进行比较(和谁比，就是以谁为标准)。如：去年的产量为a ，今年的产量为b ，今年的产量比去年高10%，则b-a=10%a （以去年的产量为标准）；去年的产量为a ，今年的产量为b ，去年的产量比今年低10%，则b-a=10%b （以今年的产量为标准）。 百分点<一个是率的比较>：以百分数的形式表示相对指标的变动幅度，没有百分号。如：今年的产量提高了17%，去年的产量下降了12%，则今年比去年提高了29个百分点，但是不能说今年比去年提高了29%。 成数：一成即十分之一。 折数：一折即十分之一。 比重：整体中某部分所占的份额。 （2）基期、现期（报告期） 基期：作为对比基础的时期，现期：相对基期而言的一个概念。 如：“和2003年8月相比，2003年9月的某量发生的变化”，则以2003年8月为基期，2003年9月为现期。 （3）倍数：两个有联系的指标的对比。如：去年的产量为a ，今年的产量是去年的3倍，则今年产量为3a ；去年的产量为a ，今年的产量比去年增长了3倍，则今年产量为4a 。 翻番：即数量加倍，翻一番为原来的2倍，翻两番为原来的4倍；依此类推，翻n 番为原来的2n 倍。 （4）指数 用于衡量某种要素相对变化的指标量，通常将基期的指数值定为100，其它量和基期量相比较得出的数值即为该时期的指数值。如：a=60，b=40，若b 的指数为100，则a 的指数为150。 （9）平均数=总数量和/总份数 中位数：将一组数据按大小顺序重新排列后，处于中间位置的数即为中位数。若数据个数为奇数，则中间的数据就是中位数；若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均值就是中位数。 （10）进出口总额、顺差、逆差 进出口总额=进口额+出口额 当进口额大于出口额时，进出口贸易表现为逆差，又称“入超”，逆差=进口额-出口额； 当进口额小于出口额时，进出口贸易表现为顺差，又称“出超”，顺差=出口额-进口额。 （二）增长相关速算法 1．发展速度：增长量、减少量； 增长速度：增长率（增速、增幅）、减少率。 发展速度（%）=某指标报告期数值/该指标基期数值×100% 增长速度=发展速度-1（或100%）=增长率=增幅=增速= 基期量 增长量×100% （减少率=基期量减少量×100%） 增长的绝对量（也作增长量）＝末期量－基期量 减少量=基期量- 现期量 在资料分析中，常用的是如下几种变换形式： 估算： 现期量=基期量×（1 + 增长率）； 现期量=基期量×（1 - 减少率） 基期量=增长率现期量+1 基期量 =减少率 现期量-1 2． 同比：对量（百分数）的增加。主要为了消除季节变动的影响。如：去年5月完成8万元，今年5月完成10万元，同比增长就应该用（10-8）/8×100%即可。 同比发展速度= 本期发展水平×100% 环比增长速度=?? ? ? ?-上一期发展水平 上一期发展水平本期发展水平×100% 环比发展速度＝上一期发展水平 本期发展水平×100% =环比增长速度+1 3．平均增长率（如，年均增长率），如果第一年为A ，第N+1年为B ，间隔为N ，这N 年的年均增长率为r ， 阅读法（材料结构）II 最难III 最简单 通用重点 略读 分类重点 参考时间 文字型材料 30%（难在阅读） 总分型 材料主旨 （即标题）、 时间表达、 单位表述、 注释（图示） 具体数据 关键词法（其中） 30-60s 并列型 主旨中心法 表格型材料43%（难在计算） 横标目，纵标目 15-30s 图形型材料 27%（两者之间） 柱状趋势图18% 横轴，纵轴 10-25s 饼9% 类别名称 10-20s 六点半课堂讲义资料分析 主讲人：朱亚楠、孔茹钰、左宏帅、李玲玲 目录 第一讲特殊分数在资料分析中的应用 (3) 第二讲平均数增长率计算 (7) 第三讲增长率之大小比较 (12) 第四讲十字交叉法巧解资料分析 (19) 第一讲特殊分数在资料分析中的应用 核心知识梳理 经典例题讲解 【例1】（2019吉林乙） 初步核算，2018年我国国内生产总值90.03万亿元，按可比价格计算，比上年增长6.6%，实现了6.5%左右的预期发展目标。分产业看，第一产业增加值6.47万亿元，比上年增长3.5%；第二产业增加值36.60万亿元，增长5.8%；第三产业增加值46.96万亿元，增长7.6%。 2018年我国第三产业增加值同比约增加了： A.1.3万亿元 B.3.3万亿元 C.2.9万亿元 D.3.8万亿元 【例2】（2019广东乡镇） 2018年，B省新登记企业最集中的三个行业分别是批发和零售业、租赁和商务服务业、制造业，新登记企业数分别为36.14万户、15.19万户、9.25万户，分别同比增长0.23%、增长22.98%、下降6.8%。 2018年，B省租赁和商务服务业新登记企业数较上年增加约（）万户。 A.2.8 B.3.8 C.4.8 D.5.8 【例3】（2017联考） 2015年全国共建立社会捐助工作站、点和慈善超市3.0万个，比上一年减少0.2万个，其中：慈善超市9654个，同比下降5.1%。全年共接收社会捐赠款654.5亿元，其中：民政部门接收社会各界捐款44.2亿元，各类社会组织接收捐款610.3亿元。全年民政部门接收捐赠衣被4537.0万件，捐赠物资价值折合人民币5.2亿元。全年有1838.4万人次困难群众受益，同比增长8.5%，增长率较上一年下降27.5个百分点。全年有934.6万人次在社会服务领域提供了2700.7万小时的志愿服务，同比减少10.4万小时。 2015年，全国建立的慈善超市较2014年约： A.减少519个 B.增加519个 C.减少686个 D.增加686个 【例4】（2018广州3.25） 我国2017年粮食种植面积11222万公顷，比上年减少81万公顷。其中，小麦种植面积2399万公顷，减少20万公顷；稻谷种植面积3018万公顷，减少0.2万公顷；玉米种植面积3545万公顷，减少132万公顷。 全年谷物产量56455万吨，比上年减产0.1%。其中，稻谷产量20856万吨，增产0.7%；小麦产量12977万吨，增产0.7%；玉米产量21589万吨，减产1.7%。 三种谷物中，2017年产量比上年增加最多的谷物，其种植面积约占全国粮食种植面积的： A.12% B.21% C.27% D.32% 【例5】（2019上海A） 2013—2015年长江经济带主要指标对比 数量关系讲义整理 行测解题逻辑 以选项为中心：注意选项的布局 题目难度分析 数字推理5=3+2、10=5+3+2 数学运算10=5+3+2、15=8+4+3 资料分析4=2+1+1 不要奢望全部都会做，先扫视一遍题目重点做熟悉的题，适当放弃。 题目越难越没有陷阱，简单题要注意陷阱。 两则理论：一、条件反射要强化记忆基本公式、技巧，提高熟练程度，形成条件反射。 二、内外兼修通过反复的练习，化为内在素质。 上篇数学运算 第一节代入排除思想 代入排除法： 是指将题目的选项直接代入题干当中判断选项正误的方法。这是处理客观单选题”非常行之有效的方法，广泛应用到各种题型当中。可以与数字特征等其它方法配合使用。 例九比例问题答案还是比例，甲付出比乙多，甲比乙大 例十消化的三倍是五的倍数 第二节特例思想 如果题中比例关系较多，可用特例法去做。设当满足条件的一种情况代入计算 如果是加水溶液浓度是减小的，且减小幅度是递减的;如果是蒸发水，溶液浓度是增加的，且增加幅度是递增的。 第三节数字特性思想 数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种数字特性”，从而达到排除错误选项的方法。掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基本的数字特性规律。 （下列规律仅限自然数内讨论） 奇偶运算基本法则 【基础】奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数 偶数±奇数=奇数奇数±偶数=奇数 【推论】 一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。 二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。 整除判定基本法则 一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性 能被2（或 5 ）整除的数，末一位数字能被2（或 5 ）整除； 能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4 （或25）整除； 能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除； 一个数被2（或 5 ）除得的余数，就是末一位数字被2（或 5）除得的余数一个数被4 （或25）除得的余数，就是末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性 能被3 （或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。 一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。 倍数关系核心判定特征 如果a :b= m :n (m,n互质) ，则 a 是m的倍数； b是n的倍数。 如果a= m n b(m,n互质) ，则 a 是m的倍数； b 是n的倍数。 如果a :b= m :n (m,n互质) ，则a ± b 应该是 m± n 的倍数。 求3个连续自然然数的最小公倍数，用它们的乘积除以其中两个的最大公约数。 第四节方程思想 广泛适用于：经济利润类问题、和差倍比问题、行程问题、牛吃草问题、比例问题等。 一、设未知数原则 1 以便于理解为准，设出来的未知数要便于列方程； 2 设题目所求的量为未知量。 二、消未知数原则 1 方程组消未知数时，应注意保留题目所求未知量，消去其它未知量 2 消未知数时注重整体代换 三、在实际做题时，还可以用有意义的汉字来代替未知数，这样会使题目更加简单直观 定方程(一般求其中的一个数量)，主要运用整体消去法。 不定方程（一般求整体），我们可以假设其中系数比较大的一个未知数等于0，使不定方程转化成定方程，则方程可解。 第一章计算问题模块 第一节裂项相加法 裂项和=(1 小— 1 大 ) × 分子 差 （“小”指分母中最小的一个数，“大”指分母中最大的 一个数，“差”指分母中一组的大数减小数） 第二节乘方尾数问题 乘方尾数问题核心口诀 1) 底数留个位 2) 指数末两位除以4 留余数(余数为0 则看作4) 数学运算 第一讲： 代入排除法 课前自测 【自测题1】（浙江2011-57）一个三位数的各位数字之和是 16。"其中十位数字比个位数字小 3。"如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？（） A. 1 69B. 3 58C. 4 69D. 736 【自测题2】（广东2011-8）三个运动员跨台阶，台阶总数在100-150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。问这些台阶总共有（）级? A. 1 19B. 1 21C. 1 29D. 131 例题精讲 【例1】（吉林2011甲级-6，吉林2011乙级-6）大小两个数的和是 50."886，较大数的小数点向左移动一位就等于较小的数，则较大的数为（）。 A. 46." 2 5B. 46." 2 6C. 46." 1 5D. 40."26 【例2】（上海2011B-61）韩信故乡淮安民间流传着一则故事——“韩信点兵”。秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信率1500名将士与楚军交战，战后检点人数，他命将士3人一排，结果多出2名；命将士5人一排，结果多出3 名；命将士7人一排，结果又多出2名，用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个，则该数字是（）。 A. 8 68B. 9 98C. 1 073D. 1298 【例3】（浙江2011-55）甲、乙各有钱若干元，甲拿出1/3给乙后，乙再拿出总数的1/5给甲，这时他们各有160元。问甲、乙原来各有多少钱？ A. 120元200元 B. 150元170元 C. 180元140元 D. 210元110元 【例4】（四川事业2011-6）水果店运来一批石榴和苹果，其中苹果的重量占总重量的9/20，苹果比石榴少200千克，运来石榴（）千克。 A. 2 000B. 1 800C. 数量关系A班讲义主讲：李继连 （27）【江苏A2014】如图,在长方形的跑道上，甲乙两人分别从A处和C处同时出发，均按顺时针方向沿跑道匀速奔跑，已知甲的速度为5米/秒，且甲第一次追上乙时，甲恰好跑了5圈回到A处，则乙的速度 A、4.8米/秒 B、4.5米/秒 C、4米/秒 D、5米/秒 （28）【联考政法干警2015】某海关缉私巡逻船在执行巡逻任务时，发现其所在位置南偏东30度方向12海里处有一涉嫌走私船只，正以20海里/小时的速度向正东方向航行。若巡逻船以28海里/小时的速度追赶，在涉嫌走私船只不改变航向和航速的前提下，最快多久能追上？ A、1 B、1.25 C、1.5 D、1.75 （29）【联考政法干警2015】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3倍，且往返平均速度为480千米/小时，问甲乘坐飞机的速度为多少千米/小 时？ A.720 B.768 C.960 D.1200 （30）【黑龙江2015】环形跑道的周长为400米，甲乙两人骑车同时从同一地点出发，匀速相向而行，16秒后甲乙相遇。相遇后，乙立即调头，6分40秒后甲第一次追上乙，问甲追上乙的地点距原来的起点多少米？ A.8 B.20 C.180 D.192 （31）【国家2015】甲、乙两名运动员在400米的环形跑道上练习跑步，甲出发1分钟后乙同向出发，乙出发2分钟后第一次追上甲，又过了8分钟，乙第二次追上甲，此时乙比甲多跑了250米，问两人出发地相隔多少米？ A.200 B.150 C.100 D.50 （32）【黑龙江2014】甲地在乙地正东5公里，某天早上7点30分，小赵从乙地出发，以每小时15公里的速度骑车前往甲地找小张，但在小赵出发的同时，小张也出发以每小时9公里的速度向正北方向跑步锻炼。小赵到甲地后立刻沿校长跑步的路径以每小时12公里的速度追小张，追上小张后，两人以每小时10公里的速度从相遇点沿直线距离返回乙地。问返回乙地时的时间是几点？ A.10点08分 B.10点14分 C.10点20分 D.10点02分数量关系讲义(1)
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