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初等数论练习题答案

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_

2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.

3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.

4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。.

6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

二、计算题

1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，

同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，

同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，

故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，

其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，

由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？

11074217

271071107713231071107311072107

710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（（），（）（）（），（）（））（）（（

）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

解：易知1271≡50（mod 111）。

由502 ≡58（mod 111）, 503 ≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028 ≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111）

从而5056 ≡16（mod 111）。

故（127156+34）28≡（16+34）28 ≡5028≡70（mod 111）

三、证明题

1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明：

（1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a

≡0 (mod p)；

（2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。

证明：由欧拉定理知a p-1≡1 (mod p)及(p-1)a ≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。

2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n 2a ≡1(mod 2n+2)。 (1)

证明设a = 2m + 1，当n = 1时，有

a 2 = (2m + 1)2 = 4m (m + 1) + 1 ≡ 1 (mod 23)，即原式成立。

设原式对于n = k 成立，则有

k a 2≡ 1 (mod 2k + 2) ?k a 2= 1 + q 2k + 2，其中q ∈Z ，所以 12+k a = (1 + q 2k + 2)2 = 1 + q '2k + 3 ≡ 1 (mod 2k + 3)，

其中q '是某个整数。这说明式(1)当n = k + 1也成立。

由归纳法知原式对所有正整数n 成立。

3、设p 是一个素数，且1?k ?p-1。证明：k

p 1C - ≡ （-1 ）k (mod p )。

证明：设A=!

)()2(1C 1k k p p p k

p ---=- ）（得： k!·A =（p-1）(p-2)…（p-k ）≡（-1）(-2)…（-k ）(mod p )

又（k!，p ）=1，故A = k p 1

C - ≡ （-1 ）k (mod p ) 4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。

说明：因为84=4×3×7，所以，只需证明：

p 6≡1(mod 4) p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7) 同时成立即可。

证明：因为84=4×3×7及p 是不等于3和7的奇质数，所以

（p ，4）=1，（p ，3）=1，（p ，7）=1。

由欧拉定理知：p ?(4)≡p 2≡1(mod 4)，从而 p 6≡1(mod 4)。

同理可证：p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7)。故有p 6≡1(mod 84)。

注：设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 168)。（见赵继源p86）

初等数论练习题二

一、填空题

1、d(1000)=_16_；σ(1000)=_2340_.

2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是199__.

3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n

22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=5。

4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是x ≡29(mod 31)___

5、分母不大于m 的既约真分数的个数为?(2)+ ?(3)+…+ ?(m )。

6、设7∣(80n -1),则最小的正整数n=_6__.

7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__559__.

8、??? ??10146=_1__. 9、若p 是质数，n ∣p - 1，则同余方程x n ≡ 1 (mod p ) 的解数为n .

二、计算题

1、试求200420032002被19除所得的余数。

解：由2002≡7 (mod 19) 20022≡11(mod 19) 20023≡1 (mod 19)

又由20032004≡22004≡（22）1002≡1 (mod 3)可得：

200420032002≡20023n+1≡(20023)n ×2002≡7(mod 19)

2、解同余方程3x 14 + 4x 10 + 6x - 18 ≡ 0 (mod 5)。

解：由Fermat 定理，x 5 ≡ x (mod 5)，因此，原同余方程等价于2x 2 + x - 3 ≡ 0 (mod 5) 将x ≡ 0，±1，±2 (mod 5)分别代入上式进行验证，可知这个同余方程解是x ≡ 1 (mod 5)。

3、已知a=5，m=21,求使a x ≡ 1 (mod m)成立的最小自然数x 。

解：因为（5,21）=1，所以有欧拉定理知5?(21)≡1(mod 21)。

又由于?(21)=12，所以x |12，而12的所有正因数为1,2,3,4,6,12。

于是x 应为其中使 5 x ≡ 1 (mod 12)成立的最小数，经计算知：x=6。

三、证明题

1、试证13|(54m +46n +2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)

证明：54m +46n +2000 ≡ 252m +642n +2000 ≡（-1）2m +（-1）2n +2000 ≡ 2002≡ 0(mod 13)。

2、证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n - 1)! ≡ -1 (mod n )，则n 是素数。证明：假设n 是合数，即n = n 1n 2，1 < n 1 < n ，由题设易知(n - 1)! ≡ -1 (mod n 1)，得

0 ≡ -1 (mod n 1)，矛盾。故n 是素数。

3、证明：设p s 表示全部由1组成的s 位十进制数，若p s 是素数，则s 也是一个素数。证明：假设s 是合数，即s=ab ，1