M p a b a s s
s ?-=-=-==91
1091)10(9110111321Λ，其中M ＞1是正整数。
由＞1也是正整数知是合数，这与题设矛盾。故s 也是一个素
数。
4、证明：若2p 1是奇素数，则 (p !)2
(
1)p
0 ( 2p 1)。
证明：由威尔逊定理知 1 (2p )! = p !(p
1)(2p )
(
1)p
(p !)2
( 2p
1)，
由此得(p !)2
(1)p
0 ( 2p
1)。
5、设p 是大于5的质数，证明：p 4
≡1( 240)。（提示：可由欧拉定理证
明）
证明：因为240=23×3×5，所以只需证：p4≡1( 8)，p4≡1( 3)，p4≡1( 5)即可。事实上，由(8)=4，(3)=2，(5)=4以及欧拉
定理立得结论。
初等数论练习题三
一、单项选择题
1、若n＞1，(n)1是n为质数的（C）条件。
A.必要但非充分条件
B.充分但非必要条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
b为既约分数的一组数是（D）。
2、设n是正整数，以下各组a，b使
a
121 2152 C131 3152
3、使方程65无非负整数解的最大整数C是（A）。
A.19
B.24
C.25
D.30
4、不是同余方程28x≡21( 35)的解为（D）。
≡2( 35) B. x≡7( 35) C. x≡17( 35) D. x≡29( 35)
5、设a是整数，(1)a≡0(9) (2)a≡2010(9)
(3)a的十进位表示的各位数字之和可被9整除
(4)划去a的十进位表示中所有的数字9，所得的新数被9整除
以上各条件中，成为9的充要条件的共有（C）。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
1、σ(2010)4896； (2010)=528。
2、数20
100C 的标准分解式中，质因数7的指数是_3。
3、每个数都有一个最小质因数。所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是97。
4、同余方程24x ≡6(34)的解是x 1≡13(34) x 2≡30(34)_。
5、整数n>1，且(1)1≡0( n),则n 为素数。
6、3103
被11除所得余数是_5_。
7、??
? ??97601_。
三、计算题
1、判定 (ⅰ) 2x 3
x 2
3x 1
0 ( 5)是否有三个解；
(ⅱ) x 6
2x 5
4x 2
3 0 ( 5)是否有六个解？
解：(ⅰ) 2x 3 x 2
3x 1 0 ( 5)等价于x 3
3x 2
4x 3 0 ( 5)，又x 5
x = (x 3
3x 2
4x 3)(x 2
3x 5) + (6x 2
12x
15)，其中r (x ) = 6x 2
12x 15的系数
不都是5的倍数，故原方程没有三个解。
(ⅱ) 因为这是对模5的同余方程，故原方程不可能有六个解。
2、设n 是正整数，求1
223212C ,,C ,C -n n
n n Λ
的最大公约数。 解：设1
2122321212232122C C C )C ,,C ,(C ---=+++=n n n n n n n n n d ΛΛ，由知d
2
2n 1
，
设2且21|/n ，即2k +1
，
则由2
k +1
1
1221
12C 2C 2C |--+=i n i n k n i
n 及，i = 3, 5, , 2n 1 得
d = 2k + 1。
3、已知1877,求使
1 ( m)成立的最小自然数x 。
解：因为（18,77）=1，所以有欧拉定理知18(77)
≡1( 77)。
又由于(77)=60，所以60，而60的所有正因数为1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, 60。
于是x应为其中使18x 1 ( 77)成立的最小数，经计算知：30。
四、证明题
1、若质数p≥5,且21是质数，证明：41必是合数。
证明：因为质数p≥5,所以（3，p）=1，可设31或32。
当31时，21=63是合数，与题设矛盾，从而32，
此时21是形如65的质数，而41=129=3(43)是合数。
注：也可设6，0,1,2,3,4,5。再分类讨论。
2、设p、q是两个大于3的质数，证明：p2≡q2( 24)。
证明：因为24=3×8，（3,8）=1，所以只需证明：
p2≡q2( 3) p2≡q2( 8)同时成立。
事实上，由于（p，3）=1，（q，3）=1，所以p2≡1( 3) ， q2≡1( 3)，
于是p2≡q2( 3)，由于p，q都是奇数，所以p2≡1( 8) ， q2≡1( 8)，
于是p2≡q2( 8)。故p2≡q2( 24)。
3、若∈，
（1）证明：[]≥[x][y]；
（2）试讨论{}与{x}{y}的大小关系。
注：我们知道，[x y] ≥[x]+[y]，{}≤{x}+{y}。此题把加法换成乘法又如何呢？
证明：（1）设[x]+α,0≤α<1，[y]+β,0≤β<1。于是
[x][y]+β[x]+α[y]+αβ
所以[]= [x][y]+ [β[x]+α[y]+αβ] ≥[x][y]。
（2）{}与{x}{y}之间等于、大于、小于三种关系都有可能出现。
当21时，{}={x}{y}=4
1；
当23， 21时，{}=43，{x}{y}=4
1，此时{}＞{x}{y}；
当21，31时，{}=61，{x}{y}=3
1，此时{}＜{x}{y}。
4、证明：存在一个有理数d c ，其中d < 100,能使 ][d c k =][100
73k
对于1，2，….，99均成立。
证明：由（73，100）=1以及裴蜀恒等式可知：存在整数c ，d ，使得 73-100c1
从而
k 10073d kc d c d k 100)10073(-d
k
100，由k< 100可知：
0＜
k 10073-d kc ＜d
1
设][d c
k
，则d kc ＜1=d d
n 1+,于是 k 10073＜
d kc 1
+≤d d
n 1+1， 故 ][100
73k = n =][d
c
k 。 初等数论练习题四
一、单项选择题
1、若12n
2+是合数，则最小的n 是( D )。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 2、记号‖a 表示｜a,但
1
|/
. 以下各式中错误的一个是( B )。
A. 218‖20!
B. 105‖50!
C. 119‖100!
D. 1316
‖200!
3、对于任意整数n ，最大公因数(21，61)的所有可能值是( A )。
A. 1
B. 4
C. 1或2
D. 1，2或4 4、设a 是整数，下面同余式有可能成立的是( C )。
A. a 2
≡2 ( 4) B. a 2
≡5 ( 7) C. a 2
≡5 ( 11) D. a 2
≡6 ( 13) 5、如果a ≡b( m)，c 是任意整数，则下列错误的是（ A ）
A ．≡( )
B ．
C ．()=()
D ．∈Z
二、填空题
1、d(10010)32，φ(10010)2880。
2、对于任意一个自然数n ，为使自N 起的n 个相继自然数都是合数，可取（1）！
3、为使31与57的最大公因数达到最大可能值，整数n 应满足条件269，
k ∈Z 。
4、在5的倍数中，选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系，
则这组数是{5,25,35,55}
5、同余方程261≡33 ( 74)的解是x 1≡24(74) x 2≡61(74)_。
6、不定方程5986的正整数解是19或104。
7、??
? ??89541_。
三、计算题
1、设n 的十进制表示是z xy 4513，若792n ，求x ，y ，z 。 解：因为792 = 8
9
11，故792
n 8n ，9n 及11n 。
我们有8n 8
z
45
z = 6，以及
9n 9 1 3 x y 4 5 z = 19 x
y
9x y 1， (1) 11n
11
z 5 4 y x 3 1 = 3 y
x
11 3 y x 。 (2) 由于0
x , y
9，所以由式(1)与式(2)分别得出
x y 1 = 9或18，
3
y x = 0或11。
这样得到四个方程组：?
??=+-=++b x y a
y x 31
其中a 取值9或18，b 取值0或11。在0 x , y 9的条件下
解这四个方程组，
得到：x = 8，y = 0，z = 6。 2、求3406
的末二位数。
解：∵ （3，100）=1，∴3
φ(100)
≡1（ 100），而φ(100)= φ(22·52
)=40,
∴ 340
≡1( 100) ∴ 3406
=(340)10
·36
≡(32)2
·32
≡-19×9≡-171
≡29( 100)
∴ 末二位数为29。
3、求(214928
+40)35
被73除所得余数。
解：(214928
+40)35
≡(3228
+40)35
≡[(32×32)14
+40]35
≡(102414
+40)35
≡
(214
+40)35
≡(210
×24
+40)35
≡(25
+40)35
≡7235
≡-1≡72( 73)
四、证明题 1、设a 1, a 2,
, 是模m 的完全剩余系，证明：
（1）当m 为奇数时，a 1+ a 2+ + ≡0（ m ）； （2）当m 为偶数时，a 1+ a 2+ + ≡2
m
（ m ）。
证明：因为{1, 2, , m }与{a 1, a 2,
, }都是模m 的完全剩余系，
所以
∑∑==+=
≡m
i m
i i m m i a 1
1
2
)
1(( m )。 （1）当m
为奇数时，Z m ∈+2
1
由即得：
2)1(+m m m ，故02
)
1(1
≡+=
∑=m
i i
m m a ( m )。 （2）当m 为偶数时，由（1）=1即得：2
2)1(1
m
m m a m
i i
≡+=
∑=( m )。 2、证明：若m ＞2，a 1, a 2,
, a
(m)
是模m 的任一简化剩余系，则
).(mod 01
m a
m i i
∑=≡）（?
证明：若a 1, a 2, , a
(m)
是模m 的一个简化剩余系，则1, 2, ,
(m)
也是模m 的一个简化剩余系，于是： ).(mod )()
(1
1
m a m a m i i m i i ∑∑==-≡??）（ 从而：
).
)(mod (21
m m m a m i i ??∑=≡）
（ 又由于m ＞2，(m )是偶数。故：
).(mod 02
1
m m m
a m i i ≡≡∑=）
（）（??
3、设m > 0是偶数，{a 1, a 2, , }与{b 1, b 2, , }都是模m 的完全剩
余系，证明：{a 1 b 1, a 2 b 2, , }不是模m 的完全剩余系。 证明：因为{1, 2, , m }与{a 1, a 2,
, }都是模m 的完全剩余系，
所以
∑∑==≡+=≡m
i m
i i m m m i a 1
1
2
2)1(( m )。 (1)
同理 ∑=≡
m
i i
m
b 1
2
( m )。 (2) 如果{a 1 b 1, a 2 b 2, , }是模m 的完全剩余系，那么
也有
∑=≡+m i i i m
b a 1
2)(( m )。
联合上式与式(1)和式(2)，得到 02
2
2
m m m ≡+≡( m )，
这是不可能的，所以{a 1 b 1, a 2 b 2, , }不能是模m
的完全剩余系。
4、证明：（1）2730∣x 13； （2）24∣x(2)(25x 2
-1)；
（3）504∣x 93
； （4）设质数p ＞3，证明：6p ∣。
证明：（1）因为2730=2×3×5×7×13，2,3,5，7,13两两互质，所以：
由x 13
(x 12
-1)≡0 ( 2)知：2∣x 13
；13∣x 13
；
由x 13
(x 12
-1)(x 2
-1)(x 2
+1)(x 84
+1)≡0 ( 3)知：3∣x 13
； 由x 13
(x 12
-1)(x 4
-1)(x 84
+1)≡0 ( 5)知：5∣x 13
； 由x 13
(x 12
-1)(x 6
-1)(x 6
+1)≡0 ( 7)知：7∣x 13
。 故有2730∣x 13
。
同理可证（2）、（3）、（4）。
初等数论练习题五
一、单项选择题
1、设x 、y 分别通过模m 、n 的完全剩余系，若（ C ）通过模的完全剩余系。
A. m 、n 都是质数，则
B. m ≠n ，则
C. （m ，n ）=1，则
D. （m ，n ）=1，则
2、1×3×5×…×2003×2005×2007×2009×2011标准分解式中11的幂指数是( A )。
A.100
B.101
C.99
D.102 3、n 为正整数，若21为质数，则n 是( A )。
A.质数
B.合数
C.3
D.2k
(k 为正整数) 4、从100到500的自然数中，能被11整除的数的个数是( B )。
A.33
B.34
C.35
D.36
5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是( C )。
A.100
B.10
C.40
D.4 二、填空题
1、同余方程≡0()有解的充分必要条件是()∣b 。
2、高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指设p 与q 是不相同的两
个奇质数， )()(2
121)
1(q
p p
q
q p -?--=
3、2012
2012
被3除所得的余数为_1。
4、设n 是大于2的整数，则(-1)?(n)
1。 5、单位圆上的有理点的坐标是)()(2
22
22
2
22222
22,,2b a ab b
a b
a b
a b a b a ab +±+-±+-±+±
或，其中
a 与b
是不全为零的整数。
6、若3258×a 恰好是一个正整数的平方，则a 的最小值为362。
7、已知2011是一素数，则??
?
??2011721_。
1、求32008
×72009
×13
2010
的个位数字。
解：32008
×72009
×132010
≡32008
×（-3）2009
×3
2010
≡-3
2008+2009+2010
≡-3
6027
≡-3×（32）
3013
≡3( 10)。
2、求满足()=(m )+(n )的互质的正整数m 和n 的值。
解：由（m ，n ）=1知，()=(m )(n )。于是有：
(m )+
(n )=
(m )(n ) 设
(m )，
(n )，即有：。 显然a ∣b ，且b ∣a ，因此。
于是由2a 2
得2，即
(m )=
(n )=2。 故 34或43。
3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这
三样东西共100斤，问各买几斤?
解：设买甲物x 斤，乙物y 斤，丙物z 斤，则
5x 3y
3
1
z = 100， x y z = 100。
消去z ，得到 7x
4y = 100。 (1)
显然x = 0，y = 25是方程(1)的解，因此，方程(1)的一般解是
?
?
?-==t y t
x 7254 ， t Z 因为x ＞0，y ＞0，所以 0＜t
3。
即t 可以取值t 1 = 1，t 2 = 2，t 3 = 3。相应的x ，y ，z 的值是
(x , y , z ) = (4, 18, 78)，(8, 11, 81)，(12, 4, 84)。
1、已知2011是质数，则有2011|32
1个
2010999???。 证明：32
1个
2010999???=102011
-1≡0 ( 2011)。
2、设p 是41型的质数，证明若a 是p 的平方剩余，则也是p 的平方剩余。
证明：因为质数41，a 是p 的平方剩余，所以
???? ??-p a p ???? ??-p a ???? ??-p 1?
??
? ??p a 2
1
)1(--p ???? ??p a 1 即：也是p 的平方剩余。
3、已知是两个不同的质数，且1
≡1 ( q), 1
≡1 ( p),
证明：≡a ( )。
证明：由是两个不同的质数知（p ，q ）=1。于是由定理 ≡a ( p),
又由题设1
≡1 ( p)得到：≡()p
≡ (1)p
≡≡a ( p)。 同理可证：≡a ( q)。故：≡a ( )。
4、证明：若都是正整数，则
()=（）
([])。
证明：易知与[]有完全相同的质因数，设它们为 (1≤i ≤k )，则
)1
1()11)(11(21k
p p p mn mn ---=Λ）
（? )1
1()11)(11](,[],[21k
p p p n m n m ---
=Λ）（? 又（）[]
故]),([),()1
1()11)(11](,)[,21n m n m p p p n m n m mn k
??=---=Λ（）
（。 类似的题：设1m 2，m 1与m 由相同的质因数，证明：(m)2(m 1)。
初等数论练习题六
一、填空题
1、为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2，3，5，…p 都不能整除2011，此时，质数p 至少是_43。
2、最大公因数(43,52)的可能值是_1,7。
3、设3α
∣40!,而3
α+1
|/40!，即3α
‖40!，则α18_。
4、形如31的自然数中，构成模8的一个完全系的最小那些数是
{1,4,7,10,13,16,19，22}。
5、不定方程x 222
,2, ()=1, >0的整数解是且仅是x = 2，y = a 2
b 2
，
z = a 2 b 2，其中a > b > 0，(a , b ) = 1，a 与b 有不同的奇偶
性。
6、21x ≡9 ( 43)的解是x ≡25 ( 43)。
7、??
?
??19973 = -1。
二、计算题
1、将105
17写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。
解：设75310517z
y x ++=，即35x 21y 15z = 17，因(35, 21) = 7，(7, 15) = 1，117，故有解。 分别解 5x
3y = t 7t 15z = 17
得 x = t 3u ，y = 2t 5u ，u Z ，
t = 11 15v ，z = 4 7v ，v Z ，
消去t 得 x =
11 15v 3u ，
y = 22 30v 5u ，
z = 4 7v ， u ，v Z 。
令u =0，v 1得到：x =4，y 8，3。即：7
35834105
17
+-+=
2、若3是质数p 的平方剩余，问p 是什么形式的质数？
解：∵ 由二次互反律??
?
???-=???
?
??-3)
1(32
1p p p ， 注意到p >3，p 只能为p ≡±1( 3)且?
??-≡??? ??11
3p )4(mod 1)4(mod 1-≡≡p p
∴
13=???
? ??p 只能下列情况???≡≡)(mod )(mod 4131p p ?
??-≡-≡)4(mod 1)
3(mod 1p p
∴ )(m od 121≡p 或)(m od 121-≡p 。 3、判断不定方程x 2
+2317是否有解？
解：只要判断x 2≡17( 23) 是否有解即可。
∵ 17≡1( 4) ∴ 13
2
317
173
173
172
176
1723
2317
-=??
?
??=??
? ?
?=??
? ?
?=??
? ?
???? ?
?=??
? ?
?=??
? ?
?=??
? ?
? ∴ x 2
≡17( 23)无解，即原方程无解。 三、论证题
1、试证对任何实数x,恒有〔x 〕+〔2
1〕=〔2x 〕
证明：设[x]+α,0≤α<1
①当0≤α< 2
1时, [x +2
1]=[x], [2x]=2[x] ∴等式成
立
②当2
1≤α< 1时, [x +2
1]=[x]+1, [2x]=2[x]+1 ∴等式
成立
故对任何实数x,恒有[x]+[2
1]=[2x]。
2、证明：（1）当n为奇数时，3∣（21）；
（2）当n为偶数时，3|/（21）。
证明：由21≡（-1）1（ 3）立得结论。
3、证明：（1）当3∣n（n为正整数）时，7∣（21）；
（2）无论n为任何正整数，7|/（21）。
证明：（1）设3m，则21=8m -1≡0（ 7），即：7∣（21）；
（2）由于23m ≡1（ 7）得
23m +1≡2（ 7），23m+1 +1≡3（ 7），23m+2 +1≡5（ 7）。
故无论n为任何正整数，7|/（21）。
4、设m＞0，n＞0，且m为奇数，证明：（2m-1，21）=1。
证明一：由m为奇数可知：21︱21，又有2m-1︱21，
于是存在整数使得：（21）21, (2m-1)21。
从而（21）(2m-1)2。这表明：
（2m-1，21）︱2
由于21，2m-1均为奇数可知：（2m-1，21）=1。
证明二：设（2m-1，21），则存在∈Z,使得2m1, 2n 1。由此得到：
2(1) n, 2=(1) m
于是 2+ 1– 1∈Z。所以：（q ）d =2。
从而d∣2，就有d =1或2。由因为m为奇数，所以d =1。
即（2m-1，21）=1。
注：我们已证过：记=2n 1，对于正整数a，b，有(, )= M(a, b) 。
显然当a≠b，为质数时，(, )=1。
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理)
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
初等数论 1 习题参考答案
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
初等数论第2版习题答案
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
0初等数论试卷及答案
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡
初等数论习题与答案、及测试卷
1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n 1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r ax by ax + +∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,
)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)
初等数论计算题答案
初等数论第三次作业 计算题 1. 求75与105的最大公因数。 解：因为75 = 3错误！未找到引用源。52，105 = 3错误！未找到引用源。5错误！未找到引用源。7， 所以75与105的最大公因数是15。 2. 求66与121的最大公因数。 解：因为66=6×11,121=11×11， 所以66与121的最大公因数是11 3．求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。 答；因为（3,4）= 1，所以不定方程有整数解。 观察知x = 3，y = 2是其一个整数解。 由公式知其一切整数解为???+=+=t y t x 3243，t 为整数。 4．求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。 答；因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。观察知其一个整数解是 0013 x y =??=-?。 于是其一切整数解为1237x t y t =+??=--? ，t 取一切整数。 5．解同余式3x ≡ 1 (mod 7)。 答；因为（3,7）= 1，所以同余式有解且有一个解。 由3x - 7y = 1得???+=+=t y t x 3275， 所以同余式的解为)7(mod 5≡x 6．解同余式3x ≡ 8 (mod 10)。
答；因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。由3108x y -=得 一个解00 61x y =??=?，所以同余式的解为6(mod10)x ≡。 7．解同余式28x ≡ 21 (mod 35)。 答：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解，且有7个解。同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5)，解4x ≡ 3(mod 5)得x ≡ 2(mod 5)，故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。 8．解同余式组： ???≡≡) 5(mod 2)3(mod 1x x 。 答；由)3(mod 1≡x 得13+=k x ，将其代入)5(mod 2≡x 得)5(mod 213≡+k ， 解得)5(mod 2≡k ，即25+=t k ， 所以715+=t x ，所以解为)15(mod 7≡x 。 9. 求不定方程3x + 2y = 2的一切整数解。 解：因为(3,2) = 1，所以不定方程有整数解。 显然1,0==y x 是其一个特解， 所以不定方程的一切整数解为错误！未找到引用源。，其中t 取一切整数。 10.解同余式)5(mod 14≡x 答；因为（4,5）= 1，所以同余式有解且有一个解。 由4x - 5y = 1得???+=+=t y t x 3275， 所以同余式的解为)7(mod 5≡x
初等数论试卷和答案
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?
初等数论复习题题库及答案
《初等数论》本科 一 填空题（每空2分） 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立
自考初等数论试题及答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
自考初等数论试题及答案
初等数论考试试卷 1 一、单项选择题（每题3分，共18分） 1、 如果 ba , ab ，则（）. A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ，则 15 （ ） n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b （modm ） , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（ ）? 2、 同余式ax b 0（modm ） 有解的充分必要条件是（）. 3、 如果 a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）. 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 （）. 6、如果a ,b 是两个正整数，则存在（）整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题（每题8分，共32分） 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0（mod45） . 429 4、 求563 ,其中563是素数.（8 分） 四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分） 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_(m )_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、?? ? ??10365 =-1。 · 9、若p 是素数，则同余方程x p 1 1(mod p )的解数为p-1。 二、计算题 1、解同余方程：3x 2 11x 200 (mod 105)。 解：因105 = 357， 同余方程3x 211x 200 (mod 3)的解为x 1 (mod 3)， 同余方程3x 211x 38 0 (mod 5)的解为x 0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2 11x 200 (mod 7)的解为x 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x b 1 (mod 3)，x b 2 (mod 5)，x b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， ( 由孙子定理得原同余方程的解为x 13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解 1 107421 7271071107713231071107311072107 7107310721077 32107422 1 10721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（） ）（）（（ ）（解：
初等数论复习题题库及答案
初等数论复习题题库及 答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
《初等数论》本科 一 填空题（每空2分） 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2, ,a b a b 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2() p = 21 8(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p .
02013自学考试初等数论模拟试题(含答案)
02013自学考试初等数论模拟试题（含答案） 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10; Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.
(0346)《初等数论》网上作业题及答案
（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业 2：第二次作业 3：第三次作业 4：第四次作业 5：第五次作业 1：[论述题]数论第一次作业 参考答案：数论第一次作业答案 2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a 参考答案：C 马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。 （1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。 （2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。 （3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。 （4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。 3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 参考答案：D数论第一次作业答案 4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b
C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 参考答案：C数论第一次作业答案 5：[单选题]-4除-39的余数是（）。 A：3 B：2 C：1 D：0 参考答案：C数论第一次作业答案 6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 参考答案：A数论第一次作业答案 7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 参考答案：D数论第一次作业答案 8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除
2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案
2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案 一 填空题（每空2分） 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod 7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立
