第一章 整数的可除性
§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3
定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则
1122n n q a q a q a ++
+是m 得倍数．
证明：
12
,,n a a a 都是m 的倍数。
∴ 存在n 个整数12,,
n p p p 使 1122,,
,n n a p m a p m a p m ===
又12,,
,n q q q 是任意n 个整数
1122n n
q a q a q a ∴++
+
1122n n q p m q p m q p m =+++
1122()n n p q q p q p m =++
+
即1122n n q a q a q a ++
+是m 的整数
2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明
(1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-
(1)(2)(1)(1)n n n n n n =+++-+ 又
(1)(2)n n n ++，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数
故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+
3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+
从而可知
3|(1)(21)n n n ++
3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++．
证：
,a b 不全为0
∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数
00ax by +
,x y Z ?∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+
则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =
00|ax by ax by ∴++
00|ax by ax by ++ （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ 又有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+ 故00(,)ax by a b +=
4．若a ，b 是任意二整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得
||,||2
b a bs t t =+≤
成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？ 证：作序列
33,,,,0,,,,
2222
b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间
即存在一个整数q ，使
1
22
q q b a b +≤<成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22
q q
s t a bs a b =
=-=-，则有 02222
b q q q
a bs t a
b a b b t ≤-==-=-<∴<
若0b < 则令,2
2
q q
s t a bs a b =-=-=+
，则同样有2b t <
()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11
,22
q q s t a bs a b ++=
=-=-，则有
若 0b <，则令11
,22
q q s t a bs a b ++=-
=-=+，则同样有2b t ≤
，综上所述，存在性得证．
下证唯一性
当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> 而111,22
b b
t t t t t t b ≤
≤∴-≤+≤ 矛盾 故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时
2
b
为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ?
=?+=?+-=≤
§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1
推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法
111222
11
1111,,,,,
0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b
---++-=+=+=+==≤<<
<<
∴(,)n a b r =
∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,
即d '是(,)a b 的因数。
反过来(,)a b |a 且(,)a b |b ，若|(,),d a b ''则|,|d a d b ''''，所以(,)a b 的因数都是,a b 的公因数，从而,a b 的公因数与(,)a b 的因数相同。
2．证明：见本书P2，P3第3题证明。
3．应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）．
解：有§1习题4知：
,,0,,,a b Z b s t Z ?∈≠?∈使,||2
b
a bs t t =+≤
。， 11,s t ∴?，使1112
||,||,,22t b b s t t t =+≤≤如此类推知：
21,,;n n n n n n s t t t s t --?=+ 11111,,;n n n n n n s t t t s t ++-++?=+
且1221
||||
||||
||22
22n n n n n t t t b t --+≤
≤≤≤
≤
而b 是一个有限数，,n N ∴?∈使10n t +=
1121(,)(,)(,)(,)(,)(,0)n n n n a b b t t t t t t t t t +∴=======，存在其求法为：
1
(,)(,)(,())a b b a bs a bs b a bs s =-=
---=
(76501,9719)
(9719,7650197197)(8468,97198468)(1251,846812516)(3,1)1
∴=-?=-=-?===
4．证明本节（1）式中的log log 2
b
n ≤
证：由P3§1习题4知在（1）式中有 12
1121022
22n n n n n n
r r r b
r r --+-=<≤
≤≤≤
≤
，而1n r ≥ 1,22n
n
b b ∴≤
∴≤， 2
log log log 2b n b ∴≤=，即log log 2b n ≤ §3 整除的进一步性质及最小公倍数
1．证明两整数a ，b 互质的充分与必要条件是：存在两个整数s ，t 满足条件1ax bt +=． 证明 必要性。若(,)1a b =，则由推论1.1知存在两个整数s ，t 满足：(,)as bt a b +=，
1as bt ∴+=
充分性。若存在整数s ，t 使as+bt=1，则a ，b 不全为0。 又因为(,)|,(,)|a b a a b b ，所以(,|)a b as bt + 即(,)|1a b 。 又(,)0a b >，(,)1a b ∴= 2．证明定理3 定理3 [][]1212,,||,||,||n n a a a a a a =
证：设121[,,
,]n a a a m =，则1|(1,2,,)i a m i n =
∴1|||(1,2,,)i a m i n =又设122[||,||,
,||]n a a a m =
则21|m m 。反之若2|||i a m ，则2|i a m ，12|m m ∴ 从而12m m =，即12[,,,]n a a a =122[||,||,,||]n a a a
3．设1110n n n n a x a x a x a --++
++ （1）
是一个整数系数多项式且0a ，n a 都不是零，则（1）的根只能是以0a 的因数作分子以n a 为
不是有理数．
证：设（1）的任一有理根为
p
q
，(,)1,1p q q =>。则
111
0()()0n n n n p p
p
a a a a q q q
--++++= 111100n n n n n n a p a p q a pq a q ---++
++= （2）
由11110(2)n n n n n n a p a p q a pq a q ----=+
++，
所以q 整除上式的右端，所以|n n q a p ，又(,)1,1p q q =>， 所以(,)1,|n n q p q a =∴； 又由（2）有11110n n n n n n a p a p q a pq a q ---++
+=-
因为p 整除上式的右端，所以0|n P a q ，(,)1,1p q q =>，所以(,)1, |n n q p p a =∴ 故（1）的有理根为
p
q
，且0|,|n p a q a 。
220x x =∴-=，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是
1,2±±为无理数。
=
,p
q
(,)1,1p q q =>，则2
222222222,2,(,)(2,)1p q p p q q p q q
=∴=∴==>
但由(,)1,1p q q =>知22(,)1p q =不是有理数。 §4 质数·算术基本定理 1．试造不超过100的质数表 解：用Eratosthenes 筛选法
（110=a
（2）10内的质数为：2，3，5，7
（3）划掉2，3，5，7的倍数，剩下的是100内的素数 将不超过100的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2．求82798848及81057226635000的标准式．
解：因为8|848，所以38|,827988488103498562A A B ==?=?， 又8|856，所以8|B ，3812937322B C =?=?， 又4|32，所以4|C ，243234332C D =?=?
又9|（3+2+3+4+3+3），所以9|D ，29359373D E =?=?， 又9|（3+5+9+3+7），所以9|E ，93993E =? 又3399331331311=?=? 所以8532311A =；
同理有3343281057226635000235711172337=???????。 3．证明推论3.3并推广到n 个正整数的情形． 推论3.3 设a ，b 是任意两个正整数，且
1212n
n a p p p ααα=??
?，0i α≥，1,2,
,i k =， 12
12n
n b p p p βββ=???，0i β≥，1,2,
,i k =，
则1212(,)k k a b p p p γγγ=???，12
1
2[,]k
k a b p p p δδδ=???，
其中min(,)i i i γαβ=，min(,)i i i δαβ=，1,2,,i k =
证：
min(,)i i i γαβ=，∴0,0i i i i γαγβ≤≤≤≤
∴ |,|i i i i i i i i p p p p γαγβ (1,2)i k =
∴
1
1
i
i
k
k
i
i i i p p γα==∏∏，1
1
i
i k
k
i
i i i p p γβ==∏∏. ∴ 12
12|(,)k k p p p a b γγγ，又显然12
12(,)|k
k a b p p p γγγ
∴ 121
2(,)k k p p p a b γγγ=，同理可得1212
[,]k
k p p p a b δδδ=，max{,}i i i δαβ=
推广
设11112
112
k k a p p p βββ=,22122
212k k a p p p βββ=,12
12,n n nk n k a p p p βββ=
(其中j p 为质数1,2,
,,i j k a =为任意n 个正整数1,2,,,0ij i n β=≥)， 则
12
12
121(,,
,),min{},
1,2,,i i ik
k n ij ij i n
p p p a a a j k γγγγβ≤≤===
12
12121[,,,],max{},1,2,
,i i ik
k n ij ij i n
p p p a a a j k δδδδβ<<===
4．应用推论3.3证明§3的定理4（ii ）
证：设12
11
1
212
k k
k k a p p p b p p p αβααββ==，，
其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数，有
11
11
12
12
(,)min{,}1[,]max{,}1k k
k i i i k i i i a b p p p i k a b p p p i k λλλμμμλαβμαβ==≤≤==≤≤，，，，，。
由此知(a , b )[a , b ] =
min{,}max{,}1
1
1
i i
i i i i i i k
k
k
i
i
i i i i p p
p λμαβαβαβ+++=====∏∏∏=ab ；从而有[,](,)
ab
a b a b =
． ５．若n 21+是质数（n>1），则n 是2的方幂． 证：（反证法）设2(k n l l =为奇数）， 则2222
(1)
2(2)2121(2)1(21)[221]k
k
k
k
k
n l l l l ??-?-+=+=+=+-+
+
∵ 22121(2)121k k
l n <+<+=+， ∴ 21n +为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂． §5 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 1．求30！的标准分解式．
解：30内的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
22345303030303022222α??????????
=+++++
????????????????????
15431023=++++=
3234303030303333α????????
=++++
????????????????1031014=+++=
5233030306107555α??????
=+++
=++=????????????
72303040477α????
=++
=+=????????，11230302021111α????
=++
=+=????????
13230302021313α????
=++
=+=????????，13230302021313α????
=++
=+=????????
17230301011717α????=++
=+=????????
，191923291αααα====
∴ 2314542230!2357111317192329=????????? 2．设n 是任一正整数，α是实数，证明：
(i) [][]n n αα??=????
(ii) [][]11n n n n αααα-????
+++???++=????????
证：(i)设[]m α=.则由性质II 知1m m α≤<+,
所以 nm n nm n α≤<+, 所以[]nm n nm n α≤<+，所以[]
1n m m n
α≤
<+，又在ｍ与ｍ+１之间只有唯一整数ｍ，所以[]
[
][]n m n
αα==． (ii) [证法一]设
1{},0,1,2,,1k k k n n n
α+≤<=-,
则{}1,[][]k n k n n k ααα≤<+∴=+ ①当1i k n +≤-时,1{}1,[][]i k i i
n n n ααα+++
<≤+= ; ②当i k n +≥时,2{}1,[][]1i k i i n n n
ααα+>+
≥≥+=+; 111
00
11
[][][]
1[][][]()[]([]1)[]n n k n i i i n k n n n
i i
n n n n k k n k ααααααααα----=-=--∴+++++=+=+++=-++=+∑∑∑
1
[][]n i i
n n αα-=∴+=∑
[证法二] 令1
()[][]n i i f n n ααα-==
+-∑, 10
11()[][1]()n i i f n f n n αααα-=++=+-+≡∑
10
11()[][1]()n i i f n f n n αααα-=++=+-+≡∑
()f α∴是以
1
n
为周期的函数。
又当[0,1),()000,,()0f R f αααα∈=-=∴∈≡时，
即
1
1
[][]n i n n αα-=+=∑。
[评注]：[证一]充分体现了 常规方法的特点，而[证二]则表现了较高的技巧。 3．设α，β是任意二实数，证明： (i) [][][]αβαβ-=-或[]1αβ-+ (ii) [2][2][][][]αβααββ+≥+++ 证明：（i ）由高斯函数[x]的定义有
[],[],01;01r s r s ααββ=+=+≤<≤<。则
[][],1r s r s αβαβ-=-+--< 当0,[][][]r s αβαβ-≥-=-时 当0,[][][]1r s αβαβ-<-=--时
故 [][][][]1[][]αβαβαβαβ-=--+=-或 （ii ）设[],[],0,1x y x y ααββ=+=+≤<， 则有0{}{}2x y αβ≤+=+< 下面分两个区间讨论：
①若01x y ≤+<，则[]0x y +=，所以[][][]αβαβ+=+，所以
[2][2]αβ+=[2[]2][2[]2]x y αβ+++=2[]2[]2([][])x y αβ+++2[]2[]αβ≥+=[][][][]αββα+++=[][][]ααββ+++
②若12x y ≤+<，则[]1x y +=，所以[][][]1αβαβ+=++。 所以
1
[2][2][2[]2][2[]2]
2[]2[]2([][])
2[]2[]2([][1])
[][][][]22([][])
2[]2[]1
[][][]
x y
x y
x y
x x
x x
αβαβ
αβ
αβ
αββα
αβ
ααββ
≥-
+=+++
=+++
≥+++-
←???→
=++++++-
≥++
=+++
（ii）（证法2）由于α，β对称，不妨设{}{}
αβ
≥
[2][2][2([]{})][2([]{})]
αβααββ
+=+++
2[]2[][2{}][2{}]
αβαβ
=+++
2[]2[][{}{}]
αβαβ
≥+++
[][]([][][{}{}])
αβαβαβ
=+++++
[][][[]{}[]{}]
αβααββ
=+++++
[][][]
ααββ
=+++
4. (i) 设函数错误!未找到引用源。在闭区间Q x R
≤≤上是连续的，并且非负，证明:和式表示平面区域Q x R
≤≤，0()
y f x
<≤内的整点（整数坐标的点）的个数.
(ii) 设p，q是两个互质的单正整数，证明：
(iii) 设错误!未找到引用源。，T是区域错误!未找到引用源。内的整点数，证明：(iv) 设错误!未找到引用源。，T 是区域错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。 内的整点数，证明：
证明：(略)
5. 设错误!未找到引用源。任一正整数，且错误!未找到引用源。，p 是质数，错误!未找到引用源。，证明：在错误!未找到引用源。的标准分解式中，质因数p 的指数是
其中错误!未找到引用源。.
证明：在错误!未找到引用源。的标准分解式中，质因数p 的指数有限，即
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
所以
而
第二章 不定方程 §2．1 习题
1、解下列不定方程 )1525100a x y += 630360306)=-y x b
解：)a 原方程等价于：3520x y += 显然它有一个整数解 0010,2x y ==- ，
故一般解为 105(0,1,2,)23x t
t y t =-?=±±?
=-+?
)b 原方程等价于：172035x y -= 显然它有一个整数解 00735,635x y =-?=-?
故一般解为 73520(0,1,2,)63517x t
t y t
=-?+?=±±?
=-?+?
2、把100分成两份，使一份可被7整除，一份可被11整除。 解：依题意 即求 711100x y += 的正整数解，解得 008,4x y ==
一般解是： 811(0,1,)47x t
t y t
=-?=±?
=+?
但除 0t =外无其他正整数解，故有且只有 1005644=+ 3、证明：二元一次不定方程 ,0,0,(,)1ax by N a b a b +=>>= 的非负整数解为 N ab ?????? 或 1N ab ??
+????
证明：当0N <时，原方程没有整数解，而 10N ab ??
+≤????
故命题正确
当0N =时，原方程有且只有一个非负整数解 ()0,0 而 0N ab ??=???? 11N ab ??
+=????
因为 (),1a b = 所以
原方程有整数解 (){}{}100011021,,(1),,,(1),,n n n n x y y q q N x q q N ---=-=-
其中
[]123,,,,n a
q q q q b
=，由于0a b >>，故00,x y 中一正一负，可设0,0x y >≤
原方程的一般解是：()000,1,
x x bt
t y y at =-?=±?
=+?
要求00000,0x y
x bt y at t b a
-≥+≥?
≥≥-， 仅当 0y a -
是整数时，才能取 0y t a ??=-???? ，否则 0y t a ??
>-????
故这个不等式的整数解个数T 是 ：
当是整数时 000011x y x y T b a b a ????????
=--+=++????????????????
因而 001x y N N T ab b a ab ????????
=+?=+????????????????
当
0y a 不是整数时 00001x y x y T b a b a ????????=--=++????????????????
因而 00001x y b a N ab x y b a ?????
+?????
???????=?????????
?++?????????
? 所以 ()m ?
证明2：二元一次不定方程ax + by = N 的一切整数解为00x x bt
y y at =-??=+?
，t ∈Z ，于
是由x ≥ 0，y ≥ 0得00y x t a b -≤≤，但区间00,[]y x a b -的长度是
N
ab
，故此区间内的整数个数为
[][]N N ab
ab
或+ 1。
：
4、证明：二元一次不定方程 ,(,)1,1,1ax by N a b a b +==>>，当 N ab a b >-- 时有非负整数解，N ab a b === 则不然。
证明：先证后一点，当 N ab a b =--时，原方程有非负整数解 ()00,x y 则12(,).d m m =
00001,11,1,1,1b x a y x bk y ah k h ?++?+=+=≥≥
(),2ab k h ab k h ?+=+≥，这是不可能的。
次证，当N>ab-a-b 时，因(a ，b)=1，故原方程有整数解（x 0，y 0），一般解是{
00(0,1,)
x x bt
y y at
t =-=-=±要求x 0-bt ≥0，y 00at -≥00y x
t a b
?-
≤≤会证明存在满足这个不等式的整数0t t =可取使00(0)x bt r r b =+≤<于是对于这个0t 有：
0011x b x bt r b t b
-+-=≤-?≥
而
0000000
000111
(1)()()()1
0a y at y x b by ax ab a N ab a ab a b ab a b b b b
y
y at t a
+≥+-++-+=-+>---+=-∴+≥?≥-这就证明了当N ab a b >--时，原方程有非负整数解． 1．证明定理2推论。
推论 单位圆周上座标都是有理数的点（称为有理点），可以写成
2222
2222222222,,()()ab a b a b ab a b a b a b a b
--±±±±++++或 的形式，其中a 与b 是不全为零的整数。
证明：设有理数l n
x y m m
=
=，（m ≠ 0）满足方程x 2 + y 2 = 1，即l 2 + n 2 = m 2，于是得l = ±2abd ，n = ±(a 2 - b 2)d ，m = ±(a 2 + b 2)d 或l = ±(a 2 - b 2)d ，m = ±2abd ，
m = ±(a 2 + b 2)d ，由此得(x , y ) =2222
2
2222222
22,,()()ab a b a b ab
a b a b a b a b
--±±±±++++或。反之，代入方程x 2 + y 2 = 1即知这样的点在单位圆周上。
2．求出不定方程2223,(,)1,0,0,0x y z x y x y z +==>>>的一切正整数解的公式。 解：设不定方程2223x y z +=,(,)1x y =有解则 (1)3/z-x 或3/z+x 因为2223()()y z x z x z x =-=-+
?3/()()3/z x z x z x -+?-或3/z+x
()()2
2
22
2
3333/3/z x z x
z x z x z x z x
y y
y x
z +-+=?
=?-=+?
+-或者得或
以下不妨设3/z x +
②(),1x z =， 设 2
2
2
(x,z)d,d/x,d/z d/3
,y x z =?=-则
2
2
2
,3/,9/,9/9/33/d y y x z ???若 ()3/,x y ?与(),1x y =矛盾!
这样()(
)
2
2
2
3,1/
//3d d d y
y
y d
=??而()//,1d x d x y d ??=
③(),12z x z x +-=或， (),/()()2t z x z x t z x z x x =+-?+--=设，
()/()()2/2.22t z x z x z t x z ++-=?= 即 12t t ==或
④若
(),1,,1,3z x z x z x z x +??
+-=-=
???
则 ()()()2
2
33
z x
z x z x z x y y
+=+-?
=
?-从而 由引理可设
2,3
z x a +=2
,z x y ab b -== 从而≡ ， 为证得,x z 为整数， (),1,x z = 必须有a ， b 均为奇数，且2
2
3a
b >
⑤若(),2,1,12262z x z x z x z x z x z x +-+-????
+-=?=?=
? ?????
()()2
2
3262y z x z x z x z x y
+-??
=+-?=?
???
从而 设
222222
,,,3,2,3622
z x z x y ab x y ab z a b a b a b +-====-==+即， 其中,a b 为一奇一偶，且有(),1
a b =
4．解不定方程：x 2 + 3y 2 = z 2，x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。
解：设(z - x , z + x ) = d ，易知d = 1或2。由(z - x )(z + x ) = 3y 2得z - x = 3da 2，z + x = db 2，y = dab 或z - x = db 2，z + x = 3da 2，y = dab ，a > 0，b > 0，(a , b )
= 1。(ⅰ) 当d = 1：2222
|3|322
b a b a x y ab z -+===，，，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1，3|/b ，a , b 同为奇数； (ⅱ) 当d = 2：x = |b 2 - 3a 2|，y = 2ab ，z = b 2 + 3a 2，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1，3|/
b ，a , b 一奇一偶。反之，易验证(ⅰ)或(ⅱ)是原
不定方程的解，且x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。 3．证明不等式方程
()2
2
4
,,1,0,0,/x y x y z x y x z +
==>>的一切正整数解．
可以写成公式: 2
24(
),x ab a
b =-y =∣442
2
6a b a
b
+-∣，2
2
z a
b =
+
其中()0,0,,1,,a b a b a b >>=一单一双 证明:由定理1知道原方程的解是2
222
2,,,x cd y z c
d c d ==
-=+
()0,,1c d c d >>=， 且c ， d 为一奇一偶，
其中，()2
2
2,,0,,1c ab d a b a b a
b ==->>=， 且a ， b 为一奇一偶．
所以2
2
4(
),x ab a
b =-y =∣4
4
2
2
6a b a
b
+-∣，2
2
z a
b =
+是原方程的正整数解
()2
2
(0,0,0,,1,2/,x y z x y x a b >>>=+且是奇数，
原方程正整数的解有:
()000,，
，()2
0,a a ±±，
，()2
,0,a a ±±()2
2
4
4
2
2
2
2
4(),(6),()ab a b a b a b a b ±-±+-±+，()4
4
2
2
2
2
2
2
(6),4(),(),ab a b a b a b a b ±+-±-±+
6．求方程x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2∣x 的正整数解。
解：设x ，y ，z 是x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2∣x 的正整数解，则x = 2ab ，y = a 2 - b 2，z 2 = a 2 + b 2，a > b > 0，(a , b ) = 1，a , b 一奇一偶， 再由z 2 = a 2 + b 2得a = 2uv ，b = u 2 - v 2， z = u 2 + v 2 或 a = u 2 - v 2，b = 2uv ， z = u 2 + v 2， u > v > 0，(u , v ) = 1，u , v 一奇一偶，于是得x = 4uv (u 2 - v 2)，y = |u 4 + v 4 - 6u 2v 2|，z = u 2 + v 2，u > v > 0，(u , v ) = 1，u , v 一奇一偶。反之，易验证它是原不定方程的整数解，且x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1，2∣x 。
其中正负号可任意选取． 第三章 同余
ξ1同余的概念及其基本性质
1、 证明（i ）若1
k
ααA ≡1k
α
αB (modm)
x i ≡y i (modm)、i=1，2，、、、，k 则
1
1
1
11,,1
1,,1,,
k k k k
k
k
k x
x y y ααααααααααα
α
A ≡
B ∑∑(modm)
特别地，若i i a b ≡（modm ），i=0，1，
,n 则
111010n n n n n n n n a x a x a b x b x b ----++≡++
+（modm ）
(ii)若a ≡b(modm)，k 0,(mod ),ak bk mk >≡
（iii ）若a ≡b(modm)，d 是a ，b 及m 的任一正公因数，则(mod ),a b m
b d d
≡ (iv)若a ≡b(modm)，,0.d m d > 则a ≡b(modd)． 证明 ：（i ）据性质戊，由(mod ),1,2,,.i i x y m i k ≡=
得(mod ),1,2,,,i i i i x y m i k αα≡=
进一步，则
1
1
1
1
11
(mod )k
k
k k k k x x B y y m α
ααααααααA ≡
最后据性质丁，可得：
1
1
1
11,,1
1,,1,,
k k k k
k
k
k x
x y y ααααααααααα
α
A ≡
B ∑∑（modm ）
(ii) 据定理1，a ≡b(modm),m a b ?-
0,()k mk k a b ka kb >∴-=-
又据定理1，即得(mod ).ka kb mk ≡
（iii ）据定理1， a ≡b(modm) ,m a b ?-即a-b=ms(s ∈z)
,,,0,a b m d a b m d s d d ->∴
=，即,a b m
s d d d -=? 仍据定理1，立得(mod ),a b m
b d d ≡
(iv) 据定理1， a ≡b(modm),(),a a ms s z ?-=∈
又
,,,d m m dt t z ∴=∈
故(),,a b ms d st st z -==∈
(mod ).a b d ∴≡
2、设正整数1101010,010n n n n i a a a a a --=++
≤<
试证11整除的充分且必要条件是11整除
1
(1).i
n
i
i a =-∑
证明 ：101(mod11),≡-∴由上题(i)的特殊情形立得
1101010n n n n a a a a --=++≡110(1)(1)(mod11)n n n n a a a ---+-+
(1)(mod11),n
i i i a a =≡-∑
1111
(1)i
n
i
i a a =∴?-∑．
3．找出整数能被37，101整除有判別条件来。 解：10001(mod37)≡
故正整数11010001000,01000k k k k i a a a a a --=++≤<
立得0
3737
.k
i i a a =?∑
1001(mod101).≡-
故设正整数110100100,0100's s s s i a b b b b --=++≤<，
立得0
101101
(1).s
i i
i a b =?-∑
4、证明641｜3221+ 证明：∵()82256mod641≡
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
大学电磁学习题1 一.选择题(每题3分) 1、如图所示,半径为R 的均匀带电球面,总电荷为Q ,设无穷远处的电势 为零,则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小与电势为: (A) E =0,R Q U 04επ= . (B) E =0,r Q U 04επ=. (C) 204r Q E επ=,r Q U 04επ= . (D) 204r Q E επ=,R Q U 04επ=. ［ ］ 2、一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O + 2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的: (A) 2倍. (B) 22倍. (C) 4倍. (D) 42倍. ［ ］ 3、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ,S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ,则通过半球面S 的磁通量(取弯面 向外为正)为 (A) πr 2B . 、 (B) 2 πr 2B . (C) -πr 2B sin α. (D) -πr 2B cos α. ［ ］ 4、一个通有电流I 的导体,厚度为D ,横截面积为S ,放置在磁感强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于导体的侧表面,如图所示.现测得导体上下两面电势差为V ,则此导体的 霍尔系数等于 (A) IB VDS . (B) DS IBV . (C) IBD VS . (D) BD IVS . (E) IB VD . ［ ］ 5、两根无限长载流直导线相互正交放置,如图所示.I 1沿y 轴的正方向,I 2沿z 轴负方向.若载流I 1的导线不能动,载流I 2的导线可以 自由运动,则载流I 2的导线开始运动的趋势就是 (A) 绕x 轴转动. (B) 沿x 方向平动. (C) 绕y 轴转动. (D) 无法判断. ［ ］ y z x I 1 I 2
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
一、填空题（每小题2分，共20分） 1、 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为η，则离这带电线的距离分别为1r 和2r 的两点之间的电势差是（ ）。 2、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的 空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷， 如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的 场强（ ）。 3、在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势（ ）。 4、有三个一段含源电路如图所示， 在图（a ）中 AB U =( )。 在图（b ）中 AB U =( )。 在图（C ）中 AB U =( )。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、在磁感应强度为B 的水平方向均匀磁场中，一段质量为ｍ，长为Ｌ的载流直导线沿 竖直方向从静止自由滑落，其所载电流为Ｉ，滑动中导线与B 正交，且保持水平。则导线 下落的速度是（ ） 7、一金属细棒OA 长为L ，与竖直轴OZ 的夹角为θ，放在磁感 应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向如图所示，细棒以角速度ω 绕OZ 轴转动（与OZ 轴的夹角不变 ），O 、A 两端间的电势差 （ ）。 8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S 为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。 9、 B H r μμ= 01 只适用于（ ）介质。 10、三种理想元件电压电流关系的复数形式为（ ）， （ ）， （ ）。 一、选择题（每小题2分，共20分） 1、在用试探电荷检测电场时，电场强度的定义为：0q F E = 则（ ） （A ）E 与q o 成反比 B ) (a A 2 R R r B ) (c A B r ()b R I O A
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
一、单选题 1、如果通过闭合面S的电通量 e 为零，则可以肯定 A、面S内没有电荷 B 、面S内没有净电荷 C、面S上每一点的场强都等于零 D 、面S上每一点的场强都不等于零 2、下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低B、沿电场线方向电势逐渐升高 C、沿电场线方向场强逐渐减小 D、沿电场线方向场强逐渐增大 3、载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向v 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B、有逆时针方向的感应电 C、没有感应电流 D、条件不足，无法判断 4、两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为和， 则 P 点处的场强为 A、 B 、 C 、2 D、 0 P 2000 5、一束粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 12 A、曲线 1 B、曲线 23 C、曲线 3 D、无法判断 6、一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止B、顺时针转动C、逆时针转动D、条件不足，无法判断 7q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 、点电荷 A 、0 B 、q q D 、 q C、 6 0400 8、长直导线通有电流I 3 A ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所I 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动B、线圈向右运动 C、线圈向上运动 D、线圈向下运动 9、关于真空中静电场的高斯定理 E dS q i，下述说法正确的是： S0 A.该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B.q i是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的 E 一定是电荷q i激发的；
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理.
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡
《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 第 5 节 1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。 2. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 内没有电荷 B 、面S 内没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说法正确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ - P 3 I
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
一、选择题：（每题3分） 1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2 r 2B ． (B) r 2B ． (C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］ 2、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为 ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) r 2B ． (B) 2 r 2B ． (C) - r 2B sin ． (D) - r 2B cos ． ［ D ］ 3、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 (A) 0.90． (B) 1.00． (C) 1.11． (D) 1.22． ［ C ］ 4、如图所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度 (A) 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内． (B) 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外． (C) 方向在环形分路所在平面，且指向b ． (D) 方向在环形分路所在平面内，且指向a ． (E) 为零． ［ E ］ 5、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状， 则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． ［ D ］ 6、边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I (其中ab 、cd 与正方 形共面)，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为 (A) 01 B ，02 B ． (B) 01 B ，l I B 0222 ． (C) l I B 0122 ，02 B ． a
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?
大学电磁学习题1 一．选择题（每题3分） 1.如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为： (A) E =0，R Q U 04επ= ． (B) E =0，r Q U 04επ= ． (C) 204r Q E επ= ，r Q U 04επ= ． (D) 204r Q E επ= ，R Q U 04επ=． ［ ］ 2.一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O +2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的： (A) 2倍． (B) 22倍． (C) 4倍． (D) 42倍． ［ ］
3.在磁感强度为B ?的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在 平面的法线方向单位矢量n ?与B ? 的夹角为? ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B ． . (B) 2??r 2B ． (C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． ［ ］ 4.一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示．现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于 (A) IB VDS ． (B) DS IBV ． (C) IBD VS ． (D) BD IVS ． (E) IB VD ． ［ ］ 5.两根无限长载流直导线相互正交放置，如图所示．I 1沿y 轴的正方向，I 2沿z 轴负方向．若载流I 1的导线不能动，载流I 2的导线可以自由运动，则载流I 2的导线开始运动的趋势 ? y z x I 1 I 2
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,
)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)
长沙理工大学考试试卷 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： （Ａ）如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷。 （Ｂ）如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零。 （Ｃ）如果高斯面上E 处处不为零，则该面内必有电荷。 （Ｄ）如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零 （E ）高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。 [ ] 2. 在已知静电场分布的条件下，任意两点1P 和2P 之间的电势差决定于： （Ａ）1P 和2P 两点的位置。 （Ｂ）1P 和2P 两点处的电场强度的大小和方向。 （Ｃ）试验电荷所带电荷的正负。 （Ｄ）试验电荷的电荷量。 [ ] 3. 图中实线为某电场中的电力线，虚线表示等势面，由图可看出： （Ａ）C B A E E E >>，C B A U U U >> （Ｂ）C B A E E E <<，C B A U U U << （Ｃ）C B A E E E >>，C B A U U U << （Ｄ）C B A E E E <<，C B A U U U >> [ ] 4. 如图，平行板电容器带电，左、右分别充满相对介电常数为ε1与ε2的介质， 则两种介质内： （Ａ）场强不等，电位移相等。 （Ｂ）场强相等，电位移相等。 （Ｃ）场强相等，电位移不等。 （Ｄ）场强、电位移均不等。 [ ] 5. 图中，Ua-Ub 为： （Ａ）IR -ε （Ｂ）ε+IR （Ｃ）IR +-ε （Ｄ）ε--IR [ ] 6. 边长为a 的正三角形线圈通电流为I ，放在均匀磁场B 中，其平面与磁场平行，它所受磁力矩L 等于： （Ａ） BI a 221 （Ｂ）BI a 234 1 （Ｃ）BI a 2 （Ｄ）0 [ ]