2009-2010学年度第一学期期末考试
初三年级数学试卷
考试时间:90分钟 试卷满分:120分
说明:1、试卷满分为120分,在90分钟内完成,考生应根据情况安排好答卷时间
2、在答题卷上答题要用钢笔或圆珠笔书写,密封线外不得写考生姓名、班级等。
3、考试结束后请将试卷、答题卷按顺序整理好一并交回。
一、选择题(共10小题,每题3分,共30分.每小题给出的A 、B 、C 、D 四个结论中有且只有一个是正确的,选出答案后,请将正确答案写在答卷的表格内,写在本试卷上的答案无效.) 1.下列运算结果是负数的是( ▲ )
A -5-
B (5)--
C ()2
5- D 25- 2.在ABC ?中,A ∠、B ∠都是锐角,且1
sin 2
A =
,tan 3B =,则ABC ?的形状是( ▲ ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 不能确定
3.已知1-=x 是一元二次方程210x mx +-=的一个根,则m 的值是( ▲ )
A 0
B 1
C 2
D -2
4.如图,四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形,动点P 在ABCD 的边上沿A B C D →→→的路径以
1cm/s 的速度运动(点P 不与A D ,重合)在这个运动过程中,APD △的面积2(cm )S 随时间()t s 的变
化关系用图象表示,正确的为( ▲ )
5.矩形面积为4,长y 是宽x 的函数,其函
数图像大致是( ▲ )
6.随着计算机技术的迅猛发展,电脑价格不断降低,某品牌电脑按原售价降低m 元后,又降低20%,现售价为n 元,那么该电脑的原售价为( ▲ )
A 元)54(m n +
B 元)5(m n +
C 元)5(n m +
D 元)4
5
(m n +
7.方程5)3)(1(=-+x x 的解是( ▲ )
A 3,121-==x x
B 2,421-==x x
C 3,121=-=x x
D 2,421=-=x x
8.一个点到圆周的最小距离为4cm ,最大距离为9cm ,则该圆的半径是( ▲ )
A 2.5 cm 或6.5 cm
B 2.5 cm
C 6.5 cm
D 5 cm 或13cm
9. 如图,在平面直角坐标系中,OABC 是正方形,点A 的坐标是(4,0),点P 为边AB 上一点,∠CPB =60°,沿CP 折叠正方形,折叠后,点B 落在平面内点B '处,则B '点的坐标为( ▲ ).
(第4题图) A
O
1 2 3 4 5 6
s 1 2 B. O
1 2 3 4 5 6
s 1 2 C.
O 1 2 3 4 5 6 s 1
2 D.
O
1 2 3 4 5 6 s 1
2 y
A (2,
32) B (23
,32-)
C (2,324-)
D (2
3
,324-)
10.如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?
到正方形AB C D ''',则它们的公共部分的面积等于( ▲ ).
A 313-
B 3
14
-
C 12
D 33
二、填空(共10小题,每题3分,共30分上的答案无效.)
11.16的算术平方根是 ▲ 。
12. 温家宝总理有句名言:“多么小的问题乘以13亿都会变得很大;多么大的经济总量除以13亿都会变得
很小。”将1 300 000 000用科学记数法表示为: ____▲ 。
13. 在函数1
2x y x -=
-中,自变量x 的取值范围为 ▲ 。 14.将4个数a b c d ,,,排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成a b
c d
,
定义a b c d
ad bc =-,上述记号就叫做2阶行列式.若1111x x x x +--+ 6=,
则x = ▲ 。
15. 如右图,△ABC 内接于圆,D 为弧BC 的中点,
∠BAC=50°,则∠DBC 是 ▲ 度
16. 如图,两建筑物AB 和CD 的水平距离为30米,从A 点测得D 点的俯角 为30°,测得C 点的俯角为60°,则建筑物CD 的高为 ▲ 米。
(第16题图)
17. 如图,两个反比例函数 6y x = 和 3
y x
=在第一象限内的图象依次是C 1和C 2,设点P 在C 1上,PC ⊥x 轴
于点C ,交C 2于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交C 2于点B ,则四边形PAOB 的面积为 ▲ 。
18. 二次函数5422+-=x x y 的顶点坐标是 ▲ 。
19. 已知,如图:在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为A
(10,0)、C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 边上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为 ▲ 。
A B
C D
B ' D '
C '
第10题图
A B C
(第17题图)
19
20. 把边长为3的正三角形各边三等分,分割得到图①,图中含有1个边长是1的正六边形;
把边长为4的正三角形各边四等分,分割得到图②,图中含有3个边长是1的正六边形; 把边长为5的正三角形各边五等分,分割得到图③,图中含有6个边长是1的正六边形;
…依此规律,把边长为7的正三角形各边七等分,并按同样的方法分割,得到的图形中含有 ▲ 个边长是1的正六边形.
(第20题图)
2009-2010学年度第一学期期末考试
初三年级数学答卷
考试时间:90分钟 试卷满分:120分
一、选择题:请将正确答案写在下列表格内(30分)
二.填空题:请将正确答案写在下列横线内(30分)
11. 12. 13.
14. 15. 16.
17. 18. 19.
20.
三.解答题(本题共8小题,共60分)
…
图①
图②
图③
21.(本题满分6分)先化简:22
42
26926
a a a a a --÷++++, 再选一个使原式有意义的数代入求值。
解:
22.(本题满分6分)解分式方程:
225711x x x x x
-+=-- 解:
23.(本题满分7分)如图,已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A B ,两
点,且点A 的横坐标为4.
(1)求k 的值;
解:
(2)若双曲线(0)k
y k x
=>上一点C 的纵坐标为8,求AOC △的面积; 解:
(3)过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x
=>于P Q ,两点(P 点在第一 象限),若AOP △的面积为6,求点P 的坐标.
解:
24.(本题满分7
分)某班为开展“迎冬奥会”的主题班会活动,派了两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品.已知该超市的甲种钢笔每支8元,乙种钢笔每支
4.8元,他们要 购买这两种钢笔共40支.
(1
)如果两人一共带了240元,全部用于购买奖品,那么能买这两种笔各多少支? 解:
(2)根据主题班会活动的设奖情况,决定所购买的甲种钢笔的数量要少于乙种钢笔的数量的
1
2
,但又不少于乙种钢笔的数量的
1
4
.如果他们买了甲种钢笔x 支,买这两种笔共花了y 元. ①请写出y (元)关于x (支)的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围; 解:
②请帮他们计算一下,这两种笔各购买多少支时,所花的钱最少,此时花多少元?解:
25.(本题满分7分)如图1,点C将线段AB分成两.部分,如果AC BC
AB AC
=,那
的黄金分割点.
某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出
“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为
1
S,
2
S,如果12
1
S S
S S
=,那么称直线l
为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想:在ABC
△中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是ABC
△的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF CE
∥,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是ABC
△的黄金分割线.请你说明理由.
图1 图2 图3
解:(1)
(2)
26.(本题满分6分)已知点C为半圆上一点,且弧AC=弧CE,过点C作直径
AB的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC、CB于点D、F.
(1)求证:AD=DC;
证明:
(2)若DF=45,tan ∠ECB=4
3
,求PB 的长. 解:
27. (本题满分9分)抛物线2=y ax bx c ++(0)a ≠过点
(13)
(33)(15)A B C ---,,,,,,顶点为M 点.
(1)求该抛物线的解析式.
解:
(2)试判断抛物线上是否存在一点P ,使∠
POM =90?.若不存在,说明理由; 若存在,求出P 点的坐标.
解:
(3)试判断抛物线上是否存在一点K ,使∠OMK =90?若存在,求出K 点的坐标.
解:
28. (本题满分12分)如图,在直角梯形ABCD 中,
AD ∥BC ,∠C =90°,BC =16,DC =12,AD =21。动点
P 从点D 出发,沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段CB 上以每秒1个
单位长的
速度向点B 运动,点P ,Q 分别从点D ,C 同时出发,
当点Q 运动到点B 时,点P 随之停止运动。设运动的 时间为t (秒)。
(1)设△BPQ 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式;
(2)当t 为何值时,以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形?
(3)当线段PQ 与线段AB 相交于点O ,且2AO =OB 时,求∠BQP 的正切值; (4)是否存在时刻t ,使得PQ ⊥BD ?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由。 解:
2009-2010学年度第一学期期末考试
初三年级数学答案
考试时间:90分钟 试卷满分:120分
一、选择题:请将正确答案写在下列表格内(30分) 二.填空题:请将正确答案写在下列横线内(30分)
A B
Q C P D
11. 2 12. 1.3×109 13.12x x ≥≠且
14.
15. 25 16.
17. 3 18. (1,3) 19.(2,4)或(3,4)
20. 15
三.解答题(本题共8小题,共60分)
21.(本题满分6分)先化简:22
42
26926
a a a a a --÷++++, 再选一个使原式有意义的数代入求值。
解:22
42
26926a a a a a --÷++++ 2(2)(2)2(3)2(3)2a a a a a +-+=++- ……………(2分)
2426
33a a a a ++=-+
++ 2
3
a =
+ …………… (4分) n 取3-和2以外的任何数,计算正确都可给分. ……………(6分)
22.(本题满分6分)解分式方程:
225711x x x x x
-+=-- 解:方程两边同时乘以(
1)x x -,得
2
257(1)x x x x +-=- 22
257x x x x +-=- 2670x x +-= (7)(1)0x x +-=
7x =-或1x = …………… (4分)
经检验,7x =-是原方程的解;1x =是原方程的增根
∴原方程的解是7x =-。 …………… (6分)
23.(本题满分7分)如图,已知直线12y x =与双曲线 (0)k y k x =>交于A B ,两
点,且点A 的横坐标为4.
(1)求k 的值;
(2)若双曲线(0)k
y k x
=>上一点C 的纵坐标为8,求AOC △的面积;
(3)过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于P Q ,两点(P 点在第一 象限),若AOP △的面积为6,求点P 的坐标.
解:(1)∵点A 在直线1
2
y x =上, 且点A 的横坐标为4
∴点A 的坐标为 (4,2)
∵点A 在双曲线(0)k
y k x
=>上
∴8k = …………… (1分)
(2)∵双曲线(0)k
y k x
=>上一点C 的纵坐标为8
∴点C 的坐标为 (1,8)
由点C 和点A 分别向x 轴作垂线,垂足分别为M 和N
∴AOC △的面积=MOC △的面积+梯形CMNA 的面积—AON △的面积 =
111
18(82)342222
??+?+?-?? = 15 …………… (3分) (3)∵过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=
>于P Q ,两点 ∴令点P 的坐标为(8
,
p p
x x )且0p x > 由点P 和点A 分别向x 轴作垂线,垂足分别为E 和F 有两种情形:点P 在点A 的上方和点P 在点A 的下方 ∴易知AOP △的面积=梯形PEFA 的面积
∴ 18
6(2)42p p x x =
?+?- ∴ ()186(2)42p p x x =?+?- 或()18
6(2)42p p
x x =?+?-
∴解得点P 的坐标为(8,1)和(2,4) …………… (7分)
24.(本题满分7
分)某班为开展“迎冬奥会”的主题班会活动,派了两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品.已知该超市的甲种钢笔每支8元,乙种钢笔每支
4.8元,他们要 购买这两种钢笔共40支.
(1)如果两人一共带了240元,全部用于购买奖品,那么能买这两种笔各多少支? (2)根据主题班会活动的设奖情况,决定所购买的甲种钢笔的数量要少于乙种钢笔的数量的
1
2
,但又不少于乙种钢笔的数量的
1
4
.如果他们买了甲种钢笔x 支,买这两种笔共花了y 元. ①请写出y (元)关于x (支)的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围; ②请帮他们计算一下,这两种笔各购买多少支时,所花的钱最少,此时花多少元? 解:(1)设能买甲种钢笔x 支,则能买乙种钢笔(40)x -支.依题意,得 8 4.8(40)240x x +-=
解得15x =
40401525x -=-=∴.
答:能买甲种钢笔15支,乙种钢笔25支 …………… (3分) (2)①依题意,得8 4.8(40) 3.2192y x x x =+-=+
又由题意,有1(40)21(40)4
x x x x ?<-????-??,.≥
解得40
83
x <
≤ y ∴关于x 的函数关系式为 3.2192y x =+
(40
83
x <
≤且x 为整数) …………… (6分) ②对一次函数 3.2192y x =+, 3.20k =>∵,
y ∴随x 的增大而增大 ∴对40
83
x <
≤,当8x =时,y 值最小 此时4040832x -=-=, 3.28192217.6y =?+=最小(元) 答:当买甲种钢笔8支,乙种钢笔32支时,所花钱最少,为217.6元 …………… (7分)
25.(本题满分7分)如图1,点C 将线段AB 分成两.部分,如果AC BC AB AC =,那么称点
为线段的黄金分割点.
某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出
“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果
12
1
S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想:在ABC △中,若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的
黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)研究小组在进一步探究中发现:过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线.请你说明理由.
图1 图2 图3
解:(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下: 设ABC △的边AB 上的高为h .
12ADC S AD h =△,12BDC S BD h =△,1
2ABC S AB h =△, 所以,ADC ABC S AD S AB =△△,BDC ADC S BD
S AD
=△△.
又因为点D 为边AB 的黄金分割点,所以有AD BD
AB AD
=. 因此ADC BDC ABC ADC
S S
S S =△△△△.
所以,直线CD 是ABC △的黄金分割线. …………… (3分)
(2)因为DF CE ∥,所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,
所以有DEC FCE S S =△△.
设直线EF 与CD 交于点G .所以DGE FGC S S =△△. 所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形
DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形,BDC BEFC S S =△四边形.
又因为
ADC BDC
ABC ADC
S S S S =△△△△,所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△.
因此,直线EF 也是ABC △的黄金分割线. …………… (7分)
26.(本题满分6分)
已知点C 为半圆上一点,且弧AC=弧CE ,过点C 作直径AB 的垂线CP ,P 为垂足,弦AE 分别交PC 、CB 于点D 、F .
(1)求证:AD=DC ;
(2)若DF=45,tan ∠ECB=4
3
,求PB
(1)证明:连接AC ,
∵弧AC=弧CE ,
∴∠CEA=∠CAE .
∵∠CEA=∠CBA , ∴∠CBA=∠CAE ,
又∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∵CP ⊥AB ,
∴∠CBA=∠ACP , ∴∠CAE=∠ACP ,
∴AD=CD . (2) ∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP ,
∴∠DCF=∠CFD ,
∴AD=CD=DF=4
5
,
∵∠ECB=∠DAP , tan ∠ECB=4
3
,
∴tan ∠DAP=
4
3
=PA DP , ∵DP 2+PA 2=DA 2,
∴DP=4
3
,PA=1,
∴CP=2,
∵∠ACB=90°,CP ⊥AB , ∴△APC ∽△CPB, ∴
PC AP = , ∴PB=4. …………… (6分) 27. (本题满分9分)抛物线2=y ax bx c ++(0)a
≠过点(13)(33)(15)A B C ---,,,,,,顶点为M 点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)试判断抛物线上是否存在一点P ,使∠POM =90?. 若不存在,说明理由;若存在,求出P 点的坐标.
(3)试判断抛物线上是否存在一点K ,使∠OMK =90?,若不存在,说明理由;若存在,求出K 点的坐标.
解:(1)根据题意,得