第二节 数的开方
一、基础知识
1.平方根
如果x 2=a （a ≥0），那么x 叫做a 的平方根，记作
2.平方根的性质
① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。其中，正的平方根叫算术平方根。
② 零的平方根是0；负数没有平方根。
3.取值问题：
①a 的取值a ≥0； ② 正数a ≥0。
4.立方根
如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作
。 5.立方根的性质
任何数都有立方根，并且只有一个。a 可以取任何数。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是0；
6.非负数：若数0≥a ；则称a 为非负数。
① 常见三种非负数：0≥a ，02≥a ，0≥a 。
② 性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
二、典型例题
1.-8的立方根为（ ）
A.2
B. 2-
C. 2±
D. 4±
2. 64的立方根等于（ ）
A.4
B. 4-
C. 8
D. 8-
3=± B. 33-=- C. 3=- D. 239-=
5.如果一个数的平方根是这个数的本身，那么这个数是（ ） A.1 B. 1- C.0 D. 1和0
6.0.3=； ②43=±； ③23-的平方根是3-； ④(25)--的平方根是5-；⑤76±是13136
的平方根。正确的有（ ） A.2个 B. 3个 C.4个 D. 5个
7.估计20的算术平方根的大小在（ ）
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
9.a 的取值范围是( )
A.a>0
B. a ≥0
C.a>-4
D. a ≥-4
10.已知,60.75,7560.0432.033==x ，那么x 的值是（ ）
A.43.2
B.432
C.4320
D.432000
11.若x 、y 为实数，且20x ++=，则2010()x y
的值是________
_________ 2. 9-的平方根是_____________
13.已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是________。
14.求下列各式的值
（1） （2）-（3）（4）
15．求下列各数的平方根： (1) 81 (2) 16
25 (3) 1.44 (4) 21
4;
（6） ； （7） ； （8） ．
16．x 取何值时，下列各式有意义．
（1）
（2（3
（4（5
三、随堂练习
4. ）
972252
52⎪⎭⎫ ⎝⎛-12+x
A.3
B. 3-
C. 13
D. 13
- 5.下列说法正确的是（ ）
A 、-1的倒数是1
B 、-1的相反数是-1
C 、1的算术平方根是1
D 、1的立方根是±1
6.下列说法正确的是（ ）
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零
7.下列判断：①512-的立方根是8；②9-的算术平方根是3；③16的平方根是4 ④任意
数a 的立方根是；其中正确的有（ ）
A.1个
B. 2个
C.3个
D.4个
8.若20,x y -=则xy 的值为（ ）
A.8
B.2
C.5
D. 6-
10.下列各式中,无意义的是( )
11.下列说法正确的是 ( )
A.1的平方根是1
B.1的算术平方根是1
C.-2是2的平方根
D.-1的平方根是-1
12.计算33)2(-的值是（ ）
A.-2
B.2
C.2
D.-8
13.-64的立方根是（ ）
A.±4
B.-4
C.4
D.没有意义
14.下列算式中错误的是 （ ）
A.525±=
B.525-=-
C.3273-=-
D.3273-=-
15.在0， 7， ()52
-，49-，16--，π各数中有平方根的有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.2个
16.不查表，估计50的大小应在（ ）
A.6~7之间
B.7~7.5之间
C.7.5~8之间
D.8~9之间
17.下列各数中，不一定是非负数的是（ ） A.a B.2a C.33a D.4a
18.立方根等于本身的数是_________
19.
21. 满足-2＜x ＜5的整数x 是 .
22. 已知＝则1326.0,641.326.13,152.1326.1==____________；
23. 正数N 的平方根是3m －4和7－4m ，则m ＝__________。
24. 若3=a ，则__________33=-a ； 若__________,02=>x x 则。
25.求下列各数的平方根和算术平方根
（1）2(3)- （2）0 （3）9- （4（5）
169
（6（7）5
26.求下列各数的立方根
（1）125 （2）-0.064 （3）-7 （4 （5）0 （6）2
27.若316x +的立方根是4，求24x +的平方根
28. 先判断下列等式是否成立。
（1）722722+=+ （ ）； （2）26
332633+=+ （ ）； （3）63446344+=+
（ ）；（4） 1245512455+=+（ ）. …… 经判断，请你写出用含有n （n>2d 的自然数）的等式表示上述各式规律： .
29. 探索
,__________2221111,__________222211111111,__________222111111,__________221111,__________211=-=-=-=-=-ΛΛ猜想
30. 先填表然后回答问题。
从上表可以得到什么规律？ 并利用规律解下面两题。
（1）如果===3330237.0,872.27.23,333.137.2则
（2）已知：,652.1,52.16450733=-=-x 那么x=
THANKS !!!
致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等
等
打造全网一站式需求
欢迎您的下载，资料仅供参考
本章复习 本章的知识网络结构： 知识梳理 一．数的开方主要知识点： 【1】平方根： 1.如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 3.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】： 1.如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的
算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1± B ．24±= C.81的平方根是3± D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A.981±= B.14.314.3-=-ππ C.3927-=- D.235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。 （6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A －B 的平方根。 （7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x －y 的值. 【立方根】 1.如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。 2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。 例3. （1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）
【考点训练】计算器—数的开方-1 一、选择题（共5小题） 1．（2013?永州）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求+ 的近似值，其按键顺序正确的是（ ） ． ． ． ． ． C D ． 2 4．（2005?广州）用计算器计算 ，…， 根据你发现的规律，判断P= 与Q=（n 为大于1的整数）的值的大小关系为（ ） 5．（2009?张家界）用计算器求23 值时，需相继按“2”，“∧”，“3”，“=”键，若小红相继按“”， “2”，“∧”，“4”，“=” 二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2011?张家界）我们可以利用计算器求一个正数a 的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入： ．小明按键输入 显示结果为4，则他按键 输 入显示结果应为 _________ ． 7．（2007?桂林）用计算器计算：≈ _________ ．（结果精确到0.1） 8．（2009?江西）（1）方程0.25x=1的解是x= _________ ． （2）用计算器计算： _________ ．（结果保留三个有效数字） 三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷） 9．计算（写出计算过程，并用计算器验证）：． 10．利用计算器计算：（精确到0.01）
【考点训练】计算器—数的开方-1 参考答案与试题解析 一、选择题（共5小题） 1．（2013?永州）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求+的近似值，其按键顺序正确的是（）．．．． 根据计算器上的键的功能，是先按，键，再按 是先按，再按 键，再按 的顺序先按键，按 ．C D． 2
七年级数学下册第六章《实数》导学案 第1课时 6.1平方根（1） 3、12 【学习目标】 1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性 2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根 【学习重点】 了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根 【学习难点】理解算术平方根的双重非负性 一、自学教材40页，把书上的表格填写完整并回答下列问题： 1. 一般地，如果一个___ 数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个______叫做a 的_________．a 的算术平方根记为 ，读作“ ”，a 叫做 ．规定：______的算术平方根是0. 记作0= 2.判断下列语句是否正确？ ①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ） ③0.01是0.1的算术平方根（ ） ④-5是-25的算术平方根（ ） 3.3的算术平方根为 ，4的算术平方根为 二、自学例1 4、仿照例1，求下列各数的算术平方根： （1）100；(2) 25 36 ；(3) 0.01 ；⑷ 0； 三、探究 ： 四、1、a 可以取任何数吗？ 五、2 是什么数？ 讨论结果： 1、（1）被开方数a 是________，即____（2） 是_______，即____. 练习、判断下列各式中的有理数是否有意义。 4)1(- 4)2(- 4)3(-- 2 4)4(）（-- 24)5(- 四、［变式训练］想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ ﹙1﹚25﹙2 ﹙3 ﹙4 五、当堂检测 1、41页练习1、2题。 2.非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0.64-的算术平方根____，0的算术平方根是____ _____, ____,_____=== 能力提升： 1.若x 是49的算术平方根，则x =（ ） A. 7 B. －7 C. 49 D.－49 2 7=，则x 的算术平方根是（ ） 3、若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是（ （A ）X ≥0 （B ）X ＞O （C ） X ＞-2 （D ） X ≥-2 4、若X+2是一个数的算术平方根，则X 的范围是（ ） （A ）X ≥0 （B ）X ＞O （C ） X ＞-2 （D ） X ≥-2
第二节 数的开方 一、基础知识 1.平方根 如果x 2=a （a ≥0），那么x 叫做a 的平方根，记作 2.平方根的性质 ① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。其中，正的平方根叫算术平方根。 ② 零的平方根是0；负数没有平方根。 3.取值问题： ①a 的取值a ≥0； ② 正数a ≥0。 4.立方根 如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作 。 5.立方根的性质 任何数都有立方根，并且只有一个。a 可以取任何数。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是0； 6.非负数：若数0≥a ；则称a 为非负数。 ① 常见三种非负数：0≥a ，02≥a ，0≥a 。 ② 性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。 二、典型例题 1.-8的立方根为（ ） A.2 B. 2- C. 2± D. 4± 2. 64的立方根等于（ ） A.4 B. 4- C. 8 D. 8-
3=± B. 33-=- C. 3=- D. 239-= 5.如果一个数的平方根是这个数的本身，那么这个数是（ ） A.1 B. 1- C.0 D. 1和0 6.0.3=； ②43=±； ③23-的平方根是3-； ④(25)--的平方根是5-；⑤76±是13136 的平方根。正确的有（ ） A.2个 B. 3个 C.4个 D. 5个 7.估计20的算术平方根的大小在（ ） A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 9.a 的取值范围是( ) A.a>0 B. a ≥0 C.a>-4 D. a ≥-4 10.已知,60.75,7560.0432.033==x ，那么x 的值是（ ） A.43.2 B.432 C.4320 D.432000 11.若x 、y 为实数，且20x ++=，则2010()x y 的值是________ _________ 2. 9-的平方根是_____________ 13.已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是________。 14.求下列各式的值 （1） （2）-（3）（4）
11.1.1平方根 一、学习目标 1、理解平方根、算术平方根定义及它们之间的区别和联系，学会平方根的表示方法； 2、掌握平方根的性质； 3、理解什么是“开平方运算”，学会对非负数进行开平方。 二、学习重点 1、理解什么是平方根、算术平方根，学会平方根的表示方法； 2、掌握平方根的性质； 3、学会对非负数进行开平方。 三、学前准备 1、查阅七年级数学上册关于乘方的相关知识。 2、预习课本第1－4页内容。 四、探究过程 （一）相关知识回顾： 平方等于9的数是 ；平方等于0的数是 ； （填“有”或“没有”）平方等于负数的数。 （二）阅读课本第1至4页 平方根定义和性质 1、平方根的定义：如果 ，那么这个数叫a 的平方根。 即：如果a x =2 ，则a 是x 的 ，x 是a 的 ． 2、填空： 因为932 =，所以 是3的平方，3是9的 ； 因为()932=-，所以9 是-3的 ，-3是 的平方根． 3、应用： ( ) 2 __64=，64的平方根是 ； ()2 ___0.25=，0.254、 填空，并仔细观察，你能发现了什么结论？ 1的平方根是 ， 25 4 的平方根是 ， 0.810的平方根是 ； -4有平方根吗？ ． 正数有 个平方根，它们 ； 小结： 平方根的性质 0的平方根是 ； 负数 。
5、算术平方根 ，叫做a 的算术平方根．记作： ，读作： 正数a 的两个平方根互为相反数，则另一个负的平方根记作 ，所以：正数a 的平方根记作： ．a 称为： ． 练习： （1）9的平方根是 ，算术平方根是 ，即= ，= ； （2）16的平方根是 ，算术平方根是 ，即= ，= ；5=表示什么意义： 另外规定：0的算术平方根是0． 6、开平方 求一个 的运算，叫做开平方．例如：对49开平方，就是求49的平方根是多少，表示为49±，则49±=±7． （三）、师生合作 1．算术平方根和平方根有什么联系和区别？ 2.开平方运算和平方运算的关系？ （四）、例题探究 1．阅读并补充完教材第3页的例2，并将下列各数开平方． （1） 49 144 （2）()2 3- （3）81 2．求下列各式的值，并说明它们各表示的意义；
初一数学用计算器进行数的开方试题 1.用计算器计算：（结果保留4个有效数字），＝， ＝. 【答案】177.2，0.7861，0.08159 【解析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根、平方根、立方根 首先熟悉开方的按键顺序，然后即可利用计算器求算术平方根、平方根、立方根，并保留四个有效数字． ，， 解答本题的关键是注意有效数字的定义：在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到末位数止，所有的数字，都叫这个近似数字的有效数字． 2.的值为（） A．3.049B．3.050C．3.051D．3.054 【答案】B 【解析】此题主要考查了利用计算器求立方根 首先熟悉开方的按键顺序，然后即可利用计算器求立方根． 解答本题的关键是掌握好开方的按键顺序。 3.利用计算器计算（结果精确到0.01） （1）；（2）；（3）；（4）－ 【答案】（1）1.41（2）0.73（3）－12.5（4）－10.25 【解析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根、立方根 首先熟悉开方的按键顺序，然后即可利用计算器求算术平方根、立方根，并精确到0.01．（1）； （2）； （3）； （4）－ 解答本题的关键是熟练使用计算器。 4.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字） （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）1.773（2）－0.3162（3）4.344（4）－0.6361 【解析】本题主要考查了有效数字的计算方法 先利用计算器分别计算出各个数的近似值，再根据有效数字就是从左边第一个不是0的数起，后边所有的数字都是这个数的有效数字，即可确定结果． （1）； （2）； （3）； （4） 解决本题的关键是正确计算各个数的近似值． 5.利用计算比较与的大小；
第6章 实数 第1单元 平方根 单元导学 教学设计 “实数”这一章共分为3个单元，即“平方根”“立方根”和“实数”.本单元主要包括算术平方根、平方根的定义和求法.我们通过数的开方引入带根号的无理数，在接下来学习完“立方根”和“实数”这两个单元之后，数的范围由有理数扩充到实数，这是后续研究二次根式、一元二次方程解三角形等知识的基础，也是学习高中数学内容的基础.在七年级上册，学生已经系统地学习了有理数，对有理数的概念和运算有了较深刻的认识.这些知识是学习本单元的必要基础，在教学时教师要注意知识之间的关联与区别.例如，在有理数部分，我们学习了互为逆运算的两种运算，即加法和减法、乘法和除法，其中减法和除法的运算法则都体现出转化思想.在本单元学习开平方运算中，我们也将探讨平方与开平方的互逆运算关系，关注开平方与减法、除法的区别.由于初中学生能力水平有限，在教学时教师不能过于追求严密的逻辑体系，而要从直观感知出发，紧密联系实际生活.因此，本单元教学从实际问题出发，引出算术平方根的定义，给出算术平方根的定义及符号表示，尝试用有理数夹逼法估计算术平方根的大小.在此基础上，展开对数的平方根的讨论，探讨平方根的求法以及平方根的性质.学生通过学习本单元，体会数学在实际生活中的应用，开拓数感和抽象思维，为之后学习无理数作准备. 学习目标 1.了解算术平方根、平方根的定义，会用根号表示数的算术平方根、平方根. 2.了解开方和乘方互为逆运算，会用开平方运算求百位数以内整数的平方根，会用计算器求平方根. 3.对算术平方根进行估算或比大小，以及确定字母的值，会利用被开方数与算术平方根之间的变化规律解决问题. 4.能应用平方根的定义解决问题，会根据正数的两个平方根互为相反数求字母的值，会根据平方根定义解形如2x =a 和()2 x b +=a （a ≥0）的方程.
复习专题：数的开方 一、重点难点点拨 本章重点是平方根和算术平方根的概念、性质。 本章难点是算术平方根的意义及实数的性质。 二、发散思维分析 本章的主要内容是平方根与算术平方根的概念。必须正确掌握算术平方根和平方根的意义，一个数的算术平方根一定是这个数的平方根，而一个数的平方根则包括它的算术平方根及其相反数。此外，还须正确掌握方根的意义，把方根、算术根的意义、记号、求平方根与立方根的基本方法搞清楚。在实际运算中，弄清方根的情况是正确解题的依据，从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法。 三、典型例题 1、求的平方根。 分析：本题要审清是求25的平方根，还是求25的算术平方根的平方根，显然求的是后者。 解：∵=5
又∵5的平方根是± 故的平方根是± 2、求下列各数的平方根与算术平方根： （1）（2）9a2-12ab+4b2(b>) 解： （1）∵=|3-π|=π-3 (π>3) ∴的平方根为±的算术平方根为 （2）∵9a2-12ab+4b2=(3a-2b)2=|3a-2b|2 又∵b>,2b>3a, ∴∴9a2-12ab+4b2的平方根等于±(2b-3a). 9a2-12ab+4b2的算术平方根等于2b-3a. 3、已知(x-6)2++|3y+2z|=0，求(x-y)2-z2之值。
分析：∵(x-6)2,,|3y+2z|是三个非负数，三个非负数的和为零，必须每个加数均为零。所以有 从而解出x、y、z的值。 解：∵(x-6)2≥0,≥0,|3y+2z|≥0, ∴三个非负数的和为零，必须每个加数均为零。 故解得：∴(x-y)2-z2=(x-y+z)(x-y-z)=(6-2-3)(6-2+3)=1×7=7. 四、思维发散题解 【纵横发散】 1、若x>0，化简：|x-1|. 分析：绝对值号内的式子在取值X围内可能为正，可能为负，也可能为零，绝对值号内的式子为零时字母的值称为零点。因为这个式子的符号是不确定的，需要按零点划分区间，经过讨论分别化简。 解：令x-1=0时，x=1,零点1在x>0之内，∴0 人教版七年级数学下册第六章第二节立方根复习试题（含答 案) 求出下列x 值： （1）32780x -+=； （2）23(1)120x --=． 【答案】（1）23 x = ；（2）3x =或1x =-． 【解析】 【分析】 （1）先移项，方程两边同时除以-27，再开立方即可得答案； （2）先移项，方程两边同时除以3，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】 （1）32780x -+= 移项得：3278x -=-， 方程两边同除以-27得：3827 x =， ∴23 x =． （2）23(1)120x --= 移项，得23(1)12x -= 方程两边同除以3，得2(1)4x -= ∴12x -=或12x -=- ∴3x =或1x =-． 【点睛】 本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反 数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． 72．已知3x+1的算术平方根为4，2y+1的立方根为-1，求2x+y 的平方根． 【答案】±3 【解析】 【分析】 利用算术平方根、立方根定义求出x 与y 的值，进而求出2x+y 的值，即可求出平方根． 【详解】 解：∵3x+1的算术平方根为4， ∴3x+1=16， 解得：x=5， ∵2y+1的立方根为-1， ∴2y+1=-1， 解得：y=-1， ∴2x+y=2×5-1=9， ∴2x+y 的平方根是±3． 【点睛】 此题考查了立方根、算术平方根、以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 73．已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的立方根是-2，求2a b -的平方根． 【答案】 第六章实数 教材简析 本章的内容包括：平方根、立方根、实数． 在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用． 在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算． 教学指导 【本章重点】 平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算． 【本章难点】 对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】 1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类． 2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论． 3．掌握转化思想，如：学习了平方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解． 4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划 6．1平方根3课时 6．2立方根1课时 6．3实数1课时 6．1 平方根 第1课时算术平方根 教学目标 一、基本目标 【知识与技能】 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． 【过程与方法】 加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神． 【情感态度与价值观】 通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣． 二、重难点目标 【教学重点】 算术平方根的概念． 【教学难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P40的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数. 2．规定：0的算术平方根是0. 3．算术平方根具有双重非负性：(1)a≥0；(2)a≥0. 4．求下列各数的算术平方根： (1)81；(2)0.25；(3)23. 解：(1)9.(2)0.5.(3)23. 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)64；(2)0.36； (3)21 4；(4)41 2－402. 人教版七年级数学下册第六章第二节立方根复习试题 （含答案) 一、单选题 1．下列语句，写成式子正确的是( ) A ．3是9±3 B ．－3是－27的立方根， ＝±3 C 是2＝2 D ．－27的立方根是－3 ＝－3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据算术平方根、立方根的定义求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】 A 、3是93，故本选项错误； B 、−3是−27 ＝−3，故本选项错误； C 是2，故本选项错误； D 、−3是−27 ＝−3，故本选项正确； 故选D ． 【点睛】 本题考查了算术平方根、立方根的定义，注意：语言叙述和式子表示的有机结合． 2．下列命题：①任何数的平方根有两个；②如果一个数有立方根，那么它一定有平方根；③算术平方根一定是正数；④非负数的立方根不一定是非负数.错误的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】【分析】根据立方根和平方根的知识点进行解答，正数的平方根有两个，0的平方根只有一个，任何实数都有立方根，则非负数才有平方根，一个数的立方根与原数的性质符号相同，据此进行答题． 【详解】①0的平方根只有一个，故任何数的平方根都有两个结论错误； ②负数有立方根，但是没有平方根，故如果一个数有立方根，那么 它一定有平方根结论错误； ③算术平方根还可能是0，故算术平方根一定是正数结论错误； ④非负数的立方根一定是非负数，故非负数的立方根不一定是非负 数， 错误的结论①②③④， 故选D． 【点睛】本题主要考查立方根、平方根和算术平方根的知识点，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没 有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方 根是负数，0的立方根式0． 3．有下列说法： ①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0;②实数与数轴上 6．1 平方根(3) 数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示法． 重点 平方根． 难点 正确理解平方根的意义． 一、创设情境，引入新课 师：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 学生思考、讨论． 生：3. 师：除此之外，还有没有别的数的平方也等于9呢？生：－3. 师：所以，若一个数的平方等于9，这个数是3或－3. 二、讲授新课 师：请同学们填表． 展示课件： x2 1 16 36 49 4 25 x ±1 ±4 ±6 ±7 ±2 5 师：通过填表，我们不难得出： 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．用字母表示为：如果x2＝a，则x叫做a的平方根． 例：3和－3是9的平方根，简记为±3是9的平方根． 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 师：请同学们看图． 展示课件： 师：平方与开平方有何联系？ 生：平方与开平方互为逆运算． 师：我们可以根据这种运算关系，来求一个数的平方根．请同学们做题： 【例】 求下列各数的平方根： (1)100；(2)9 16 ；(3)0.25. 解：(1)因为(±10)2 ＝100，所以100的平方根是±10； (2)因为(±34)2＝916，所以916的平方根是±3 4 ； (3)因为(±0.5)2 ＝0.25，所以0.25的平方根是±0.5. 师：正数、负数、0的平方根有何特点？ 生讨论、交流． 师生共同分析： 正数的平方根有两个，它们互为相反数，正的平方根是这个数的算术平方根． ∵负数的平方是正数， ∴在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数． ∴负数没有平方根． ∵02 ＝0，∴0的平方根是0. 归纳： ①正数有两个平方根，它们互为相反数； ②负数没有平方根； ③0的平方根是0. 师：正数a 的平方根表示为±a ，读作“正、负根号a ”． 如：±9＝±3，±25＝±5. 师：a 只有当a ≥0时有意义，a ＜0时无意义，为什么？ 生：负数没有平方根． 师：请大家做题． 求下列各式的值： (1)144；(2)－0.81；(3)± 121196 . 学生活动：尝试独立完成，一生上黑板板演． 教师活动：巡视、指导、纠正． 师生共同完成： (1)∵122 ＝144，∴144＝12. (2)∵0.92 ＝0.81，∴－0.81＝－0.9. (3)∵(±1114)2＝121 196 ，∴± 121196＝±11 14 . 三、随堂练习 课本第46页、第47页第1、2、3、4题． 四、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同伴交流． 1．提供足够的时间，让学生理解平方根的意义．掌握正数、0、负数的平方根的特点． 2．多提供适量的有代表性的习题，随堂练习． 3．易出错的题目随堂订正． 第一讲平方根和立方根 一知识速览 1.平方根的定义：一般地，如果一个数x的平方等于a(a0 ≥)，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根，记为a ±，读作“正负根号a”,即x=a ±(a0 ≥)。（一般地，平方根可以省略根的次数2，即±2） = a± a 2.平方根的性质： （1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0 的平方根是 0； （3）负数没有平方根。 3.算数平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a(a0 ≥)，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a 2，读作“根号 a”或“二次根号 a”，a叫做被开方数。 a或 （规定：0 的算术平方根是 0。） 4.性质：（1）a0 ≥（叫双重非负性） ≥；（2）a0 5.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中的一个正值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a(a0 ≥)；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±(a0 ≥)。 6.立方根：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根，记作x3=a，读作“三次根号 a”，其中a是被开方数，3是根指数。求一个数立方根的运算叫做开立方。 7.立方根的性质： （1）正数立方根是正数； （2）0 的立方根是 0； （3）负数的立方根是负数。 （4）3 3a - = a- 8.数的开方运算： x2=a，则x为a的平方根（二次方根）； （1）平方根：若 x3=a，则x为a的立方根（三次方根）； （2）立方根：若 拓展： x n=a，则x为a的n次方根（a为实数，n为大于（3）n次方根：若 1的正整数； ±， ①当n为偶数时，a必须是正实数，a的n次方根有两个：n a ②当n为奇数时，a必须是任意实数，a的n次方根有一个：为n a； 9.逆运算总结： （1）开方平与平方互为逆运算。 （2）开立方与立方互为逆运算。 （3）一个数的n次方与开n次方根为互逆运算。 10.拓展公式： （1）= a2|a|； （2）) (2 a=a，(a≥0) 二、典型例题 例1．求下列各数的平方根。（考平方根定义） 数的开方-----平方根与立方根 一、知识点和方法概述 1、平方根：（1）平方根的定义：（2）开平方：（3）平方根的意义：（4）平方根的表示：（5）求一个数的平方根的方法：（6）算术平方根： 注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2、立方根：（1）立方根的定义：（2）开立方：（3）立方根的意义：（4）立方根的表示：（5）求一个数的立方根的方法： 注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 3、n次方根：（1）n次方根的定义：（2）开n次方：（3）n次方根的意义：（4）n次方根的表示：（5）求一个数的n次方根的方法： 二、二次根式： 1、二次根式的定义：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，， ..........都不是最简二 次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+ 与a- ， - 与 + ，互为有理化因式。 2、二次根式的性质：1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = ·（a≥0,b≥0）。5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 = （a≥0,b>0）。（3）二次根式的运算法则：化简二次根式的常用 方法：因式分解法、公式法、换元法、平方法、倒数法、利用非负数的性质等. 实数 一、基础知识 1．无理数的定义（）叫做无理数 2．有理数与无理数的区别：有理数总可以用（）或（）表示；反过来，任何（）或（）也都是有理数。而无理数是（）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成（），无理数不能化成（）。 3.常见的无理数类型 知识点1：实数的概念 1、无限不循环的小数叫做无理数． 注意： 1) 整数和分数统称为有理数； 2) 圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分． 如2、π、0.101001000100001 等这样的数叫做正无理数； 2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数； 只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数． 3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类： 实数、数的开方 知识结构 模块一 实数的概念和分类 知识精讲 ⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭ ⎪ →⎩整数有理数有限小数或无限循环小数 实数分数无理数无限不循环小数 （2）按性质符号分类： 0⎧⎧⎪⎨ ⎩⎪ ⎪⎨⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 【例1】 写出下列各数中的无理数： 3.1415926，2 π，16，.0.5，0，2 3-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3）， 0.2121121112． 【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示． （1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数． （ ） （4）不带根号的数一定不是无理数． （ ） 【例3】 a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么． 例题精练 【例4】 若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之， 亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由． 【例5】 3为什么是无理数?请说明理由． 一、开平方： 1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方． 2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数． 如21x =，1x =±，1的平方根是1±． 说明： 1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 模块二：数的开方 知识精讲人教版七年级数学下册第六章第二节立方根复习试题(含答案) (48)
人教版七年级数学下册教案 6.1 平方根(3课时)
人教版七年级数学下册第六章第二节立方根试题(含答案) (65)
永福县第一中学七年级数学下册第六章实数6.1平方根(3)教案新版新人教版
6.1平方根和立方根 第一讲----七年级下
七年级下数的开方知识点例题超好用本人精心整理
七年级(下)数学 同步讲义 实数的概念及数的开方
相关主题
文本预览