2018年河南省南阳市中考数学一模试卷

一、选择题

1. 下列各数的相反数中，比1大的数是( )

A. ?√2

B. 0

C. ?1

D. 4

2. 下列运算中不正确的是( )

A. a 3+a 2=a 5

B. a 3?a 2=a 5

C. a 3÷a 2=a

D. (a 3)2=a 6

3. 如图是由几个相同的小正方形搭成的几何

体的主视图与左视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

4. 如图，点A 在反比例函数y =k

x 的图象上，AM ⊥y 轴于点M ，P 是x 轴上一动点，当△APM 的面积是4时，k 的值是( ) A. 8 B. ?8 C. 4 D. ?4

5. 不等式组{2x +1≤3?12

x <1的整数解的和为( )

A. ?2

B. ?1

C. 0

D. 1

6. 某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm)：165，170，175，168，172，增加身高为170cm

的1名成员后，现在科普小组成员的身高与原来相比( ) A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数不变，方差不变 D. 平均数变小，方差不变

7. 关于x 的一元二次方程(a ?1)x 2+3x ?2=0有实数根，则a 的取值范围是( )

A. a >?1

8 B. a ≥?1

8 C. a >?1

8且a ≠1

D. a ≥?1

8且a ≠1

8. 有两个有两个除所标数字外构造完全相同的转盘A 和B ，游戏规定：两人各选择一个转盘转一

次，指向的数字较大者获胜，则选择转盘A 获胜的概率是( )

A. 2

3

B. 5

9

C. 1

2

D. 4

9

9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转

得到，M 是BC 的中点，P 是的中点，连接PM.若BC =2，

∠BAC =30°，则线段PM 的最大值是( )

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

10.在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形OCED的顶点C，D分别在半径

OA，OB上，顶点E在AB?上，以O为圆心，OC长为半径作CD?，若OA=2，

则阴影部分面积为()

A. π

B. π

2

C. √2

D. 1

二、填空题

)?1=______．

11.计算：(π?3)0+(?1

3

12.如图，EF//BC，若AE：EB=2：1，EM=1，MF=2.则BN：NC=______．

13.若将图中的抛物线y=x2?2x+c向上平移，使它经过点(2,0)，则此时的抛物线位于x轴下方

的图象对应x的取值范围是______．

14.如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度

为x，PE与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为______．

15.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，BD=2，点E是

边AB上一动点，把∠B沿直线DE折叠，使点B的对应点为B’，若直线DB′

与边AB垂直，则BE的长为______．

三、解答题

16.先化简，再求值：x2?y2

x ÷(2xy?y2

x

?x)，其中，x=√3+2，y=√3?2．

17.某中学开学前准备购进A、B两种品牌足球，已知购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需

210元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元.

(1)求A、B两种品牌的足球售价各是多少元？

(2)为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，

恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，问至少可购买A品牌足球多少个？

(3)在(2)条件下，如果购买A品牌足球的数量不超过22个，问怎样购买总费用最低？最低费

用为多少元？

18.中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国

古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题

(1)本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部；

(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度；

(3)请将条形统计图补充完整；

(4)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同

一名著的概率．

19.如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC

交⊙O于另一点D，连接PA、PB．

(1)求证：AP平分∠CAB；

(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则

①当弦AP的长是______时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方

形；

②当AP?的长度是______时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．

20.图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与

太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，CD//AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ=37°50′，FG=30cm，CD=10cm，求CF的长(结果取整数，参考数据：sin37°50′≈0.6l，cos37°50′≈079，tan37°50′≈0.78)

(>0)的

21.如图，已知一次函数y=2x+6的图象与反比例函数y=k

x

图象相交于点A(1,m)，与x轴相交于点B．

(1)填空：m的值为______，反比例函数的解析式为______；

(2)点P是线段AB上一动点，过P作直线PM//x轴交反比例函数的

图象于点M，连接BM若△PMB的面积为S，求S的最大值．

22.【问题情境】

在四边形ABCD中，BA=BC，DC⊥AC，过D作DE//AB交BC延长线于点E，M是边AD的中点，连接MB，ME.

【特例探究】

(1)如图①，当∠ABC=90°时，线段MB与ME的数量关系是______，位置关系是______；

(2)如图②，当∠ABC=120时，试探究线段MB与ME的数量关系，并证明你的结论；

【拓展延伸】

(3)如图③，当∠ABC=α时，请直接用含角α的式子表示线段MB与ME之间的数量关系．

23.如图，已知直线y=?3x+c与x轴相交于点A(1,0)，与y轴相交

于点B，抛物线y=?x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个

交点是C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB=2S△AOB时，

求点P的坐标；

(3)连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB=∠ABO？若存在，

请直接写出点M的坐标；否则说明理由．

答案和解析

【答案】 1. A 2. A 3. B 4. B

5. C

6. A

7. D

8. B 9. B 10. D

11. ?2 12. 1：2

13. 0

3 16. 解：x

2?y 2

x

÷(

2xy?y 2

x

?x)

=(x +y)(x ?y)x ÷

2xy ?y 2?x 2

x =(x +y)(x ?y)x ?x ?(x ?y)2

=?x+y

x?y ，

当x =√3+2，y =√3?2时，原式=√3+2+√3?2√3+2?√3+2

=?

2√34

=?

√3

2

． 17. 解：(1)设购买一个A 品牌的足球需x 元，购买一个B 品牌的足球需y 元，

根据题意得：{2x +3y =340x+2y=210

， 解得：{y =80x=50

．

答：购买一个A 品牌的足球需50元，购买一个B 品牌的足球需80元． (2)设此次购买B 品牌足球m 个，则购买A 品牌足球(50?m)个， 根据题意得：50×(1+8%)(50?m)+80×0.9m ≤3260， 解得：m ≤311

9．

∵m 为正整数， ∴m ≤31．

答：该中学此次最多可购买31个B 品牌足球． (3)设购买50个足球所需总费用为w 元，

根据题意得：w =50×(1+8%)(50?m)+80×0.9m =18m +2700． ∵购买A 品牌足球的数量不超过22个， ∴50?m ≤22， ∴m ≥28． 又∵m ≤31， ∴28≤m ≤31．

∵在w =18m +2700中，k =18>0，

∴当m =28时，w 取最小值，最小值为3204．

答：当购买A 品牌足球22个、B 品牌足球28个时，总费用最低，最低费用为3204元 18. 1；2；54

19. 2√2；2

3π

20. 解：如图所示，过点E 作EP ⊥BC 于点P ，延长ED 、BC 交于点H ，

根据题意知∠θ=∠1=37°50′， ∵∠2=∠FGH =90°， ∴∠1=∠FHG =37°50′，

在Rt △FGH 中，∵FG =30cm ，

，

∵AB//CD ，AB ⊥BC ，

∴DC ⊥BC ，即∠DCH =90°， ∴在Rt △DCH 中，，

则

．

21. 8；y =8

x

22. MB =ME ；MB ⊥ME

23. 解：(1)把A(1,0)代入y =?3x +c 得?3+c =0，解得c =3，则B(0,3)，

把A(1,0)，B(0,3)代入y =?x 2+bx +c 得{c +3?1+b+c=0

，解得{c =3b=?2

， ∴抛物线解析式为y =?x 2?2x +3；

(2)连接OP ，如图1，抛物线的对称轴为直线x =??2

2×(?1)=?1， 设P(x,?x 2?2x +3)(x

∴S △POB ?S △POA =S △ABO ，

当P 点在x 轴上方时，1

2?3?(?x)?1

2?1?(?x 2?2x +3)=1

2?1?3，解得x 1=?2，x 2=3(舍去)，此时P 点坐标为(?2,3)；

当P 点在x 轴下方时，1

2?3?(?x)?1

2?1?(x 2+2x ?3)=1

2?1?3，解得x 1=?5，x 2=0(舍去)，此时P 点坐标为(?5,?12)， 综上所述，P 点坐标为(?2,3)或(?5,?12)； (3)存在．

当y =0时，?x 2?2x +3=0，解得x 1=?1，x 2=?3，则C(?3,0)， ∵OC =OB =3，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=3√2，

当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D(0,t)，∵∠DBE=45°，

∴△BDE为等腰直角三角形，

∴DE=BE=√2

2BD=√2

2

(3?t)，

∵∠MCB=∠ABO，

∴tan∠MCB=tan∠ABO，

∴DE

CE =OA

OB

=1

3

，即CE=3DE，

∴3√2?√2

2(3?t)=√2

2

(3?t)，解得t=3

2

，则D(0,3

2

)，

设直线CD的解析式为y=mx+n，

把C(?3,0)，D(0,3

2)代入得{

?3m+n=0

n=3

2

，解得{

m=1

2

n=3

2

，

∴直线CD的解析式为y=1

2x+3

2

，

解方程组{y=1

2

x+3

2

y=?x2?2x+3

得{y=0

x=?3

或{

x=1

2

y=7

4

，此时M点坐标为(1

2

,7

4

)；

当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y=?3x+3，AB=√10，AC

设N(k,?3k+3)，

∵∠MCB=∠ABO，∠CBO=∠OCB，

∴∠NCA=∠ABC，

而∠BAC=∠CAN，

∴△ABC∽△ACN，

∴AB：AC=AC：AN，即√10：4=4：AN，

∴AN=8√10

5

，

∴(k?1)2+(?3k+3)2=(8√10

5

)2，

整理得(k?1)2=64

25，解得k1=9

5

(舍去)，k2=?1

5

，

∴N点坐标为(?1

5,18

5

)，

易得直线CN的解析式为y=9

7x+27

7

，

解方程组{y=9

7

x+27

7

y=?x2?2x+3

得{y=0

x=?3

或{

x=?2

7

y=171

49

，此时M点坐标为(?2

7

,171

49

)，

综上所述，满足条件的M点的坐标为(1

2,7

4

)或(?2

7

,171

49

).

【解析】

1. 解：?√2的相反数是√2，0的相反数是0，?1的相反数是1，4的相反数是?4，

∵√2>1，0<1，1=1，?4<1，

∴各数的相反数中，比1大的数是?√2．

故选：A．

首先求出每个数的相反数是多少；然后根据实数大小比较的方法判断即可．

此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2. 解：A、原式不能合并，符合题意；

B、原式=a5，不符合题意；

C、原式=a，不符合题意；

D、原式=a6，不符合题意，

故选：A．

各项计算得到结果，即可作出判断．

此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3. 解：根据主视图和左视图可得：

这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×2=6个正方体，第二层有1个正方体，

则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是6+1=7个；

故选：B．

根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．

此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数．4. 解：设点A的坐标为：(x,k

x

)，

由题意得，1

2×|x|×|k

x

|=4，

解得，|k|=8，

∵反比例函数y=k

x

的图象在第四象限，

∴k=?8，

故选：B．

设点A的坐标为：(x,k

x

)，根据三角形的面积公式计算即可．

本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一

点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1

2

|k|，且保持不变．

5. 解：{2x+1≤3①?1

2

x<1②，

解不等式①得：x≤1，

解不等式②得：x>?2；

所以不等式组的解集为：?2

所以不等式组的整数解为：?1，0，1，

所以整数解的和为?1+0+1=0，

故选：C．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解

了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

6. 解：原数据的平均数为1

5×(165+170+175+168+172)=170(cm)、方差为1

5

×[(165?

170)2+(170?170)2+(175?170)2+(168?170)2+(172?170)2]=58

5

(cm2)，

新数据的平均数为1

6×(165+170+170+175+168+172)=170(cm)，方差为1

6

×[(165?

170)2+2×(170?170)2+(175?170)2+(168?170)2+(172?170)2]=58

6=29

3

(cm2)，

所以平均数不变，方差变小，

故选：A．

根据平均数的意义、方差的意义，可得答案．

本题考查了方差，利用方差的定义是解题关键．

7. 解：根据题意得a≠1且△=32?4(a?1)?(?2)≥0，

解得a≥?1

8

且a≠1．

故选：D．

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32?4(a?1)?(?2)≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2?4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．

8. 解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，

∴选择转盘A获胜的概率是5

9

，

故选：B．

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9. 解：如图连接PC．

在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，

∴AB=4，

根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，

∴A′P=PB′，

∴PC=1

2

A′B′=2，

∵CM=BM=1，

又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，

∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线)．

故选：B．

如图连接PC.思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．

本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．

10. 解：连接OE，交CD?于W，连接DE，则OA=OE=OB=2，

∵四边形OCED是正方形，

∴∠AOE=∠BOE=45°，∠ECO=∠COD=∠ECO=∠EDO=90°，CE=OC，

在等腰三角形OCE中，CE=OC=2

√2

=√2，

∴S

扇形AOE ?S△EOC=S

扇形EOB

?S△EOD，

∴阴影部分的面积S=S

正方形OCED ?S

扇形COD

+1

2

(S

扇形AOB

?S

正方形OCED

)

=√2×√2?90π×(√2)2

360

+

1

2

×(

90π×22

360

?√2×√2)

=1，

故选：D．

根据正方形的性质得到∠AOE=∠BOE=45°，∠ECO=∠COD=∠ECO=∠EDO=90°，CE=OC，

求出正方形OCED的边长，得出阴影部分的面积=S正方形

OCED ?S

扇形COD

+1

2

(S

扇形AOB

?S

正方形OCED

)，

分别求出即可．

本题考查的是扇形面积的计算，正方形的性质，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．11. 解：(π?3)0+(?1

3

)?1，

=1?3，

=?2，

故答案为：?2．

根据零指数和负整数指定幂运算法则进行计算即可．

此题主要考查了实数的运算，熟练掌握零指数和负整数指定幂运算法则是关键．

12. 解：∵AE：EB=2：1，

∴AE：AB=2：3，

∵EF//BC，

∴AE

AB =EM

BN

=AM

AN

=MF

NC

，

即2

3=1

BN

=2

NC

，

∴BN=1.5，NC=3，∴BN：NC=1：2．故答案为：1：2．

先根据AE：EB=2：1，得到AE：AB=2：3，再根据EF//BC，即可得到2

3=1

BN

=2

NC

，进而得出

BN：NC的值．

本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

13. 解：设平移后的抛物线解析式为y=x2?2x+c+b，

把A(2,0)代入，得

0=c+b，

解得c+b=0，

则该函数解析式为y=x2?2x．

当y=0时，x2?2x=0，

解得：x1=0，x2=2，

∴此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是：0

故答案为：0

设平移后的抛物线解析式为y=x2?2x+c+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到c+b的值，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，即可得到结论．

主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．

14. 解：如图，连接PD．

∵B、D关于AC对称，

∴PB=PD，

∴PB+PE=PD+PE，

∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，

观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=9，

∴AE=EB=3，AD=AB=6，

在Rt△AED中，DE=√62+32=3√5，

∴PB+PE的最小值为3√5，

∴点H的纵坐标为3√5，

∵AE//CD，

∴PC

PA =CD

AE

=2，

∵AC=6√2，

∴PC=2

3

×6√2=4√2，

∴点H的横坐标为4√2，

∴H(4√2,3√5).

故答案为(4√2,3√5).

如图，连接PD.由B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PB+PE=PD+PE，推出当D、P、E 共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=9，推出AE=EB=3，AD=AB=6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题；

本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

15. 解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=√AC2+BC2=10，

∵∠ACB=90°，DB′⊥AB，

∴△BFD∽△BCA，

∴DF

AC =BF

BC

=BD

AB

，即DF

8

=BF

6

=2

10

，

解得，DF=8

5，BF=6

5

，

由折叠的性质可知，DB′=DB=2，BE′=BE，∴FB′=DB′?DF=2

5

，

在Rt△B′EF中，EF2+B′F2=B′E2，即(6

5?BE)2+(2

5

)2=BE2，

解得，BE=2

3

，

故答案为：2

3

．

根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质分别求出DF、BF，根据勾股定理计算即可．

本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

16. 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

17. (1)设A、B两种品牌的足球的单价分别为x元和y元.接下来，依据购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需340元：购买1个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需210元列方程组求解即可；

(2)设此次购买B品牌足球m个，则购买A品牌足球(50?m)个，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最大值即可；

(3)设购买50个足球所需总费用为w元，根据总价=单价×购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；(2)根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过3260元，列出关于m的一元一次不等式；(3)根据总价=单价×购买数量，找出w关于m的函数关系式．

18. 解：(1)∵调查的总人数为：10÷25%=40，

∴1部对应的人数为40?2?10?8?6=14，

∴本次调查所得数据的众数是1部，

∵2+14+10=26>21，2+14<20，

∴中位数为2部，

故答案为：1、2；

(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：6

40

×360°=54°；

故答案为：54；

(3)条形统计图如图所示，

(4)将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，画树状图可得：

共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，

故P(两人选中同一名著)=4

16=1

4

．

(1)先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；

(2)根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；

(3)根据1部对应的人数为40?2?10?8?6=14，即可将条形统计图补充完整；

(4)根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．

此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识.注意平均条数=总条数÷总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那

么事件A的概率P(A)=m

n

．

19. (1)证明：∵PC切⊙O于点P，

∴OP⊥PC，

∵AC⊥PC，

∴AC//OP，

∴∠1=∠3，

∵OP=OA，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∴AP 平分∠CAB ；

(2)解：①当∠AOP =90°，四边形AOPC 为矩形，而OA =OP ，此时矩形AOPC 为正方形，AP =√2OP =2√2；

②当AD =AP =OP =OD 时，四边形ADOP 为菱形，△AOP 和△AOD 为等边三角形，则∠AOP =60°，AP ?

的长度=

60?π?2180=2

3π.

故答案为2√2，2

3π.

(1)利用切线的性质得OP ⊥PC ，再证明AC//OP 得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，所以∠1=∠2；

(2)①当∠AOP =90°，根据正方形的判定方法得到四边形AOPC 为正方形，从而得到AP =2√2；

②根据菱形的判定方法，

当AD =AP =OP =OD 时，四边形ADOP 为菱形，所以△AOP 和△AOD 为等边三角形，然后根据弧长公式计算AP ?

的长度．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了正方形和菱形的判定．

20. 作EP ⊥BC 于点P ，延长ED 、BC 交于点H ，根据题意求得∠1=∠FHG =37°50′，先根据FG =30求得

，再根据CD =10求得

，继而由

CF =HF ?HC 可得答案．

本题主要考查解直角三角形的应用?坡度坡角问题，根据题意构建所需直角三角形和熟练掌握三角函数是解题的关键．

21. 解：(1)把点A(1,m)代入y =2x +6， 得m =2+6=8， ∴点A 的坐标为(1,8)

把点A(1,8)代入y =k

x (k >0)，得k =8． ∴反比例函数的解析式为：y =8

x 故答案为：8，y =8

x

(2)设点P 的坐标为(x,2x +6)

由于直线PM//x 轴，所以点M 的纵坐标为：2x +6 ∴点M(8

2x+6,2x +6)

∵S △PMB =1

2PM ×(2x +6)

=12(82x +6

?x)×(2x +6) =?x 2?3x +4

当x =??3?2=?1.5时，因为a =?1<0

S 最大=

4×(?1)×4?(?3)2

=

254

答：S 的最大值为25

4

(1)利用点A在一次函数图象上，先求出m，再把点A代入y=k

，确定反比例函数解析式；

x

(2)设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示出点P的纵坐标，由于PM与x轴平行，P、M有相同的纵坐标，可表示出点M的横坐标，利用三角形的面积公式得到关于x的二次函数关系，求出S 的最大值．

本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的面积及二次函数的极值.题目综合性比较强，利用三角形的面积公式得到x的二次函数关系是解决本题的关键．

22. (1)解：如图1中，连接CM．

∵∠ACD=90°，AM=MD，

∴MC=MA=MD，

∵BA=BC，

∴BM垂直平分AC，

∵∠ABC=90°，BA=BC，

∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠MBE=1

2

∵AB//DE，

∴∠ABE+∠DEC=180°，

∴∠DEC=90°，

∴∠DCE=∠CDE=45°，

∴EC=ED，∵MC=MD，

∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，

∴∠MEC=45°，

∴△BME是等腰直角三角形，

∴BM=ME，BM⊥EM．

故答案为BM=ME，BM⊥EM．

(2)解：结论：ME=√3MB．

理由：如图2中，连接CM．

∵∠ACD=90°，AM=MD，

∴MC=MA=MD，

∵BA=BC，

∴BM垂直平分AC，

∵∠ABC=120°，BA=BC，

∴∠MBE=1

2

∠ABC=60°，∠BAC=∠BCA=30°，∠DCE=60°，

∵AB//DE，

∴∠ABE+∠DEC=180°，

∴∠DEC=60°，

∴∠DCE=∠CDE=60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴EC=ED，∵MC=MD，

∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，

∴∠MEC=30°，

∴∠MBE+∠MEB=90°，∵∠MEB=1

2

∠CED=30°

∴EM=√3BM．

(3)如图3中，结论：EM=BM?sinα

2

．

理由：同法可证：BM⊥EM，BM平分∠ABC，

所以EM=BM?sinα

2

．

(1)如图1中，连接CM.只要证明△MBE是等腰直角三角形即可；

(2)结论：EM=√3MB.只要证明△EBM是直角三角形，且∠MEB=30°即可；

(3)结论：EM=BM?sinα

2

.证明方法类似；

本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，所以中考压轴题．

23. (1)先把A点坐标代入y=?3x+c求出得到B(0,3)，然后利用待定系数法求抛物线解析式；

(2)连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x=?1，设P(x,?x2?2x+3)(x

讨论：当P点在x轴上方时，1

2?3?(?x)?1

2

?1?(?x2?2x+3)=1

2

?1?3，当P点在x轴下方时，

1 2?3?(?x)?1

2

?1?(x2+2x?3)=1

2

?1?3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；(3)解

方程?x2?2x+3=0得C(?3,0)，则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC 下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D(0,t)，表示出DE=BE=√2

2

(3?t)，

接着利用tan∠MCB=tan∠ABO得到DE

CE =OA

OB

=1

3

，所以3√2?√2

2

(3?t)=√2

2

(3?t)，解方程求出t

得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y=1

2x+3

2

，然后解方程组

{y=1

2

x+3

2

y=?x2?2x+3

得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易

得直线AB的解析式为y=?3x+3，设N(k,?3k+3)，证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN=

8√10 5，再利用两点间的距离公式得到(k?1)2+(?3k+3)2=(8√10

5

)2，解方程求出t得N点坐标为

(?1

5,18

5

)，易得直线CN的解析式为y=9

7

x+27

7

，然后解方程组{

y=9

7

x+27

7

y=?x2?2x+3

得此时M点坐标．

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；灵活运用锐角三角函数的定义和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．