2018年河南省郑州市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数0，﹣π，，﹣4中，最小的数是（
A．0B．﹣πC．
2．（3分）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是（
）
D．﹣4
）A．0.675×105B．67.5×103C．6.75×104D．6.75×105
3．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．
D．
C．
4．（3分）下列运算正确的是（）
248224
A．a?a＝a B．2a+a＝3a
6232336
C．a÷a＝a D．（ab）＝a b
u
5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若ut?
，则（）
A．B．C．D．
6．（3分）“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（）月用水量（吨）
户数（户）
4
3
5
4
6
2
9
1 A．中位数是5吨
C．极差是3吨
B．众数是5吨
D．平均数是5.3吨
t
7．（3分）若关于x、y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是（）
A．k＞4B．k＜4C．k≤4D．k≥4
22
8．（3分）以x为自变量的二次函数y＝x﹣2（b﹣2）x+b﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）
A．b B．b≥1或b≤﹣1C．b≥2D．1≤b≤2 9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）
A．45°B．50°C．60°D．75°10．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M 从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2＝y，则y关于x的函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是．
12．（3分）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为．13．（3分）有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是
14．（3分）如图，菱形ABCD的面积为120cm，正方形AECF的面积为50cm，则菱形的边长为cm．
．
22
15．（3分）矩形纸片ABCD，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
．
t
t
16．（8分）按要求化简：（a﹣1）?，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．小聪计算这一题的过程如下：
t
解：原式＝（a﹣1）①
＝（a﹣1）?②
t
t③
当a＝1，b＝1时，原式④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第
还有第步出错（填序号），原因：
请你写出此题的正确解答过程．
步（填序号），原因：；
．
17．（9分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图：
（1）填空：样本中的总人数为人；开私家车的人数m＝；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为度；
（2）补全条形统计图；
（3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？
18．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连
接EF．求证：四边形ABFE为菱形．
19．（9分）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
20．（9分）如图1，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，
垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC
相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．
21．（10分）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：
月份（x）1月2月3月4月5月6月销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台（1）求p关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．
22．（10分）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
（i）求证：△CAE∽△CBF；
（ii）若BE＝1，AE＝2，求CE的长；
t
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且t?k时，若BE＝1，AE
?
＝2，CE＝3，求k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE
＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
23．（11分）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP＝S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
2018年河南省郑州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．【解答】解：∵正数大于0和一切负数，
∴只需比较﹣π和﹣4的大小，
∵|﹣π|＜|﹣4|，
∴最小的数是﹣4．
故选：D．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：67500用科学记数法表示为：6.75×104．
故选：C．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．
故选：B．
4．【分析】分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判断得出即可．
246
【解答】解：A、a?a＝a，故此选项错误；
222
B、2a+a＝3a，故此选项错误；
624
C、a÷a＝a，故此选项错误；
2336
D、（ab）＝a b，故此选项正确．
故选：D．
5．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
?u ut
∴，
故选：C．
6．【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．【解答】解：A、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；
B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；
C、极差为9﹣4＝5（吨），错误，故选项正确；
D、平均数＝（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10＝5.3，正确，故选项错误．
故选：C．
7．【分析】利用根与系数的关系可以构造一个两根分别是x，y的一元二次方程，方程有实数根，用根的判别式≥0来确定k的取值范围．
【解答】解：∵xy＝k，x+y＝4，
∴根据根与系数的关系可以构造一个关于m的新方程，设x，y为方程m2﹣4m+k＝0的实数根．
△＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，
解不等式16﹣4k≥0得
k≤4．
故选：C．
22
8．【分析】由于二次函数y＝x﹣2（b﹣2）x+b﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．
22
【解答】解：∵二次函数y＝x﹣2（b﹣2）x+b﹣1的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a＝1，
∴抛物线开口方向向上，
当抛物线的顶点在x轴上方时，
222
则b﹣1≥0，△＝[2（b﹣2）]﹣4（b﹣1）≤0，
解得b；
当抛物线的顶点在x轴的下方时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x，x，
12
2
∴x+x＝2（b﹣2）＞0，b﹣1＞0，
12
22
∴△＝[2（b﹣2）]﹣4（b﹣1）＞0，①
b﹣2＞0，②
b2﹣1≥0，③
由①得b＜，由②得b＞2，
∴此种情况不存在，
∴b，
故选：A．
t h
9．【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADCβ，∠ADC＝α；而α+β＝180°，
t h
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故选：C．
10．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，
∴AN＝1．
∴当点M位于点A处时，x＝0，y＝1．
①当动点M从A点出发到AM＝0.5的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；
②当动点M到达C点时，x＝6，y＝4，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故
排除A、C．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x≠0，
解得x≤2且x≠0．
故答案为：x≤2且x≠0．
12．【分析】设反比例函数解析式为y，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝3×（﹣4）＝﹣2m，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y，
根据题意得k＝3×（﹣4）＝﹣2m，
解得m＝6．
故答案为6．
13．【分析】由有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，
∴从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是：．
故答案为：．
14．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC cm，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD cm，
t cm．
所以菱形的边长
故答案为：13．
15．【分析】如图1，当点P在CD上时，由折叠的性质得到四边形PFBE是正方形，EF过点C，根据勾股定理即可得到结果；如图2当点P在AD上时，过E作EQ⊥AB于Q，根据勾股定理得到PB t t t t3，推出△ABP∽△EFQ，列比例式
即可得到结果．
【解答】解：如图1，当点P在CD上时，
∵PD＝3，CD＝AB＝9，
∴CP＝6，∵EF垂直平分PB，
∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，
∴EF＝6，
如图2，当点P在AD上时，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵PD＝3，AD＝6，
∴AP＝3，
∴PB t t t t3，
∵EF垂直平分PB，
∴∠1＝∠2，
∵∠A＝∠EQF，
∴△ABP∽△EFQ，
t
∴，
t t
∴，
t
∴EF＝2，
综上所述：EF长为6或2．
故答案为：6或2．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．【分析】由于乘法和除法是同级运算，应当按照从左向右的顺序计算，①运算顺序错误；
④当a＝1时，等于0，原式无意义．
t
【解答】解：①运算顺序错误；
故答案为：①，运算顺序错误；
④当a＝1时，等于0，原式无意义．
t
t t t t t
（a﹣1）?（a﹣1）??，
t
h
当a＝2，b＝2时，原式．
故答案为：a等于1时，原式无意义．
17．【分析】（1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分比求出m，用360°乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解；
（2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可；
（3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解即可．
【解答】解：（1）样本中的总人数为：36÷45%＝80人，
开私家车的人数m＝80×25%＝20；
扇形统计图中“骑自行车”所占的百分比为：1﹣10%﹣25%﹣45%＝20%，
所在扇形的圆心角为360°×20%＝72°；
故答案为：80，20，72；
（2）骑自行车的人数为：80×20%＝16人，
补全统计图如图所示；
（3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，
由题意得，2000+x
h 2000﹣x，
h
解得x≥50，
答：原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数．
18．【分析】（1）根据角平分线的作法作出∠ABC的平分线即可；
（2）首先根据角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE＝∠AEB，进而得出△ABO ≌△FBO，进而利用AF⊥BE，BO＝EO，AO＝FO，得出即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵∠EBF＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
∵在△ABO和△FBO中，
t t
t t，
t t
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO＝FO，
∵AF⊥BE，BO＝EO，AO＝FO，
∴四边形ABFE为菱形．
19．【分析】过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD＝PD?tan26.6°；解Rt△CPD，得出CD＝PD?tan37°；再根据CD﹣BD＝BC，
列出方程，求出PD＝320，进而求出PE＝60，AE＝120，然后在△APE中利用三角函数
的定义即可求解．
【解答】解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．
在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，
∴BD＝PD?tan∠BPD＝PD?tan26.6°；
在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝37°，
∴CD＝PD?tan∠CPD＝PD?tan37°；
∵CD﹣BD＝BC，
∴PD?tan37°﹣PD?tan26.6°＝80，
∴0.75PD﹣0.50PD＝80，
解得PD＝320（米），
∴BD＝PD?tan26.6°≈320×0.50＝160（米），
∵OB＝220米，
∴PE＝OD＝OB﹣BD＝60米，
∵OE＝PD＝320米，
∴AE＝OE﹣OA＝320﹣200＝120（米），
∴tanα0.5，
∴坡度为1：2．
20．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k＝2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2），则AH＝21，BH＝21，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH＝
45°，得到∠DAC＝∠BAC﹣∠BAH＝30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC；
由于AD⊥y轴，则OD＝1，AD＝2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD
＝2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y x ﹣1；
（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t，t﹣1），则MN t+1，根据三角形面积公式得到S△CMN
t
?t?（t+1），再进行配方得到S（t）2t（0＜t＜2），最后根据
h
二次函数的最值问题求解．
【解答】解：（1）把A（2，1）代入y
得k＝21＝2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y
得a＝2，
∴B点坐标为（1，2），
∴AH＝21，BH＝21，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAH＝30°，
；
∴tan∠DAC＝tan30°
∵AD⊥y轴，
∴OD＝1，AD＝2，
?u
∵tan∠DAC，
u
∴CD＝2，
∴OC＝1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把 A （2 ，1）、C （0，﹣1）代入 t 得 解 ，
，
∴直线 AC 的解析式为 y x ﹣1；
（3）设 M 点坐标为（t ，
）（0＜t ＜2 ），
∵直线 l ⊥x 轴，与 AC 相交于点 N ， ∴N 点的横坐标为 t ，
∴N 点坐标为（t ， t ﹣1），
t+1，
∴MN
（ t ﹣1）
∴S △CMN ?t ?（ t+1）
2
t t tt
（t ）2t t
h
（0＜t ＜2 ），
∵a
＜0，
t h
∴当 t 时，S 有最大值，最大值为
．
21．【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用销量×售价＝销售金额，进而利用二次函数最值求法求出即可；
（3）分别表示出 1，2 月份的销量以及售价，进而利用今年 2 月份这种品牌手机的销售 额为 6400 万元，得出等式求出即可． 【解答】解：（1）设 p ＝kx+b ，
把p＝3.9，x＝1；p＝4.0，x＝2分别代入p＝kx+b中，
t?t
t?
得：，
?
?h
解得：，
∴p＝0.1x+3.8；
（2）设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，
w＝（﹣50x+2600）（0.1x+3.8）
＝﹣5x2+70x+9880
＝﹣5（x﹣7）2+10125，
当x＝7时，w最大＝10125，
答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；
（3）当x＝12时，y＝2000，p＝5，
1月份的售价为：2000（1﹣m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1﹣m%）元；1月份的销量为：5×（1﹣1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1﹣1.5m%）+1.5]万台；
∴0.8×2000（1﹣m%）×[5×（1﹣1.5m%）+1.5]＝6400，
解得：m1%（舍去），m2%，
∴m＝20，
答：m的值为20．
22．【分析】（1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得?
t?
?
?
，
∠ACE＝∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．
（ii）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE＝∠CBF，再根据∠CAE+∠CBE＝90°，
判断出∠EBF＝90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．
t ?t?
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△BCF，即可判断出
t，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF＝90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．
（3）首先根据∠DAB＝45°，可得∠ABC＝180°﹣45°＝135°，在△ABC中，根据勾
222222
股定理可求得AB、BC，AC之间的关系，EF、FC，EC之间的关系；然后根据相似
三角形判定的方法，判断出△ACE∽△BCF，即可用n表示出BF的值；最后判断出EBF
＝90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可．【解答】（1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
?t???
∴，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△CAE和△CBF中，
??
t??
?t?
，
∴△CAE∽△CBF．
（ii）解：∵△CAE∽△CBF，
t ?t?
∴∠CAE＝∠CBF，，又∵∠CAE+∠CBE＝90°，
∴∠CBF+∠CBE＝90°，
∴∠EBF＝90°，
t ?t?
又∵，AE＝2
∴，
t
∴t，
222
∴EF＝BE+BF t3，
∴EF，
22
∵CE＝2EF＝6，
∴CE．
（2）如图②，连接BF，
t
t??
∵k，
∴BC＝a，AB＝ka，FC＝b，EF＝kb，
∴AC tt t ? t t ， CE t ? t t ， ? t ?
? ?
∴
t ，∠ACE ＝∠BCF ，
在△ACE 和△BCF 中，
? ?
t ? ?
t ，
? t ?
∴△ACE ∽△BCF ，
? ∴
t ，∠CAE ＝∠CBF ，
t
t ? 又∵AE ＝2， ∴
t ，
t
∴BF
，
t
∵∠CAE ＝∠CBF ，∠CAE+∠CBE ＝90°， ∴∠CBE+∠CBF ＝90°， ∴∠EBF ＝90°，
t
2 2 2 ∴EF ＝BE +BF ＝1t
，
? ? ∵ ∴
t ，
t ?
，CE ＝3，
∴EF ∴1t
，
t t t
，
t t
∴ ， h
解得 k ＝± ，
t t ?
∵
k ＞0，
?
∴k
．