第六章习题解答
习题6.1
1、设2
V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ?
?????；（2）,()x x y V f y y αα-????
=∈= ? ?????； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ?
?+??
??
；
（4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???
，0V α∈是一个固定的非零向量。
（5）0,()x V f y ααα??
=∈= ???
，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有
1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++????????
+===+=+ ? ? ? ?++????????
11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++??????
==== ? ? ???????
（2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有
1212121122121212()()()()
x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--????????
+===+=+ ? ? ? ?++????????11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--??????
==== ? ? ???????
（3）不是。因为
12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++????+== ? ?++++????
而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????
+=+=
? ? ?+++++??????
所以()()()f f f αβαβ+≠+
（4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+
所以()()f k kf αα≠
（5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n
V P
?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2
n 维线性空间，
设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义
()f M MA AM =+
证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则
()()()()()()()f M N M N A A M N MA AM NA AN f M f N +=+++=+++=+ ()()()()()f kM kM A A kM k MA AM kf M =+=+=
所以 f 是V 的一个线性变换。
3、设3
V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
22()(,,)f x y z y z x y z α=+-++-
证明：f 是V 的一个线性变换。
证明，111222(,,),(,,),x y z x y z k F αβ''?==?∈
121212()(,,)
f f x x y y z z αβ+=+++121212121212121222(()()(),()(),()()())
x x y y z z y y z z x x y y z z =+++-+++++++-+11122211221112222222(()(),()(),()())x y z x y z y z y z x y z x y z =+-++-++++-++- 11111111222222222222(,,)(,,)x y z y z x y z x y z y z x y z =+-++-++-++- ()()f f αβ=+
1111111122()(,,)f k kx ky kz ky kz kx ky kz α=+-++- 1111111122(,,)()k x y z y z x y z kf α=+-++-=
所以 f 是V 的一个线性变换。
习题6.2
1、,f g 是2
R 的线性变换，2
(,)x y R α=∈使0()(,),()(,)f x y g y x αα=+=-，求
2253,,,
,,f g f g gf fg f g +-
解：0()()()()(,)(,)(,)f g f g x y y x x x ααα+=+=++-=
5353503583()()()()(,)(,)(,)f g f g x y y x x y x ααα-=-=+--=+- 00()(())(,)(,)gf g f g x y x y αα==+=+ 0()(())(,)(,)fg f g f y x x y αα==-=-
200()(())(,)(,)f f f f x y x y αα==+=+ 2()(,)(,)g g y x x y α=-=--
2、设f 是2
R 的线性变换，对2
R α∈有
()(,)f x y x y α=+-
求()P f ，其中21()P t t t =++。 解：记e 表示恒等变换，
则22()()()()()()P f f f e f f ααααα=++=++
2()()()()(,)(,)(,)P f f f e f x y x y x y x y x y αα=++=+-++-+
2242(,)(,)(,)(,)x y x y x y x y x y x y =++-+=++
3、证明线性变换的算律（1）——（3）、（5）——（8）、（9）——（11）
证明：（1）(),()V f g V ααα?∈?∈，由§4.1的向量运算的算律（1）有
()()()()()()()f g f g g f g f f g g f
αααααα+=+=+=+∴+=+
（2）(),(),()V f g h V αααα?∈?∈由§4.1的向量运算的算律（2）有
[()]()()()()[()()]()
()[()()]()()()[()]()
()()
f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h αααααααααααα++=++=++=++=++=++∴++=++
（3）()V f V αα?∈?∈，定义变换0：00()α=，显然这个变换是线性变换，由§4.1的向量运算的算律（3）有
000000()()()()()()()()()()()()
f f f f f f f f αααααααααα+=+=+=+=+=+=
00f f f ∴+=+=
（5）()V f V αα?∈?∈，由§4.1的向量运算的算律（5）有
111()()(())()f f f f f ααα==?=
（6）,,()V k l F f V αα?∈∈?∈，由§4.1的向量运算的算律（6）有
[()]()()()[()][()()]
[()]()
()()
kl f kl f k lf k lf k lf kl f k lf ααααα====∴= （7）,,()V k l F f V αα?∈∈?∈，由§4.1的向量运算的算律（7）有
[()]()()()[()][()]()()
()()()()
()k l f k l f k f l f kf lf kf lf k l f kf lf
αααααααα+=+=+=+=+∴+=+ （8）,(),()V k F f g V ααα?∈∈?∈，由§4.1的向量运算的算律（8）有
[()]()()()[()()]()g()
()()(g)()
()k f g k f g k f g kf k kf k k f g kf kg
αααααααα+=+=+=+=+∴+=+ （9）(),(),()V f g h V αααα?∈?∈，则
[()]()[()()](()())h f g h f g h f g αααα+=+=+（本节定义1）
(())(())()()()()[]()
h f h g hf hg hf hg ααααα=+=+=+
所以 ()h f g hf hg +=+
（10）(),(),()V f g h V αααα?∈?∈，则
[()]()[()()]((()))()(())[()]()
h fg h fg h f g hf g hf g ααααα====
所以 ()()h fg hf g =
（11）,(),()V k F f g V ααα?∈∈?∈，则
[()]()()()((()))()(())[()]()k fg k fg k f g kf g kf g ααααα====
所以 ()()k f g
k f g = 其次 [()]()(())((())()()f kg f kg k f g k fg αααα=== 所以 ()()f kg k fg =
4、设f 是2
R 的线性变换，123311173(,),(,),(,)ααα===，如果120()(,)f α=，
201()(,)f α=，求3()f α。
解：因为12322311173(,)(,)(,)ααα+=+== 所以 312122222001()()()()(,)(,)
f f f f ααααα=+
=+=+ 400141(,)(,)(,)=+=
5、设()f L V ∈，1110()m m m m P x a x a x a x a --=++++ 是F 上的多项式，证明
1110()()m m m m P f a f a f a f a E L V --=++++∈ ，称()P f 是线性变换f 的多项式。
证明：由线性变换的乘法定义和性质，对自然数12,,,m ，有2,,,()m f f f L V ∈ ，再由数乘定义与性质，对110,,,m m a a a a F -∈ ，有1110,,,()m m m m a f a f a f a E L V --∈ 再由线性变换的加法定义有1110()()m m m m P f a f a f a f a E L V --=++++∈
习题6.3
1、求矩阵A 的特征根和特征向量：
（1）311242113A ?? ?= ? ???；（2）110010001A ?? ?= ? ???；（3）110430100A -?? ?=- ? ???
解：（1）3
112022
4
224
21
1
3113
||E A λλλλλλλλ------=---=---------
2101
1
22422244244113114
()()()[()]λλλλλλλλ-=----=----=---------
262()()()λλλ=---
所以，特征根为2，2，6 对于2λ=
111111222000111000()E A λ---???? ? ?
-=---→ ? ? ? ?---????
，则线性无关特征向量为
12110101(,,),(,,)ηη''=-=-
对于6λ=
311311113101222222048012113113048000()E A λ------???????? ? ? ? ?
-=--→--→-→- ? ? ? ? ? ? ? ?----????????
得线性无关特征向量3121(,,)η=
（2）31
10
01
010
1
||()E A λλλλλ---=
-=--
特征根为三重根1，则
010000000()E A λ-?? ?
-= ? ???
，线性无关特征向量为12100001(,,),(,,)ηη''==
（3）221
10
4
3023411
0||()()E A λλλλλλλλλ
+--=
-=--+=-- 特征根为0、1、1
对于0λ=，
110110100430010010100010000()E A λ--?????? ? ? ?
-=-→→ ? ? ? ? ? ?--??????
线性无关特征向量为1001(,,)η=
对于1λ=
210101420012101000()E A λ--????
? ?
-=-→- ? ? ? ?-????
线性无关特征向量为1121(,,)η=
2、设A αλα=，证明(t t
A t αλα
=是正整数）
。
证明：对t 用数学归纳法：t=1显然成立，设命题对1t -成立，则
1111()()t t t t t t A A A A A ααλαλαλλαλα
----=====
命题对一切自然数都成立。
3、设n 阶方阵A 满足2
A A =（此时A 称为幂等矩阵）。证明A 的特征根是1或0。 证明：设A 的特征根为λ，对应的特征向量为α，那么
22()()A A A A A ααλαλαλα====，但2A A =
所以有210()λαλαλλα=?-=，但0α≠，所以10()λλ-=，从而A 的特征根是1或0。
4、证明A 与A '有相同的特征根。 证明：|||()|||E A E A E A λλλ''-=-=- 所以A 与A '有相同的特征根。
5、设A αλα=，01()m m x a a x a x ?=+++ ，证明()()A ?α?λα=，其中
01()m m A a E a A a A ?=+++ 。
证明：由习题2及矩阵的运算得：
010*******()()()()()()()m m m m m m m m m m A a E a A a A a E a A a A a a A a A a a a a a a ?ααααα
ααα
αλαλαλλα?λα
=+++=+++=+++=+++=+++=
6、设A 是n 阶方阵，A 的特征根为12,,,n λλλ ，证明： （1）A 可逆当且仅当0123,,,,,i i n λ≠= ； （2）当A 可逆时，求1
A -的特征根。
解：（1）由定理6.3.3知12||n A λλλ= ，所以A 可逆当且仅当0123,,,,,i i n λ≠= 。 （2）1111
|||||()|E A AA A A A E λλλλ-----=-=- 因此，如果λ是A 的特征根，那么1
λ
-是1A -的特征根。于是1A -的特征根是111
12,,,n λλλ---
7、设A αλα=，A βλβ=，则对任意数k ，l ，有()()A k l k l αβλαβ+=+ 证明：()()A k l kA lA k l k l αβαβλαλβλαβ+=+=+=+
习题6.4
1、求下列矩阵的特征根和特征向量，并指出哪个矩阵与对角矩阵相似，写出满足相似关系的可逆矩阵和对角矩阵。
（1）120020211A ?? ?= ? ?--??；（2）320131571A -?? ?=-- ? ?-??；（3）112336224A -?? ?=- ?
?-??
解：（1）21
20
02
0122
1
1
||()()E A λλλλλλ---=
-=---
特征根为1，2 对于1λ=，
020100010010210000()E A λ-???? ? ?
-=-= ? ? ? ?????
，线性无关特征向量为1001(,,)η=
对于2λ=，
120120502000051051211000000()E A λ--?????? ? ? ?
-==→ ? ? ? ? ? ???????
线性无关特征向量为1205(,,)η=- A 不能对角化。
（2）23
20
13
1311073215
7
1
||()()()()E A λλλλλλλλ--=
-=-+++--+-+
23
2
2
69110732158412()()()()()()
λλλλλλλλλλ=-++-+--+=-+-=--
特征根为1，2 对于1λ=，
220101121011572000()E A λ--???? ? ?
-=-=- ? ? ? ?-????
线性无关特征向量为1111(,,)η=
对于2λ=
120102111011573000()E A λ-???? ? ?
-=-→ ? ? ? ?-????
线性无关特征向量为1211(,,)η=-
A 不能对角化。
（3）
1
12
3
3
6134121243121342
2
4
||()()()()()()E A λλλλλλλλλλ---=-+-=-+-++-++-+---2322234111222()()()λλλλλλλλ=+--+-=-=-
特征根为0，2 对于0λ=，
112112336000224000()E A λ---???? ? ?
-=--→ ? ? ? ?--????
线性无关特征向量为12201021(,,),(,,)ηη=-= 对于2λ=，
112201356023222000()E A λ--???? ? ?
-=--→- ? ? ? ?--????
线性无关特征向量为1132(,,)η=
可以对角化，满足相似关系的可逆矩阵为
201023112T ?? ?= ? ?-??，对应的对角矩阵为：1000000002T AT -?? ?= ? ???
2、设142034043A ??
?=- ? ???
，求4
A ；
解：21
42
03
41251550
4
3
||()()()()()E A λλλλλλλλλ----=
+-=--=--+--
特征根为1，5，－5。
对于1λ=042010044001042000()E A λ--????
? ?-=-→ ? ? ? ?--????
，线性无关特征向量为1100(,,)η=；
对于5λ=
442202084021042000()E A λ---????
? ?
-=-→- ? ? ? ?-????
，线性无关特征向量为2212(,,)η=；
对于5λ=-
642321101024012012048000000()E A λ----?????? ? ? ?
-=--→→ ? ? ? ? ? ?--??????
，
线性无关特征向量为3121(,,)η=-；
令121012021T ?? ?=- ? ???，则1155T AT -?? ?= ?
?-??
所以 141625625T A T -??
?= ?
???
1
4111211121625012625012625021625021A T T --????????
? ?????==-- ? ????? ? ?????????????
12110012110051055000120100120100510050021001005021005021?????? ? ? ?-→-→- ? ? ? ? ? ?--?????? 5100521500505050012050012005021005021--???? ? ?→→ ? ? ? ?--????
1
12150510120125021021--????
? ?
-= ? ? ? ?-????
4121150511250
050511012625012062512500125502162502101250625021A --?????????? ????? ???=-=- ????? ??? ????? ???--?????????? 5
1250
24951250499
10
312500625050031250
0625
???? ?
?
== ?
? ? ??
??
? 3、设A 是n 阶方阵，证明：
（1）A 可逆当且仅当A 的每个特征根都不等于0；（这是习题6.3的第6题） （2）若A 可逆，λ是A 的特征根，则1
λ
-是1
A -的特征根；（这也是）
（3）A 与对角矩阵相似当且仅当1
A -亦是。
证明：前两小题是习题6.3的第6题
这里证明（3）()?A 可以对角化，则存在可逆矩阵T 使1
T AT B -=，B 是对角矩阵。两边取逆矩阵得：1
1
1
T A T B ---=，而1
B -也是对角矩阵；所以1A -也可以对角化
()?1A -可以对角化，则存在可逆矩阵T 使11T A T B --=，B 是对角矩阵。两边取逆矩阵
得：1
1
T AT B --=，而1
B -也是对角矩阵；所以A 可以对角化。
4、设111222,A A αλααλα==，且12λλ≠，证明不存在数λ使1212()().A ααλαα+=+ 证明：假若不然，有数λ使1212()().A ααλαα+=+ 那么有12121122()A A A ααααλαλα+=+=+
于是12112211220()()()λααλαλαλλαλλα+=+?-+-=
由定理6.4.212,αα线性无关，所以有12120λλλλλλ-=-=?=，这与已知矛盾。 5※、设A 是n 阶方阵，如果有正整数m ，使m
A E =。则A 与对角矩阵相似。 证明：设1()m g λλ=-,那么0()g A =,
6、设A 是n 阶方阵，若A ≠0，且有正整数m （2)m ≥使0m
A =，证明 （1）A 只以0为特征根； （2）A 不能与对角矩阵相似。
证明：设λ是A 的特征根，α是属于λ的特征向量，那么00m
m
A αλαα=== 但000m
αλ
λ≠?=?=，所以A 只以0为特征根；
其次，如果A 能对角化，则有对角矩阵B 与可逆矩阵T 使，但A 的特征根都是0，所以B 只能是零矩阵，这与前提矛盾。
习题6.5
1、设V 是数域F 上n 维线性空间，证明：
（1）恒等变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵； （2）零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵； （3）数变换在任何基下的矩阵都是数量矩阵。 证明：（1）设
12,,,n ααα 是V 的任意一组基，用I 表示恒等变换，则有
12,,,,i i I i n αα== ，所以恒等变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵；
（2）设12,,,n ααα 是V 的任意一组基，用O 表示零变换，则有012,,,,i O i n α== ，所以零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵； （3）设
12,,,n ααα 是V 的任意一组基，用K 表示数乘变换，则有
12,,,,i i K k i n αα== ，所以数乘变换在任何基下的矩阵都是数量矩阵；
2、证明定理6.5.3中的（1），（2）。 证明：定理内容：设?是()L V 到n n
F
?的双射，满足
1212(),((),(),,())(,,,)n n n n f L V A F f f f A αααααα??∈?∈?=
这里12,,,n ααα 是V 的基。
那么有：()()()f g f g ???+=+；()(),kf k f k F ??=∈ 事实上：,(),,n n f g L V A B F ??∈?∈
12121212((),(),,())(,,,)((),(),,())(,,,)n n n n f f f A g g g B
αααααααααααα?==
于是1212(()(),()(),,()())(,,,)()n n f g f g f g A B αααααα+++=+ 1212(,,,)(,,,)n n A B αααααα=+ 1212((),
(),,())((),(),,
()))
n n f f f g g g αααααα=+ 所以 ()()()f g f g ???+=+
其次：12120(()(),((),,()())((),(),,())n n kf kf kf kf kf kf αααααα=
12((),(),,())n k f f f ααα=
所以 ()(),kf k f k F ??=∈
3、在3R 中，123100010001(,,),(,,),(,,)
εεε'''===，f 是3
R 的线性变换，对任意的3123(,,)x x x R α'=∈，有122312()(,,)f x x x x x α'=-+，
（1）求f 在123,,εεε下的矩阵；
（2）求f 在123,,ηηη下的矩阵，其中123111101011(,,),
(,,),(,,)ηηη'''=-=-=
解：（1）1132122012110()(,,),()(,,),f f εεεεεε''==+=-=-+
323011()(,,),f εεε'==+
所以f 在基123,,εεε下的矩阵为210011101A -?? ?= ? ???
； （2）11232123321322112()(,,),()(,,),f f ηεεεηεεε''=--=-+-=-=-+
3121202()(,,),f ηεε'=-=-+
记321212110B --??
?=- ? ?-??，则123123((),(),())(,,)f f f B ηηηεεε= 从基123,,εεε到基123,,ηηη的过渡矩阵为110101111T -??
?= ?
?-??
即 123123(,,)(,,)T ηηηεεε=
那么设f 在123,,ηηη下的矩阵的矩阵为C ，那么
123123123((),(),())(,,)(,,)f f f C B ηηηηηηεεε==
所以 123123(,,)(,,)T C B εεεεεε=
，即1C T B -=，说明C 是矩阵方程TX B =的解
110321110321101212011111111110001431(,)T B ------????
? ?
=-→- ? ? ? ?----????
110321100643010322010322001431001431------???? ? ?→-→- ? ? ? ?----????
所以 643322431C -??
?
=- ? ?--??
4、设12,,,n ααα 是n 维线性空间V 的基，C 是可逆n 阶方阵，证明：
1212(,,,)(,,,)n n C βββααα=
也是V 的基。
证明：设11220n n x x x βββ+++= ，但1212(,,,)(,,,)n n C βββααα=
所以11220n n x C x C x C ααα+++=
所以 11221200(,,,)n n n x x x x C
C x x ααα???? ? ? ? ?=?= ? ? ? ?????
但C 是可逆n 阶方阵，所以齐次线性方程组0CX =只有零解，从而12,,,n βββ 线性无关，所以12,,,n βββ 也是V 的基。
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
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,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1αβ，那么 ∑== n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； 第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义 复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ，有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题： 当a 与b 满足（D ）时，有a b 解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ； （B ） a b （为常数）; (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), （C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反. 2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是（B ）； （A ）椭球面； （B ） 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面； （D ） 单叶双曲面. 科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中 高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 复习题A 一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =， k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠． 2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则 k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠． 3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+； (A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ． (A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反． 2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ． 3 、在空间直角坐标系中，方程2 2 21y x z --=所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2 2 21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. （1）.1 213 （2）.4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. （1）423π? ? （2） 54 π （3）2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 （5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ（） 8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12．计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13．计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14．求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a 《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ； ．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2 +4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 《高等代数》（上）题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2 习题6-2 1 求图6-21 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1 021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β== 第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈. 3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩. 6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=???????????????????????????????????????? 第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，高等代数习题
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