保险精算（第二版）
第一章：利息的基本概念
练 习 题
1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1
(5)25 1.8
0.8
,1
25300*100
(5)300180300*100300*100(8)(64)508
180180
a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)
0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)
A A A A A A i i i A A A ---=
=====
(2)假设()()100 1.1n
A n =?，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)
0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)
A A A A A A i i i A A A ---=
=====
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5
年后的积累值。
1113
2153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120
500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97
a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+=
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1
A A i i i A ==+++?=
5．确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12
3
4
1()410000(3)10000(1)11956.18
4
10000(3)10000111750.08
14i a i a =+=?? ?
=+= ? ???
6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()
()m m d d
i i δ<<<<。
7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。、
12
00.7210000(12)100001000020544.33t dt a e e δ?===
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
(4)(2)4
1
42
12(1)(1)(1)(1)(1)
42
1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625 1.3332658580.74556336
i i i i d i -+=+-++==?= 9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6
t t
δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
()()
20212112
21212
() 1.01()1.01, 1.432847643
t
t t
t dt
t t
a t a t e e
e t δ=?==?==
10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
()()()
2
2
10.010.12
20.01*200.1*2020
4
2
3
()1()11 1.8221
t
t t
t t dt
a t i a t e e
i e
e i δ++=+?==?+==+=
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19
B. 4.04
C. 3.31
D. 5.21
(3)3*5
153(1)3*1.02 4.03763
i +==
12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
A.7 225
B.7 213
C.7 136
D.6 987
(2)2*24(1) 1.03 1.12552
i +==
第二章：年金
练习题
1．证明()
n m m n v v i a a -=-。
()11()m n
n m m n v v i a a i v v i i
---=-=-
2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付
10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A 。
120
12011000100079962.96(8.7%/12)
16000079962.9680037.04
v a i i
-===∴-= 3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。
7
18711110.08299
a a a i i ??
=+ ?+??
∴=
4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。
10
101015000112968.7123
a x a i x ??
= ?+??
∴=
5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知10
1
2
v
=
，计算K 。 10
20
101010
20
1010
1110002000100011111800
A a a a i i
B Ka K a i A B K ????
=++ ? ?++??????
=+ ?+??
=∴=
6． 化简()
1020101a v v ++ ，并解释该式意义。
()102010301a v v a ++=
7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
510
55111000200017000113.355%
a a i i i ????
+= ? ?
++?????=
8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k 年的实际利率为
1
8k
+，计算V(2)。 112119111(2)11(1)(1)
(1)
(1)
99911011
28
V i i i i i =+
+++
+++++=+++
9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n 年每年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )
A. 113n
??
???
B. 1
3n C.
13n
?? ???
D.3n 1
211
213
n n n n n a v a v v i i v ∞=-==
11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t 时的年付款率为()2
1t +,t 时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）
A.52
B.54
C.56
D.58
011
2
5|651125|65()(1)111
()()11
(1)54
1t t dt a v t t dt
v t a t t e a t dt t δ=+=
==
+??=+=+??
第三章：生命表基础
练习题
1．给出生存函数()22500
x s x e
-=，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
()()()10502050(5060)50(60)
50(60)
(50)
(70)(70)
70(50)
P X s s s s q s P X s s p s <<=--=
>==
2. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr ［T(60)＞5］=0.92094，求60q 。
()()
()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)
0.2058
(65)
s s s q p s s s s q s -=
===-∴=
=
3. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
808081
808080
0.07d l l q l l -=
== 4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
120
121
122
(20)0.92,(21)0.915,(22)0.909d d d d d d s s s l l l +
++
++
+=
==
==
=
5. 如果22
1100x x x
μ=
+
+-,0≤x ≤100, 求0l =10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（ ）。
A.2073.92
B.2081.61
C.2356.74
D.2107.56
002
22
11000100()1((1)(4))2081.61
x
x
x dx dx x x x s x e e x l s s μ-+-
+--??
??=== ?
+??-=
6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|201q 为
（ ）。
A. 0.008
B. 0.007
C. 0.006
D. 0.005
2221
1|2020
0.006l l q l -=
= 第四章：人寿保险的精算现值
练 习 题
1. 设生存函数为()1100
x
s x =- (0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)： (1)趸缴纯保费130:10
ā的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。
10
10130:10
10
10
211222
230:1030:10
()1()1100()10011
0.0921.17011
()()0.0920.0920.0551.2170
t x x t t
t
t x x t t
t t x x t x s x t s x p s x x
A v p dt dt Var Z A A v p dt dt μμμ+++'+=-
?=-=-??=== ?
??
??=-=-=-= ?
??????
2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：4
1135
36373839234535:5
3511000()1.06 1.06 1.06 1.06 1.06
k k x x k k d d d d d A
v p q l ++===
++++∑ 查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549l d d d d d ======代入计算：
4
1135
36373839234535:5
3511000() 5.7471.06 1.06 1.06 1.06 1.06
k k x x k k d d d d d A
v p q l ++===
++++=∑ 法二：1
3540
35:535
10001000
M M A D -=
查换算表1
354035:53513590.2212857.61
10001000
1000 5.747127469.03
M M A D --===
（2）
1
353535:1351
363636:1361373737:1371383838:1
38143.58
100010001000
1000 1.126127469.03144.47
100010001000
1000 1.203120110.22
145.94
100010001000
1000 1.29113167.06100010001000100C p A D C p A D C p A D C p A D ===============1
393939:1393536373839148.050 1.389
106615.43
150.55
100010001000
1000 1.499100432.54
1000() 6.457
C p A
D p p p p p =====++++=
（3）
11121314
1
352
353354
3535:535:136:1
37:138:1
39:
1
1
3536373839
35:5
A A vp A v p A v p A v p A A
p p p p p =++++∴<++++
3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算： （1） 1:20
x A 。 （2） 1:10x A 。改为求1:20x A 1 120:20:201 1:20:20:201 1
:20:20
1 1
:20:201:20 1
:200.250.40.550.050.5
x x x x x x x x x x x x x A A A A A A A A A A A A A +?=+??=+??
?=+???=+???=???=?? 4． 试证在UDD 假设条件下： (1) 1
1::x n
x n i
δ
=
A
A 。
(2) 1
1
:::x x n n x n
i
δ
=+
āA A 。 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，()0.5,0,0.1771x q i Var z === ，试求1x q +。 6．已知，767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A 。
7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：1
1
30:2030:20
5000
5000RA R A =?= 其中
19
11
11
303030303030:20
30
3030303132492320
303050
30
111111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d A
v
p q v
v d l l l d d d d l M M D ∞
∞+++++++===+====++++
-=
∑∑∑
查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据3030313249,,,l d d d d 带入计算即可，或者i=0.06
以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表305030,,M M D 带入计算即可。
例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
12320
30:2011111
(8679179773144)
9846351.06(1.06)(1.06)(1.06) 0.017785596
281126.3727
A R =
++++== 8． 考虑在被保险人死亡时的那个1
m 年时段末给付1个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完
整年数，j 是死亡那年存活的完整1
m
年的时段数。
(1) 求该保险的趸缴纯保费 ()
m x A 。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明()
()
m x
x m i i
=
A A 。
9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为1
1
10|3535:101500020000A A + 其中
9
9
11
11
353535353535:10
35
35353536374423
10
35354535111111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06)13590.2212077.31
0.01187
127469.03
k k k k
k k
k k
k k k k l
d A
v
p q v
v d l l l d d d d l M M D ∞+++++++===+====++++
--=
==∑∑∑
70
70
70
11
11
353510|
35
35353510
10
10
35
3535
45464710511121371
3545351
11111
()(1.06)(1.06)(1.06)(1.06)12077.31
0.09475127469.03
k k k k
k k
k k k k k k l
d A v
p q v
v
d l l l d d d d l M D +++++++===+====++++
=
==∑∑∑
所以趸交纯保费为1
1
10|3535:101500020000178.0518952073.05A A +=+=
10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R 元。试求R 值。
11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：1
1
50:2050:2030001500A A + 其中
19
19
19
11
11505050505050:20
50
5050
5051526923200
505070
50
1
1111
1
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k k k k k k k l
d A
v
p q v
v d l l l d d d d l M M D +++++++===+====++++
-=
∑∑∑
17070
70
705050:2050
70
50
l A v p v l D D ===
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为：
303030303030
40001000()40001000M R
A IA D D +=+ 其中
75
75
751
11
3030303030300
30
30303031321052376
303030
111111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d A v
p q v
v d l l l d d d d l M D +++++++===+====++++
=∑∑∑
75
75
75
1
11303030
3030300
030
30303031321052376
303030
1()
(1)(1)(1)112376
()
1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d IA k v
p q k v
k v d l l l d d d d l R D +++++++===+=+=+=+=++++
=
∑∑∑
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单：
(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n 年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。
若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的
趸缴纯保费。
解：保单1)精算式为1
1
1
::::100075017501000750x n x n x n x n A A A A +=+= 保单2)精算式为
1
1
1
1
:::::1000800100018002000800x n x n x n x n x n A A A A A ++=+= 求解得1
1::7/17,1/34x n x n A A ==，即
1 1
:::170017001700750x n x n x n
A A A =+= 14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。
15. 某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定110x l x =-,0≤x ≤110。利息力δ=0.05。Z 表示保险人给付额的现值，则密度()0.8x f 等于（ ） A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36
ln ln T
Z
Z v t v
=?=
()1
()70()11/12()(())()70ln 707(0.8)0.36
x t T t x x t x
Z T Z l S x t f t p S x l z f z f g z g z v z z
f μδ++'--+==
==
'==-===
16. 已知在每一年龄年UDD 假设成立，表示式
()()x
x
I A I A A
-=( )
A.
2
i δ
δ
- B.
()
2
1i δ
+
C. 11d δ
- D. 1i i δδ??
- ???
解：
[]1
1
(1)()()()((1))
()()()
(1)((1))
11 ()
T T
K S x x T K S
x s S
S
s E T v E Tv IA IA E S v T K S A E v E v s v ds
E S v E v d v ds
δ
+++---===+--=
==
-?
?
17. 在x 岁投保的一年期两全保险，在个体（x ）死亡的保单年度末给付b 元，生存保险金为e 元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( ) A. ()
2
2
x x p q v
b e + B. ()
2
2
x x p q v
b e -
C. ()222x x p q v b e -
D. ()
222x x v b q e p + 解：
()()222222222222
2
2222222
(),()(),()()()()()()()x x
x x x x x x
x x x x x x P Z bv q P Z ev p P Z b v q P Z e v p E Z bvq evp E Z b v q e v p Var Z E Z E Z b v q e v p bvq evp v q p b e =========+=+=-=+-+=-
第五章：年金的精算现值
练 习 题
1． 设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t
f t e -=?(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算
精算现值 x a 。
0.050.0150
11()0.01515.380.05
t
t
t x T v e a f t dt e dt δ
-+∞
+∞
---==?=?
?
2．设 10x a =, 2
7.375x a =, ()50T Var a =。试求：
（1）δ；（2）x
ā 。
()
222
22
22222
111012114.7511(())50(())0.0350.650.48375
x x x
x x x T x x x x x x a A A a A A Var a A A A A A A δδδδδδδ??
=+??=+??=+?=+??????=-=-??
=??
?=??=?
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。 解：23:36
37|2323:3637|23
20002000a a R a R a =?=
其中
3535
3523232323:36
00
023232324252658
2335232359
23
3737|
232337236037
2360
23:3711111
1
()1.06(1.06)(1.06)(1.06)
k
k
k
k k k
k k k l a v p v v l l l l l l l l l N N D a a a v p a E a ++=======+++++
-=
=-==
∑∑∑82
82
82
232323373737
232360606263105
2355236023
1
1111
1
()1.06(1.06)(1.06)(1.06)
k
k
k
k k k
k k k l v p v v l
l l l l l l l l N D ++======
=+++++
=
∑∑∑
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1） 终身生存年金。
(12)
35351000*1212000[(12)(12)]a a αβ=-
其中
12
(12)(12)12
(12)(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.058410606
12110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?-====
7171
713535352300
03523353637381052370
353535
11111
1
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k
k
k
k k k
k k k l a v p v v l l l l l l l l l N D ++=======+++++
=
∑∑∑
若查90-93年生命表换算表则
3535351985692
15.695458126513.8
N a D =
==
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设和利率6%下，计算其精算现值。
解：(12)
(12)
5555551
1250*12250*12()250*12[(12)(12)]1212
a a a αβ=-=-- 其中
12
(12)
(12)12
(12)(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.058410606
12110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?-====7171
713555552300
03523353637381052370
353535
11111
1
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k
k
k
k k k
k k k l a v p v v l l l l l l l l l N D ++=======+++++
=
∑∑∑
6． 在UDD 假设下，试证： (1)
()()|
|()m x x n x n n a m a m E αβ=- 。
(2) ()()
::()(1)m n x x n x n a m a m E αβ=-- 。
（3）()()
::1
(1)m m n x x n x n a a E m
=-
- 。
7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解：31
3030
1200N a D =
（2）(2)(2)
3030351110001000()1000[(2)(2)]22
a a a αβ=-=--
其中
2
(2)(2)2
(2)(12)
(2)(2)(2)
(2)(2)0.0566037741110.059126028
2110.0574282762(2) 1.000212217
(2)0.257390809
i
d i
i i i d d d id
i d i i i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?==-==
30
3030
N a D =
（3）(4)(4)
3030301110001000()1000[(4)(4)]44
a a a αβ=-=--
其中
4
(4)(4)4
(4)(4)
(4)(4)(4)
(4)(4)0.0566037741110.058695385
4110.0578465544(4) 1.000265271
(4)0.384238536
i
d i
i i i d d d id
i d i i i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?==-==
30
3030
N a D =
（4）(12)(12)
3030301
110001000()1000[(12)(12)]1212
a a a αβ=-=-- 其中
12
(12)(12)12
(12)
(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.058410606
12110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?-====
303030
N a D =
8． 试证： (1)()()
m x x m a a i
δ
= (2)
():()
:m x n m x n
a a i δ
= 。
(3) ()
lim m x x
m a a →∞
= 。
(4) 1
2
x x a a ≈-
。 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R 。
10． Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 10x a =，
2
6x a =，1
24
i =
，求Y 的方差。 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。 13. 给定
(4)
17.287a ∞=，0.1025x A =。已知在每一年龄年UDD 假设成立， 则(4)x
a 是（ ） A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82
14. 给定()100
()9
T Var a x t k μ=
+=及, 0t >, 利息强度4k δ=，则k =（ ） A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020
()()2
804022221
91516
1100
225()()169
0.02
kt
t x x t kt kt x kt kt x x x T x t k p ke A e ke dt A e ke dt Var a A A k k μμδ-++∞
--+∞--+=?===
==
?=-==
?=??
15. 对于个体（x ）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次1元，给定： ()50.01,0.04, 4.524x x t i a μ=+===, 年金给付总额为S 元（不计利息），则 P （51
x S a >
）值为（ ）
A. 0.82
B. 0.81
C. 0.80
D. 0.83
第六章：期缴纯保费与营业保费
练 习 题
1. 设()0x t t μμ+=>，利息强度为常数δ，求 ()
x P A 与Var(L)。
2. 有两份寿险保单，一份为(40)购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于
死亡年末给付；另一份为(40)购买的保额1 500元、年缴保费P 的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%，求P 的值。 3． 已知 1
40:20604040:200.029,0.005,0.034,6%,P P P i a ====求 。 4． 已知 6262630.0374,0.0164,6%,P q i P ===求。
5． 已知L 为(x)购买的保额为1元、年保费为:x n P 的完全离散型两全保险，在保单签发时的保险人亏损随机变量，2
::0.1774,
0.5850x n x n P A d
==，计算Var(L)。
6． 已知x 岁的人服从如下生存分布：()105105
x
s x -=
(0≤x ≤105)，年利率为6％。对(50)购买的保额1 000元的完全离散型终身寿险，设L 为此保单签发时的保险人亏损随机变量，且P(L ≥0)=0.4 。求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。
7. 已知 2
0.19,0.064,0.057,0.019,X X x A A d π====，其中x π为保险人对1单位终身寿险按年收
取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr （Ｚ≤1.645）=0.95，Z 为标准正态随机变量。] 8. 2020:4020:4010007.00,16.72,15.72,1000x P a a P ===计算 。 9．
()10|201020201.5,0.04,P a P ==计算P 。
10．已知
1(12)(12):201:20:20
:20
1.03,0.04,x x x x P P P ==计算P 。 11． 已知x 岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，
20.06,0.4,0.2x x d A A ===，L 是在保单签发时保险人的亏损随机变量。
(1)计算E ［L ］。 (2)计算Var(L)。
(3)现考察有100份同类保单的业务，其面额情况如下：
面额(元) 保单数(份)
1 80
4 20
假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率。
12． (x)购买的n 年限期缴费完全离散型终身寿险保单，其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n 年的费用各为5元；理赔费用为15元。 且 1:0.3,0.1,0.4,0.6x x n x n A A A i +====，保额b 以万元为单位，求保险费率函数R(b)。 13. 设 ()
50500.014,0.17,P A A δ==则利息强度=（）。 A. 0.070 B. 0.071 C. 0.073 D. 0.076
14. 已知10.05,0.022,0.99,x x x i p p p +====则（）。
A. 0.0189
B. 0.0203
C. 0.0211
D. 0.0245 15. 设1
15456045:1545150.0380.056,0.625,P P A ===：，P 则=( ) A. 0.005 B. 0.006 C. 0.007 D. 0.008
第七章：准备金
练 习 题
1. 对于(x)购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金，t 时保险人的未来亏损随机变量为：
,0,a U n t
U a U n t t
n t
L ≤≤-≥--?=?? 计算()t E L 和()t Var L 。 2． 当::2:2::1
,,2,26
k k x n x n x k n k x k n k x k n k n k V a a a V +-+-+-<
=+=时计算。
3． 已知
()
()0.474,0.510,0.500,x t x t x P A V A V δ
===计算t x V(A )。
4． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确： （1）1000x q ()
::k k x n x n
i
V A V δ
=
（2） ()
k x k x i
V A V
δ
=
（3） ()
1
1::k k x n x n
i
V A V δ
=
5.
假
设
在
每
一
年
龄
内
的
死
亡
服
从
均
匀
分
布
，
且
()()41
101035:35:2035:2035:202035:2040.40,0.039,12.00,0.30,0.20,11.70P a V V a β======，求 ()4
10
1035:2035:20V V - 。 6． 已知()()()120:1010.01212,20.01508,30.06942x x x P P P ===()10
40.11430x V = 计算20
10x V 。
7． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元，每年的死亡给付为1000元加上该年年
末的纯保费责任准备金，且利率i=6%，0.1 1.1k
x k q +=? （k=0，1）。计算年缴均衡纯保费P 。
8． 已知1154545:2045:15
0.03,0.06,0.054,0.15P A d k ====，求1545:20V 。 9． 25岁投保的完全连续终身寿险，L 为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知
()245250.20,0.70,0.30,Var L A A ===计算()2025V A 。
10． 已知 0.30,0.45,0.52t x t x x t k E A +===， 计算()
t x V A 。 11． 已知:0.20,0.08,x n A d ==计算1:n x n V -。
12． 已知1110.0,0.100,0.127,0.043x t t x t x x t a V V P ++++====，求d 的值。
13． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险，L 为保单签发时的保险人亏损随机变量，且
()250300.7,0.3,0.2A A Var L ===，计算()2030V A 。
14． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金，已知死亡服从分布：75x l x =-(０≤x ≤75)，利率0i =，
且保费连续支付20年。设投保年龄为35岁，计算此年金在第10年年末的纯保费准备金。
15． 已知3132:130.002,9,5%q a i ===，求 230:15FPT
V 。
16． 对于完全离散型保额，1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法，已知2
1x x v p q α+=??，
求β。
17. 个体（x ）的缴费期为10年的完全离散终身寿险保单，保额为1 000元，已知90.06,0.01262x i q +==,
年均衡净保费为32.88元，第9年底的净准备金为322.87元，则101000x P +=( ) A. 31.52 B. 31.92 C. 33.12 D. 34.32
18. 已知()
1000100,1000()10.50,0.03t x x V A P A δ===,则 x t a += ( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
第八章：保单现金价值与红利
练 习 题
1. 证明式（8.1.7）和式（8.1.8）。
2. 证明表8.1.3和表8.1.4中的调整保费表达式。
3. 根据表8.1.3和表8.1.4中的各种情况，计算第1年的费用补贴1E 。
4. (x)的单位保额完全连续终身寿险在k 年末转为不丧失现金价值。
设 ()
k k x CV V A =，分别按缴清保险与展期保险给出刚改变后的保险的未来损失方差与原保险在时间k 的未来损失方差之比。
5. 已知::0.3208,12,0.5472,8,x x x n x n A a A a ====用1941年规则计算:a x n
P 。 6. 向(30)发行的1单位完全连续20年期两全保险，在第10年年末中止，并且那时还有一笔以10CV 为抵押的贷款额L 尚未清偿，用趸缴纯保费表达：
(1)在保额为1-L 的展期保险可展延到原期满时的情况下，期满时的生存给付金额E 。 (2)转为第(1)小题中展期保险与生存保险后5年时的责任准备金。
7． 考虑(x)投保的缴费期为n 的n 年期两全保险，保险金为1单位，支付基础为完全离散的。在拖欠保费的情况下，被保险人可选择： (1)减额缴清终身寿险。
(2)期限不超过原两全保险的展期定期保险以及x+n 岁时支付的减额生存保险。在时间t 的解约金为 :t x n V ，它可用来购买金额为b 的缴清终身寿险，或用于购买金额为1的展期保险以及x+n 岁时的生存支付f 。设
:2x t x t n t A A ++-=，用b ，1:x t n t
A +-及n t x t E -+表示f 。 8． 设()k t k t
x CV V A ++=
。
证明：决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成H(t)＝0，其中
()11x x k x i H t a GS a a ++=+-。
9． 在人寿保险的早期，一家保险公司的解约金定为 ()()k x h x CV h G G a k +=-， 1,2,
k =
式中，G 为相应年龄的毛保费；()a k 为始于x+k 岁并到缴费期结束为止的期初生存年金值，h 在实际中取
2
3
。
如果终身寿险保单的毛保费按1980年规则取为调整保费，并且x P 与x t P +都小于0.04，h=0.9，验证以上给出的
解约金为
()0.909 1.125 1.125)()k x k x x k x CV P V P P +=++-
10. 生存年金递推关系为
()()11x h x h x h a i p a +++++= , 0,1,2,
h
=
(1) 如果实际的经验利率是h+1，经验生存概率是x+h ，则年金的递推关系为
()()
111??11()x h h x h x h h a i
p a ++++++-+=+? 式中，1h +?为生存者份额的变化。证明并解释
()111??()1()?h x h x h x h x h h x h i a p p a p
++++++++-+-?=
(2)如果年末的年金收入调整为年初的1h r +倍，其中
()()
111??11x h h x h h x h a i
p r a ++++++-+=?? 用 ?,,x h i i
p +及 ?x h p +表示1h r +。 11. 证明式(8.4.12)、式(8.4.13)和式(8.4.14)。
12. 在1941年法则中，若22
0.04,0.04x P P >> ,则 1E =（ ）
A. 0.036
B. 0.046
C. 0.051
D. 0.053
13. (30)投保20年期生死两全保险，若30:20
0.08,0.01P d == ,利用1941年法则求得 2
300.01P =时的调整保费为（ ）
A. 0.0620
B. 0.0626
C. 0.0638
D. 0.0715
第九章：现代寿险的负债评估
练 习 题
1.在例9.
2.1中将第1年到第5年的保证利率改为9%，求0到第10年的现金价值及第4年的准备金。 2. 在例9.2.3中将保证利率改为：前3年为8% ，3年以后为4% ，重新计算表9.2.8、表9.2.9和表9.2.10。
3.在例9.2.5中，若保证利率：第1年到第5年为9.5%，以后为4%，求0到第5保单年度的准备金。
4. 考虑固定保费变额寿险，其设计是公平设计且具有下列性质:
男性：35岁；AIR=4%；最大允许评估利率：6%；面值(即保额)：10 000元；在第5保单年度的实际现
金价值为6 238元；在第5保单年度的表格现金价值为5 316元。且已知391000 2.79q =，相关资料如下表。 (%)I
()x 岁
1000x A
x a
1000x q
4 3
5 246.82 19.582
6 2.11 4 36 255.13 19.366
7 2.24 4 40 290.81 18.43
8
9 3.02 6
35
139.51
15.202 1
2.11
共 4 页 第 1 页 保险精算复习自测题（90分钟） 选择题（20分） 1.（20）购买了一种终身生存年金，该年金规定第一年初给付500元，以后只要生存每年初增加100元，该生存年金的精算现值为（ ）。 A... .. 2020400100()a I a + B.2020400100()a I a + C... .. 2020500100()a I a + D.2020500100()a I a + 2. UDD 假设 若q 50=0.004,在UDD 假设下0.5p 50等于（ ）。 3. 每次期初支付10000元,一年支付m 次,共支付n 年的生存年金的精算现值表示为（ ）。 A.() ..:10000m x n m a B.() :10000m x n ma C.() ..:10000m x n nm a D.() :10000m x n nm a 4.关于（x ）的一份2年定期保险，有如下条件：（1）0.02(1)x k q k +=+ 0,1k =（2）0.06i =（3）在死亡年末支付额如下： k 1k b + b1 1 b2 若 z 是死亡给付现值的随机变量则()E Z 等于（ ）。
共 4 页 第 2 页 填空题（20分） 1.按缴费方式和保险金的给付方式，把寿险分为 、 、 。 2.若一个人在x 岁时死亡，此时随机变量T （30）= ，K(50)= 。 3. = ，35:]1000n n V 。 4.日本采用的计算最低现金价值的方法是 。 5.专业英语：Nominal interest 中文意思是 。 6.生存年金精算现值的计算方法 和 。 7.假设i=5%,现向银行存入1万元，在以后的每年末可取出 元。 8.假设40l =A ，50l =B ，则1040q = 。 9.责任准备金的两种计算方法为 、 。 1 20:] 1000t t V
保险精算（第二版） 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 (0)1 (5)25 1.8 0.8 ,1 25300*100 (5)300180300*100300*100(8)(64)508 180180 a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.1,0.1(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5 年后的积累值。 11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120 500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97 a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+= 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1 A A i i i A ==+++?= 5．确定10000元在第3年年末的积累值:
保险精算习题及答案 第一章:利息的基本概念 练习题 21(已知，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，atatb,，，， 在时刻8的积累值。 2((1)假设A(t)=100+10t, 试确定。 iii,,135 n(2)假设，试确定。 An,，1001.1iii,,，，，，135 3(已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 4(已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为，第2年的利率为，i,10%i,8%12第3年的利率为，求该笔投资的原始金额。 i,6%3 5(确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 2226(设m,1，按从大到小的次序排列与δ。 vbqep，，，xx 7(如果，求10 000元在第12年年末的积累值。 ,,0.01tt 8(已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。 t9(基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度积累，在时刻t (t=0)，两笔,,t6 基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X中的投资以利息强度(0?t?20), 基金Y中的投资以年实际利率积累;现分别,,，0.010.1tit 投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基 金Y的积累值。 11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为( )万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为( )元。 A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987 第二章:年金 练习题 nmvviaa,,,1(证明。，，mn 1 2(某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首 期付款额A。 3. 已知 , , , 计算。 a,5.153a,7.036a,9.180i71118 4(某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其 每年生活费用。 5(年金A的给付情况是:1,10年，每年年末给付1000元;11,20年，每年年末 给付2000元;21,30年，每年年末给付1000元。年金B在1,10年，每年给付额为K元;11,20年给付额为0;21,30年，每年
1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。 解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元） （2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元） 2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。 解：5000（1+8%） 5 ×（1+11%）5=12385（元） 3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。 解：（1）10000×（1+11%） -4 =5934.51（元） （2）10000×（1-11%）4=6274.22（元） 4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴ )2(i ，⑵ i, ⑶ ) 3(d 。 解：⑴ 1200)2 1(1000) 2(=+?i ；所以4.0)2(==i ⑵2 )2()2 1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1() (1)(； 所以， 13)3()1()3 1(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n 时，证明：i i d d n n <<<<) ()(δ。 证明：①) (n d d < 因 为 ， +?-?+?-?=-=-3) (3 2)(2)(10)()()(1)1(1n d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n ) (1n d -> 所以得到，) (n d d <；
第一章 生命表 1．给出生存函数()22500 x s x e -=，求： (1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。 ()()()10502050(5060)50(60) 50(60) (50) (70)(70) 70(50) P X s s s s q s P X s s p s <<=--= >== 2.已知生存函数S(x)=1000-x 3/2 ,0≤x ≤100，求（1）F （x ）(2)f(x)(3)F T (t)(4)f T (f)(5)E(x) 3. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr ［T(60)＞5］=0.92094，求q 65。 ()() ()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66) 0.2058 (65) s s s q p s s s s q s -= ===-∴= = 4. 已知Pr ［T(30)＞40］=0.70740，Pr ［T(30)≤30］=0.13214，求10p 60 Pr ［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S （30）=0.7074 S （70）=0.70740×S(30) Pr ［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30) ∴10p 60= S(70)/S （60） =0.70740/0.86786=0.81511
5.给出45岁人的取整余命分布如下表： 求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。 (1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.04 6.这题so easy 就自己算吧 7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整） （1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11 （3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。 808081 8080800.07d l l q l l -= == 808081 808080 0.07d l l q l l -= == 9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ．
第1章 习题答案 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 解： 100)0(100)0(.k )0(2=+?==b a a A 或者由1)0(=a 得1=b 180)15(100)5(100)5(2=+?=?=a a A 得032.0=a 以第5期为初始期，则第8期相当于第三期，则对应的积累值为： 4.386)13032.0(300)3(2=+??=A 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 解：（1）A(0)=100；A(1)=100+10×1=110；A(2)=120；A(3)=130；A(4)=140；A(5)=150 ； ； 。 （2）A(0)=100；；；；； 。 ； ； 。 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 解：单利条件下： 得； 则投资800元在5年后的积累值：； 在复利条件下： 得 则投资800元在5年后的积累值：。 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率
为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 解： 得元。 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 解：（1） 元 （2） 得 10000元在第3年年末的积累值为： 元 6．设m ＞1，按从大到小的次序排列，，，与。 解：，所以，。 ，在的条件下可得。 ，在的条件下可得 。 对其求一阶导数得得 对其求一阶导数，同理得。 由于，所以，同理可得。 综上得： 7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。 解：元 8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。 解：注意利用如下关系：则 则根据上述关系可得：
保险精算（第二版） 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2 a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在 时刻8的积累值。 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d d i i δ<<<<。 7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。、 8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。 9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6 t t δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。 10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。 11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。 A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987 第二章：年金 练习题 1．证明() n m m n v v i a a -=-。 2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A 。 3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。
寿险精算 一、填空题 1、生命表依据编制对象的不同，可以分为：________和________。 2、根据保险标的的属性不同，保险可分为：________和______________。 3、寿险精算中的基本参数主要有：_________、_______________、_______________。 4、生命表的创始人是___________。 5、生命表方法的实质是_________________________________________________。 6、投保保额为1单位元数的终身寿险，按年度实质贴现率v 复利计息，赔付现值变量为： _____________________。 7、n 年定期两全险是___________和_____________的组合。 8、终身寿险死亡即刻赔付趸缴净保费公式为______________________________。 9、已知05.0,5a ,8a 2===δx x ，则=)(a |T a r V __________. 10、1—_______|:n x a d = 二、选择题 1、世界上第一张简略生命表是（ ） A.1662年约翰?格兰编制的生命表 B ．1693年埃德蒙?哈雷编制的生命表； C ．詹姆斯?道森编制的生命表 D ．1724年亚伯拉罕?棣模佛编制的生命表 2、保险精算遵循的最重要原则是（ ） A ．补偿性原则 B ．资产负债匹配原则 C ．收支平衡原则 D ．均衡保费原则 3、某10年期确定年金，每4月末给付800元，月利率为2%，则该年金的现值为（ ）。 4、 已知死力μ=0.045，利息力δ=0.055，则每年支付金额1，连续支付的终身生存年金的精算现值为（ ）。 A ．9； B.10； C.11； D.12。 5、下列错误的公式是 （） A.()()x s x s ,x =μ B.()()dt P d t x t T =f C.()()()x s t x s x s q x +-=t D.()x s x =p 0 6、设某地新生婴儿未来寿命随机变量Ｘ在区间［0,100］上服从均匀分布，x ∈(0,100) 则（ ） A.s(x)=x/100 B.s(x)=1/100 C.s(x)=1-x/100 D.s(x)=100x 7、 8、 9、下列不是有关分数年龄的假设常用的插值方法的是（） A.线性插值 B.调和插值 C.几何插值 D.牛顿插值 10.下列关系不正确的是（） A.x t x t x p l l ?=+ B.x x x q l d ?= C.x x x L d m = D.t x x x l l p +=t 三、简答题 1.你认为保险精算对保险经营有何重要意义？
保险精算试卷 1． A．104 B.105 C.106 D.107 E.108 2. (A) 77,100 (B) 80,700 (C) 82,700 (D) 85,900 (E) 88,000 3．Lucky Tom finds coins on his way to work at a Poisson rate of 0.5 coins per minute. The denominations are randomly distributed: (i) 60% of the coins are worth 1; (ii) 20% of the coins are worth 5; (iii) 20% of the coins are worth 10. Calculate the variance of the value of the coins Tom finds during his one-hour walk to work. (A) 379 (B) 487 (C) 566 (D) 670 (E) 768 game. If 4．A coach can give two ty pes of training, “ light” or “heavy,” to his sports team before a the team wins the prior game, the next training is equally likely to be light or heavy. But, if the team loses the prior game, the next training is always heavy. The probability that the team will win the game is 0.4 after light training and 0.8 after heavy training. Calculate the long run proportion of time that the coach will give heavy training to the team.
1 假设某人群的生存函数为()1,0100100 x S x x =-≤≤ 求： 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。 2 已知给出生存函数()20S x = ,0100x ≤≤，计算(75),(75)F f ,()75μ 3、已知 10000(1)100 x x l =- 计算下面各值： （1）30203030303010,,,d p q q （2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命（假定极限年龄为100）。 4、设 ()1 , 0100100 0.1x S x x i =- ≤≤= 求：第一问： 130:101 (2)()t A Var z （） 第二问： 30:101 (2)()t A Var z （） 5、设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为 1 , 060(t)60 0 , T t f ?<≤?=???其它 计算 0.90.91(2)() (3)Pr()0.9. x t A Var z z ξξ≤=（）的 6、假设（x ）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知0.040.06(),0x S x e x δ-==≥， 求：10t (1) (2)Var(z )x A ,
7、90岁的人生存情况如下表。求 1、死亡年末给付1000元的趸缴浄保费 8、现年30岁的人购买了一份递减的5年定期寿险保单。保险金于死亡年末给付，第一个保单年度内死亡，则给付5万元；第二个保单年度内死亡，则给付4万元——；第5个保单年度内死亡，则给付1万元，设年利率为6%，用中国人寿保险业经验生命表非养老金业务男表计算其趸缴纯保费。 9、假设有100个相互独立的年龄为x 岁的被保险人都投保了保险金额10元的终身寿险,随机变量T 的概率密度是()()0.04,0t T f t e t μμμ-==≥.保险金于被保险人死亡时给付,保险金给付是从某项基金中按利息强度0.06δ=计息支付.试计算这项基金在最初()0t =时的数额至少为多少时,才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的死亡给付的概率达到95% 10、 假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且0.05δ=，计算（30）所购买的终身连续生存年金。用三种方法计算。 11、有一种终身年金产品，每年连续给付生存年金1000元。 现在开发一种新产品，在原来年金给付的基础上增加死亡即刻给付X 万元。 假定利息力为5％，求：当死亡赔付定为多大时，该产品赔付现值的方差最小？ 12、 在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 （1）x a （2）T a 的标准差 （3） T a 超过x a 的概率。 13、 8x a =，25x a =，0.05δ= 14、 设一现值变量为,0(),()n T a T x n Y a T x n ≤≤??=?>?? 计算()x n E Y a - 15—20题 课本45页课后习题。
第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 (0)1 (5)25 1.8 0.8 ,1 25300*100(5)300 180300*100300*100(8)(64)508 180180 a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+=Q 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.1,0.1(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120 500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97 a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+= 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1 A A i i i A ==+++?= 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
精品文档 海南医学院试题（A ） （2009-2010 学年 第一学期 期末） 考试课程： 保险精算 考试年级：2006医保本 考试日期： 2009年11月24日 考试时间：120分钟 卷面总分：100分 一、选择题（每题2分，共20分） ————————————————————————————————— A1 型 题 每一道题有A,B,C,D 四个备选答案，在答题时只需从5个备选答案中 选择一个最合适的作为正确答案，并在答卷上将相应题号的相应字母 填写在括号内。 ————————————————————————————————— 1. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ B ）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 2．关于单利与复利的比较，下列说法错误的是（D ） A ．单个度量期（t=1）:1+it=(1+i)t ，结果相同 B ．较长时期（t>1）:(1+i)t >1+it ，复利产生更大积累值 C ．较短时期（t<1）:(1+i)t <1+it ，单利产生更大积累值 D ．单利同样长时间积累值增长的相对比率保持为常数。而复利同样长时间积累值增长的绝对金额为常数。 3. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n 年每年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( A ) A. 113n ?? ??? B. 1 3n C. 13n ?? ??? D.3n 4．下列关系错误的是（D ） A ． B ． C 、 D 、 5．下列关于死亡概率，关系表述错误的是（D ） A 、 B 、 C D 、 6．下列关于半连续型寿险的纯保费，错误的是（C ） A 、 B 、 C D .... (1)n n n a i s +=.. (1)n n s s i =+.. (1)n n a a i =+()()m m n n n s a v =x n x n x n x n x x n n x x x n d l d q p q l l l +++++=?=?｜＝x n x n m x n m x l l q l +++-｜＝x n m x n x n m q q q +=-｜x n x n m x n n m q p q ++=?｜()x x x x i P A A a p δ==?11 1()x n x n x n x n i P A A a p δ==：：：： 1 ()x n x n x n x n i P A A a p δ==：：：：()x x h x h x h i P A A a p δ ==：
第一章生命表 1．给出生存函数() 2 2500 x s x e- =，求： (1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。 2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T (t)(4)f T (f)(5)E(x) 3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q 65 。 4.已知Pr［T(30)＞40］=0.70740，Pr［T(30)≤30］=0.13214，求 10p 60 Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）=0.7074 S（70）=0.70740×S(30) Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30) ∴ 10p 60= S(70)/S（60）=0.70740/0.86786=0.81511 5.给出45岁人的取整余命分布如下表： 求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.04 6.这题so easy 就自己算吧 7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整） （1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11 （3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。 9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ． 612 P =（1-q 61）(1-q 62)=0.96334 60|2q =612P ．q 62=0.01937 10. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 13.设01000l =，1990l =，2980l =，…，9910l =，1000l =，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。 18. 19.
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴ )2(i ，⑵ i, ⑶ )3(d 。 解：⑴ 1200)2 1(1000) 2(=+?i ；所以 4.0)2(==i ⑵2 )2()2 1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1() (1)(； 所以， 13)3()1()3 1(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n 时，证明： i i d d n n <<<<) () (δ。 证明：①) (n d d < 因为，Λ+?-?+?-?=-=-3)(3 2)(2) (10)()()(1)1(1n d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n ) (1n d ->所以得到， )(n d d <； ② δ<) (n d )1() (m n e m d δ - -=；m m C m C m C m e n n n m δ δ δ δ δ δ - >-?+?-?+- =- 1)()()(14 43 32 2 Λ 所以， δ δ =- -<)]1(1[) (m m d n ③) (n i <δ i n i n n +=+1]1[)(， 即，δ=+=+?)1ln()1ln()(i n i n n 所以， )1()(-?=n n e n i δ m m C m C m C m e n n n n δ δ δ δ δ δ + >+?+?+?++ =1)( )( )( 144 33 22 Λ
δ δ =-+>]1)1[() (n n i n ④ i i n <)( i n i n n +=+1]1[) (，)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+?+?+?=+Λ 所以， i i n <) ( 6．证明下列等式成立，并进行直观解释： ⑴n m m n m a v a a +=+； 解：i v a n m n m ++-= 1， i v a m m -= 1，i v v i v v a v n m m n m n m +-=-=1 所以，n m n m m m n m m a i v v v a v a ++=-+-=+1 ⑵n m m n m s v a a -=-； 解： i v a n m n m ---= 1，i v a m m -= 1，i v v s v n m m n m --= - 所以，n m n m m m n m m a i v v v s v a --=-+-=-1 ⑶ n m m n m a i s s )1(++=+； 解： i i s m m 1)1(-+=，i i i i i i s i m n m n m n m )1()1(1)1() 1()1(+-+=-++=++ 所以，n m m n m m n m m s i i i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1( ⑷ n m m n m a i s s )1(+-=-。
满期保费指从保单生效日起至统计区间末已经满期的那部分保费。满期保费＝保费收入×【min（统计区间末，保险责任终止日）－保单生效日】/【保险责任终止日－保单生效日】。满期保费通常是针对一张保单或者是在一个承保年度内起保的所有保单而言。 已赚保费指在统计区间内所有有效（包括在整个区间有效或在部分区间有效）的保单在统计区间内已经经过的那部分保费。已赚保费＝统计区间保费收入＋统计区间期初未到期责任准备金－统计区间期末未到期责任准备金。已赚保费是计算统计区间承保利润的基础。反映了新承保保单和部分历史保单的保费对于核算区间的收入贡献。通常在业务保持增长的情况下，已赚保费低于保费收入。 已发生未报告未决赔款准备金（IBNR）：指截止至统计区间末已经发生但尚未接到报案的案件的精算评估金额。广义的IBNR还包含已发生未立案准备金、未决估损不足准备金、重立案件准备金以及理赔费用准备金。其中已发生未立案准备金是指为保险事故已经报告但未记录到理赔系统的案件提取的准备金；未决估损不足准备金是指最初立案金额与最终实际赔付之间的差额；重立案件准备金是指已赔付案件，出现新的信息，赔案被重新提起并要求额外增加赔付；理赔费用准备金是指为尚未结案的赔案可能发生的费用而提取的准备金。其中为直接发生于具体赔案的专家费、律师费、损失检验费等而提取的为直接理赔费用准备金；为非直接发生于具体赔案的费用而提取的为间接理赔费用准备金。 未到期责任准备金：指对在统计区间末仍然有效的保单的尚未终止的保险责任提取的保费责任准备金。每张保单的未到期责任准备金＝保费收入×【该保单的保险责任终止日－统计区间末】/【该保单的保险责任终止日－保单生效日】。上述计算方法为三百六十五分之一法。统计区间末的未到期责任准备金为在统计区间末仍然有效的所有保单的未到期责任准备金之和。未到期责任准备金是计算统计区间已赚保费的基础 纯风险保费：纯风险保费＝出险频度×案均赔款×损失发展因子×趋势发展因子 【损失发展因子：损失在未来的发展。原因：报案的延迟、立案的延迟、理赔的延迟。 趋势发展因子：将经验期中的损失调整到费率有效期，反映未来变化的趋势。原因：通货膨胀、法律环境变化、消费习惯等。 案均赔款：案均赔款＝已发生赔款÷出险次数 出险频度：统计区间内每张保单每年的平均出险频度，出险频度=统计区间内报案件数/已赚风险暴露。】 满期赔付率指统计区间内的保单发生的赔案（已决金额与统计区间末的未决金额之和）与相应的满期保费的比率。满期赔付率=（已决赔款＋未决赔款）/满期保费，满期赔付率是反映保单质量的重要赔付率指标之一，核保常采用，但是没有考虑已发生未报告案件对应的赔款责任。在反映统计区间的综合赔付水平时存在一定程度的滞后，且短期波动大。【存在一定程度的滞后，短期波动大；不含IBNR】 终极赔付率 费＝最终赔付/保费收入，适用于保单年度，全面反映保单的业务品质，包含已发生未报告案件对应的赔款责任（IBNR），能真实、全面和及时的反映承保保单的整体赔付状况。 【赔付状况能较真实、全面和及时的反映】 已报告赔付率已报告赔付率=（已决赔款＋未决赔款提转差）/已赚保费，已决赔付率的改善，不含IBNR，主要用于财务年度数据统计。
保险精算 李秀芳 傅安平 王静龙（第二版）中国人民大学出版社 课后答案 第一章 1. 386.4元 2. （1）0.1 0.083 3 0.071 4 （2）0.1 0.1 0.1 3. 1 097.35元 1 144.97元 4. 794.1元 5． （１）11 956 （２）12 285 6. () () m m d d i i δ<<<< 7. 20 544.332元 8. 0.074 6 9. 0.358 2 10. 1.822 11. B 12. A 第二章 1. 略 2. 80 037.04元 3．0.082 99 4. 12 968.71元 5. 1 800 元 6. 略 7． 6.71% 8. 28 911 i i =∑ 9. A 10. B 第三章 1. (1) 0.130 95 (2) 0.355 96 (3) 0.140 86 (4) 0.382 89 2. 0.020 58 3. 41 571 4. (1) 0.92 (2) 0.915 (3) 0.909 5. B 6. C 第四章 1. (1) 0.092 (2) 0.055 2. (1) 5.2546元 （2）5.9572元 （3）略 3. (1) 0.05 (2) 0.5 4. 略 5. 0.54 6. 0.81 7. 283 285.07元 8. 略 9． 2 174.29元 10. 71 959.02元 11. 690.97元 12. 3 406.34元 13. 749.96元 14. 397.02元 15. D 16. C 17. B 第五章 1. 15.38 2. (1) 0.035 (2) 0.65 3. 793元 4. 25 692.23元 5. 36 227.89元 6. 略 7. (1) 18 163.47元 （2） 18 45 8.69元
保险精算(第二版) 第一章:利息的基本概念 练 习 题 1.已知()2a t at b =+,如果在0时投资100元,能在时刻5积累到180元,试确定在时刻5投资300元,在时刻8的积累值。 (0)1 (5)25 1.8 0.8,125 300*100(5)300180 300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=?= ==?=+=Q 2.(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---====== (2)假设()()100 1.1n A n =?,试确定 135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---====== 3.已知投资500元,3年后得到120元的利息,试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 11132153500(3)500(13)6200.08 800(5)800(15)1120 500(3)500(1)6200.0743363 800(5)800(1)1144.97 a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+= 4.已知某笔投资在3年后的积累值为1000元,第1年的利率为 110%i =,第2年的利率为28%i =,第3年的利率为 36%i =,求该笔投资的原始金额。 123(3)1000(0)(1)(1)(1) (0)794.1A A i i i A ==+++?= 5.确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
2 ?关于单利与复利的比较，下列说法错误的是(D) 海南医学院试题（A） （2009-2010学年第一学期期末） 考试课程考试年级考试日期考试时 间 保险精算 2006医保本 2009年11月24日 120分钟 卷面总分: 100分 A1 每一道题有A,B,C,D四个备选答案，在 答题时只需从5个备选答案中 选择一个最合适的作为正确答案，并在 答卷上将相应题号的相应字母 填写在括号 内。 1.某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义 利率6%投资，到2004年末的积累值为（B）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 A .单个度量期（t=1）:1+it=（1+i） t ，结果相同 B ?较长时期（t>1）:（1+i）t>1+it，复利产生更大积 累值 C ?较短时期（t<1）:（1+i） t <1+it，单利产生更大积 累值 D ?单利同样长时间积累值增长的相对比率保持为常数。 而复利同样长时间积累值增长的绝对金额为常数。 3.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为 永续年金，前两个孩子第1到n年每年末 平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩 子，若三个孩子所领取的年金现值相等，那么 v=（ A ） 1 1盲 A. 3 4 ?下列关系错误的是（D） A ? B ? C、 D、 5 ?下列关于死亡概率，关系表述错误的是（D） A、 B、 C D、 6 ?下列关于半连续型寿险的纯保费，错误的是（C） A、 B、 C D 7 ?保险费用主要包括哪几大类（A） A、新契约费，维持费，营业费用，理赔费用 B、投资费用，维持费，营业费用，理赔费用 C、投资费用，新契约费，维持费，营业费用 D、新契约费，维持费，投资费用，理赔费用 8 ?下列哪项不是计算保单红利的方法（B） A、经验调整法 B、保费和损失结合法 C、三元素法 D、经验保费法 9?入:亍表示的是（A） B. 3n C. D.3n