高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）
A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
2．等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，若S1=1，S2=3，则S3=（）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．已知向量，，t∈R，则的最小值
是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．若f（x）=sin（ωx+?）+cos（ωx+?）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）
A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减
C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减
5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=π，则它的体积V=（）
A．πB．C．D．
6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，已知P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）
A．5份B．10份C．15份D．20份
7．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）
A．0 B．C．D．
8．若的展开式中常数项为1，则实数a=（）
A．B．C．D．
9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）
A．10 B．11 C．10或11 D．12
10．在平面直角坐标系xOy中，P是由不等式组所确定的平面区域内的动
点，Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．
11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=e x，且f（1）=e，则（）
A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为e
C．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为
12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲
线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（2，）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a的取值范围是．
14．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若，，则
=．
15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，
43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103的分解式中，最大的数是．16．已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，?（x，y）∈D，
≥|x+|的概率P=．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知{a n}是正项等差数列，?n∈N*，数列{}的前n项和S n=．
（Ⅰ）求a n；
（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．
18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．
（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；
（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．
19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA1=2．
（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，DE与平面C1BD夹角的正弦值为，
试判断动点E在什么样的曲线上．
20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB 面积的最大值（O为坐标原点）．
21．已知函数，a是常数，且a≥1．
（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：，n∈N*．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．
（Ⅰ）求BE；
（Ⅱ）求⊙O的半径．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；
（Ⅱ）若?x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．
高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）
A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求得答案．
【解答】解：∵=，
∴复数的共轭复数是2+i．
故选：B．
2．等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，若S1=1，S2=3，则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由题意可得a2，可得q，进而可得a3，前3项相加可得S3．
【解答】解：∵等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，S1=1，S2=3，
∴a1=S1=1，a2=S2﹣S1=3﹣1=2，
故公比q==2，故a3=a2q=4，
∴S3=1+2+4=7，
故选：A．
3．已知向量，，t∈R，则的最小值
是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可求出向量的坐标，从而得出，显然
可看出t=3时，可取到最小值2．
【解答】解：；
∴，当t=3时取“=”；
∴的最小值为2．
故选：D．
4．若f（x）=sin（ωx+?）+cos（ωx+?）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）
A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减
C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．
【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+?）+cos（ωx+?）=sin（ωx+?+）（ω＞0）
的最小正周期为=π，可得ω=2．
再根据=sin（?+），可得sin（?+）=1，?+=2kπ+，k∈Z，故可取?=，y=sin（2x+）=cos2x．
在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故
排除A、B；
在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，
故选：D．
5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=π，则它的体积V=（）
A．πB．C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为r，由正视图可得母线长是2r，由题意和圆锥的表面积公式列出方程求出r，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆锥，
设底面圆的半径为r，由正视图可得母线长是2r，
∵该几何体的表面积S=π，∴πr2+πr?（2r）=π，
解得r=，
则圆锥的高h===1，
∴几何体的体积V===，
故选：C．
6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，已知P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）
A．5份B．10份C．15份D．20份
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，得到数学成绩ξ关于ξ=100对称，根据P（80＜ξ≤100）=0.40，得到P（ξ＞120）=0.1，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．
【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，
∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，
∵P（80＜ξ≤100）=0.40，
∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣0.40=0.1，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10．
故选：B．
7．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）
A．0 B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan
+…+tan+tan的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．
【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan +…+tan+tan的值，
由于：tan+tan+tan=0，k∈Z，
且：2016=3×672，
所以：S=（tan+tan+tan）+…+（tan+tan+tan）=0+0+…+0=0．故选：A．
8．若的展开式中常数项为1，则实数a=（）
A．B．C．D．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程解方程求出a的值．
【解答】解：展开式的通项公式为
T r+1=C8r?（）8﹣r?（）r=（）8﹣r C8r?x8﹣\frac{4}{3}r，
令8﹣r=0，
解得r=6；
所以展开式的常数项为（）2C86=1，
解得a=±2．
故选：C．
9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）
A．10 B．11 C．10或11 D．12
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【分析】假设最可能击中目标的次数为k，由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式可得，求得k的范围，
可得k的最大值．
【解答】解：假设最可能击中目标的次数为k，
根据某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，
则他击中k次的概率为?0.7k?0.315﹣k，
再由，求得0.2≤k≤11.2，
再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11，
故选：B．
10．在平面直角坐标系xOy中，P是由不等式组所确定的平面区域内的动
点，Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=2，
则圆心坐标为C（4，4），半径R=，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则C到直线x+y﹣4=0的距离最小，
此时d==2，
则|PQ|的最小值为d﹣R=2﹣=，
故选：B．
11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=e x，且f（1）=e，则（）
A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为e
C．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】设g（x）=xf（x），求导，得到f（x）=，再根据导数和函数的最值得关
系即可求出．
【解答】解：设g（x）=xf（x），
∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=e x，
∴g（x）=e x，
∴xf（x）=e x，
∴f（x）=，
∴f′（x）=，
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0，时，解得x＞1，函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
当f′（x）＜0，时，解得0＜x＜1，函数f（x）在（1，+∞）单调递减，
∴f（x）min=f（1）=e，
故选：A．
12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲
线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（2，）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件可得平行直线的方程，联立解得交点A，B的坐标，可得AB的长，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得e的方程，运用零点存在定理，进而得到离心率的范围．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，
设焦点F（c，0），由y=（x﹣c）和双曲线=1，解得交点A（，），
同理可得B（，﹣），
即有|AB|==2a，
由b2=c2﹣a2，由e=，可得4e2=（e2﹣1）3，
由f（x）=（x2﹣1）3﹣4x2，可得f′（x）=6x（x2﹣1）﹣8x＞0，x＞1，f（x）递增．又f（2）＞0，f（）＜0，
可得＜e＜2．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别解出关于p，q的不等式的解集，结合￢p是q的充分必要条件得到关于a 的不等式，解出即可．
【解答】解：p：|x﹣a|＞3，
解得：x＞a+3或x＜a﹣3；
￢p：a﹣3≤x≤a+3，
q：（x+1）（2x﹣1）≥0，
解得：x≥或x≤﹣1，
若￢p是q的充分不必充要条件，
则a﹣3≥或a+3≤﹣1，
解得：a≥或a≤﹣4，
故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
14．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若，，则=．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得△ABC是以∠C为直角的直角三角形，然后根据已知条件把
用向量表示，则的值可求．
【解答】解：在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5，得AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形，如图，
∵，∴，
又，∴
=，
∴==．
故答案为：．
15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，
43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103的分解式中，最大的数是109．
【考点】归纳推理．
【分析】注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是4时，可分解成4个连续的奇数之和，进而求出23～103的分解式用的奇数个数，进而求出答案．【解答】解：由题意，从23到103，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+10=54个，
故103的分解式中，最大的数是2×54+1=109，
故答案为：109
16．已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，?（x，y）∈D，
≥|x+|的概率P=．
【考点】几何概型．
【分析】由题意画出图形，利用区域的面积比求概率．
【解答】解：∵≥|x+|，
∴y2≥x，
=1×2=2，平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，所围成图形为矩形，S
矩形
?（x，y）∈D，y2≥x，其面积为阴影部分的面积，其S
=y2dy=y3|
阴影
=，
故?（x，y）∈D，≥|x+|的概率P==，
故答案为：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知{a n}是正项等差数列，?n∈N*，数列{}的前n项和S n=．
（Ⅰ）求a n；
（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，由=．利用“裂项求和”可得：数列{}的前n项和S n==．
分别取n=1，2即可得出．
+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．当（II）b n=（﹣1）n a n2=（﹣1）n（n+1）2，可得：b2k
﹣1
n=2k（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k
+b2k），即
﹣1
可得出．当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=T n
+a n，即可得出．
﹣1
【解答】解：（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，
∵=．
∴数列{}的前n项和S n=++…+
==．
n=1时，=
n=2时，==，
化简解得：a1=2，d=1．
∴a n=2+（n﹣1）=n+1．
（II）b n=（﹣1）n a n2=（﹣1）n（n+1）2，
∴b2k
+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．
﹣1
+b2k）
当n=2k（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k
﹣1
=（2×1+3）+（2×2+3）+…+（2×k+3）
=+3k
=k2+4k
=+2n．
+a n
当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=T n
﹣1
=﹣（n+1）2
=．
∴T n=．
18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．
（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；
（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有1名学生入选集训队的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有2名学生入选集训队的概率．（Ⅱ）由题意X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和均值（数学期望）．
【解答】解：（Ⅰ）理科班没有学生入选集训队的概率为…
理科班有1名学生入选集训队的概率为…
∴理科班至少有2名学生入选集训队的概率为…
（Ⅱ）由题意X=0，1，2…
P（X=0）==…，
P（X=1）=…
P（X=2）==…
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
…
X的均值（数学期望）EX==…
19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA1=2．
（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，DE与平面C1BD夹角的正弦值为，试判断动点E在什么样的曲线上．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．
【分析】（I）取AD的中点F，连接BF，根据各线段长度可得四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，利用菱形性质及三角形性质即可得出∠ABD=90°，即AB⊥BD，从而BD⊥平面ABB1A1，于是平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；
（II）以B为原点，建立空间直角坐标系，设E（x，y，2），求出和平面C1BD 的法向量为，令|cos＜＞|=得出E点的轨迹方程．
【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连接BF，则AB=BC=CD=AF=DF=1，
∴四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，∠FBD=∠FDB，
∵∠FBD+∠FDB=∠AFB=60°，
∴∠FBD=∠FDB=30°，
∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=90°，∴AB⊥BD．
∵AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA1⊥BD，又AA1?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，AA1∩AB=A，
∴BD⊥平面ABB1A1，∵BD?平面BDD1B1，
∴平面BDD1B1⊥平面ABB1A1．
（Ⅱ）以B为原点，BD，BA，BB1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（，0，0），C1（，﹣，2），设E（x，y，2），
∴=（，0，0），=（，﹣，2），=（x﹣，y，z）．设平面C1BD的一个法向量为=（x，y，z），则，
∴，取z=1得=（0，4，1），
∴=4y+2．∴cos＜＞==．
∵DE与平面C1BD夹角的正弦值为，
∴|cos＜＞|=，即||=．
化简整理得，，
∴动点E的轨迹是一条抛物线．
20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB 面积的最大值（O为坐标原点）．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得2a=4，即
a=2，运用a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得O到直线AB的距离，依题意，|AM|=|BM|，
运用两点的距离公式，化简可得k，m的等式，讨论k=0，k≠0，运用基本不等式和二次函数的最值求法，即可得到所求面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+
=3+=4，
即有a=2，则b2=a2﹣c2=4，
则椭圆Σ的方程为+=1；
（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，
由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
，
O到直线AB的距离，
△OAB的面积，
依题意，|AM|=|BM|，即，
即有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）=0，
，
即为（k2+1）（x1+x2）+k（2m﹣2）=0，代入整理得，k（2k2+m+1）=0，
若k=0，则，等号当且仅当时成立；
若k≠0，则2k2+m+1=0，，
等号当且仅当m=﹣2，时成立．
综上所述，△OAB面积的最大值为．
21．已知函数，a是常数，且a≥1．
（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：，n∈N*．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性及极值最值，通过对a分类讨论求得函数零点的个数，
（Ⅱ）取a=2或a=，由（1）知函数单调性，即可证明．
【解答】证明：（Ⅰ），
解f′（x）=0得x=0，或x=a2﹣2a
①a=1时，，若x∈（﹣1，0），f′（x）＜0，f（x）＞f（0）
=0，若x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0．f（x）有一个零点，
②1＜a＜2时，﹣1＜a2﹣2a＜0，
x （﹣1，a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a，0）0 （0，+∞）
f′（x）+0 ﹣0 +
f（x）↗↘↗
由上表可知，f（x）在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点x=0，
f（a2﹣2a）＞f（0）=0，又，
任取，，
f（x）在区间（t，a2﹣2a）有一个零点，从而f（x）有两个零点，
③a=2时，，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，有
一个零点x=0，
④a＞2时，a2﹣2a＞0，
x （﹣1，0）0 （0，a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a，+∞）
f′（x）+0 ﹣0 +
f（x）↗↘↗
由上表可知，f（x）在区间（﹣1，a2﹣2a）有一个零点x=0，在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点，从而f（x）有两个零点，
（Ⅱ）证明：取a=2，由（1）知在（﹣1，+∞）上单调递增，取（n∈N*），则，化简得，
取，由（1）知在区间上单调递减，
取（n∈N*），由f（x）＞f（0）得，即（n∈N*），
综上，，n∈N*
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．
（Ⅰ）求BE；
（Ⅱ）求⊙O的半径．
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．
【分析】（Ⅰ）由圆的切割线定理，可得PC=3，再由圆的相交弦定理，即可得到EB 的长；
（Ⅱ）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，运用勾股定理，解方程可得AN=2，求得PN，AM的长，运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO，由性质定理，即可得到所求值．
【解答】解：（I）PA2=PC?PD，PA=6，CD=9，
即36=PC（PC+9），
得PC=3（﹣12舍去），
所以PD=PC+CD=12，
又EP=9，所以ED=PD﹣EP=12﹣9=3，CE=EP﹣PC=9﹣3=6，
又AE?EB=CE?ED，
则EB===2；
（II）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，
设AN=x，则AP2﹣AN2+NE2=EP2，
由AP=6，EP=9，NE=9﹣x，
即有36﹣x2+（9﹣x）2=81，
得x=2即AN=2，PN==，
AB=AE+EB=9+2=11，AM=AB=，
在直角三角形PNA和直角三角形AMO，
∠APN=∠OAM，∠PAN=∠AOM，
可得△PNA∽△AMO，
得：，
即有OA===．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；
（Ⅱ）若?x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）求出ab=1，问题转化为|﹣2x+1|≥1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为（a ﹣1）（a﹣2x+1）≥0，通过讨论a的范围求出不等式的解集，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（I）由已知，
∵a、b不为0，∴ab=1，
原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，
所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，
解得：{x|x≤0或x≥1}；
（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥0，
（x﹣a）2≥（x﹣1）2，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，
a=1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立，
a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≥2x﹣1，从而a≥3，
a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≤2x﹣1，从而a≤1，
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点 等)，理解正切函数在区间??? ?－π2，π2内的单调性． 【热点题型】 题型一 三角函数的定义域、值域 【例1】 (1)函数y ＝1 tan x －1 的定义域为____________． (2)函数y ＝2sin ??? ?πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－3 解析 (1)要使函数有意义，必须有???? ?tan x －1≠0，x ≠π2＋kπ，k ∈Z ， 即? ??x ≠π 4＋kπ，k ∈Z ，x ≠π 2＋kπ，k ∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π 2＋kπ，k ∈Z}． (2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π 6， ∴sin ????π6x －π3∈???? ??－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴ymax ＋ymin ＝2－ 3. 答案 (1){x|x≠π4＋kπ且x≠π 2＋kπ，k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用
哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右
高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 4 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ）A．08 B．07 C．02 D．01 5．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示) 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【考情解读】 1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质； 2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质； 3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用． 【重点知识梳理】 1．根式的性质 (1)(n a)n ＝a. (2)当n 为奇数时n an ＝a. 当n 为偶数时n an ＝{ a a≥0－a a<0 . 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：an ＝a·a·…·a n 个 (n ∈N*)． ②零指数幂：a0＝1(a≠0)． ③负整数指数幂：a －p ＝1 ap (a≠0，p ∈N*)． ④正分数指数幂：a m n ＝n am(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)． ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1 n am (a>0，m 、n ∈N*，且n>1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras ＝ar ＋s(a>0，r 、s ∈Q)； ②(ar)s ＝ars(a>0，r 、s ∈Q)； ③(ab)r ＝arbr(a>0，b>0，r ∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y ＝ax a>1 0 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； x<0时，0 2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3. 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 历年全国卷高考数学真 题大全解析版 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 辽宁省高考数学模拟试卷（4月份） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分）设集合U={x|x＜5，x∈N*}，M={x|x2﹣5x+6=0}，则?UM=（） A . {1，4} B . {1，5} C . {2，3} D . {3，4} 2. （2分）(2019·随州模拟) 已知函数，则的值（） A . -2 B . 2 C . 0 D . 1 3. （2分） (2016高三上·闽侯期中) “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（） A . B . C . D . 4. （2分）化简以下各式： ① ； ② ； ③ ﹣ ④ 其结果是为零向量的个数是（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 5. （2分） (2016·河北模拟) 从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（） A . B . C . D . 6. （2分） (2017高一下·中山期末) 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（） A . ②、③都不能为系统抽样 B . ②、④都不能为分层抽样 C . ①、④都可能为系统抽样 D . ①、③都可能为分层抽样 7. （2分） (2016高一下·湖南期中) 下列说法正确的是（） ①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线和这个平面垂直； ④垂直于同一直线的两平面互相平行． A . ①和② B . ②和③ 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设z=1-i 1+i +2i ，则|z|= A ．0 B ．1 2 C ．1 D ． 2 解析：选C z=1-i 1+i +2i=-i+2i=i 2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则?R A = A ．{x|-1 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3 2020年浙江省高考数学模拟试卷（4月份） 一．选择题（共10小题） 1．设集合A＝{x∈N||x|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（） A．{x|x≤2}B．{x|﹣4＜x≤2}C．{0，1，2}D．{1，2} 2．设复数z满足i?z＝2+3i，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．已知q是等比数列{a n}的公比，首项a1＜0，则“0＜q＜1”是“数列{a n}是递增数列” 的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．设x，y满足，则|x+4y|的最大值为（） A．0B．1C．2D．5 5．函数y＝﹣cos x?ln|x|的图象可能是（） A．B． C．D． 6．随机变量X满足P（X＝p）＝p，P（X＝1﹣p）＝1﹣p，随机变量Y＝1﹣X，则（）A．E（X）≥E（Y），D（X）≥D（Y）B．E（X）≥E（Y），D（X）＝D（Y C．E（X）≤E（Y），D（X）≥D（Y）D．E（X）≤E（Y），D（X）＝D（Y）7．已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，BD的中点，P是线段EF上的动点（含端点）．P A与平面BCD所成的角为θ1，二面角A﹣EF﹣D的平面角为θ2，二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ3，则（） A．θ1≤θ3≤θ2B．θ3≤θ1≤θ2 C．θ1≤θ2，θ1≤θ3D．θ1≤θ3，θ2≤θ3 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF1|＝|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是（） A．B．C．D．3 9．已知a∈R，函数f（x）＝，则函数y＝f（x）的零点个数不可能为（）A．0B．1C．2D．3 10．已知数列{a n}满足：a1＝1，． （1）数列{a n}是单调递减数列； （2）对任意的n∈N*，都有； 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 山东省春季高考数学试卷 一、选择题 1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则?U M等于（） A．?B．{1}C．{2}D．{1，2} 2．函数的定义域是（） A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（） A．y=x B．y=1 C．D．y=|x| 4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（） A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+3 5．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（） A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32 6．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D． 7．“p∨q为真”是“p为真”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（） A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6 9．下列说法正确的是（） A．经过三点有且只有一个平面 B．经过两条直线有且只有一个平面 第1页（共25页） C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（） A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0 11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（） A．72 B．120 C．144 D．288 12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D． 13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 14．如果，，那么等于（） A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18 15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D． 16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（）A．B．C．D． 17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（） A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15 第2页（共25页） 2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．6 B. 5 C．4 D．3 1.B 解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B. 2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 2．B 解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B. 3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为( ) 图M1-1 A．1 B. 2 C. 3 D．2 3．C 解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四 棱锥最长的棱，SA ＝SC 2＋AC 2＝SC 2＋AB 2＋BC 2＝ 3.故选C. 图D188 4．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π2 4．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是 1，倾斜角为π 4 . 5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5] ＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4. 6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( ) 图M1-2高考数学解析几何专题练习及答案解析版
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