2021年江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合{}1,2,4A =，{}|(1)(3)0B x x x =--≤，则A
B = ．
2．命题“[0,)x ?∈+∞，23x >”的否定是 ．
3．在3和243中间插入3个实数1a ，2a ，3a ，使这5个数成等比数列，则2a = ． 4．已知7sin cos 13αα+=-
，π
(,0)2
α∈-，则tan α= ． 5．函数()ln 23x f x x =+-在区间(1,2)上的零点个数为 ．
6．已知定义在R 上的函数2()23f x ax x =++的值域为[2,)+∞，则()f x 的单调增区间为 ．
7．函数3()812f x x x =+-在区间[33]-，上的最大值与最小值之和是 ． 8．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 ． 9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=
，47
cos()51
αβ+=-，则cos β= ． 10．函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当(0,3)x ∈时，
()2x f x =，则(5)f -= ．
11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，
给出下列函数：（1）1()sin cos f x x x =+；（2）2()f x x =；（3）
3()cos )f x x x =+；（4）4()sin f x x =；（5）5()2cos (sin cos )222
x x x
f x =+，其中“互
为生成”函数的有 ．（请填写序号）
12．已知ABC ?是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2
AB AD AC AD BC ?+?=，则||BC = ．
13．已知直线l 与曲线1
y x
=-和曲线ln y x =均相切，则这样的直线l 的条数为 ． 14．已知数列
{}
n a 满足11a =，且11
1
n n a a n +=+
+，*n ∈N ，则20142015
1
()k k k a
a =-=∑ ．
二、解答题
15．已知集合{}(){}
2
213,220A x x B x x a x a =-<-++≤.
()1若1a =，求A B ；
()2若A
B A =，求实数a 的取值范围.
16．已知ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B C
c B A
--=
+． （1）求角A 的值；
（2）若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ?的形状．
17．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角等于150?，b 与c 的夹角等于120?，||2c =，求||a ，||b ．
18．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列． （1）设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；
（2）问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，
p 满足
的条件；若不存在，请说明理由．
19．已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *（其中k ，t 为常数）． （1）若k ＝
1
2，t ＝14
，数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ．
20．已知函数()=e x f x （其中e 是自然对数的底数），2()1g x x ax =++，a ∈R ． （1）记函数()()()F x f x g x =?，当0a >时，求()F x 的单调区间；
（2）若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
1．{}1,2 【解析】
试题分析：由已知{|13}B x x =≤≤，所以{1,2}A B =．
考点：集合的运算． 2．[0,)x ?∈+∞，23x ≤ 【解析】
试题分析：命题“[0,)x ?∈+∞，23x >”的否定是“[0,)x ?∈+∞，23x ≤” 考点：命题的否定． 3．27 【解析】
试题分析：22
2324327a =?=，又2a 与2,243同号，所以227a =．
考点：等比数列的性质． 4．125
-
【解析】
试题分析：由7sin cos 13αα+=-
得2
49(sin cos )169αα+=，所以60sin cos 169
αα=-，因为(,0)2
πα∈-，所以sin 0,cos 0αα，由7sin cos 13{60sin cos 169αααα+=-=-得12
sin 13
{5cos 13
αα=-
=
，所
以sin 12
tan cos 5
ααα=
=-． 考点：同角间的三角函数关系． 5．1 【解析】
试题分析：函数()ln 23x
f x x =+-是(0,)+∞上的增函数，又1
(1)ln12310f =+-=-<，
2(2)ln 223ln 210f =+-=+>，所以()f x 在(1,2)上有且只有一个零点．
考点：函数的零点．
6．[1,)-+∞（(1,)-+∞也对） 【解析】
试题分析：由已知012424a a a
>??-?=??，解得1a =，22
()23(1)2f x x x x =++=++，所以其增
区间为[1,)-+∞． 考点：二次函数的性质． 7．16 【解析】
试题分析：设在区间[3,3]-上()f x 的最大值为M ，最小值为m ，再设()()8g x f x =-，
()g x 的最大值为8M -，
最小值为8m -，又3()12g x x x =-是奇函数，所以在区间[3,3]-上max min ()()0g x g x +=，即(8)(8)0M m -+-=，16M m +=． 考点：函数的奇偶性． 8．210 【解析】
试题分析：设前3m 项和为 x ，则 30，100﹣30，x ﹣100 成等差数列，解出 x 的值，即为所求．
解：等差数列{a n }的每m 项的和成等差数列，设前3m 项和为 x ，则 30，100﹣30，x ﹣100 成等差数列，
故 2×70=30+（x ﹣100 ），x=210， 故答案为210．
考点：等差数列的性质． 9．1
3
【解析】
试题分析：由于αβ、都是锐角，所以αβ+∈(0,)π，又1cos 17α=
，47cos()51
αβ+=-，所
以
sin 17
α=
，
sin()51
αβ+=
，
cos cos[()]
βαβα=+-
cos()cos sin()sin αβααβα=+++4715117
=-
?+
1
3
=． 考点：两角和与差的余弦公式．
【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系． （3）在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有
2
αβ
+＝2βα?
?
-
??
?
－2αβ??
-
???
，α＝（α－β）＋β，
4π＋α＝2π－4πα??
- ???
，15°＝45°－30°等． 10．2- 【解析】
试题分析：由题意1
(5)(32)(32)(1)22f f f f =+=-===，又()f x 是奇函数，所以
(5)(5)2f f -=-=-．
考点：函数的奇偶性． 11．（1）（2）（5） 【解析】
试
题
分
析
：
1())
4
f x x π
=+，
3()2sin()
4
f x x π
=+，
5()sin cos 1)14f x x x x π
=++=++，其中（1）
（2）（5）都可以由y x =平
移得到，它们是“互为生成”函数，（3）（4）不能由y x =平移得到，相互也不能平
移得到，故填（1）（2）⑷． 考点：函数图象的平移． 12．2 【解析】
试题分析：因为AD 直径，所以2
ABD ACD π
∠=∠=
，所以2
AB AD AB ?=，
2
AC AD AC ?=，所以222
AB AC BC +=，即2
BAC π
∠=
，BC 直径，所以2BC =．
考点：向量的数量积． 13．1 【解析】
试题分析：设1()ln f x x x =+
，22111
'()x f x x x x
-=-=，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，1x =时，()f x 取得极小值也是最小值(1)ln1110f =+=>，所以1ln 0x x +
>恒成立，即1
ln x x
>-，因此设公直线l 与曲线1y x =-相切于点11(,)A x y ，与曲线ln y x =相切于点22(,)B x y ，必有10x <，1y x
=-的
导数为21'y x =，ln y x =的导数是1'y x =，由题意21221
21121
11
ln 1x x x x x x x ?=???
?--??=
-??，211221111ln 1x x x x x +?=-，1112ln()20x x x ?--+=，记()2ln()2g x x x x =--+，'()2ln()1g x x =-+，令'()0g x =，则12
x e -
=-，当12
x e -
<-时，'()0g x >，()g x 单调递增，当12
0e
x -
-<<时，
'()0g x <，()g x 单调递减，
1
12
2
max ()()2(1)0g x g e e --=-=+>，又22
()320g e e -=-+<，0
lim[2ln()2]20x x x x →---+=>，所以()0g x =只有一解，即1112ln()20x x x --+=只有
一解，所以两曲线的切线只有一条．
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性． 【名师点睛】1．求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′（x 1，f （x 1））；
第二步，写出过P ′（x 1，f （x 1））的切线方程为y －f （x 1）＝f ′（x 1）（x －x 1）； 第三步，将点P 的坐标（x 0，y 0）代入切线方程，求出x 1；
第四步，将x 1的值代入方程y －f （x 1）＝f ′（x 1）（x －x 1），可得过点P （x 0，y 0）的切线方程．
2．判断函数y ＝f （x ）零点个数的常用方法：（1）直接法：令f （x ）＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．
（2）零点存在性定理法：判断函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f （a ）·f （b ）
<0，再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数．
在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题． 14．
2029105
2
【解析】
试题分析：由已知1211111112
n n n a a a n n n
n
--=+
=++==++
+
-， 2015111
()()122015
k k a a k k k -=+++++，
201420151
()k k k a a =-=∑11
1111
1()2()201423
201534
20152015+
++
++++
++? 11111(12)(123)(12)(122014)2341
2015
k k =
++?+++?++++
+?
++++
+?
+
1232014222
2
2k =++++++
2029105
2
=
． 考点：数列求和．
【名师点睛】 数列求和的方法：
（1）一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． （2）解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
15．（1）[1,2)；（2）(,1]-∞． 【解析】
试题分析：（1）根据集合的交集运算法则可求；（2）由交集与子集的关系，可以得出A B ?，
利用分类讨论，可分析出1a ≤-.
试题解析：由213x -<解得12x -<<，所以(1,2)A =-，由2
(2)20x a x a -++≤得
(2)()0x x a --≤
（1（1a =时，[1,2]B =，所以[1,2)A B ?= （2（∵ A
B A =，∴ A B ?
若2a ≥时，显然不成立，若2a <时，[,2]B a =（A B ?，所以1a ≤-. 16．（1）3
A π
=；（2）等边三角形．
【解析】
试题分析：（1）题中已知条件
sin sin sin sin b a B C
c B A
--=
+是边角关系，为了求角A ，我们应用正弦定理把它化为边的关系或者角的关系，本题化为边的关系后，可用余弦定理求得A 角；（2）判断三角形形状，由已知2c a b =+，再结合（1）222a b c bc =+-，消去a ，可得b c =，从而ABC ?为等边三角形． 试题解析：（1）由正弦定理，得：b a b c
c b a
--=
+， 整理，得：222a b c bc =+-， 由余弦定理，得：1
cos 2
A =，
A 是ABC ?的内角，π3
A ∴=
； （2）
a ，c ，
b 成等差数列，2
c a b ∴=+，
由（1）可知，222a b c bc =+-，
222(2)c b b c bc ∴-=+-，整理，得：2330c bc -=， 由0c >，得b c =，a b c ∴==，
∴ABC ?是等边三角形．
（注：本题第二小问可以用角的化简来处理） 考点：正弦定理，余弦定理，三角形形状的判断． 【名师点睛】判定三角形形状的两种常用途径：
（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．
（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．
提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响． 17．||23a =，||4b =． 【解析】
试题分析：要求||a ，||b ，就要列出关于||a ，||b 的方程组，观察已知条件a 与b 的夹角等于150?，b 与c 的夹角等于120?，即为cos150a b a b ?=?，cos120b c b c ?=?，因此把0a b c ++=分别变发为a b c +=-，和b c a +=-，平方后可达到要求．
试题解析：由0a b c ++=得：222
222
22a b c a b a b c
b c a b c b c a ??+=-++?=?????
+=-++?=????， 2222
||||2||||cos1504
||422||cos120||
a b a b b b a ?
??++=?∴?
++??=??， 解之，得：||23a =，||4b =．
（注：本题可先判断a c ⊥，或利用平行四边形法则或三角形法则来做） 考点：向量的数量积． 18．（1）31
2
q =-；（2）存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列． 【解析】
试题分析：（1）本题要求3
q 值，已知是9362S S S ∴=+，我们借助n S 的最基本形态
12n n S a a a =+++，有19123162()()()a a a a a a a ++=+++++，化简即得
7894562()()0a a a a a a +++++=，而3789456()0a a a q a a a ++=++≠，由此可得3q ；
（2）数列中的探索性命题，如果是肯定性结论，本题只要能找到三项，成等差数列即可，如果是否定性结论，则必须证明．具体找三项时，可写出数列{}n a 中连续一些项，从中观察寻找． 试题解析：（1）
3S ，9S ，6S 成等差数列，9362S S S ∴=+，∴9693()()0S S S S -+-=，
即789789456()()()0a a a a a a a a a ++++++++=，
34564562()()0q a a a a a a ∴+++++=， 24564(1)0a a a a q q ++=++≠，31
2
q ∴=-；
（2）存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列． 671114a a q a ==，34111
2
a a q a ==-，7142a a a ∴=+；
一般地，当6n m =+，且3p m =+时，有m a ，n a ，p a 成等差数列．
（注：若利用等比数列求和公式，则必须讨论公比q 是否等于1，不讨论者扣3分） 考点：等比数列与等差数列的性质．
19．（1）a 1＝（2）见解析 【分析】 （1）由k ＝
12，t ＝14
，可得2
111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，分
别令n ＝2，n ＝3，利用等差数列的性质即可得出．
（2）令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，利用递推关系可得1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]，易知q≠1，从而可得t ＝0，从而证明． 【详解】 （1）∵k＝
12，t ＝14
，∴2
111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，
令n ＝2，则212211a a a 124+
=-，令n ＝3，则2
123311124a a a a ++=-， 两式相减可得：()()()23323211
24
a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ．
由212211124
a a a +=-，且d ＝2，化为2
112a a -﹣4＝0，a 1＞0．
解得a 1＝
（2）∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2
﹣1①，n≥2，n∈N *
，所以S n +ka n+1＝2
n 1ta +﹣1②，
②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2n 1ta +﹣2
n ta ，∴a n ＝（a n+1﹣a n ）[t （a n+1+a n ）﹣k]， 令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，∴（q ﹣1）k+1＝ta n （q 2﹣1）， ∴1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N *， 1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数； ∴t＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k＜0，
故k ＜t ． 【点睛】
本题考查了等差数列与递推数列的通项公式及其性质、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（1）单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---；（2）[1,22ln 2]--． 【解析】
试题分析：（1）求单调区间的方法是求出'()0F x =的解1,1a ---，确定'()0F x >（或'()0F x <）
的取值区间，即函数的单调区间，此可用列表方法得出（同时可得出极值）；（2）本小题不等式1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-或有绝对值符号，有两个参数12,x x ，由于函数
()f x 是增函数，因此设1202x x ≤<≤，则有12()()f x f x <，原问题等价于
121221()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-恒成立，
分两个问题，1212()()()()f x f x g x g x -<-恒成立和1221()()()()g x g x f x f x -<-恒成立，前面转化为1122()()()()f x g x f x g x -<-，可以考虑函数()()f x g x -在[0,2]上是单调递增的，后面一个转化为1122()()()()f x g x f x g x +<+，可以考虑函数()()f x g x +在[0,2]上是单调递增的．
试题解析：（1）2()()()e (1)x F x f x g x x ax =?=++，()e (1)(+1)0x F x x x a '∴=++= ， 得1x =-或1x a =--，
列表如下：（0a >，11a ∴--<-）
()F x ∴的单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---；
（2）设12x x <，
()e x f x =是单调增函数，12()()f x f x ∴<，
2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-?-<-<-；
①由1212()()()()f x f x g x g x -<-得：1122()()()()f x g x f x g x -<-，
即函数2()()e 1x y f x g x x ax =-=---在[0,2]上单调递增，
()()e 20x y f x g x x a '''∴=-=--≥在[0,2]上恒成立， e 2x a x ∴-≤在[0,2]上恒成立；
令()e 2x h x x =-，()e 20ln 2x h x x '∴=-=?=，
∴[0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；(ln 2,2]x ∈时，()0h x '>；
ln 2min ()(ln 2)e 2ln 222ln 2h x h ∴==-=-， 22ln2a ∴-≤；
②由1221()()()()g x g x f x f x -<-得：1122()()()()g x f x f x g x +<+， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =+=+++在[0,2]上单调递增，
()()e 20x y f x g x x a '''∴=+=++≥在[0,2]上恒成立， e 2x a x ∴--≥在[0,2]上恒成立；
函数e 2x y x =--在[0,2]上单调递减，∴当0x =时，0max e 201y =--?=-， 1a ∴≥-，
综上所述，实数a 的取值范围为[1,22ln 2]--． 考点：导数与函数的单调性，不等式恒成立问题． 【名师点睛】1．用导数研究函数的单调性：
（1）求函数f （x ）单调区间的方法是，通过解不等式f ′（x ）>0（或f ′（x ）<0）直接得到单调递增（或递减）区间．
（2）导数法证明函数f （x ）在（a ，b ）内的单调性的步骤： ①求f ′（x ）．
②确认f ′（x ）在（a ，b ）内的符号．
③得出结论：f ′（x ）>0时为增函数；f ′（x ）<0时为减函数．
2．不等式恒成立问题，一般通过转化与化归思想，转化为用导数求函数的最值，研究函数的单调性，这类问题比较复杂，考查学生的分析问题解决问题的能力，考查计算推理能力．