2020/2021学年度第一学期质量检测试卷 高三数学 2020.09
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题:p x R ?∈，使sin x =；命题:q x R ?∈，都有210x x ++>.给出下列结论：
①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧?”是假命题
③命题“p q ?∨”是真命题 ④命题“p q ?∨?”是假命题
其中正确的是 （ ）
A ．①②③
B ．②③
C ．②④
D ．③④
2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （ ）
A ．3
B ．12
C ．12-
D ．3-
3.将函数()sin 23f x x π?
?=+ ???的图象向左平移6
π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )
A 、sin2y x =
B 、cos2y x =
C 、 2sin 23y x π??=+ ???
D 、sin 26y x π??=- ??
? 4．已知集合P={6
5|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ?Q=____ ( )
A 、{6
1|<<-x x } B 、{61|≤≤-x x } C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }
5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则
ΔOPF 的面积为 ( )
B. 3
C. 4
6. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足
，则f(x)与g(x)满足 ( )
A ．f(x)＝g(x)
B ．f(x)＝g(x)＝0
C ．f(x)－g(x)为常数函数
D ．f(x)＋g(x)为常数函数
7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ）
A. 12
B. 23
C. 13 8．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为 （ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3]
C ．（2，3）
D ．（2，3]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9． 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有 （ ）
A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有122
98C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有122
99C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212
988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种
10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+
，则 （ ） A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56
π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动
3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动
6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线C 2
11.若函数()f x 对?a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；
（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有 （ ）
A ．()e e x x f x -=+
B ．()e e x x f x -=-
C ．()sin f x x x =-
D ．00()10x f x x x
=??=?-≠??，， 12. 已知ABC ?中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是 （ ）
A.3=BE
B.ABC ?的面积为13
C.5
34=AD D.P 在ABE ?的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分
13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝
14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________
15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A
B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。
16．若等边的边长为1，平面内一点满足，则 . 四、解善题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 设a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a .
(1)求f (x )的极值；
(2)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
18. 已知
，，其中.且满足
. (Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若关于的方程
在区间上总有实数解，求实数的取值范围
19. 17.(12分)
在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1、a 4、a 8成等比数列。
(1)已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝
n n 1
1a a ＋，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝119n 9-+，求数列{a n }的公差。
20.如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122
AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．
（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π
？若存在，求
CM CP
的值；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性．若现有()n n *∈N 份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：
方式一：逐份检测，需检测n 次；
方式二：混合检测，将其中(2)k k k *∈N ，≥份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这k 份样本全为阴性，则只需检测1次；若检测结果为阳性，则需要对这k 份样本逐份检测，因此检测总次数为+1k 次．假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是(01)p p <<．
（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为0.8%．为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取50人进行检测，有两个分组方案： 方案一：将50人分成10组，每组5人;
方案二：将50人分成5组，每组10人．
试分析哪种方案的检测总次数更少？(取
510110.992=0.961,0.992=0.923,0.992=0.915)
（2）现取其中k 份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为1ξ；
采用混合检测方式，需要检测的总次数为2ξ．若12=E E ξξ（）（），试解决以下问
题：
①确定p 关于k 的函数关系；
②当k 为何值时，p 取最大值并求出最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数()ln (1)f x x a x =-+．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()()1g x f x x =++，函数()g x 有两个不同的零点1x ，2x (1x ＜2x )，求实数a 的取值范围．
2020/2021学年度第一学期质量检测试卷
数学参考答案
2020.09
选择题
1.B
2.A
3. C
4. C
5. A
6. C
7.D
8. C
9.ACD 10.ABC 11. BC 12.ACD
填空题：13.16 14. .(－∞，－1) 15. 0 16.-2
9
解答题：
17．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.
(2)∵f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；f(x)在(1，
＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2>a－2，即函数的极大值大
于极小值．∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图1所示．∴a＋2＝0，即a＝－2.
当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程
f(x)＝0恰好有两个实数根，如图2所示．∴a－2＝0，即a＝2.
综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．
18. (Ⅰ)由题意知，
由
得，
， ∵
，又，∴，∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
∵
，， ∴
，. 又∵
有解，即有解， ∴
，解得，所以实数的取值范围为. 19.
20. 解（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，
且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=
,
所以BD =，
又因为4,4CD BDC π
=∠=．根据余弦定理得BC =
所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.
又因为BC PD ⊥, PD BD D ?=,且BD ,PD ?平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，
又因为BC ?平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面
（2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD ,
设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==, 所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，
平面ABCD 平面PBD BD =，
PE ⊥平面ABCD .
如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面
ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐
标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，
(2,0,0)D ，(1,1,2)P ，
假设存在(,,)M a b c 满足要求，设
(01)CM CP
λλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,
易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.
设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =，
=(2-,4-3,2)λλλAM
由00n AB n AM ??=??=?
得20(2)(43)20y x y z λλλ=??-+-+=?，不妨取(2,0,2)n λλ=-. 因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π
，所以
22
412
224(2)λ
λλ=+-， 解得2,23
λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =.
21解：（1）设方案一中每组的检验次数为X ，则X 的取值为16，
则55
(1)(0.992)0.961;(6)1(0.992)0.039P X P X =====-=
则=10.961+60.039 1.195EX ??=,
故方案一的检验总次数的期望为1010 1.19511.95EX =?=；
设方案二中每组的检验次数为Y ，则Y 的取值为111
， 则1010(1)(0.992)
0.923;(11)1(0.992)0.077P X P X =====-=．
则10.923+110.077 1.77EY =??=,
故方案二的检验总次数的期望为55 1.778.85EX =?=
因为11.958.85>，则方案二的检测次数更少．
（2）法1：由已知得12==11k k ξξ+，或，则22(=1)(1)(=k+1)1(1)k k P p P p ξξ=-=--，
则2(1)(1)1(1)1(1)k k k E p k p k k p ξ??=-++--=+--??
因为12E E ξξ=，则1(1)k k k k p =+--即
1
11()(2)k p k k N k
=-∈*≥，…8分 令1
1()1()(2)k f k k k N k
=-∈*≥，， 111133221111(2)1(),(3)1()(2)(3)()()02332
f f f f =-=--=-<则， 当3k ≥时11111(+1)()()()1
k k f k f k k k +-=-+， 令2
ln ln 1()(3),()x x g x x g x x x -'=-=≥，
当3x ≥时，()0g x '>则()g x 在[)3,+∞单调递增，
则当3k ≥时，11ln ln(1)1
k k k k -<-++即11111()()1k k k k +<+， 即当3k ≥时，(+1)()0f k f k -<，
则(2)(3)(4)(5)f f f f <>>………即当3k =时，()f k 最大值， 最大值为1
3
1(3)13f ??=- ???
: 法2：由已知得12==11k k ξξ+，或，
则22(=1)(1)(=k+1)1(1)k k P p P p ξξ=-=--，，
则2(1)(1)1(1)1(1)k k
k E p k p k k p ξ??=-++--=+--??，
因为12E E ξξ=，则1(1)k k k k p =+--， 即1
11()(2)k p k k k *
=-∈N ≥，， 令1
1()1()(2)k f k k k k *=-∈N ≥，，令1
1()ln 02x h x x x x k ??
==∈ ???，，，，
()1ln h x x '=+，令()0h x '=得1
e x =， 当10e x <<时，()0h x '<，则()h x 在1
(0)e ，上单调递减； 当11e 2x <≤时，()0h x '>，则()h x 在1
1e 2??
???，上单调递增；
又因为k *∈N ，则1
1
23x =或，则()h x 的最小值为1()2h 或1
()3h ，
1
2
11
3213
1()1
1
1
1
1
1
112()()ln ln ln()ln()ln 023*******
()3h h -=-=-=>， 则当1
3x =即3k =时，()h x 最小值，
此时()f k 最大即为1
3
1(3)13f ??=- ???