2021年江苏省启东中学高三下学期期初调研测试文科数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合A ＝{x|log 2x≤2}，B ＝（－∞，a ），若A ?B ，则实数a 的取值范围是（c ，＋∞），其中c ＝ ．
2．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是______．
3．圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是________.
4．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为 .
5．设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ．
6．已知函数?????<-≥=2)
1(223x x x x y ，若关于x 的方程f （x ）＝k 有两个不同的实根，则实数
k 的取值范围是 .
7．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -?--=，则ABC ? 的形状是 ．
8．设x y 、均为正实数，且111223
x y +=++，则xy 的最小值为 ． 9．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角分别为α、β，则有22cos cos 1αβ+=，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=__________.
10．已知点(,4)P m 是椭圆22
221+=x y a b
(0)>>a b 上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，
若12?PF F 的内切圆的半径为32
，则此椭圆的离心率为 ．
11．若函数)1ln(2ln )(+-=
x kx x f 不存在零点，则实数k 的取值范围是 ． 12．函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．
13．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ．
二、解答题
14．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 m 2. 15．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a
+-+=+是奇函数． （1）求,a b 的值；
（2）已知()f x 在定义域上为减函数，若对任意的t R ∈，不等式
()()2220(f t t f t k k -+-<为常数）恒成立,求k 的取值范围.
16．（本小题满分为14分）已知函数)50)(36cos(2)(≤≤+=x x f π
π，点B A ,分别是函数 )(x f y =图象上的最高点和最低点．
（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ?的值；
（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα
-的值．
17．如图1所示，在Rt ABC ?中，6AC =，3BC =，90ABC ∠=?，CD 为ACB ∠的平分线，点E 在线段AC 上，4CE =．如图2所示，将BCD ?沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点．
图1 图2
（1）求证：DE ⊥平面BCD ；
（2）在图2中，若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥BDEG 的体积．
18．（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为：
?????∈+-∈+-=]500,144[800002002
1)
144,120[50408031223x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
19．（本小题满分为16分）设A ，B 分别为椭圆22
221+=x y a b
(0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4
，且点在该椭圆上． （1）求椭圆的方程；
（2）设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：△MBP 为钝角三角形．
20．（本小题满分为16分）已知函数x a x x f ln 2
1)(2+=． （1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；
（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在33
2)(x x g =
的图象下方．
参考答案
1．4；
【解析】
试题分析：由log 2x≤2，得0
考点：集合包含关系
2．1
【分析】
存在x ∈R ，使220x x m ++≤是假命题，其否命题为真命题，即是说“x R ?∈，都有
220x x m ++＞ ”，根据一元二次不等式解的讨论，可知440m =-＜，所以1m ＞
，则1a =．
【详解】
存在x ∈R ，使220x x m ++≤0是假命题，
∴其否定为真命题，即是说“x R ?∈，都有220x x m ++＞ ”，，
∴440m =-＜，1m m ∴＞，的取值范围为1+∞（，）．
则1a =.
【点睛】
考察了四种命题间的关系和二次函数的性质，属于基础题．
3．-4
【分析】
将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线l 的距离，再根据截得弦的长度为4，得到关于a 的方程，解出即可
【详解】
由圆22220x y x y a ++-+=可得()()22
112x y a ++-=-
∴圆心为()11-，，半径)2r a <
直线方程为20x y ++=
∴圆心到直线的距离d ==
截得弦的长度为4
2
222a ∴+=-，解得4a =-
故答案为4-
【点睛】
结合弦长的长度求出圆的标准方程，只需将圆化为标准方程，然后运用弦长公式的求法求出参量即可
4．4+；
【解析】 试题分析：BC AB BC AB S ?=?=424sin 21π，BC AB BC AB ?-+=2164cos 22π， 得BC AB BC AB BC AB ?≥+=?+221622，)22(8+≤?BC AB ，△ABC 面积的最
大值为4+考点：余弦定理
5．37π
；
【解析】
试题分析： a x x x x x =+=+=+)3sin(2)cos 23sin 21(2cos 3sin π，直线与三角
函数图象的交点，在]2,0[π上，当3=a 时，直线与三角函数图象恰有三个交点， 令32323)3sin(ππππ+=+?=+
k x x 或)(3223Z k k x ∈+=+πππ，即πk x 2=或 )(32Z k k x ∈+=π
π，∴此时π
π
2,3,0321===x x x ，37321π
=++∴x x x ．
考点：三角函数图像与性质
6．（0,1），
【解析】 试题分析：3220,1];2(1)(,1)x x x x ≥∈<-∈-∞时，（时，若f （x ）＝k 有两个不同的实根，也即
函数y ＝f （x ）的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为（0,1）.
考点：分段函数图像
7．等腰三角形；
【解析】 试题分析：+=+++=--)()(2，BC AC AB =-， 由()()20AB AC AD BD CD -?--=，即)(+⊥，由四边形垂直平分可得ABC ?的是等腰三角形．
考点：向量数量积
8．16
【详解】 x 、y 均为正实数,且111223
x y +=++,进一步化简得80xy x y ---=.
8x y xy +=-≥令t 2280t t --≥,
2t ∴≤- (舍去),或4t ≥,
4≥,化简可得 16xy ≥,
xy ∴的最小值为16.
9．
【解析】
试题分析： 我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质，在长方形中，设一
条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α、β,则有22cos cos 1αβ+=，我们
根据长方体性质可以类比推断出空间性质，因为长方体1111ABCD A B C D -中，如图,对角线1AC 与过A 点的三个面ABCD 、1111D C B A 所成的角分别为α、β、γ，
111cos ,cos ,AB AC AC AC αβ∴==11
cos AD AC γ=，2222
221121cos cos cos AC AB AD AC αβγ++∴++=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为,,a b c ，则有222222
1121cos cos cos AC AB AD AC αβγ++++=
222222
222
2a b a c b c a b c +++++==++，故答案为2.
考点: 1、类比推理；2、直线和平面成的角.
10．35
； 【解析】
试题分析：一方面12?PF F 的面积为1(22)2a c r +?；另一方面12?PF F 的面积为122
?p y c ，11(22)222
+?=?p a c r y c ，∴()+?=?p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴4511332
p y a c r =-=-=，∴椭圆的离心率为35
==c e a . 考点：椭圆的离心率
11．)4,0(；
【解析】 试题分析：由题意可知???????+=>+>)1ln(2
ln 010
x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得 2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2
≠->++=+=?x x x x x x k 由于,21-<+
x x 或02121<++?≥+x x x x 或421≥++x
x ， 要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++x x 取值集合的补集， 即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(
考点：函数零点
12．)0,1()2,3(-?--；
【解析】
试题分析：函数x e x x f 2)(=的导数为
)2(22+=+='x xe e x xe y x x x ，令0='y ，则0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递
增0∴和2是函数的极值点，因为函数