（备战中考）2012年中考数学深度复习讲义
（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）全等三角形
◆考点聚焦
1．探索并掌握两个三角形全等的特征和识别．
2．了解定义、命题、逆命题和定理的含义，会区分命题的条件和结论．
3．完成基本作图（等线段、等角、角的平分线、线段的垂直平分线）；?会利基本作图作三角形及过不在同一直线上的三点作圆．
◆备考兵法
1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．?”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA 或SAS 时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．
2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，?而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．
◆识记巩固
1．三角形全等的识别方法：
注意：要证全等必须满足至少一组边对应相等．
2．三角形全等的证题思路： SAS HL SSS SAS ASA AAS ASA AAS ?→???→????→???→???→????→???→???→????
找夹角已知两边找直角找另一边找夹角的另一边已知一边和一角找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边
3．全等三角形的特征：全等三角形的对应边_______，?对应角______；?图形经过_______，_______，_______等几何变换后与原图形全等．
?4．?________________?叫做命题．?正确的命题称为_______，?错误的命题称为_______．
两个三角形中对应相等的边或角 全等识别法 一般三角形 三条边 两边及其夹角 两角及其夹边
两角及一角的对边
直角三角形 斜边及一条直角边
5．在几何中，限定用________和_______来画图，称为尺规作图，新课标要求掌握四种基本作图（画线段、画角、画角平分线、画垂直平分线）．
6．全等三角形中常见的基本图形：
识记巩固参考答案:
1．SSS SAS ASA AAS HL3．相等相等对称平移旋转4．可以判断正确与错误的语句真命题假命题5．直尺圆规 ◆典例解析
例1（2011重庆江津，22，10分）在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF.
(1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.
【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,
∵AE=CF,AB=BC,∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由（1）知Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
例2在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：①AB=DC ；②BE=CE ；③∠B=∠C ；④∠BAE=∠CDE ．?要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形．
请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知： 求证：△AED 是等腰三角形．
证明：解析本例是一道开放性问题，考查全等三角形的识别，填法多样，?一般先看从题中已知的四个条件中取出两个共有六种取法，再看有几种正确．正确的填法可以是已知：①③（或①④，或②③，或②④）（任选一个即可）．若选①③，证明如下：
证明：在△ABE 和△DCE 中，
∵,,,B C AEB DEC AB DC ∠=∠??∠=∠??=?
∴△ABE ≌△DCE ， ∴AE=DE ，即△AED 是等腰三角形． 点评几何演绎推理论证该如何考？一直是大家所关注的．本题颇有新意，提供了一种较新的考查方式，让学生自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给学生创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性．这种考查的形式在近几种的中考试题中频繁出现，复习时值得重视．
例3已知Rt △ABC 中，∠C=90°．
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为H；
③连结ED．
（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△_____≌△______，并加以证明．
解析（1）按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD，作线段AD的垂直平分线，并连结相关线段．
（2）由AD平分∠BAC，可以得到∠BAD=∠DAC．
由EF垂直平分线段AD，可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，
从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共边，从而有△AEH≌△AFH≌△DEH．以上三组中任选一组即可．
点拨本题的最大特点是将基本作图与证明结合起来，就目前的情况来看，“作图→证明”“作图→计算”“作图→变换”是考查基本作图的常见命题模式．作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一，作图的图形中含有很多相等的线段和角，蕴含着全等三角形．
例4在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）如图2，若E，F分别是AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，?那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
解析（1）连结AD．
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD，∴∠B=∠DAC=45°．
又BE=AF，图1 图2
∴△BDE≌△ADF（SAS），∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）连结AD．∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC．∴∠DAC=∠ABD=45°，∴∠DAF=∠DBE=135°．
又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．∴△DEF仍为等腰直角三角形．
例5在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，?一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，?另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时，一条直角边仍与AC?边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察，?测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）在基础上沿AC方向继续平移到如图3所示的位置（点F?在线段AC上，且点F与点C不
重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
图1 图2 图3
解析（1）BF=CG ．
证明：在△ABF 和△ACG 中，
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC ，AB=AC ， ∴△ABF ≌△ACG （AAS ）， ∴BF=CG ．
（2）DE+DF=CG ．
证明：过点D 作DH ⊥CG 于点H （如图2）．
∵DE ⊥BA 于点E ，∠G=90°，DH ⊥CG ． ∴四边形EDHG 为矩形， ∴DE=HG ，DH ∥BG ， ∴∠GBC=∠HDC ． ∵AB=AC ， ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC ． 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ， ∴△FDC ≌△HCD （AAS ），
∴DF=CH ． ∴GH+CH=DE+DF=CG ，即DE+DF=CG ．
（3）仍然成立．
点评本题从直接证明三角形全等，到探究新的情况下如何构建新的全等三角形证明待定的数量关系，再到不同位置关系下的归纳猜想，三个问题由浅入深考查学生的不同层次的数学能力．本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD ．
全等三角形练习题
一、选择题
1.（2011安徽芜湖，6，4分）如图1，已知ABC △中，45ABC ∠= ，F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则
线段DF 的长度为（ ）. A ．
B ．4
C ．
D ．【答案】B
图1 图2 图3 图4
2.（2011山东威海，6，3分）图2在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 在BC 边上，连
接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等（ ）．
A ．EF ∥A
B B ．BF=CF
C ．∠A=∠DFE
D ．∠B=∠DF
E 【答案】C
3.（2011浙江衢州，1,3分）如图3，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
4.（2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能．．
证明△ABD≌△ACD 的是（ ）.
A.BD=DC ，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BA D=∠CAD
D.∠B=∠C，BD=DC 【答案】D
5.（2011江苏宿迁,7,3分）如图5，已知∠1＝∠2，则不一定．．．
能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠BDA ＝∠CDA 【答案】B
图5 图6 图8
6.（2011江西南昌，7，3分）如图6下列条件中，不能．．
证明△ABD≌△ACD 的是（ ）. A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC C.∠B=∠C，∠BA D=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC 【答案】D
7.（2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（ ）．
A 周长相等的锐角三角形都全等；
B 周长相等的直角三角形都全等；
C 周长相等的钝角三角形都全等；
D 周长相等的等腰直角三角形都全等． 【答案】D
8.（2011安徽芜湖，6,4分）如图8，已知ABC △中，45ABC ∠= ，F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则
线段DF 的长度为（ ）. A ．
B ．4
C ．
D ．【答案】B
二、填空题 1.（2011江西，16，3分）如图1所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O 为BC 的中点；④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分） 【答案】①②③
图1 图2 图1
2.（2011广东湛江19,4分）如图，点,,,B C F E 在同一直线上,12∠=∠,BC FE =,1∠ （填“是”或“不是”）2∠的对顶角，要使ABC DEF ???，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个）．
【答案】AC DF =
三、解答题
1.（2011广东东莞，13，6分）已知：如图1，E,F 在AC 上，AD∥CB 且AD=CB ，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB ∴∠A=∠C
又∵AD=CB，∠D=∠B ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF
图1 图2 图3
2.（2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图2，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．
求证：AB=DC
证明：在△ABC与△DCB中
(
ABC DCB
ACB DBC
BC BC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
已知）
（公共边）
（∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC）∴△ABC≌△DCB ∴AB=DC
3.（2011浙江省，19，8分）如图3，点D，E分别在AC，AB上．(1)已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；(2)分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE”记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的命题，命题2是命题．（选择“真”或“假”填入空格）．{答案](1)连结BC，∵BD=CE，CD=BE，BC=CB．∴△DBC≌△ECB（SSS）∴∠DBC=∠ECB ∴AB=AC
(2)逆，假；
4.（2011浙江台州，19,8分）如图4，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG.
【答案】证明：∵□ABCD ∴AB=CD,∠BAD=∠BCDAB∥CD ∴∠EAF=∠HCG∠E=∠H
∵AE=AB，CH=CD ∴AE=CH ∴△AEF≌△CHG.
图4 图5 图6 图7
5.（2011四川重庆，19，6分）如图5，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB
＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D， AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．
6.（2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图6所示的方式叠放，阴影部分
为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【答案】解：全等.理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠A OF=∠D OC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.
7.（2011广东汕头，13，6分）已知：如图7，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.求证：AE=CF. 【答案】∵AD∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF
8.（2011重庆江津，22，10分）如图8在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数.
【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中, ∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
图8 图9 图10 图11
9.（2011福建福州，17（1），8分）如图9,AB BD
⊥于点B,ED BD
⊥于点D,AE交BD于点C,且BC DC
=.
求证AB ED
=.
【答案】(1)证明:∵AB BD
⊥,ED BD
⊥∴90
ABC D
∠=∠= 在ABC
?和EDC
?中
ABC D
BC DC
ACB ECD
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?∴ABC
?≌EDC
?∴AB ED
=
10．（2011四川内江，18，9分）如图10，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【答案】BE=EC，BE⊥EC∵AC=2AB，点D是AC的中点∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45°∴∠EAB=∠EDC=135°∵EA=ED ∴△EAB≌△EDC
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC ∴∠BEC=∠AED=90°∴BE=EC，BE⊥EC
11.（2011广东省，13，6分）已知：如图11，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF
12.（2011湖北武汉市，19，6分）如图12，D，E，分别是AB，AC上的点，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．
【答案】证明：在△ABE 和△ACD 中，AB ＝AC∠A＝∠AAE＝AD ∴△ABE≌△ACD ∴∠B=∠C
13.（2011湖南衡阳，21，6分）如图13，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE=CF ．
【证明】∵在△ABC 中，AD 是中线，∴BD=CD ，∵CF ⊥AD ，BE ⊥AD ，∴∠CFD ＝∠BED ＝90°，在△BED 与△CFD 中，∵∠BED ＝∠CFD ，∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD ，∴BE=CF ．
14.(20011江苏镇江,22,5分)已知:如图14,在△ABC 中,D 为BC 上的一点,AD 平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC. 求证:AB=AC
图12 图13 图14 图15
【答案】证明∵AD 平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,
∴△ADE ≌△ADC,∴∠E=∠C, 又∠E=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.
15.（2011湖北宜昌，18，7分）如图15，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F. (1)证明：∠DFA=∠FAB； (2)证明:△ABE≌△FCE.
【答案】证明：（1）∵AB 与CD 是平行四边形ABCD 的对边，∴AB ∥CD ， ∴∠F=∠FAB ． （2）在△ABE 和△FCE 中，∠FAB=∠F ∵∠AEB=∠FEC BE=CE ∴△ABE ≌△FCE ．
2011年中考真题
一、选择题
1.（2011深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条'AA 、'BB 的中点O 连在一起，使'AA 、'BB 可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△AOB △''A OB 的理由是
(A)边角边(B)角边角(C)边边边(D)角角边 答案;A
二、填空题
1、（2011北京四中模拟8）如图1，∠ACB=∠ADB ，要使△ACB ≌△BDA ，请写出一个符合要求的条件 . 答案:∠CAB=∠DBA 或∠CBA=DAB
图1 图3
2、（2011年北京四中模拟28）如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为的碎片去． 答案：③
C
D
M
F E B
A 3．（2011年海宁市盐官片一模）如图3，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角
板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ． 答案：16
三、解答题
A 组
1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图1，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE ．请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
（1）你添加的条件是： ； （2）证明：
图1 图2 图3 图4
答案： 解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒
（2）以DC BD =为例进行证明：∵CF ∥BE ， ∴∠FCD ﹦∠EBD ．
又∵DC BD =，∠FDC ﹦∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ．
2、（2011年北京四中三模）如图2，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和AD 上的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ，请找出和BE 相等的线段，并证明你的结论。 答案：和BE 相等的线段是：AF 通过证明△ABF ≌△BCE 得证BE=AF
3、（北京四中模拟）已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E ． 求证：（1）△BFC ≌△DFC ； （2）AD=DE ．
4、（2011杭州模拟26）如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA=10cm ，OC=6cm 。P 是线段OA 上的动点，从点O 出发，以1cm/s 的速度沿OA 方向作匀速运动，点Q 在线段AB 上。已知A 、Q 两点间的距离是O 、P 两点间距离的a 倍。若用（a ，t ）表示经过时间t(s)时，△OCP 、△PAQ 、△CBQ 中有两个三角形全等。请写出（a ，t ）的所有可能情况. 答案：（0，10），（1，4），（
65
，5） 5、（北京四中模拟）如图5，已知AB DC AC DB ==，．求证：12∠=∠．
证明：AB DC AC DB BC BC =??=??=? ，，， ABC DCB ∴△≌△．A D ∴∠=∠．又AOB DOC ∠=∠ ， 12∴∠=∠．
6、（2011年北京四中模拟26）已知：如图6，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ， ∠1=∠2。 （1）图中哪个三角形与△FAD 全等？证明你的结论；
图5 图6 图7 图8
答案：解：（1）△FAB FAD ??。证明：,1AD BE E ∴∠=∠ 。
又,,EFB AFD BE AD FEB FAD ∠=∠=∴???
7、（2011年北京四中模拟28）如图7，点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，BC ＝ED ，∠BCD ＝∠EDC ．
（1）求证：AB=AE ；
（2）连接BE ，请指出BE 与AF 、BE 与CD 分别有怎样的关系？ （只需写出结论，不必证明）．
答案：(1)、证明：联结AC 、AD ∵点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，∴AC=AD ∴∠ACD=∠ADC
∵∠BCD ＝∠EDC,∴∠ACB ＝∠AD E ∵BC=DE ，AC=AD ∴△ABC ≌△AED, ∴AB =AE
（1） BE ⊥AF,BE//CD,AF 平分BE
8、（2011年北京四中中考模拟20）(本题8分)如图8，AB ∥CD
(1)用直尺和圆规作C ∠的平分线CP ，CP 交AB 于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE 上取一点F ，连结AF 。要使△ACF ≌△AEF ，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。
解：(1)作图略；
(2)取点F 和画AF 正确(如图)；添加的条件可以是：F 是CE 的中点； AF ⊥CE ；∠CAF=∠EAF 等。(选一个即可)
9.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）已知：如图9，在△ABC 、△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C 、D 、E 三点在同一直线上，连结BD.
求证：(1)△BAD ≌△CAE ；(2)试猜想BD 、CE 有何特殊位置关系，并证明.
图9 图10 图10
答案：（1）AB ＝AC ，易证∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，所以△BAD ≌△CAE （SAS ） （2）BD ⊥CE ，证明略.
10.（2011年北京四中中考全真模拟17）已知：如图，已知：D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于，若MA=MC.
求证：CD=AN.
H
E
D C
B
A
答案：证明：如图，
因为AB∥CN，所以2
1∠
=
∠在AMD
?和CMN
?中
?
?
?
?
?
∠
=
∠
=
∠
=
∠
CMN
AMD
CM
AM
2
1
AMD
?≌CMN
?CN
AD=
∴CN
AD//
又
ADCN
四边形
∴是平行四边形AN
CD=
∴
B组
1．（2011实验学校二模）如图1，已知ABC
△中，10
AB AC
==厘米，8
BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD
△与CQP
△是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD
△与CQP
△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC
△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC
△的哪条边上相遇？
图1 图2 图3 图4
答案：⑴①全等。理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动1秒时BP=3,CP=5,CQ=3
∵D为AB中点，AB=10，∴BD=5. ∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP
②若Q与P的运动速度不等，则BP≠CQ,若△BPD与△CQP全等，则BP=CP=4
CQ=5,Q的运动速度为5×
4
15
4
3
=cm/s
⑵设经过t秒两点第一次相遇则（
4
15
-3）t=20 t=
3
80
3t=80, 80÷28=2
7
6
7
6
×28=24,所以在AB边上。即经过
3
80
两点第一次相遇，相遇点在AB上。
2．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图2，E F
，是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE AF
=．
请你猜想：BE与DF有怎样的位置
．．关系和数量
．．关系？并对你的猜想加以证明．
答案：猜想：BE∥DFBE=DF 证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD、AB∥CD ∴∠BAC=∠DCA 又∵AF=CE ∴AE=CF ∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴BE=DF∠AEB=∠CFD ∴∠BEF=∠DFE ∴BE∥DF 3．（2011北京四中一模）如图3，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，
图1C B 使△ABD ≌△ACD ，并说明全等的理由．你添加的条件是 .
答案：本题答案不唯一，添加的条件可以是
①AB ＝AC ， ②∠B ＝∠C ， ③BD ＝DC （或D 是BC 中点）， ④∠BAD ＝∠CAD （或AD 平分∠BAC ）等．
4.（2011浙江杭州义蓬一模）(本小题满分10分)图4,在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连结CE 并延长交AD 于F.
（1）求证：①△AEF ≌△BEC ；②四边形BCFD 是平行四边形；
（2）如图2，将四边形ACBD 折叠,使D 与C 重合，HK 为折痕，求sin ∠ACH 的值.
答案：（1）求证：①△AEF ≌△BEC ；∠ABC=90°，E 是AB 的中点，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC 所以△AEF ≌△BEC ；
②四边形BCFD 是平行四边形； 可得DF ∥BC,FC ∥DB,或DF ∥BC ，且DF=BC 均可
（2）设BC=1，则AC=3,AD=AB=2 设DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x)2+3=x 2 X=47所以Sin ∠ACH=7
1 5.（2011深圳市全真中考模拟一）如图5，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．
(1)求证：OE=OF ；
(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图6
答案：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形．∴∠BOE=∠AOF ＝90?．OB ＝OA 又∵AM ⊥BE ，
∴∠MEA+∠MAE ＝90?=∠AFO+∠MAE ∴∠MEA ＝∠AFO ∴Rt △BOE ≌Rt △AOF ∴OE=OF
(2)OE ＝OF 成立 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BOE=∠AOF ＝90?．OB ＝OA
又∵AM ⊥BE ，∴∠F+∠MBF ＝90?=∠B+∠OBE 又∵∠MBF ＝∠OBE ∴∠F ＝∠E
∴R t △BOE ≌Rt △AOF ∴OE=OF
6、（2011年黄冈市浠水县）如图6，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE=EC ，CF ∥AB ． 求证：AD=CF ． 答案：证明：AB CF ∥，A ECF ∴∠=∠．又AED CEF ∠=∠ ，AE CE =，
AED CEF ∴△≌△．AD CF ∴=．
A B
C D E
单元测试
一、基础过关训练
1．下列判断中错误的是（）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等2．如图2，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E，其中能使△ABC ≌△AED的条件有（）个. A．4 B．3 C．2 D．1
图2 图3 图5 图2
3．如图3，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC?绕点A沿顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF．下列结论：①AED≌△AEF；②ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（）. A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
4．?如图4，?已知AE=?CF，?∠A=?∠C，?要使△ADF?≌△CBE，?还需添加一个条件__________（只需写一个）．5．如图5，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
6．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图6(1)所示放置，图(2)?是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：?结论中不得含有未标识的字母）．（2）证明：DC⊥BE．
图6 图7 图8
7．如图7，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD?交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连结DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．
8．如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．
9．如图9，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连结点D，E，F，?得到△DEF为等边三角形．
求证：（1）△AEF△CDE；（2）△ABC为等边三角形．
图9 图10 图11
10．如图10，AB是⊙O的弦，矩形ABCD的边CD与⊙O交于点E，F，AF和BE相交于点G，?连结AE，BF．（1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）．
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．
二、能力提升训练
11．如图11(1)，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD?之间的位置关系为_____，数量关系为_______；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）；
（3）若BC=3．在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，?求线段CP长的最大值．
参考答案
基础过关训练
1．B 2．D 3．B 4．不唯一，如∠D=∠B或∠AFD=∠CEB或AD=CB
5．（1）有三对全等三角形，分别是△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△BED≌△CFD．?（2）略
6．（1）△ABE≌△ACD，证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形．
∴AB=AC，A E=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD．（2）证明：由（1）△ABE≌△ACD知，∠ACD=∠ABE=45°．又∠ACB=45°．
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∴DC⊥BE．
7．（1）证明：由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C．在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，∴AB=ED，∠A=∠E．
∵∠AFB=∠EFD，∴△AFB≌△EFD．
（2）四边形BMDF是菱形．理由：由折叠可知，BF=BM，DF=DM．由（1）知△AFB≌△EFD，∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．∴四边形BMDF是菱形．
8．（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∵BC=DC，∠BCF=∠DCF，FC=FC，
∴△BFC≌△DFC．（2）连结BD．∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．又∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC，∴∠BDA=∠BDC，又BD是公共边，∴△BAD≌△BED，∴AD=DE．
9．（1）∵BF=AC，AB=AE，∴FA=EC．
∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE．又∵AE=CD，∴△AEF≌△CDE．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC．
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60°，∴∠BCA=60°，
同理可得∠BAC=60°．在△ABC中，AB=BC．∴△ABC是等边三角形．
10．（1）△AGE≌△BGF，△AEF≌△AFE，△AEB≌△BFA．（2）略．
能力提升训练
11．（1）①垂直相等
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．由正方形ADEF，得AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC．又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC．∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）．理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG．
可证：△GAD≌△CAF．∴∠ACF=∠AGD=45°．∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．
图1 图2
（3）当具备∠BCA=45°时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q（如图2）．
∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．
设CD=x，∴DQ=4-x．容易说明△AQD∽△DCP，∴CP CD
DQ AQ
=，∴
44
CP x
x
=
-
，
∴CP=-
2
4
x
+x=-
1
4
（x-2）2+1．∵0 中考数学中的“新定义” 近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析． 一、定义新符号 例l (2014·新疆维吾尔自治区)规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3， ]=l ，按此规定1]= 分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵9<13<16，∴3<<4，∴1<3， ∴1]=2．故应填2． 二、定义新数 例2 (2010·杭州市)定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数．下面给出特征数为 [2m ，1一m ，一1一m ]的函数的一些结论： ①当m = 一3时，函数图象的顶点坐标是(18,33 )； ②当m >0时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于 32； ③当m <0时，函数在x > 14 时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 分析及解答不妨把m = 一3代入知道，a = 一6，b =4，C =2， 22186426()33y x x x =-++=--+ ，所以函数图象的顶点坐标是(18,33 )．①正确排除选项D ；由于当m <0时，对称轴124b m x a m -=-=-大于14 ，所以③错误，排除A 、C ．综上可知，故选B ． 三、定义新图形 (1)定义新点 例3 (2014·北京市)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (,)x y ，我们把点P (1,1)y x -++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，… 垂直（直角）类 联想融通：试试看，与垂直（直角）相关的知识与题型能想起多少？ 与垂直（直角）相关的知识极多，如：三线合一、角平分线性质及其逆、三角的比中大数等于两小数之和的三角形形是Rt △、勾股定理、勾股数与特殊三角形（3:4:5，5:12:13，2:1:1，2:3:1，5:2:1，10:3:1等）、见特殊角与三角函数构造直角三角形、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形，正八边形可拼成一个直角、HL 判全等、等腰三角形两腰上高相等、垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、摄影定理及其逆、面积公式可建立方程、轴对称、绕直角顶点旋转三角形形连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90°与自身重合、垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦......还有很多，随便写出30条. 本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类。勾股定理”五个方面进行研究. 一、见过直角顶点的直线 解法归一：见过直角顶点的直线l ，从直角两边上的点分别向直线l 作垂线，必得全等或相似；然后再利用全等或相似进行转换. 例5-1-1 已知△ABC 是直角三角形，AC =BC ，直线MN 经过直角顶点C ，分别过A 、B 作直线MN 的垂线AD 、BE 分别交MN 于D 、E . 图5-1-1① 图5-1-1② （2）如图5-1-1②，当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧时，试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间的关系，并给予证明. 中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（） A．7队B．6队C．5队D．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 2020年中考数学总复习二十个专题知识复习讲 义（精华版） 中考总复习1 有理数 知识要点 1、有理数的基本概念 (1)正数和负数 定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。 2、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 3、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 4、绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a |=a ； 如果a =0，那么|a |=0； 如果a <0，那么|a |=-a 。 a =|a |所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a ≥0。 5、倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 1a a =所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 6、数的比较大小 法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：43421Λa n n a a a a 个???=读作a 的n 次方（幂），在a n 中，a 叫做底数，n 叫 做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 8、科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式(其中a 大于或等于1且 全等三角形 一、选择题 1. (?年山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是（） A．如果a2=b2，那么a=b B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 考点：命题与定理． 分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项． 解答：解：A、错误，如3与﹣3； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题； C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题； D、正确，是真命题， 故选D． 点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质． 2．（?四川遂宁，第9题，4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） A．3B．4C．6D．5 考点：角平分线的性质． 分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可． 解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF， 由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×4×2+×AC×2=7， 解得AC=3． 故选A． 点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．（?四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（） A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1） 分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出 ∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可． 解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题 1．（?福建福州,第15题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB， AC的中点，延长BC到点F，使 1 CF BC 2 ..若AB=10，则EF的长是． 2019 届中考数学专题复习讲义方程（组）与不等式（组） 方程（组）与不等式（组）是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识， 应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程（组）与不 等式（组）的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定 理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组）来解决，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 近几年中考注重对学生“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分 析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问 题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。 方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，有的已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组） 的试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确． 类型之一根据图表信息列方程 ( 组 ) 或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于 得到数量之间的关系。 1.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也 相等，则一块巧克力的质量是g． 2.教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献 一束鲜花，每束由 4 支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征 尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、 二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格． 3.某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶ 20~12∶ 00，下午 14∶ 00~16∶ 00，每月25 元； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60 件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数 ( 件 ) 所用总时间生产乙产品件数 ( 件 ) ( 分 ) 1010350 3020850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得 1.50 元，每生产一件乙产品可得 2.80 元．根据以上信息，回答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？ 课件园https://www.doczj.com/doc/6013924717.html, - 1 - 2014年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2012?白银）方程的解是（ ） A ．x=±1 B ． x =1 C ． x =﹣1 D ． x =0 思路分析： 观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x 2﹣1=0， 即（x+1）（x ﹣1）=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B ． 点评： 此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．（2012?南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ） A ．7队 B ．6队 C ．5队 D ．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 例2 （2012?常州）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 a c b d ，给出下列四个不等式： 2020中考数学全等三角形与尺规作图（含答案） A组基础题组 一、选择题 1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2.尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线. 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 则正确的配对是( ) A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ 3.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( ) 4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( ) A. B.4 C.2 D.5 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( ) A.6 B.6 C.9 D.3 6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论: ①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD. 其中正确的结论有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 8.如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为. 中点类 联想融通：试试看，与中点有关的知识与题目能想起多少？ 中点等分线段，是线段的对称中心、是线段中垂线的垂足，进而得到等腰三角形三线合一、垂径定理、中点加平行可出现全等三角形、相似三角形，过中点的中线等分该三角形面积、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、由两条同圆直径共中点得矩形；由圆弧中点可得相等的圆心角、圆周角、角平分线...... 本单元只对“中线等分三角形面积、等腰三角形底边上中线、直角三角形斜边上中线、见中点造全等、见中点作中位线”五个方面进行研究. 一、中线等分三角形面积 我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法. 解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决. 例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l-1③中△ABC的面积四等分． 图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③ 交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分. （2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分. 图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥ 交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一. 例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO 与△FHO面积相等的理由； （3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法． 图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③ 交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线. 体验与感悟03-1 1、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．” （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________； （2）平行四边形的一条面积等分线是________； （3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线． 全等三角形的复习（第1课时） 一、教材分析： 本节课是全等三角形的全章复习课，首先协助学生理清全等三角形全章知识脉络，进一步了解全等三角形的概念，理解性质、判定和使用；其次对学生所学的全等三角形知识实行查缺补漏，再次通过拓展延伸以的习题训练，提升学生综合使用全等三角形解决问题的水平，并对中考对全等三角形考察方向有一个初步的感知，为以后的复习指明方向。在练习的过程中，要注意强调知识之间的相互联系，使学生养成以联系和发展的观点学习数学的习惯. 二、学情分析 在知识上，学生经历全等三角形全章的学习，对全等三角形性质、判定以及应用基本掌握，初步具有整体理解，但因为间隔时间有点长所以遗忘较多，全等三角形是学习初中几何的基础和工具也是中考必考内容。对全等三角形的综合应用以及全章知识脉络的形成正是以上各种水平的综合体现，教学中要充分发挥学生的主体作用，通过复习学生在全等三角形的计算、证明对学生的推理水平、发散思维水平和概括归纳水平将有所提升. 三、教学目标 1.进一步了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决相关问题. 2.在题组训练的过程中，引导学生总结出全等三角形解题的模型，培养学生归纳总结的水平，使学生体会数形结合思想、转化思想 在解决问题中的作用. 3.培养学生把已有的知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。 四、教学重难点 重点：全等三角形性质与判定的应用. 难点：能理解使用三角形全等解题的基本过程。 五、教法与学法 以“自助探究”为主，以小组合作、练习法为辅；在具体的教学活动中，要给予学生充足的时间让学生自主学习，先形成自己的全等三角形知识认知体系，尝试完成练习；给予学生充足的空间展示学习结果，通过讨论交流、学生互评、教师最后点评方式实现本节课的教学目的. 六、教具准备 多媒体课件， 七、课时安排 2课时 八、教学过程 本节课是全等三角形全章的复习课，本节课我主要采用学生“练后思”的模式，协助学生搜整《全等三角形》全章知识脉络，建构知识网络，通过基础训练、概念变式练习、典例探究、拓展应用等活动实行查缺补漏和拓展延伸；借助“基础了题目-变式题目-典型题目-拓展题目”五个梯次递进的教学活动达成教学目标，使用多媒体课件 状元廊数学思维方法讲义之六 年级：九年级 2019-2020 年中考数学第一轮思维方法复习讲义：第 6 讲中期专题训练 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 21．如果 a 、 b 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 a 3 a 2 b ab 2 b 3 的值为 ． 22．已知 x 关于的方程 x 2 3x 2k 1 0 有实数根，反比例函数 y 1 2k 的图像在各自象限内 y x 随 x 增大而减小，则满足上述条件的 k 的整数值为 ． 23．如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ C=90o ， D 是 BC 的中点，将 △ABC 折叠，使 A 点与 D 点重合， EF 为折痕，则若 sin ∠ BED 的值为 ， DE 的值为 。 DF C F D A E B 23 小题图 24 小题图 25 小题图 二、（共 8 分） 26．建设北路街道改建工程指挥部， 要对该路段工程进行招标， 接到了甲、 乙两个工程队的投标书 . 从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 2 ； 3 若由甲队先做 10 天，则剩下的工程由甲、乙两队合作 30 天就可以完成 . （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （ 2）已知甲队每天的施工费用为 0.84 万元，乙队每天的施工费用为 0.56 万元 .工程预算的施工 费用为 50 万元 .为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工 程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由 . 24．Rt △ABC 中， AB =AC ，点 D 为 BC 中点．∠ MDN =90 °，∠ MDN 绕点 D 旋转， DM 、DN 分别与 边 AB 、AC 交于 E 、F 两点．下列结论：① BE+CF = 2 1 AD ·EF ， BC ，② S AEF S ABC ，③ S 四边形AEDF 2 4 ④ AD ≥EF ，⑤ AD 与 EF 可能互相平分。其中正确的结论是 （填番号） 25．如图， 点 A ，B 为直线 y=x 上的两点， 过 A ，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y k （ x ＞ 0） x 于 C ，D 两点．若 BD =2AC ，则 4OC 2－ OD 2的值为 _________. 全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）例题应用： ①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900 ==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的 距离是 cm. ②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. (2).模型巩固： 练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠. .求证：?=∠+∠180C A 图3 练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， ..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证： 图4 练习三：如图5，,,900 CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ， 交CB 于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到' ' ' E D A ?的位置，使点' E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：' BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图5 图6 练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ． 图7 练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ． 图8 练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。求证：BE －AC=AE 。 A D E C B P 2 1 4 3 2020年中考数学总复习精品复习讲义 （完整版） 一有理数 知识要点 1、有理数的基本概念 (1)正数和负数 定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。 2、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 3、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a 所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 4、绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a |=a ； 如果a =0，那么|a |=0； 如果a <0，那么|a |=-a 。 a =|a |所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a ≥0。 5、倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 1a a =所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 6、数的比较大小 法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如： a n n a a a a 个???=读作a 的n 次方（幂），在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 8、科学记数法 全等三角形 一、选择题 1、（2018 苏州二模）如图,ABC ?和EFG ?均是边长为2的等边三角形,点D 是边BC 、EF 的中点,直线AG 、FC 相交于点M .当EFG ?绕点D 旋转时,线段BM 长的最小值是 （ ） A. 211- 答案：D 2、（2018青岛一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，AC=4cm ，点D 在AC 上，将△BCD 沿着BD 所在直线翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，则DC 的长为（ ） A ． cm B ． cm C ．2cm D ． cm 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】首先由勾股定理求出BC ，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm ，得出AE=AB ﹣BE=2cm ，设DC=xcm ，则DE=xcm ，AD=（4﹣x ）cm ，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm ，AC=4cm ， ∴BC= =3cm ， ∵将△BCD 沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处， ∴△BED ≌△BCD ， ∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm ， ∴AE=AB ﹣BE=2cm ， 设DC=xcm ，则DE=xcm ，AD=（4﹣x ）cm ， 由勾股定理得：AE 2+DE 2=AD 2 ， 即22+x 2=（4﹣x ）2 ， 解得：x=． 故选：B ． 3．(2018·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，边长为2a 的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ） 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0 的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数2 tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ?=2 ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=2 3 ，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ?=2 来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论 t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点. （1）求点A 的坐标; （2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2 x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点 P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的 坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 )0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝3 1 ． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ， 使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在， y B O A P M x 2x = 2020年中考数学总复习满分方法技巧解读专题讲座（共十三个专题） 2020年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2019年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2019?白银）方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 【中考快递】2020年中考数学复习专题动点问题（讲义）★★ 动点问题 课前预习 按要求完成下列题目： 如图，直线 y = - 4 x + 4 和 x 轴，y 轴的交点分别为点 B ，点 3 点 A 的坐标是(-2，0)．动点 M 以每秒 3 个单位长度的速度从 点 O 出发沿 O -B -O 方向运动，同时动点 N 以每秒 1 个单位长度的速度从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设点 M 运动 t 秒时，△MON 的面积为 S ．求 S 与 t 的函数关系式． 要求： ①研究背景图形，将信息标注到图形上，发现△ABC 为 三角形； ②补全运动过程分析图，确定起点、终点及各个分段； ③根据运动过程，画出各段对应图形情况； ④借助 s =vt ，三角形相似表达相关线段长，并求出 S 与 t 之间的函数关系式． M ： N ： 知识点睛 动点问题的处理思路 1. 研究背景图形． 2. 分析运动过程，画线段图，分段，定范围．（关注四要素） ①根据起点、终点，确定运动路径； ②速度（注意速度是否变化），借助 s =vt 确定时间（范围）； ③状态转折点，确定分段，常见状态转折点为拐点； ④所求目标——明确思考方向． 3. 表达，分析几何特征，设计方案求解． 画出符合题意的图形，表达线段长，根据几何特征列方程求 解，结合范围验证结果． 精讲精练 1. 如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米，∠B =60°．从初始时刻开始，点 P ，Q 同时从点 A 出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A →C →B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿 A →B → C →D 的方向运动，当点 Q 运动到点 D 时，P ，Q 两点同时停止运动．设 P ，Q 运动 x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的 面积为 y 平方厘米，解答下列问题： （1）点 P ，Q 从出发到相遇所用时间是 秒； （2）在点 P ，Q 运动的过程中，当△APQ 是等边三角形时， x 的值为 ； （3）求 y 与 x 之间的函数关系式． 2014中考数学专题复习全等三角形 一、选择题 1.（2010 年河南模拟）如图，给出下 列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ，，； === ②AB DE B E BC EF ，，； =∠=∠= ③B E BC EF C F ，，； ∠=∠=∠=∠ ④AB DE AC DF B E ，，． ==∠=∠ 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（） A．1组B．2组C．3组D．4组 答案：C 2.（2010年河南中考模拟题3）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E 是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接ＥＦ，下列结论：（１） △ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；（２）△ＡＢＥ∽ △ＡＣＤ；（３）ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；（４） ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正确的是 （） A．（2）（4） B．（1）(4) C．(2) (3) D．(1) (3) 答案：B 1 / 12 2 / 12 二、填空题 1.（2010年山东新泰）如图，在△ABC 和△ADE 中， 有以下四个论断：① AB＝AD ，② AC＝AE ，③ ∠C ＝∠E，④ BC＝DE ，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个真命题（用序号“?????”的形式写出）： ． 答案：①②④?③，或 ②③④?①； 2.（2010年浙江杭州）在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8， BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为 ． 答案：2.4 三、解答题 1.（2010年 河南模拟）已知：如图，已知：D 是 △ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于，若 MA=MC ， 求证：CD=AN. 证明：如图，因为 AB ∥CN 所以 21∠=∠ 在AMD ?和CMN ?中 ?????∠=∠=∠=∠CMN AMD CM AM 21 第1题 第1题 第1题图 2009中考数学专题讲座解选择题的策略 概述： 1．选择题在中考中占的比例较大，题比较基础，做题时要细心认真，?失分很不合算，因为它只要一个答案，并不看你的解答过程，若在某个细节上出问题，全题就一分不得． 2．解选择题的方法大致有以下几种：综合法、分析法、验算法、?排除法（筛选法）等．典型例题精析 例1．在下列计算中，正确的是（） （A）（ab2）3=ab6（B）（3xy）3=9x3y3 （C）（-2a2）2=-4a4（D）（-2）-2=1 4 解：宜用排除法．（A）中，没有3次方，（B）中32≠9，（C）中（-2）2≠4． ∴应选D． 例2．二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（） （A）6 （B）4 （C）3 （D）1 解：宜用综合法，令x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3， ∴│AB│=│3-1│=2，令x=0得y=3．? ∴C（0，3），即△CAB中，AB边上的高为3， ∴S△ABC=1 2 ×2×3=3 故选（C）． 例3．若m 2010年中考数学压轴题 【001 】如图，已知抛物线2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ， 过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 图16最新中考数学中的“新定义”
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