中考数学专题复习——全等三角形
一、选择题
1. （2008年山东省潍坊市）如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC ,平分∠ABC ，交A D 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ）
A.AB =BF
B.AE =ED
C.AD =DC
D.∠ABE =∠DFE ，
A B
C
D
E
F
2
.(2008年成都市)如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )
(A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF
3．（08绵阳市）如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O 逆时针方向旋转180°，得△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．
A ．
33 B ．43 C ．63 D ．8
3
4.(2008 台湾)如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示?ABC 、?ACD 、 ?EFG 、?EGH 。若∠ACB =∠CAD =∠EFG =∠EGH =70?，∠BAC =∠ACD =∠EGF =∠EHG =50?，则下列叙述何者正确？ ( )
(A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等
(C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等
G 50? A
B
C
E F
70?
50?
70?
50?
70?
50?
70? 甲
乙 丙
丁
5.（2008年湖南省邵阳市）如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠
6.（2008年江苏省无锡市）如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80o
到OCD △的位置，已知
45AOB ∠=o ，则AOD ∠等于（ ）
Ａ．55o
Ｂ．45o
Ｃ．40o
Ｄ．35o
二、填空题
1、（2008年山东省滨州市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
Q
P
O B
E
D
C A
C
A
D
P B
图（四）
2. （2008年山东省滨州市）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：
则a n =________________（用含n 的代数式表示）.
3..（2008年江苏省南通市）已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.
4．（08厦门市）如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，
4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180o 得到BDE △，则DE =
cm ，
ABC △的面积= cm 2．
5．（08莆田市）在正三角形，正四边形，正五边形和正六边形中不能单独密铺的是__________. 6..（2008佳木斯市3）如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．
A B
E
G C
D
O A
B
C
D
E
7. (2008山东济宁)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明
A O
B AOB '''∠=∠的依据是 ．
三、简答题
1、（2008年四川省宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC
O
D
C
B
A
2、（2008年浙江省衢州市）如图，AB ∥CD
(1)用直尺和圆规作C ∠的平分线CP ，CP 交AB 于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE 上取一点F ，连结AF 。要使△ACF ≌△AEF ，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。
3.（2008浙江金华）如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC 与BD 相交于点。， AB = DC ，AC = BD. (1)求证: ΔABC ≌ΔDCB ；(2) Δ0BC 的形状是 。(直接写出结论，不需证明) 。
A
B
C D
D
O C
B
A
4.（2008山东威海）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．
求证：AF ⊥BE ．
（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置， 点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ． 问AF 与BE 是否垂直？并说明理由．
5. （2008年山东省临沂市）已知∠MAN ，AC 平分∠MAN 。
⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：AB ＋AD ＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;
图 1
A
C
E
A
C
E
图 2
⑶在图3中：
①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC;
②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明。
6.(2008年浙江省绍兴市)学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题： 如图，点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上， 且BM CN =，AM BN ，交于点Q ．求证：60BQM =o
∠．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出 了许多问题，如：
①若将题中“BM CN =”与“60BQM =o
∠”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ ②若将题中的点M N ，分别移动到BC CA ，的延长线上，是否仍能得到60BQM =o
∠？ ③若将题中的条件“点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上”改为“点M N ，分别在正方形ABCD 的BC CD ，边上”，是否仍能得到60BQM =o
∠？
……
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
7.(2008年天津市)已知Rt △ABC 中，?=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为?45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ． （Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=； 思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，?=∠90MDN 就可以了．
A
C
N
Q
M
B
A M
N D
B C A M N D
B C A M
N D B C
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
8.(2008年沈阳市)已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．
（1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180o
，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．
9.(2008年乐山市)如图（10），AC ∥DE ， BC ∥EF ，AC ＝DE 求证：AF ＝BD
C
A
B
E F M
N 图②
C
A
B
E
F M N 图①
C E N
D A B
M
图① C A E
M B D N
图②
10．（2008年陕西省）已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，ACD B ∠=∠．
求证：ABC CDE △≌△．
11.（2008年江苏省无锡市）已知一个三角形的两条边长分别是1cm 和2cm ，一个内角为40o
． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和4cm ，一个内角为40o
”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有
个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
A
D
B
C E
A
F
A E
D
B
12.（2008年江苏省苏州市）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠．
求证：（1）ABC ADC △≌△； （2）BO DO =．
13.(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．
求证： CG AE =；
14.(2008 重庆)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。
求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE
D
C
B
A O
1 2
3 4 图1
15.(2008 湖北 荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点
C 旋转的度数=______；
(3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．
．
16.(2008 四川 广安)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点，连接AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．
（1）求证：CF =AD ；
（2）若AD =2，AB =8，当BC 为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，为什么？
(2)
A C
B
E D E
A C
B E
D
l
(3) l D ’
F A C B
E
D
(4)
A C
B E D l E ’
C ’
17.(2008 河北)如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；
（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
18.（2008 四川 泸州）如图4，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ， 求证：DE=BF
A
E
B
C
F
D
A
（E ） B
C （F ） P
l
l
l
B F
C 图1
图2
图3
P
F
E
D C
B A
19.(2008 河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 中内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连结BQ 、CP 则BQ ＝CP 。”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABC ≌△ACP ，从而证得BQ ＝CP 。之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 外，原题中其它条件不变，发现“BQ ＝CP ” 仍然成立，请你就图②给出证明。
20．（2008湖北黄石）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC =，CF AB ∥． 求证：AD CF =．
A
B C
D E
21．(2008北京)已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．
求证：AC CD =．
22．(2008安徽)已知：点O 到ABC △的两边AB AC ，所在直线的距离相等，且OB OC =． （1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB AC =； （2）如图2，若点O 在ABC △的内部，求证：AB AC =； （3）若点O 在ABC △的外部，AB AC =成立吗？请画图表示．
23.(2008泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ⊥
A
A
B
B
C C E F D
O
A C
E
D
B
图1
图2
C
24.（2008山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC V 和DEF V 。将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把DEF V 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O 。
（1）当DEF V 旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，AFD ∠与DCA ∠的数量关系是 。 （2）当DEF V 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由。 （3）在图③中，连接BO ，AD,探索BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明。
25.（2008浙江湖州） 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及延长线上的点，
CF ∥BE ，
（1）求证：△BDE ≌△CDF
（2）请连结BF 、CE ，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。
26.（2008四川达州市）（6分）含30o
角的直角三角板ABC （30B ∠=o
）绕直角顶点C 沿逆时针方向旋转角α（90α∠ ），再沿A ∠的对边翻折得到A B C ''△，AB 与B C '交于点M ，A B ''与BC 交于点N ，A B ''与AB 相交于点E ． （1）求证：ACM A CN '△≌△． （2）当30α∠=o 时，找出ME 与MB '的数量关系，并加以说明． 27.(2008黑龙江哈尔滨)已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ． 28.（2008福建省泉州市）已知：如图，E 、C 两点在线段BF 上，BE=CF ，AB=DE ， AC=DF,求证:ABC DEF ??? 29.(2008山东济宁)如图，在Rt ABC △中，90B ∠=o ，BC AB >． （1）在BC 边上找一点P ，使BP BA =，分别过点B P ，作AC 的垂线BD PE ，，垂足为D E ，． （2）在四条线段AD BD DE PE ，，，中，某些线段之间存在一定的数量关系．请你写出一个等式表示这个数量关系（等式中含有其中的2条或3条线段），并说明等式成立的理由． 30.（2008湖北宜昌市）.如图，在△ABC 和△ABD 中，BC=BD ，设点E 是BC 的中点，点F 是BD 的中点. （1）请你在图中作出点E 和点F ；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）连接AE 、AF.若∠ABC=∠ABD ，请你证明△ABE ≌△ABF. 31.（2008桂林市） 已知：△ＡＢＣ为等边三角形，Ｄ为ＡＣ上任意一点，连结ＢＤ （１）在ＢＤ左下方，以ＢＤ为一边作等边三角形ＢＤＥ（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（２）连结ＡＥ，求证：ＣＤ＝ＡＥ 32.（2008广东肇庆市） 如图4， E 、F 、G 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点. （1） 图中有多少个三角形？ （2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明. 全等三角形答案 一.选择题 1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D 二.填空题 1. （1）（2）（3）（5） 2. 3n+1 3. 120 4. 2，18 5. 正五边形 6.C D ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠ 7. 全等三角形的对应角相等 三.解答题 1. 证明：连结AB 在△ADB 与△ACB 中AD BC AB BA AC BD =?? =??=? ∴△ADB ≌△ACB ∴OC=OD. 2. 解：(1)作图略； (2)取点F 和画AF 正确(如图)； 添加的条件可以是：F 是CE 的中点； AF ⊥CE ；∠CAF=∠EAF 等。(选一个即可) 3. (1)证明：在ΔABC 和ΔDCB 中 C A B D E P F AB DC BC CB AC BD =?? =??=? ∴ΔABC ≌ΔDCB(SSS) (2)等腰三角形。 4. 证明：（1）证明：方法一：在△ACD 和△BCE 中， AC ＝BC ， ∠DCA ＝∠ECB ＝90°， DC ＝EC ， ∴ △ACD ≌△BCE （SAS ）． ………………2分 ∴ ∠DAC ＝∠EBC ． ………………………3分 ∵ ∠ADC ＝∠BDF ， ∴ ∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC =90°． ∴ ∠BFD =90°． ∴ AF ⊥BE ． …………………………………5分 方法二：∵ AC ＝BC ，DC ＝EC ， ∴ BC CE AC CD = ．即tan ∠DAC ＝tan ∠EBC ． ∴ ∠DAC ＝∠EBC ．（下略）…………………3分 （2）AF ⊥BE ． …………………………………6分 ∵ ∠ABC ＝∠DEC ＝30°，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴ BC EC AC DC =＝tan 60°． ……………………7分 ∴ △DCA ∽△ECB ． …………………………8分 ∴ ∠DAC ＝∠EBC ． …………………………9分 ∵ ∠ADC ＝∠BDF ， ∴ ∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC =90°． ∴ ∠BFD =90°． ∴ AF ⊥BE ． ……………………………………………………………………10分 5. 解:⑴证明:∵AC 平分∠MAN ，∠MAN ＝120°， ∴∠CAB ＝∠CAD ＝60°， ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝30°，…………1分 ∴AB ＝AD ＝2 1 AC ，……………………2分 ∴AB ＋AD ＝AC 。……………………3分 ⑵成立。……………………………r …4分 证法一：如图，过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F 。 ∵AC 平分∠MAN ，∴CE ＝CF. ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ADC ＋∠CDE ＝180°, A C E A F B C E D E A M N D B C F G ∴∠CDE ＝∠ABC,………………………………………………………………5分 ∵∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CED ≌△CFB,∴ED ＝FB,……………………6分 ∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE,由⑴知AF ＋AE ＝AC, ∴AB ＋AD ＝AC ……………………………………………………………………7分 证法二：如图，在AN 上截取AG ＝AC ，连接CG. ∵∠CAB ＝60°,AG ＝AC,∴∠AGC ＝60°,CG ＝AC ＝AG,…………5分 ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ABC ＋∠CBG ＝180°, ∴∠CBG ＝∠ADC,∴△CBG ≌△CDA,……………………………………6分 ∴BG ＝AD, ∴AB ＋AD ＝AB ＋BG ＝AG ＝AC ，…………………………………………7分 ⑶①3;………………………………………………………………………8分 ②2 cos 2α.………………………………………………………………………9分 证明：由⑵知，ED ＝BF,AE ＝AF ， 在Rt △AFC 中，AC AF CAF =∠cos ,即AC AF =2cos α, ∴2 cos α AC AF =,………………………………………………………………10分 ∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE ＝22 cos α AC AF =，…………11分 6. 解：（1）证明：BM NC =Q ，ABM BCN ∠=∠，AB BC =， ABM BCN ∴△≌△， BAM CBN ∴∠=∠， 60BQM BAQ ABQ MBQ ABQ ∴∠=∠+∠=∠+∠=o ． （2）①是；②是；③否． ②的证明：如图， 120ACM BAN ∠=∠=o Q ，CM AN =，AC AB =， ACM BAN ∴△≌△， AMC BNA ∴∠=∠， NQA NBC BMQ ∴∠=∠+∠18060120NBC BNA =∠+∠=-=o o o ， 60BQM ∴∠=o ． ③的证明：如图， BM CN =Q ，AB BC =， Rt Rt ABM BCN ∴△≌△， AMB BNC ∴∠=∠．又90NBM BNC ∠+∠=o ， 90QBM QMB ∴∠+∠=o ， 90BQM ∴∠=o ，即60BQM ∠≠o ． A C Q M B （第②题图） N D N C B (第③题图) M 7. （Ⅰ）证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ， 则△DCM ≌△ACM ． ············································································· 1分 有CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠． 又由CB CA =，得 CB CD =． ··································· 2分 由DCM DCM ECF DCN ∠-?=∠-∠=∠45， ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ ACM ACM ∠-?=∠-?-?=454590， 得BCN DCN ∠=∠． ······················································································ 3分 又CN CN =， ∴△CDN ≌△CBN ． ··············································································· 4分 有BN DN =，B CDN ∠=∠． ∴?=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． ···················································· 5分 ∴在Rt △MDN 中，由勾股定理， 得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=． ················································ 6分 （Ⅱ）关系式222BN AM MN +=仍然成立． ···················································· 7分 证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△GCM ，连GN ， 则△GCM ≌△ACM ． ············································· 8分 有CA CG =，AM GM =， ACM GCM ∠=∠，CAM CGM ∠=∠． 又由CB CA =，得 CB CG =． 由?+∠=∠+∠=∠45GCM ECF GCM GCN ， ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+?=∠-∠-?=∠-∠=∠45)(90． 得BCN GCN ∠=∠． ··················································································· 9分 又CN CN =， ∴△CGN ≌△CBN ． 有BN GN =，ο45=∠=∠B CGN ，?=∠-?=∠=∠135180CAB CAM CGM ， ∴οοο9045135=-=∠-∠=∠CGN CGM MGN ． ∴在Rt △MGN 中，由勾股定理， 得222GN GM MN +=．即222BN AM MN +=． ················································ 10分 8. 证明：（1）①BAC DAE ∠=∠Q BAE CAD ∴∠=∠ AB AC =Q ，AD AE = C A B E F D M N C A B E F M N G BE CD ∴= · ································································································· 3分 ②由ABE ACD △≌△得ABE ACD ∠=∠，BE CD = M N Q ，分别是BE CD ，的中点，BM CN ∴= · ················································ 4分 又AB AC =Q ABM ACN ∴△≌△ AM AN ∴=，即AMN △为等腰三角形 · ··························································· 6分 （2）（1）中的两个结论仍然成立． ·································································· 8分 （3）在图②中正确画出线段PD 由（1）同理可证ABM ACN △≌△ CAN BAM ∴∠=∠ BAC MAN ∴∠=∠ 又BAC DAE ∠=∠Q MAN DAE BAC ∴∠=∠=∠ AMN ∴△，ADE △和ABC △都是顶角相等的等腰三角形 · ································ 10分 PBD AMN ∴∠=∠，PDB ADE ANM ∠=∠=∠ PBD AMN ∴△∽△ 12分 9. 证明：Q AC ∥DE ， BC ∥EF ∴,CAB EDF ABC DFE ∠=∠∠=∠，又 Q AC=DE ∴ABC DFE ?V V , ∴AB=DF ∴AF=BD 10. 证明：AC DE Q ∥， ACD D ∴∠=∠，BCA E ∠=∠．、） 又ACD B ∠=∠Q ， B D ∴∠=∠． 又AC CE =Q ， ABC CDE ∴△≌△． （6分 11. 解：（1）如图1； （2）如图2； （3）4． （8分） 12.证明：（1）在ABC △和ADC △中 1234AC AC ∠=∠?? =??∠=∠? 2cm 40° 2cm 1cm 40° 图1 图2 中考专题复习全等三角形 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)． 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、 数学思维方法讲义之一年级：九年级 §第1讲证明（三角形专题） 【学习目标】 1、牢记三角形的有关性质及其判定； 2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。 【考点透视】 1、全等三角形的性质与判定； 2、等腰（等边）三角形的性质与判定； 3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理； 4、相似三角形的性质与判定。 【精彩知识】 专题一三角形问题中的结论探索 【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一 起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点；④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号 是. ●变式练习 1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结 论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号 是． ★考点感悟： 专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索 【例2】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足 为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：CE=CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论． 图（1）图（2） 【例3】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B． （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的 1 4 时，求线段EF的长． A D B C E O 全等三角形专题整理 一、考点分析 二、三角形和全等三角形知识点 1．三角形的边、角关系 三角形的任意两边之和__大于__第三边；三角形的内角和等于__180°__；在同一个三角形中，大边对大角，__小边对小角__． 三角形的一个外角__等于__和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角__大于__任何一个与它不相邻的内角． 2．三角形的分类 (1)按边分类???不等边三角形 等腰三角形???底边与腰不相等的等腰三角形等边三角形 (2)按角分类 ??? 直角三角形 斜三角形?? ?锐角三角形钝角三角形 3．三角形的主要线段 (1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等． (2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心． (3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心． (4)中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线． (5)垂直平分线：三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点． 4．全等三角形 ???? ?? ????→??????? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 （1）全等三角形的性质 ①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等； （2）全等三角形的判定方法 ①三边对应相等的两个三角形全等。 ②两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 ③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ④两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 全等三角形专题（一） 姓名： 1.如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 2.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分） 3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 4．八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案： A B C D E O N （Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AO B 的平分线. （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由. （2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. 5．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F . 求证：（1）FC =AD ； （2）AB =BC +AD 6．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =6，AC =7，BC =8．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第一次落点)处，且CP 1=CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第一次落点)处，且AP 2=AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第三次落点)处，且BP 3=BP 2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2007与P 2010之间的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．（2010安徽蚌埠）在ABC ?中，E D 、分别是AC BC 、上的点，CD BD CE AE 2,2==， BE AD 、交于点F ，若3=?ABC S ，则四边形DCEF 的面积为________。 03第8题 八年级数学- 全等三角形专题训练题 1、如图，已知MB=ND ，∠MBA=∠NDC ，下列条件不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ） （A ） ∠M=∠N （B ） AB=CD （C ） AM=CN （D ） AM ∥CN 2、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍 无法判断 △ABE ≌△ACD 的是（ ） （A ） AD=AE （B ） ∠AEB=∠ADC （C ） BE=CD （D ） AB=AC 3、已知，如图，M 、N 在AB 上，AC=MP ，AM=BN ，BC=PN 。求证：AC ∥MP 4、已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 F E A C D B M P C B N C N M A B D E B D A C 5、已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，△ACO ≌△BDO ，CE ∥DF 。求证：CE=DF 。 6、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 7、已知，如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中CE=CF ，G 是CD 与EF 的交点，求证：△BCF ≌△DCE F E O D C B A A E D C B G F E D C A B 8、如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选 ① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 9、如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF D C F E D C A B G 全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在等边ABC ?中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ??+=_________． 【答案】936 【解析】 【分析】 把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】 将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，连接PD ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60?， 又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60?，AB ＝AC ， ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ， ∴∠DAB ＝∠PAC ， 又AB=AC,AD=AP ∴△ADB ≌△APC ∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60?， ∴△ADP 为等边三角形， 在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5， ∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2， ∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?， ∵△ADB ≌△APC ， ∴S△ADB＝S△APC， ∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3 ×32＋ 1 2 ×3×4＝ 93 6+． 故答案为： 93 6+． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】 解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠DAO=50°， 分三种情况讨论： ①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°， 初中数学专题复习——全等三角形 一.知识点结构梳理及解读 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 3.三角形全等的判定： （1）边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。 （2）角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （3）角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角角边（AAS）：两个角和其中的一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。 4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 二、找全等三角形的方法 （1）从结论出发，看要证明相等的线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）从已知出发，看可以确定哪两个三角形全等； （3）从条件和结论综合考虑，看能一同确定哪两个三角形全等； （4）考虑辅助线，构造全等三角形。 三．全等三角形中几个重要结论 （1）全等三角形对应角的平分线、中线、高分别相等(对应元素都分别相等) （2）在一个三角形中，等边对等角，反过来，等角对等边；等腰三角形三线合一；等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍；等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。 （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这条边的对角等于90°；Rt⊿30°角的对边等于斜边的一半，反之，Rt⊿中如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角是30°。 （4）三角形三内角平分线交于一点（这点叫三角形的内心，这点到三角形三边的距离相等），三角形两外角平分线与第三内角平分线交于一点（这点叫三角形的旁心，这点到三角形三边所在直线的距离相等），到三角形三边所在直线等距离的点有四个 经典例题 C E O D B A 全等三角形专题讲解 专题一 全等三角形判别方法的应用 专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”） 而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等． 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？ （1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对． 分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90o， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC 为公 共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又 ∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ． 图1 所以图中全等的三角形一共有4对． （2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 新人教版八年级上学期全等三角形证明题 一．解答题（共10小题） 1．（2013?泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：BE=CF． 2．（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长． 3．（2013?大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 4．（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°． 1、（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 图1 图2 2、（1）如图1，现有一正方形ABCD ，将三角尺的指直角顶点放在A 点处，两条直角边也与CB 的延长线、DC 分别交于点E 、F ．请你通过观察、测量，判断AE 与AF 之间的数量关系，并说明理由． （2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE 、PF 之间有怎样的数量关系，并说明理由． （3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE 、PF 之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明 3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =?∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证： AH AB =． 4、C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC ?和等边CDE ?，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下 五个结论： ① AD=BE ； ② AE PQ //； ③ AP=BQ ； ④ DE=DP ； ⑤ ?=∠60AOB ⑥CP=CQ ⑦△CPQ 为等边三角形． C H F E D B A A B C E D O P Q ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO 平分AOE ∠ ⑩CO 平分BCD ∠ 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 5、D 为等腰ABC Rt ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN ，DM ，DN 分别交BC ，CA 于点E ，F 。 （1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证：DE=DF 。 （2）若AB=2，求四边形DECF 的面积。 6、如图，ABC ?是正三角形，△BDC 是顶角?=∠120BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明． 7、点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 都是等边三角形，线段AN ，MC 交于点E ，BM ，CN 交于点F 。 求证：（1）AN=MB . （2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。 图① 图② 8、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在ABC ?中，AB=AC ，P 是ABC ? A A B A B 全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等 三角形创造边、角之间的相等条件。 8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二 个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”法构造全等三角形． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂 全等三角形专题复习 一、知识要点 1．全等三角形及其相关概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做 对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边． 2．全等三角形的数学语言 如图1所示，三角形ABC 与三角形A′B′C′全等，记作△ABC ≌△A′B′C′，读作“三角形 ABC 全等于三角形A′B′C′”． 3．全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形 的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、 角平分线）相等． 4．全等三角形的判定方法 ①“边、角、边”（或SAS ）定理；②“角、边、角”（或ASA ）定理；③“角、角、边” （或AAS ）定理；④“边、边、边”（或SSS ）定理；⑤ “斜边、直角边”（或HL ）定理． 5．说明全等三角形的思路 (ASA)(AAS)????????????????????????????????????? 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 6．应注意的问题 （1）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （2）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形 不一定全等． 二、 1.要牢固掌握判定三角形全等的方法 判定三角形全等主要有五种方法：（1）全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相 等的两个三角形全等；（2）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：SSS ）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为：ASA ）；（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：AAS ）；（5）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为：SAS ）。若是Rt △，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：HL ）。在判定Rt △是否全等时，首先要用这种方法，若不能判定，再用一般三角形全等的判定方法（即上述五种）。从这些方法中不难发现，判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等， 且其中至少要有一组对应 2021中考专题训练：全等三角形 一、选择题 1. 如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件() A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为() A．15°B．20°C．25°D．30° 3. 如图所示，∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则可添加的条件是() A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 4. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是() A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 5. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 6. 如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为() A．1 B．2 C．3 D．4 7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6， 将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于() A. 2 B. 3 C. 2 D. 6 8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为() A．40°B．50°C．55°D．60° 二、填空题 八年级提高班数学资料 (全等三角形专题训练题) 1、 如图，已知MB=ND ，∠MBA=∠NDC ，下列条件不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ） （A ） ∠M=∠N （B ） AB=CD （C ） AM=CN （D ） AM ∥CN 2、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判断 △ABE ≌△ACD 的是（ ） （A ） AD=AE （B ） ∠AEB=∠ADC （C ） BE=CD （D ） AB=AC 3、已知，如图，M 、N 在AB 上，AC=MP ，AM=BN ，BC=PN 。求证：AC ∥MP 4、 已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 5、 已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，△ACO ≌△BDO ，CE ∥DF 。求证：CE=DF 。 F E A C D B M P C B N F E O D C B A C N M A B D E B D A C 6、 已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 7、已知，如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中CE=CF ，G 是CD 与EF 的交点，求证：△BCF ≌△DCE 8、 如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为 已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 9、 如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论， 推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF A E D C B G F E D C A B D C F E D C A B G 第三章全等三角形专题分类复习 一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： （1） (2) __________D ∠= ___________D ∠= （3） __________D ∠= 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件 （1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ） （2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“AE=BD+CE ”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短） （4）证线段之间的位置关系（垂直或平行 方法：证明角等代换） A D B C A B C D A B C D 考点1：证明三角形全等 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB （2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数. 考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短） 例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． D A B C G E F 复习说明：全等三角形作为中考试题中必考内容之一，考查的方向非常明确，尤其是近三年来，在解答题中，分值从6分变为7分，考查方式都是通过三角形全等来证明线段相等。从陕西省中考试卷赋分的变化可以看出，命题组是偏向于基础较差的学生来命题，对于简单问题的考查分数比例在逐渐上升趋势，而偏难题的分数分布及赋分比例在逐渐弱化。这部分属于偏低难度的试题，中等以上的学生都可以完成。在复习中面向全体学生，争取让每一位学生都可以可以找出三角形全等的条件，做对三角形全等试题。 全等三角形专题复习 1．(2015·贵州六盘水，第9题3分)如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 考点：全等三角形的判定．. 分析：本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能． 解答：解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意； D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意； 故选：D． 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2.（2015?江苏泰州,第6题3分）如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】D． 【解析】 试题分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏． 试题解析：∵AB=AC，D为BC中点， ∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD； 3. （2015?四川省宜宾市，第18题，6分）如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD = ∠BCE 求证：∠A=∠D 初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 2.如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 3.如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 4.如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。 6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。 求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 是 ； （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数 量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3 中考数学试题专题汇编：全等三角形 一、选择题 1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知ABC △中，45ABC ∠=， F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度为（ ）. A ．22 B ． 4 C ．32 D ．42 【答案】B 2. （2011山东威海，6，3分）在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 在BC 边上，连接DE ,DF ,EF .则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等（ ）． A ． EF ∥A B B ．BF =CF C ．∠A =∠DFE D ．∠B =∠DFE 【答案】C 3. （2011浙江衢州，1,3分）如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 【答案】B *1. （2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：4，其中正确结论的序号是 . （第6题） A O N M Q P **2. （2011广东湛江19,4分）如图，点,,,B C F E 在同一直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠ （填“是”或“不是”） 2∠的对顶角，要使ABC DEF ???，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）．【答案】AC DF = 三、解答题 *2. （2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、C A 分别是∠ABC 、 ∠DCB 的平分线．求证：AB =DC 证明：在△ABC 与△DCB 中 (A B C D C B A C B D B C B C B C ∠=∠?? ∠=∠??=? 已知）（公共边）（∵AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ） ∴△ABC ≌△DCB ∴AB =DC 3. （2011浙江省，19，8分）如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上． (1) 已知，BD =CE ，CD=BE ，求证：AB=AC ； (2) 分别将“BD=CE ”记为①，“CD=BE ” 记为②，“AB=AC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）． 全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可 供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合） ，交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得 全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图，等边△ABC中，D、E分别是AB、CA上的动点，AD＝CE，试求 ∠DFB的度数． C E F A D B 2、如下图所示，等边△ABC中，D、E、F是AB、BC、CA上动点，AD＝ BE＝CF，试判断△DEF的形状． C F E A D B 3、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，线段BE、CD相交于点H，线 段BE、AC相交于点G，线段BE、CD相交于点H．请你解决以下问题： (1) 试说明BE＝CD的理由； (2) 试求BE和CD的夹角∠FHE的度数E C H G F B A D 1 Ex1、如下图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、D在同一 直线上，AC、BE相交于点G，AE、CD相交于点F，试说明AG＝AF的理由． E C G F B A D Ex2、如图，四边形ABCD与BEFG都是正方形，AG、CE相交于点O，AG、BC相交于点M，BG、CE相交于点N，请你猜测AG与CE的关系(数量关系 和位置关系)并说明理由． D C G O M N A B F E 4、△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，D是底边BC 的中点，DE⊥DF，试用两种不同的方法说明BE、CF、EF为边长的三角形是直角三角形。 A E F B D C 2 二．证明全等常用方法（截长发或补短法） 5、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D．请 你试说明AB＋BD＝AC的理由． A B C D Ex1，∠C＋∠D＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD＋BC＝AB． C E D 1 4 23 A B Ex2、五边形ABCDE中,AB＝AE,∠BAC＋∠DAE＝∠CAD,∠ABC＋∠AED ＝180°,连结AC，AD．请你用补短法说明BC＋DE＝CD．（也可用截长法， A 自己考虑） E B D C中考专题复习全等三角形(含答案)
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