数列的函数特征
1、数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n＝f(n)(n∈N*)．数列的函数图像是一群孤立的点。
2、数列的增减性
(1)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递增数列；
(2)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递减数列；
(3)若，n∈N*，则数列{a n}叫作常数列；
(4)若a n的符号或大小交替出现，则数列{a n}叫作摆动数列．
3、数列的最大项与最小项
(1)若a n是最大项，则；(2)若a n是最小项，则。
4、数列的周期性
对于数列{a n}，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使a n＋T＝a n，对一切n∈N*恒成立，则称数列{a n}为周期数列，T就是它的一个周期．
考向一数列的单调性
例1—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2
n2＋1
，判断数列{a n}的增减性．
例1—2 已知数列{a n}的通项公式是a n＝an
bn＋1
，其中a，b均为正常数，则该数列是单调递__________数列．
①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n＋1的大小关系，若a n＞a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递减数列；若a n＜a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n}的通项公式a n＝f(n)对应函数的单调性来确定数列的单调性．
变式1—1 已知数列{a n}的通项公式是a n＝
kn
2n＋3
(k∈R)．
(1)当k＝1时，判断数列{a n}的单调性；(2)若数列{a n}是递减数列，求实数k的取值范围．
变式1—2 已知数列{a n}的通项公式a n＝
1
1＋n2－n
，n∈N*，则该数列是单调递__________数列．
考向二数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4 (n∈N*)，则
(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．
例2—2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n
(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
①根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的载体函数a n ＝
f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值；②在数列{a n }中：若a n 是最大项，则?????
a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 是最小项，则?????
a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.
变式2—1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋25n ，则数列{a n }各项中最大项是( )．
A ．第4项
B ．第5项
C ．第6项
D ．第7项
变式2—2 已知数列的通项a n ＝(n ＋2)????67n ，n ∈N *，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由．
考向三 数列的周期性
例3—1 已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1
(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18 例3—2 在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1
(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ；(2)求a 2 010.
数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有
周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．
变式3—1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝??? 2a n ?
???0≤a n <12，2a n －1 ????12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.17 变式3—2 设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n ，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π2 011的值为( ) A ．－12 B ．－1 C.12 D ．2
考向四 数列与函数的综合应用
例4 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．
(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数
的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法；②作商法；③结合函数图象等方法．
变式4 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，则实数k 的取值范围是( )
A ．k >0
B ．k >－1
C ．k >－2
D ．k >－3
基础达标
1、若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)．
①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .
2、在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )．
A ．103 B.8658 C.8258
D ．108
数列的概念与简单表示法（第一课时） 教学目标：1、理解数列的概念，了解通项公式的意义和分类 2、能由通项公式求出数列的各项。反之能求出数列的前几项 3、培养学生分析问题的能力及探索规律的能力 教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型 教学难点：认识数列是一种特殊函数；发现数列的规律，找出数列可能的通项公式。 教学过程： 一、引入新课 有人说，大自然是懂数学的，不知你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了那些数学规律吗？通过本课时的学习，这些问题都会得到解决。 二、新课 学生阅读课本、小组互动完成学案上第一、二部分 小组内推选同学回答问题 （一）、考考你 寻找规律，在空格出填写数字 1．1、21、31、（ ）、51、61、（ ）、8 1 2. 2、-4、（ ）、-8、10、（ ）14 3. （ ）、22、32、42、52、（ ）、72 思考1：以上几组数有什么特征？ 观察、讨论、分析归纳特点：上面的数字都是有规律的。从具体例子引出数列概念，激发学生的兴趣。 （二）、知识探究 1、根据上面几组数归纳出数列的概念 数列是一列数；数列中的数是按一定次序排列的。引领学生由感性认识上升到理性认识，进而明确数列的定义 思考2 数列1、2、3、4……与4、3、2、1……是同一数列吗？ 不是，数列的有序性； 深化定义，加深对数列概念的理解。 试试看： 根据思考2归纳出数列的特点________ 2、数列的项如何表示 数列的一般表示：n a a a ,,,21 ，表示法 n a 练习：请大家举几个生活中数列的例子 3、数列的分类（课本28页观察） ①按项数分有穷数列和无穷数列 ②按项的大小关系分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 4、常数列：各项均为常数的数列 为等差、等比数列进一步学习作铺垫 5、数列的通项公式 项数：1 2 3 4 5 …… n 1 2 3 4 5 …… n 项： 1 4 9 16 25…… （n 2 ） 2 4 6 8 10…… （2n ） 仔细观察上面两个数列的项与它对应的项数，你能发现它们的关系吗？请写出项数与项之间
课时分层作业(二) (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．已知a n＝3n－2，n∈N＋，则数列{a n}的图像是() A．一条直线B．一条抛物线 C．一个圆D．一群孤立的点 D[∵a n＝3n－2，n∈N＋，∴数列{a n}的图像是一群孤立的点．] 2．已知数列{a n}满足a1＞0,2a n＋1＝a n，则数列{a n}是() A．递增数列B．递减数列 C．常数列D．以上都不对 B[∵a1＞0，a n＋1＝1 2a n，∴a n＞0，∴a n＋1 a n＝ 1 2＜1，∴a n＋1 ＜a n.] 3．在递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是() A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0)D．(－∞，0] C[∵{a n}是递减数列，∴a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.] 4．设a n＝－n2＋10n＋11，则数列{a n}中第几项最大() A．第6项B．第7项 C．第6项或第7项D．第5项 D[a n＝－n2＋10n＋11＝－(n2－10n＋25)＋36 ＝－(n－5)2＋36，所以当n＝5时，a n最大．] 5．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a0∈(0,1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}满足a n＋1＞a n，则该函数的图像是()
A[由a n＋1＝f(a n)，a n＋1＞a n，得f(a n)＞a n，即f(x)＞x，结合图像知A正确．]二、填空题 6．若数列{a n}为递减数列，则{a n}的通项公式可能为______(填序号)． ①a n＝－2n＋1；②a n＝－n2＋3n＋1；③a n＝1 2n；④a n ＝(－1)n. ①③[可以通过画函数的图像一一判断．②中第一、二项相等，④是摆动数列．] 7．已知数列{a n}的通项公式为a n＝(n＋2)7 8. 则当a n取最大值时，n等于________． 5或6[a n≥a n－1， a n≥a n＋1， n≤6， n≥5. 所以n＝5或6.] 8．已知数列{a n}为单调递增数列，通项公式为a n＝n＋λ n，则λ的取值范围是________． (－∞，2)[由于数列{a n}为单调递增数列，a n＝n＋λ n，所以a n＋1 －a n＝ (n＋1)＋λ n＋1－n＋λ n1－λ n(n＋1) >0，即λ §1.3函数的基本性质的应用 教学设计 一、课标分析 1．本内容是在高中数学人教社A版必修1讲完1.2．1函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专题研究课。这节课承接前面所研究的函数的定义、表示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。另一方面，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上起着进一步深化、拓展的作用。 2．本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。 3．通过函数的性质的研究，能够培养、训练、提高学生的逻辑思维能力和发散思维能力，对其他知识的进一步学习、探索产生良好迁移作用具有奠基性的作用。 4．通过对函数性质的研究，能够对其它学科的学习，比如说物理学中的波形图、化学中的无机化学、生物学中的遗传等知识，使学生在思维上具有正面的积极导向，给予数学上的基础性支撑。 5．渗透转化等数学思想方法。从学习过程中感悟转化思想的作用，化繁为简、化抽象为直观，为今后进一步学习、深化，打下坚实基础。 二、教材分析 函数的性质与应用位于高一数学教材必修1，且贯穿于整个高中学习。在高考中，函数的性质是命题的主线索，并且考察的类型较多，涉及到函数的单调性、单调区间、奇偶性、周期性、最值、图象，函数与导数、不等式的联系等，在选择、填空和解答题中都有体现。其中函数的单调性、奇偶性和周期性更是重中之重。而学生对函数各性质的掌握和应用能力还不够。 第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数－1 列的递推公式． 3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 4．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n) ＝a n(n∈N*)． 题型一：由数列的前几项求数列的通项公式 [例1] 下列公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．a n＝1 B．a n＝C．a n＝2－ D．a n＝ [自主解答] 由a n＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案] C 变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n}的一个通项公式为________． 答案： a n＝ 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 第2课时数列的函数特性 1.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列. 2.能判断数列的单调性,并应用单调性求最大(小)项. 3.会由数列的前n项和公式求出其通项公式. 写出数列0,2,4,6,8,…的通项公式a n=2n-2后,发现a n=2n-2与一次函数f(x)=2x-2有相似之处,只不过是自变量从x换到了n,数列也可看成一种函数. 问题1:数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列. 问题2:如果数列{a n}的第1项或前几项已知,并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作这个数列的,一般记作为. 问题3:一般地,一个数列{a n},如果从起,每一项都大于它的前一项,即,那么这个数列叫作递增数列.如果从起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫作递减数列.如果数列{a n}的各项,那么这个数列叫作常数列. 问题4:任意数列{a n}的前n项和S n的性质 若S n=a1+a2+a3+…+a n,则a n= . 1.下面四个结论: ①数列可以看作是一个定义域在正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数; ②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是(). A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④ 2.数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n,则数列{a n}各项中最小项是(). A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 3.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表 6.1.1 数列的定义 【教学目标】 1. 理解数列的有关概念和通项公式的意义． 2. 了理解数列与函数的关系，培养学生观察分析的能力． 3. 使学生体会数学与生活的密切联系，提高数学学习的兴趣． 【教学重点】 数列的概念及其通项公式． 【教学难点】 数列通项公式的概念． 【教学方法】 这节课主要采用情景教学法．利用多媒体，在教师的引导下，根据学生的认知水平，设计了创设情境——引入概念，观察归纳——形成概念，讨论研究——深化概念，即时训练——巩固新知等环节．各步骤环环相扣，层层深入，引导学生体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受．【教学过程】 环节教学内容师生互动设计意图 导入 1．讲故事，感受数列 2．提出问题，引入新课 我国有用十二生肖纪年的习俗，每 年都用一种动物来命名，12年轮回一 次．2009年（农历乙丑年）是21世纪的 第一个牛年，请列出21世纪所有牛年的 年份． 教师讲述古印度传说故事 《棋盘上的麦粒》． 学生倾听故事，认识数列． 教师提出问题． 学生分组讨论，找出问题 的答案． 创设情境，让学 生认识数列，激发学 生的好奇心，增强学 生的学习兴趣． 提出和本节课 密切相关的问题，让 学生思考，充分发挥 学习小组的作用，展 开讨论． 新课 1．数列的定义 把21世纪所有牛年的年份排成一 列，得到 2 009，2 021，2 033，2 045，2 057， 2 069，2 081，2 093．① 像①这样按一定次序排列的一列 数，叫做数列． 数列中的每一个数都叫做这个数列 教师在学生探究的基础 上，给出问题的答案． 教师板书定义． 教师出示一组数列的例 数列的概念及函数特征测试题 A 组 一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1.数列1,1,1,1,1 --，的通项公式的是 。 1. 1(1)n n a +=- 或{1 1n n a n =-，为奇数，为偶数 。提示：写成两种形式都对，a n 不能省掉。 2. ,52,21,3 2, 1的一个通项公式是 。 2. 2;1 n a n =+提示：若把12换成24，同时首项1换成2 2，规律就明显了。其一个通项 应该为：2 ;1 n a n =+ 3.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内. 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88 3.140,85。提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3或2，且是间隔出现的，故应填140,85。 4．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n += ∈+，那么1 120是这个数列的第 项. 4.10.提示：令1(2)n a n n = +=1 120 ，即n 2+2n-120=0,解得n=10. 5.已知数列{a n }的图像是函数1 y x =图像上，当x 取正整数时的点列，则其通项公式为 。 5. a n = 1n .提示：数列{a n }对应的点列为(n,a n ),即有a n =1n 。 6.已知数列{}n a ，2 2103n a n n =-+，它的最小项是 。 6.2或3项。提示：2 2103n a n n =-+=2（n- 52）2-192 .故当n=2或3时，a n 最小。 7. 已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n n a a a +=+-，则4a = . 7. 25-。提示：222212a ?-=++（）=23，32 23262 13 a ?=+ =-，12622165n a +?=+=--。 8.如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更 数列的函数特征 1、数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n＝f(n)(n∈N*)．数列的函数图像是一群孤立的点。 2、数列的增减性 (1)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递增数列； (2)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递减数列； (3)若，n∈N*，则数列{a n}叫作常数列； (4)若a n的符号或大小交替出现，则数列{a n}叫作摆动数列． 3、数列的最大项与最小项 (1)若a n是最大项，则；(2)若a n是最小项，则。 4、数列的周期性 对于数列{a n}，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使a n＋T＝a n，对一切n∈N*恒成立，则称数列{a n}为周期数列，T就是它的一个周期． 考向一数列的单调性 例1—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2 n2＋1 ，判断数列{a n}的增减性． 例1—2 已知数列{a n}的通项公式是a n＝an bn＋1 ，其中a，b均为正常数，则该数列是单调递__________数列． ①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n＋1的大小关系，若a n＞a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递减数列；若a n＜a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n}的通项公式a n＝f(n)对应函数的单调性来确定数列的单调性． 变式1—1 已知数列{a n}的通项公式是a n＝ kn 2n＋3 (k∈R)． (1)当k＝1时，判断数列{a n}的单调性；(2)若数列{a n}是递减数列，求实数k的取值范围． 变式1—2 已知数列{a n}的通项公式a n＝ 1 1＋n2－n ，n∈N*，则该数列是单调递__________数列． 考向二数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4 (n∈N*)，则 (1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值． 无为二中公开课 教 学 设 计 课题《数列的函数特性》 执教人：汪桂霞 数列的函数特性 1课时 知能目标解读 1.熟练掌握数列与函数之间的关系，理解数列是一种特殊的函数的含义. 2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题. 3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项. 重点难点点拨 重点：1.理解数列是一种特殊的函数的含义. 2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题. 难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题. 学习方法指导 1.数列的概念与函数概念的联系与区别 2.数列的表示方法 通项公式法（解析法），图像法，列表法 3.数列的单调性 （1）递增数列（2）递减数列（3）常数列（4）摆动数列 4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有： (1)定义法：作差比较，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项a n 的符号(a n >0还是a n <0)，对 于根式，进行分子（或分母）有理化. (2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性. 教学手段：多媒体教学 教学方法：类比，引导，发现，总结提高，讲练结合 教学过程： 一：以函数的观点，分析等差、等比数列 1、关于等差数列{a n } （1）通项公式a n =a 1+(n-1)d,可以写成a n =dn+(a 1-d)。它是n 的一次函数，以（n,a n ）为坐标的 一群离散点均匀地分布在直线上。 当d>0时，{a n }数列递增； 当d<0时，{a n }数列递减； 当d=0时，{a n }为常数数列。 (2) 若d 不为零，它是关于n 的二次函数（缺常数项），图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。 2、关于等比数列{a n } （1）通项公式a n =a 1q n-1,可以写成a n =·q n (n ∈ N*)。 当q>0且q≠1时，y=q x (x ∈R) 是一个不为0的常数与指数函数的积，因此a n =·q n (n ∈N*) 的图象是函数y=·q x (xR)的图象上的一群孤立点。 很明显，若a 1>0,当q>1时，{a n }数列递增当0 1.1.2数列的概念及函数特征测试题 1.数列1,1,1,1,1-- ，的通项公式的是 。 1. 1(1)n n a +=- 或{11n n a n =-，为奇数，为偶数 。提示：写成两种形式都对，a n 不能省掉。 2. ,5 2 ,21,3 2, 1的一个通项公式是 。 2. 2 ;1 n a n = +提示：若把12换成24，同时首项1换成22，规律就明显了。其一个通项应该为：2;1 n a n = + 3.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表 3.140,85。提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3或2，且是间隔出现的，故应填140,85。 4．已知数列{}n a ，1 ()(2) n a n N n n += ∈+，那么1120是这个数列的第 项. 4.10.提示：令1(2)n a n n = +=1120 ，即n 2 +2n-120=0,解得n=10. 5.已知数列{a n }的图像是函数1 y x =图像上，当x 取正整数时的点列，则其通项公式为 。 5. a n = 1n .提示：数列{a n }对应的点列为(n,a n ),即有a n =1n 。 6.已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是 。 6.2或3项。提示：22103n a n n =-+=2（n- 52）2-19 2 .故当n=2或3时，a n 最小。 7. 已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n n a a a +=+-，则4a = . 7. 25-。提示：222212a ?-=++（）=23，32 23262 13a ?=+ =-，12622165n a +?=+=--。 8.如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则 课题：《数列》章末复习 教学目的： 1．系统掌握数列的有关概念和公式 2．进一步掌握数列的有关概念和公式的应用 3．要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧 重点：等差等比数列的相关概念性质通项和求和公式及应用 难点：灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题 一、知识回顾 等 差 数 列与等 比 数 列定义,通项,中项,性质及求和公式 二、知识应用 Ⅰ、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为 或者 ，根据具体问题的不同特点而选择不同设法. 2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为 例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数. 例1(2)：互不相等的三个数之积为 ，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列. Ⅱ、运用等差、等比数列的性质 例2（1）已知等差数列 {}n a 满足121010a a a ++???+=，则 ( ) A. 11010a a +> B.21000a a +< C.3990a a += D. 5151a = （2）已知在等差数列{an}的前n 项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项之和为286，试求数列的项数n. Ⅲ、等差数列的最值问题(一题多解) 例3.等差数列｛an ｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 思路1：寻求通项 思路2：从函数的角度来分析数列问题 思路3：函数图像、数形结合 Ⅴ、数列求和的方法： (1)公式法(2)错位相减法(3)分组求和法(4)倒序相加法(5)裂项法(6)并项法 Ⅳ、数列求通项方法： (1)观察法(2)公式法：运用等差等比数列公式 (3) {}n a 与n S 关系 (4)利用递推关系：①累加法;②累乘法; ③待定系数法;④构造法等; ,,2; ,,a a d a d a d a a d ++-+,,2x y x y +,,a a aq q 2,,.a aq aq 8- 函数的基本性质(第一课时)说课稿 龙岩八中---------郭小峰 一.教材分析: 1.教材地位和作用:人教版《普通高中课程标准实验教科书A》必修一第1.3.1“函数的基本性质”是在学生系统地学习了第一章中的函数概念后对函数的性质展开研究的,其第一课时主要是研究函数的单调性． 函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用,在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用．同时函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，比如数形结合的思想,类比的思想等等.这对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用. 2.教学重点:形成增(减)函数的形式化定义. 3.教学难点:形成增(减)函数概念的过程中,如何从对图象升降的直观认识过渡到用严谨的数学语言来描述函数增(减)的定义;另外根据定义证明函数的单调性也是本节课的难点． 二. 目标分析： 1.知识与技能使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法． 2.过程与方法引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合与类比的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． 3.情感态度与价值观要使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度． 三.教法学法: 1.教法与教法分析 教学方法:启发引导---自主探究-- 合作讨论式 在这样的教学方法下, 既有教师的讲授与指导又有学生的独立思考空间,教师真正成为课堂教学的引导者、组织者,是学生学习的合作者,同时来自于生活的朴素而有 高一函数的基本性质(说课稿) 师大附中---------巴争刚 一.教材分析: 1.教材地位和作用:人教版《普通高中课程标准实验教科书A》必修一第1.3.1“函数的基本性质”是在学生系统地学习了第一章中的函数概念后对函数的性质展开研究的,其第一课时主要是研究函数的单调性． 函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用,在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用．同时函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，比如数形结合的思想,类比的思想等等.这对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用. 2.教学重点:形成增(减)函数的形式化定义. 3.教学难点:形成增(减)函数概念的过程中,如何从对图象升降的直观认识过渡到用严谨的数学语言来描述函数增(减)的定义;另外根据定义证明函数的单调性也是本节课的难点． 二. 目标分析： 1.知识与技能使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法． 2.过程与方法引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合与类比的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． 3.情感态度与价值观要使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度． 三.教法学法: 1.教法与教法分析 教学方法:启发引导---自主探究-- 合作讨论式 在这样的教学方法下, 既有教师的讲授与指导又有学生的独立思考空间,教师真正成为课堂教学的引导者、组织者,是学生学习的合作者,同时来自于生活的朴素而有 1.1.2 数列的函数特征——教学设计 一、教学目标 1.知识与技能：理解递增数列、递减数列、常数列的概念；掌握判定数列增减性的方法； 会判断数列的增减性和会求数列中的最大项和最小项； 2、过程与方法：通过画数列的图像，观察图像的升降趋势的学习过程使学生体会数列的增减性，学习过程采用启发、引导式教学。 3、情感态度与价值观：通过本节课的学习培养学生数形结合思想，函数思想的应用。 二、教学重难点 重点：会根据数列的分类判断数列的单调性．(重点) 难点：会用函数的相关知识解决数列的最大(小)项等问题．(难点) 二、教学过程 （一）、知识回顾 1、数列的定义： 一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列 2、数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a 简记为数列{n a },其中数列的第1项1a 也称 首项 n a 是数列的第n 项，也叫数列的通项 3、数列的分类 项数有限的数列，称为“有穷数列”；项数无限的数列，称为“无穷数列” 4、通项公式： 如果数列{n a }的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式 5、两个特殊的数列 ①、 求数列9，99, 999, 9999，… 的通项公式n a . 101n n a =- ②、正负交替数列，要记住两个常数1 (1),(1) n n +--,如果首项为正用1 (1) n +-,首项为负 (1)n - （二）、探究新知 1、 数列的实质 【实质】从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N+（或它的有限子集{1，2，…n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 数列是一种特殊的函数* ()()n a f n n N =∈ 数列的概念教学设计（一） 【三维目标】知识与技能 形成并掌握数列及其有关概念，及数列通项公式的意义；理解数列的表示方法与函数表示方法的关系。 过程与方法 培养学生观察、归纳、类比、联想等分析问题的能 力，同时加深理解数学知识之间相互渗透性的思想。 情感、态度、价值观 激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学态度和勇于创新的精神。 【教学重点】数列概念及其通项公式。 【教学难点】根据数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式。 【教学方法】诱思教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力. 【教学手段】多媒体课件辅助教学 【学情分析】本节课的授课对象是省示范性高中的学生，学生基础扎实，思维灵活，适合进行新课程教学 【教学过程设计】 一、创设情景 引入课题 1、章头故事： Titius 用一列数 3，6，12，24，48，96，192，… 推导从太阳到行星距离的经验定律，并探明一些行星。 2、观察下面几列数： ① 4，5，6，7，8，9 ② ③ 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …… ④ -1，1，-1，1，-1，1, …… ⑤ 2，2，2，2，2， …… 二、深化定义、巩固基础 1.数列的定义: (1) 按一定次序排列的一列数叫做数列. (2) 数列中的每一个数都叫做数列的项, (3) 各项依次叫做这个数列的第1项 11111,,,,, (2345) (首项),第2项,…,第n 项,…(n 为序号) （4）数列的一般形式可以写成 有时简记为 2. 通项公式的探索 数列的每一项与这一项的序号对应关系 序号 1 2 3 …… n ↓ ↓ ↓ ↓ 项 1 13 15 (121) n - 可以看出项与项的序号之间可用一个公式：a n =121n -表示，该公式叫数列的通项公式。如果数列的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 。 给出开始几个数列的通项公式： ① ② ③ 第三个没有通项公式 ④ ⑤ 3、数列的函数特性：数列可看作是以自然数集或它的有限子集为定义域的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值（这是数列的本质），其图象是一群孤立的点，示意画图（正奇数的倒数） （1）用图象表示： 是一群孤立的点 （2）不是每一个数列都能写出其通项公式 . （3）数列的通项公式不唯一 （4）数列的分类 a.根据数列的项数 有穷数列 、无穷数列 b.根据数列的每一项随序号变化的情况 递增数列、递减数列、摆动数列 、常数数列 三、例题精讲、拓展提高 （本节课的例题全部由学生进行讲解，生生互动探究，教师适当点评） 例1、根据下面数列的通项公式，写出前5项： 123,,,...,,.....n a a a a {} n a ) 6,5,4,3,2,1(3=+=n n a n )1(1≥=n n a n ) 1()1(≥-=n a n n )1(2≥=n a n 1.1.2数列的函数特性 教学目的： 1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3．理解数列的前n项和与的关系； 4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式. 教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点：理解递推公式与通项公式的关系 内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了 教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下 ⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式：，或简记为，其中a n是数列的第n项 ⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 5．数列的图像都是一群孤立的点. 6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法. 7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列. 数列的函数特性 学习目标： 理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。 学习过程： 一、课前准备 自主学习：数列概念及相关知识，通项公式 阅读P6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。 二、新课导入 ①递增数列： ②递减数列： ③常数数列： 自主测评 1、下列结论中正确的是（） ①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点 ②任何一个数列都有无数次 ③数的通项公式存在且唯一 A、①② B、②③ C、①②③ D、① 2、已知数列1112 ,,, 6323 的一个通项公式为（） A、1 n B、 6 n C、 3 n D、 4 n 3、判断下列数列的增减性（） ①11111 ,,,, 2481632 K K②-3，-1，1，3，5，7…… ③-3，2，-4，-5，1，6，-2……④-2，-2，-2，-2…… ⑤0，1，0，1，0，1…… 探究：是不是所有的数列都有增减性 三、巩固应用 例3：判断下列无穷数列的增减性 （1）2，1，0，-1，…，3-n,… (2)123,2341n n +K K K K ，，，， 例4：作出数列111 1 1 ,,,,,()248162n ---K K ，…的图像，并分析数列的增减性。 试一试：1、P 8 T 2 2、已知数列{}n a 中；123,6,a a ==且21n n n a a a ++=-，则数列的第100项为 3、已知数列{}n a 中，223n a n n =-+，则数列n a 是增还是减数列 4、已知数列{}n a 中，276n a n n =-+，求数列{}n a 的最小项 四、总结提升 1、探究结论 2、数列与函数有什么关系？ 五、能力拓展 1、已知数列{}n a 满足1120090,); n a a n N a 则等于++== （ ） A 、0 B 、- C D 、2 2、数列{}n a 满足13n n a a ++=，若320082,a a =则等于 。 3、已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n ? （1）求数列{}n a 的通项公式 §1.2 数列的函数特性 学习目标： 理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。 学习过程： 一、课前准备 自主学习：数列概念及相关知识，通项公式 阅读P 6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。 二、新课导入 ①递增数列： ②递减数列： ③常数数列： 自主测评 1、下列结论中正确的是（ ） ①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点 ②任何一个数列都有无数次 ③数的通项公式存在且唯一 A 、①② B 、②③ C 、①②③ D 、① 2、已知数列1112,,,6323 的一个通项公式为（ ） A 、1n B 、6n C 、3n D 、4 n 3、判断下列数列的增减性（ ） ①11111,,,,2481632 K K ②-3，-1，1，3，5，7…… ③-3，2，-4，-5，1，6，-2…… ④-2，-2，-2，-2…… ⑤0，1，0，1，0，1…… 探究：是不是所有的数列都有增减性 三、巩固应用 例3：判断下列无穷数列的增减性 （1）2，1，0，-1，...，3-n,... (2), (1) ....,433221+n n ，，， 例4：作出数列11111,,,,,()248162 n ---K K ，…的图像，并分析数列的增减性。 例5：一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件，沿途（包括A ，B ）共有8站，从A 地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个。试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性 练习： 1、P 8 T 2 §1.2 数列的函数特性 一、自主导学 （1）怎么认识数列是一种特殊的函数？其定义域，值域又是什么？与函数有什么区别和联系？ （2）怎么用图像表示数列？其图像特点是什么？ （3）根据数列的图像能说明数列的增减性吗？ （4）课本图1-5,1-6,1-7反映数列图像有什么特点？ （5）数列是一种特殊的函数，那么数列的表示方法有哪些？ 二、抽象概括：数列{}n a ①递增数列：如果从第2项起，每一项都 它前面的一项，即____则这个数列叫作递增数列 ②递减数列：如果从第2项起，每一项都 它前面的一项，即____则这个数列叫作递减数列 ③常数列：如果数列{}n a 的各项都_______，则这个数列叫作常数列 三、例题分析 例3：判断下列无穷数列的增减性 （1）2，1，0，-1，...，3-n,... (2), (1) ....,433221+n n ，，， （3） 例4：作出数列11111,,,,,()248162 n ---K K ，…的图像，并分析数列的增减性。 例5：一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件，沿途（包括A ，B ）共有8站，从A 地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个。试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性 例6：若数列{}n a 的通项公式为2296(*)n a n n n N =-+∈，求n a 的最小值。 四、当堂训练 1、下列结论中正确的是（ ） ①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点 ②任何一个数列都有无数次 ③数的通项公式存在且唯一 数列教案 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322 +=n s n ，求数列}{n a 的通项公式函数的性质的应用教学设计
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