数列的函数特性教案

数列的函数特性教案Prepared on 21 November 2021

无为二中公开课

教

学

设

计

课题《数列的函数特性》

执教人：汪桂霞

数列的函数特性

1课时

知能目标解读

1.熟练掌握数列与函数之间的关系，理解数列是一种特殊的函数的含义.

2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.

3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.

重点难点点拨

重点：1.理解数列是一种特殊的函数的含义.

2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.

难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.

学习方法指导

1.数列的概念与函数概念的联系与区别

2.数列的表示方法

通项公式法（解析法），图像法，列表法

3.数列的单调性

（1）递增数列（2）递减数列（3）常数列（4）摆动数列

4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：

(1)定义法：作差比较，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项a n 的符号

(a n >0还是a n <0)，对于根式，进行分子（或分母）有理化.

(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.

教学手段：多媒体教学

教学方法：类比，引导，发现，总结提高，讲练结合

教学过程：

一：以函数的观点，分析等差、等比数列

1、关于等差数列{a n }

（1）通项公式a n =a 1+(n-1)d,可以写成a n =dn+(a 1-d)。它是n 的一次函数，以（n,a n ）为坐

标的一群离散点均匀地分布在直线上。

当d>0时，{a n }数列递增；

当d<0时，{a n }数列递减；

当d=0时，{a n }为常数数列。

(2)

若d 不为零，它是关于n 的二次函数（缺常数项），图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。

2、关于等比数列{a n }

（1）通项公式a n =a 1q n-1,可以写成a n =·q n (n ∈N*)。 当q>0且q≠1时，y=q x (x ∈R) 是一个不为0的常数与指数函数的积，因此a n =·q n (n ∈N*)

的图象是函数y=·q x (xR)的图象上的一群孤立点。

很明显，若a 1>0,当q>1时，当0

(2)当q ≠1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是函数y ＝－Aq x ＋A 图象上一群孤立的

点；

当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一群孤立的点．

二：体会图像的直观形象

注：例1是通过函数图像直观分析，简单明了，体现函数图像的优点

变式演练跟踪训练，同时突出数列的定义域的特点

例2：若数列{a n }的前n 项和为s n =－n 2＋7n(n ∈N*)，

求s n 的最大值，并与函数y=－x 2＋7x(x ∈R)的最大值作比较

解：作出函数y=－x 2＋7x(x ∈R)的图象．从图象上看，表示数列s n 的各点都在抛物线y=－x 2＋7x(x ∈R)上，由图象得当n=3或4时，s n 取最大值12

当x=7/2时，函数y 取最大值49/4

注：本例发现sn 与函数y=－x 2＋7x(x ∈R)在不同的地方取到不同的最大值，这是由于两者的定义域不同所造成的，也体现函数与数列的区别与联系

三：把握特性辨析联系与区别

q

a 1q a 1q

a 1

例3（1）已知函数f(x)=x 2

+λx 在区间[1，+∞）是增函数，则实数λ的取值范围是

（C ） A ．（，+∞）B ．（0，+∞）

C ．（－2，+∞）

D ．（－3，+∞）

（2）已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围

是（D ）

A ．（，+∞）

B ．（0，+∞）

C ．（－2，+∞）

D ．（－3，+∞）

四：数列增减性的判断

启示：判断数列是递增数列或递减数列，关键是比较相邻两项a n ＋1与a n 的大小．比较a n ＋1与a n 的大小，既可使用作差比较法，也可用作商比较法，但在作商比较法中，要注意a n >0还是a n <0，也可以利用通项公式的单调性判断。

跟踪练习：

五：课时小结

判断数列的增减性,求最大、最小项，或前n 项和的最值问题均可利用相应函数性质的 判断方法，如图像法、定义法等，同时注意数列的特殊性

六：课后作业

数列的函数特性练习题

七：板书设计： 1.等差数列的函数特

性

3.例题解析过程

2.等比数列的函数特

性

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