定积分的概念和基本思想

定积分的概念和基本思想

一、定积分的概念和基本思想

1、定积分的概念

一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0

l}

x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)

Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rm

d}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。

(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即

$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o

(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。

2、定积分的基本思想

定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。

即：分割$-$近似代替$~$求和$~S取极限。

3、定积分的性质

(1)$\int_{a}*{b}1{\rm d}x=b-a$；

(2)$\int_{a} * (b}kf (x) {\rm d}x=$$k\int_{a}" {b}f (x) {\rm d}x$ (其中$k$是不为0的常数)：

(3)$\int_{a)*{b)[f_l(x)if_2(x)]{\rm d}x二$$\int_{a}"{b}f_l(x){\rm d}x土

$$\int_{a}"{b}f_2(x){\rm d}x$;

(4)$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$$\int_{a}*{c}f(x){\rm d}x+$$\int_{c) *{b}f (x) {\rm

d}x$ (其中$a

求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数的解析式，然后根据定积分的性

质4进行计算。

4、定积分的几何意义

如果在区间S[a,b]$上函数$f(x)$连续11恒有$f(X)\geqslantO$,那么定积分$\int_{a} * {b}f (x) {\rm <1&$表示由直线$x=a$, $x=b$, $y$=0 和曲线$y=f(x)$所围成的曲边梯形的面积。

注：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0。

(1)当对应的曲边梯形位于$x$轴上方时，定积分的值取正值，II等于曲边梯形的面积。

(2)当对应的曲边梯形位于$x$轴下方时，定积分的值取负值，II等于曲边梯形的面

积的相反数。

(3)当位于5$轴上方的曲边梯形的面积等于位于$x$轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0, J1等于位于$x$轴上方的曲边梯形的面积减去位于$曲轴下方的曲边梯形的面积。

5、定积分的物理意义

(1)变速直线运动

如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是

$v=v(t) (v(t)\geqslantO)$»那么物体从时刻$七二8$到$七比$所经过的路程

$s=S$\int_{a}*{b)v(t){\rm d}x$;

如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是

$v=v(t) (v(t)\leqslanto)$,那么物体从时刻$t=aS到St=b$所经过的路程$s=$$- \int_{a} * {b}v(t) {\rm d}x$;

(2)变力做功

物体在变力SF(x)$的作用下做直线运动，并11物体沿着与力$F(x)$相同的方向从

$x=a$移动到$x=b(a

二、定积分的概念的相关例题

设$f(X)=\begin{cases}\sqrt {l~x"2}, xG [T, 1), \\x*2-

1, xW [1, 2], \end{cases} $则$\九1:_{-1}" {2} f (x) (\rm d}x$的值为_____

A. $\frac{n}{2}+\frac{4}{3}$ B・ $\frac{n}{2}+3$

C. $\frac{n}{4}+\frac{4}{3}$

D. $\frac{n}{4}+3$

答案:A

解析：根据定积分性质可得$\int_{T}* {2}f (x) {\rm d}x=$$\int_{T}"⑴ \sqrt {1- x"2} {\rm d}x+$$\int_{l}" {2} ({x"2T) \rm d}x$,根据定积分的几何意义可知, $\int_{-l} * {1} \sqrt {l~x*2} {\rm d}x$是以原点为圆心,以1为半径的圆面积的一半, /• $\int_{-l}° {l}\sqrt {l~x*2} {\rm d} x=\f rac {兀}⑵ $, :. $\int_{"l} ' {2} f (x) {\rm d}x=$$\frac{兀}(2}+\left(\frac{1}{3}x"3- x\right) \Big "2_l=$$\frac { n } {2}+\frac{4} {3}$»故选Ao

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定积分的概念和性质公式

1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限

其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点

怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；

在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）

设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立

定积分的概念及性质

定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用 一． 定积分的定义 A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成n 个小区间 ，记 },......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ???==-=?-λ 在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ， 作和式： )1.......( )(1 i n i i x f ?∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有 →?∑=i n i i x f 1 )(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称 积分，记做 ?b a dx x f )(即I=?b a dx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积 分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。 例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。 注： 1、有定义知道 ?b a dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变 量x 无关，即?b a dx x f )(=?b a du u f )(=?b a dt t f )( 2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替 3、如果i n i i x f Lim ?∑=→1 )(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b] 上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？ 经典反例：? ? ?=中的无理点，为，中的有理点， 为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

定积分的概念与性质

定积分的概念与性质 在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积 以及计算函数的平均值和总和。本文将介绍定积分的概念与性质，帮 助读者更好地理解和应用该概念。 一、定积分的概念 定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。它是对函 数在给定区间上的求和过程。我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间 长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。 定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界， f(x)是要进行积分的函数。定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和 或者面积。 二、定积分的计算方法 1. 用基本定积分公式计算定积分。对于一些简单的函数，我们可以 直接使用基本定积分公式进行计算。例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中 C是常数。 2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。如果我们已知函数 f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。 这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。

3. 利用定积分的性质进行计算。定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。此外，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。 三、定积分的性质 1. 定积分与原函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且 F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。这个公式可以 用来计算一些不易积分的函数。 2. 定积分的加法性质。对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。这意味着我们可以将函数相加或乘以常数后再进行积分。 3. 定积分的区间可加性。对于一个函数f(x)和区间[a, b]，以及一个 在[a, b]范围外也有定义的点c，有∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx。这个性质允许我们将积分区间划分成多个子区间来进行计算。 4. 定积分和反函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续且单调 递增（或递减），并且f(a)≤f(b)，则∫[a, b] f(x)dx ≤ ∫[f(a), f(b)] f^(- 1)(y)dy。这个性质表明，定积分可以保持函数值的顺序关系。 四、定积分的应用 1. 计算曲线下的面积。定积分可以用于计算曲线与x轴之间的面积。如果函数f(x)在积分区间[a, b]上非负，那么∫[a, b] f(x)dx表示了曲线与 x轴之间的面积。

定积分的概念和基本思想

定积分的概念和基本思想 一、定积分的概念和基本思想 1、定积分的概念 一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0

定积分的基本概念

方法与手段导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0

定积分的基本概念与性质

定积分的基本概念与性质 定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。 一、定积分的基本概念 定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。 二、定积分的计算 计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。 几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。 分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。 换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx = f'(g(x))*g'(x)。通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分 ∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。 三、定积分的性质 定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。 1. 线性性质：对于任意函数f(x)和g(x)，以及任意实数a、b，有∫[a, b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a, b]f(x)dx + b∫[a, b]g(x)dx。这意味着对于定积分 而言，可以对函数进行加法、倍乘、乘法等运算。 2. 区间可加性：设[a, b]和[b, c]是区间[a, c]的两个子区间，如果函数f(x)在区间[a, c]上可积，则有∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx。 这个性质可以将大区间上的定积分转化为小区间上的定积分的和。 3. 常数倍性：对于任意函数f(x)和实数a，有∫[a, b]f(x)dx = a∫[a, b]dx。这表明对于常数a而言，可以将其从积分号中提出。 4. 保号性：如果在区间[a, b]上，有f(x) ≤ g(x)，则有∫[a, b]f(x)dx ≤ ∫[a, b]g(x)dx。这意味着函数大小的关系会在定积分中得到保持。

定积分知识点总结

北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)(

(2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到 ),(),(f S f S πσπ≤≤ 推论1 设f(x)在[a,b]上有界. 设有两个分割π，'π，'π是在π的基础上的加密分

定积分的概念

定积分与微积分定理 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?， 而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间 [],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分 ()b a f x dx ? 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式 ()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L

高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质

第5章 定积分及其应用 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用. §5.1 定积分的概念与性质 一、引例 1. 曲边梯形的面积 在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。 现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲 边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。 怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再 取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。简言之，就 图 5.3 图5.1 图5.2

是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积. 为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ： （1）分割 用1n +个分点 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ， 把区间],[b a 分成n 个小区间 011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ， 它们的长度依次为 11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=- ， 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ?= ，则所求曲边梯形的面积可表示为 121n n i i A A A A A ==?+?+???+?=?∑。 (2) 近似代替 在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以1[,]i i x x -为底、()i f ξ为高的小矩形的面积为()i i f x ξ?（图5.4），它近似等于第i 个小曲边梯形的面积， 图5.4

定积分的定义和计算

定积分的定义和计算 定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积、质量、体 积等物理量。本文将介绍定积分的定义和计算方法，以帮助读者更好 地理解和应用这一概念。 一、定积分的定义 定积分的定义可以通过分割求和的思想来解释。给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上进行分割，将该区间划分为n个子区间，每个子区间 的长度为Δx。选取每个子区间中的一个点xi，然后计算函数在该点的 函数值f(xi)。将这些函数值乘以子区间的长度Δx，并对它们进行求和，得到一个近似值。当我们让n趋近于无穷大时，所得到的近似值逐渐 接近定积分的准确值。 定积分的定义可以表示如下： ∫[a, b]f(x)dx = lim[n→∞]∑(i=1 to n)f(xi)Δx 其中∫表示定积分的符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量x的微小变化，lim表示极限操作，∑表示求和。 二、定积分的计算方法 定积分的计算可以通过基本积分公式和定积分的性质来进行。 1. 基本积分公式

定积分的计算可以利用基本积分公式，将被积函数直接进行积分。例如，对于多项式函数、三角函数等常见函数，可以通过查表或运用基本积分公式来计算定积分的值。 2. 定积分的性质 定积分具有一些重要的性质，可以简化计算过程。 （1）线性性质：若f(x)和g(x)是可积函数，a和b是常数，则有以下等式成立： ∫[a, b][f(x) + g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx ∫[a, b]af(x)dx = a∫[a, b]f(x)dx （2）区间可加性：若f(x)在区间[a, b]和[b, c]上是可积函数，则有以下等式成立： ∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx （3）换元积分法：对于积分区间和被积函数都有一定条件的情况下，可以通过换元积分法简化计算过程，将积分转化为更容易处理的形式。 三、实例计算 下面以一个简单的实例来说明定积分的计算过程。 例：计算定积分∫[0, 1]x^2dx。

定积分的概念

定积分与微积分定理 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆〔b a x n -∆= 〕，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2, ,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0〔亦即n →+∞〕时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，则称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：〔1〕定积分 ()b a f x dx ⎰ 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S 〔n →+∞时〕称为 ()b a f x dx ⎰ ，而不是n S ． 〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 〔3〕曲边图形面积：()b a S f x dx = ⎰ ；变速运动路程21 ()t t S v t dt =⎰； 变力做功()b a W F r dr = ⎰ 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积 分 ()b a f x dx ⎰ 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各局部面 积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．〔可以先不给学生讲〕． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，假设()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+ +∆ 不妨设1(),(), ,()0i i n f x f x f x +<

定积分的思想和方法总结

定积分的思想和方法总结 定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用。定积分的思想和方法可以总结如下： 一、思想： 1. 可以将定积分理解为曲线下面的面积。对于给定的函数f(x)，可以通过绘制函数曲线与x轴之间的区域，来形象地理解定积分。这个曲线下的面积，就是对应的定积分值。 2. 定积分可以看作是微分的逆运算。微分可以理解为函数在某一点附近的变化率，而定积分则是通过对函数在一段区间内的微小变化进行累加，来求得整个区间内的变化量。 3. 定积分可以用于计算函数的平均值。如果将函数f(x)在区间[a, b]上的定积分除以区间长度(b-a)，就可以得到函数在这个 区间上的平均值。 4. 定积分可以用于求解曲线下的累积量。如果将函数f(x)在区 间[a, b]上的定积分作为累积函数的值，就可以得到在a点到b 点之间函数f(x)的变化量。 二、方法： 1. 根据定积分的定义进行计算。定积分的定义是通过将区间[a, b]细分成若干子区间，并在每个子区间上选择一个代表点，来 求和得到定积分的值。这种方法适用于简单的函数，但对于复杂的函数可能会非常繁琐。

2. 利用基本函数的定积分性质。对于一些常见的函数，其定积分的结果已经被研究得很清楚。通过利用这些函数的定积分性质，可以将复杂函数的定积分转化为简单函数的定积分，从而进行计算。 3. 利用定积分的性质简化计算。定积分具有一些重要的性质，如线性性、区间可加性、积分区间的可变性等。利用这些性质，可以将复杂的函数分解为简单的部分，从而简化定积分的计算。 4. 利用变量代换进行计算。通过将积分变量进行合理的代换，可以将原来的函数转化为一个更简单的函数。这样就可以更容易地求出定积分的值。 5. 利用定积分的几何意义进行估算。定积分可以理解为曲线下的面积，所以可以通过几何意义对定积分进行估算。例如，可以利用图形的对称性、形状的特殊性等来估算定积分的值。 通过以上的思想和方法，可以对定积分进行处理和计算，从而解决实际问题。定积分的思想让我们看到了函数和曲线之间的联系，帮助我们理解函数的变化规律。而定积分的方法则为我们提供了一系列计算的工具，使我们能够更轻松地进行定积分的求解。

定积分知识点总结

定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=∆+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=∆=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>∀ε，0>∃δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ⎰=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则⎰⎰≥b a b a dx x g dx x f ,)()(

特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则⎰≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有⎰⎰=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=⎰ 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ∆(i x ∆是正数)并依i 求其总和，可以得到 ),(),(f S f S πσπ≤≤

定积分的基本概念

教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分为三个内容： 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题： 我们知道矩形面积：S ah = 梯形的面积：() 2 a b S h += 曲边梯形的面积：设()y f x =在区间[a,b]上非负连 续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 那么这样的问题怎么求呢 首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b 点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好，现在我们将[a,b] 区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似 我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特 别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份 数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积 值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法 描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间中任意插入个分点 ，用 直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形； 常带变：在第个窄边梯形上任取 作以为底，为高的小矩形，并以此小矩 形面积近似代替相应窄曲边梯形面积，得 近似和： 取极限：令 这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个 定积分问题例子。 （2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动， 已知() v v t =在区间[1T,2T]上t的连续函数，且()0 v t≥，求 在这段时间内物体所经过的路程s。 考虑：当()0 y f x C ==≥，()0 v v t C ==≥时（其中C为 常数），上面问题的求解。 在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上 个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本 身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质 上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个 变量替换就可以了，具体的解决步骤是。 解决步骤： 大化小：在区间中任意插入个分点 ， 将其分成个小段，在每 详讲 总结