1. 曲边梯形的面积
设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积
分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成n 个小区间
，小区间的长度
在每个小区间上任取一点作乘积，
求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在内插入若干分点将其分成
n 个小区间，小区间长度，。任取，
做
求和取极限：则路程取极限
定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
将分成n 个小区间，其长度为，在每个小区间
上任取一点，作乘积，并求和，
记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的
点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即
，（*）
其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。
说明：
1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间
可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以
3.规定
时 ,
在上时, 表示曲线、两条直线、
与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；
例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值
（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积
性质1
性质2
性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有
性质4
性质5 如果在区间上，，则
推论
性质6 （定积分的估值）设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则
性质7 （定积分中值定理）
如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，
使成立
例2 比较下面两个积分的大小
与
解设，
在（0，1）内，单调增
当时，有，即
由性质5，
例3估计积分的值
解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。设，
，令，得，
所以，在区间上
由性质6，
设在区间上连续，，则定积分一定存在，当在上变动时，它构成了一个的函数，称为的变上限积分函数，记作即
定理如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且导数是，即
说明：
1.由原函数的定义知, 是连续函数的一个原函数，因此，此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。
2.当积分上限的函数是复合函数时，有
更一般的有
例1 （1），则： =
（2），则：
（4），则：
（5）设，求:
此题中为函数的自变量，为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式由求导法则
=
= +
（6）=0（因定积分的结果为一常数，故导数为零）
（7）设是方程所确定的函数，求解利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
则=
例2 设，求。
例3 设为连续函数，（1）若，则______ , ___ 。（2）
例4求
解这是型不定式，用罗必塔法则
定理（牛顿——莱公式）如果函数是连续函数在区间
上的一个原函数，则
此公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。
例5
DDY整理解原式
例6
解原式
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10
定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12
定积分的概念与性质 在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积 以及计算函数的平均值和总和。本文将介绍定积分的概念与性质，帮 助读者更好地理解和应用该概念。 一、定积分的概念 定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。它是对函 数在给定区间上的求和过程。我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间 长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。 定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界， f(x)是要进行积分的函数。定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和 或者面积。 二、定积分的计算方法 1. 用基本定积分公式计算定积分。对于一些简单的函数，我们可以 直接使用基本定积分公式进行计算。例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中 C是常数。 2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。如果我们已知函数 f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。 这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。
3. 利用定积分的性质进行计算。定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。此外，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。 三、定积分的性质 1. 定积分与原函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且 F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。这个公式可以 用来计算一些不易积分的函数。 2. 定积分的加法性质。对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。这意味着我们可以将函数相加或乘以常数后再进行积分。 3. 定积分的区间可加性。对于一个函数f(x)和区间[a, b]，以及一个 在[a, b]范围外也有定义的点c，有∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx。这个性质允许我们将积分区间划分成多个子区间来进行计算。 4. 定积分和反函数的关系。如果函数f(x)在区间[a, b]上连续且单调 递增（或递减），并且f(a)≤f(b)，则∫[a, b] f(x)dx ≤ ∫[f(a), f(b)] f^(- 1)(y)dy。这个性质表明，定积分可以保持函数值的顺序关系。 四、定积分的应用 1. 计算曲线下的面积。定积分可以用于计算曲线与x轴之间的面积。如果函数f(x)在积分区间[a, b]上非负，那么∫[a, b] f(x)dx表示了曲线与 x轴之间的面积。
定积分的基本概念与性质 定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。 一、定积分的基本概念 定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。 二、定积分的计算 计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。 几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。 分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。 换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx = f'(g(x))*g'(x)。通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分 ∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。 三、定积分的性质 定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。 1. 线性性质：对于任意函数f(x)和g(x)，以及任意实数a、b，有∫[a, b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a, b]f(x)dx + b∫[a, b]g(x)dx。这意味着对于定积分 而言，可以对函数进行加法、倍乘、乘法等运算。 2. 区间可加性：设[a, b]和[b, c]是区间[a, c]的两个子区间，如果函数f(x)在区间[a, c]上可积，则有∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx。 这个性质可以将大区间上的定积分转化为小区间上的定积分的和。 3. 常数倍性：对于任意函数f(x)和实数a，有∫[a, b]f(x)dx = a∫[a, b]dx。这表明对于常数a而言，可以将其从积分号中提出。 4. 保号性：如果在区间[a, b]上，有f(x) ≤ g(x)，则有∫[a, b]f(x)dx ≤ ∫[a, b]g(x)dx。这意味着函数大小的关系会在定积分中得到保持。
北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()( 特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)(
(2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到 ),(),(f S f S πσπ≤≤ 推论1 设f(x)在[a,b]上有界. 设有两个分割π，'π，'π是在π的基础上的加密分
定积分的基本性质及应用 定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。本 文将重点介绍定积分的基本性质和在实际问题中的应用，并且通过具体的例子来加深理解。 定义： 定积分是对一个函数在闭区间上的加权平均值进行求和的过程。在数学中，一 个函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为： ∫(a to b) f(x) dx 其中，∫代表求和的过程，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。 基本性质： 1. 线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任 意的实数k，有以下等式成立： ∫(a to b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a to b) f(x) dx + ∫(a to b) g(x) dx ∫(a to b) k*f(x) dx = k * ∫(a to b) f(x) dx 2. 区间可加性：如果一个函数在闭区间[a, b]上有定义，且在其中一个点c上可导，则该函数在[a, b]上的定积分等于该函数在子区间[a, c]和[c, b]上的定积分之和：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx 3. 积分中值定理：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间内不恒 为0，那么至少存在一个点c，使得： ∫(a to b) f(x) dx = f(c) * (b - a)
4. 边界性质：对于定积分∫(a to b) f(x) dx，当a等于b时，定积分的值为0。若 a小于b，则定积分的值为正数或负数，具体取决于函数f(x)在[a, b]上的正负性。 5. 非负性质：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，那么定积分的值 也是非负的。 应用： 定积分在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍两个具体的应用。 1. 几何应用： 定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。如果一个函数在闭区间[a, b]上非负，那么该函数与x轴围成的曲边梯形的面积可以通过定积分来计算：面积= ∫(a to b) f(x) dx 同样的，若函数f(x)在闭区间[a, b]上非正，那么面积可以表示为定积分的绝对值。这种方法可以应用于计算曲线、曲面、体积等几何问题。 2. 物理应用： 定积分在物理学中有着广泛的应用。例如，速度与时间之间的关系可以通过定 积分来表示。假设一辆车的速度在时刻t时为v(t)，那么在一段时间[a, b]内，该车 所行驶的距离可以用定积分来计算： 距离= ∫(a to b) v(t) dt 同样的，加速度与时间的关系也可以用定积分来表示。例如，如果车辆的加速 度在时刻t时为a(t)，那么在一段时间[a, b]内，速度的变化可以通过定积分来计算：速度的变化= ∫(a to b) a(t) dt 这些是定积分在物理中的应用之一，它们不仅仅适用于机械运动，还可以应用 于其他领域，如电磁场理论、热力学等。
定积分与不定积分 积分是微积分中的重要概念之一，分为定积分和不定积分。在数学和物理学等领域中，积分广泛应用于求解曲线下面的面积、求解变化率、求解平衡点等问题。在本文中，我们将详细讨论定积分和不定积分的概念、性质以及求解方法。 一、定积分 定积分是指对于一个函数在给定区间上的积分结果是一个确定的数值。它常常用于求解曲线下面的面积。在数学中，定积分可以通过黎曼和牛顿-莱布尼茨公式来进行计算。 黎曼和公式可以用如下形式表示： ∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δx 其中，f(x)是被积函数，[a,b]是积分区间，xi是取自积分区间的一个点，Δx是每一小段区间的长度。 牛顿-莱布尼茨公式表示为： ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) 其中，F(x)是f(x)的一个原函数。 从这两个公式可以看出，定积分的结果是一个数值，并且与所选取的具体积分区间无关。定积分还具有求解变化率、求解物体质量等方面的应用。 二、不定积分
不定积分是指对于一个函数求出它的原函数，也称为不定积分。不定积分的结果通常表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。不定积分解决的是反导数问题。 不定积分与定积分的关系可以用牛顿-莱布尼茨公式来表示。定积分就是不定积分的上下限差： ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|[a,b] 这意味着通过求解不定积分，我们可以求出定积分的值。 不定积分可以利用换元法、分部积分法等方法来求解。其中，换元法是指通过换一种变量的表示方式，来简化积分形式。分部积分法则是指求导运算和积分运算之间的一个关系，可以将一个复杂的积分转化为一个或多个简单的积分。 三、定积分与不定积分的性质 1.线性性质：定积分和不定积分都具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。 2.区间可加性：定积分具有区间可加性，即对于[a,b]和[b,c]，有 ∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。 3.积分反演：定积分和不定积分具有积分反演的关系，即求不定积分的结果可以得到定积分的值。 4.积分的换元法：定积分和不定积分都可以应用换元法进行求解。换元法可以将复杂的积分转化为简单的积分。
第二节定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为 这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为 图 5-10 从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为 图5-11
另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法： 设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例2 求曲线和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12)
定积分的定义和计算 定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积、质量、体 积等物理量。本文将介绍定积分的定义和计算方法，以帮助读者更好 地理解和应用这一概念。 一、定积分的定义 定积分的定义可以通过分割求和的思想来解释。给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上进行分割，将该区间划分为n个子区间，每个子区间 的长度为Δx。选取每个子区间中的一个点xi，然后计算函数在该点的 函数值f(xi)。将这些函数值乘以子区间的长度Δx，并对它们进行求和，得到一个近似值。当我们让n趋近于无穷大时，所得到的近似值逐渐 接近定积分的准确值。 定积分的定义可以表示如下： ∫[a, b]f(x)dx = lim[n→∞]∑(i=1 to n)f(xi)Δx 其中∫表示定积分的符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量x的微小变化，lim表示极限操作，∑表示求和。 二、定积分的计算方法 定积分的计算可以通过基本积分公式和定积分的性质来进行。 1. 基本积分公式
定积分的计算可以利用基本积分公式，将被积函数直接进行积分。例如，对于多项式函数、三角函数等常见函数，可以通过查表或运用基本积分公式来计算定积分的值。 2. 定积分的性质 定积分具有一些重要的性质，可以简化计算过程。 （1）线性性质：若f(x)和g(x)是可积函数，a和b是常数，则有以下等式成立： ∫[a, b][f(x) + g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx ∫[a, b]af(x)dx = a∫[a, b]f(x)dx （2）区间可加性：若f(x)在区间[a, b]和[b, c]上是可积函数，则有以下等式成立： ∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx （3）换元积分法：对于积分区间和被积函数都有一定条件的情况下，可以通过换元积分法简化计算过程，将积分转化为更容易处理的形式。 三、实例计算 下面以一个简单的实例来说明定积分的计算过程。 例：计算定积分∫[0, 1]x^2dx。
定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=∆+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=∆=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>∀ε，0>∃δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ⎰=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则⎰⎰≥b a b a dx x g dx x f ,)()(
特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则⎰≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有⎰⎰=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=⎰ 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ∆(i x ∆是正数)并依i 求其总和，可以得到 ),(),(f S f S πσπ≤≤
定积分基本概念 定积分是微积分中的重要概念之一，用来描述曲线下的面积或者曲线围成的封闭区域的面积。它在数学、物理学和工程学等多个领域中有着广泛的应用。本文将介绍定积分的基本概念及其相关性质。 一、定积分的概念 定积分可以理解为对一个函数在一个区间上的面积进行求和。给定一个函数f(x)，我们可以将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。我们取这些小区间中的任意一点xi，并计算出该点处的函数值f(xi)，然后将其与Δx相乘。将这些小矩形的面积加起来，得到的和就是函数在区间[a, b]上的定积分。 定积分的数学表示为： ∫(a, b) f(x) dx 其中∫是求和的符号，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx 表示自变量的微小增量。 二、定积分的几何意义 从几何角度来看，定积分表示的是曲线下的面积，也可以看作是曲线与x轴之间的有向面积。当被积函数为非负时，定积分表示的是曲线与x轴之间的面积；当被积函数为负时，定积分表示的是曲线与x 轴之间面积的相反数。 三、定积分的性质
定积分具有几个重要的性质，包括线性性质、积分中值定理、换元积分法等。 1. 线性性质：对于任意的实数a和b，有∫(a, b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a, b) f(x) dx + ∫(a, b) g(x) dx，以及∫(a, b) (af(x)) dx = a∫(a, b) f(x) dx。 2. 积分中值定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则存在一个点c∈(a, b)，使得∫(a, b) f(x) dx = f(c) × (b - a)。 3. 换元积分法：通过变量替换，可以将一个积分问题转化为另一个更简单的积分问题。换元积分法常用于解决复杂函数的积分计算。 四、定积分的计算方法 具体计算定积分的方法包括分段函数的积分、换元法、分部积分法等。这些方法根据具体的问题和函数性质选择不同的求解策略。 1. 分段函数的积分：对于分段函数，我们可以将其分成若干个不同的区间，在每个区间上分别计算积分，再将结果相加得到最终的定积分。 2. 换元法：通过适当的变量替换，可以将复杂的积分转化为简单的积分。通常选择合适的替换变量使得被积函数在新变量下形式简化。 3. 分部积分法：对于乘积形式的积分，可以使用分部积分法将其转化为更简单的积分。分部积分法利用了积分运算的乘法规则。 五、定积分的应用
定积分与微积分定理 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆〔b a x n -∆= 〕，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2, ,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0〔亦即n →+∞〕时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，则称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：〔1〕定积分 ()b a f x dx ⎰ 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S 〔n →+∞时〕称为 ()b a f x dx ⎰ ，而不是n S ． 〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 〔3〕曲边图形面积：()b a S f x dx = ⎰ ；变速运动路程21 ()t t S v t dt =⎰； 变力做功()b a W F r dr = ⎰ 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积 分 ()b a f x dx ⎰ 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各局部面 积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．〔可以先不给学生讲〕． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，假设()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+ +∆ 不妨设1(),(), ,()0i i n f x f x f x +<
初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质定积分作为数学中的一个重要概念，是初中数学学习中必须掌握的 内容之一。本文将从定积分的基本概念和性质两个方面进行归纳，帮 助初中生更好地理解和掌握这一知识点。 1. 定积分的基本概念 定积分是对函数在一定区间上的积分，可以理解为曲线与x轴所 夹的面积。具体而言，定积分可以表示为∫ab f(x)dx，其中a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数。 定积分的计算方法有多种，常见的有几何法和定积分的运算法则。几何法是通过图形的面积进行计算，而定积分的运算法则则利用不定 积分求解。 2. 定积分的性质 定积分具有以下几个性质： （1）可加性：对于函数f(x)和g(x)，定积分具有可加性，即∫ab [f(x) + g(x)] dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx。 （2）线性性：对于任意实数k，定积分具有线性性质，即∫ab kf(x) dx = k∫ab f(x) dx。 （3）区间可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以将 该区间分割成若干小区间，然后进行分别计算再求和，即∫ab f(x) dx = ∑(i=1 to n) ∫xi-1 xi f(x) dx，其中[xi-1, xi]表示分割后的小区间。
（4）定积分的性质与原函数相关：如果函数F(x)在区间[a, b]上是函数f(x)的原函数，则∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)。 （5）无关紧要的加法常数：定积分无关紧要的加法常数，即∫ab f(x) dx = ∫ab [f(x) + C] dx，其中C为任意常数。 3. 定积分的应用 定积分不仅仅在数学理论中有重要应用，还广泛应用于物理、经 济学等实际问题中。以下是一些常见的应用场景： （1）面积计算：定积分可以用来计算曲线与x轴所夹的面积，从而解决几何学中的面积问题。 （2）求解平均值：对于某些变量随时间变化的过程，可以通过定积分计算平均值，如平均速度、平均密度等。 （3）物理学应用：在物理学中，定积分常常用于计算物体的质量、重心、压力等。 （4）经济学应用：在经济学模型中，定积分可以用来计算消费、生产、效用等相关指标。 通过对定积分的基本概念和性质的归纳，我们可以更好地理解和掌 握这一知识点，并将其应用于实际问题的解决中。希望本文的内容能 够帮助初中生更好地学习数学，提升数学水平。