立体几何100题
1.如图，三角形中，
，
是边长为l 的正方形，平面
底面
，
若
分别是
的中点.
（1）求证：底面；
（2）求几何体
的体积.
2．在三棱锥P ABC -中， PAC ∆和PBC ∆ 2AB =， ,O D
分别是,AB PB 的中点.
（1）求证： //OD 平面PAC ； （2）求证: OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积.
3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090BAC ∠=， 2AB AC ==，点,M N 分别
为111,A C AB 的中点.
（1）证明： //MN 平面11BB C C ；
（2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.. 4．如图，在三棱柱中，
平面，点是与
的交点，点在线段上，平面
.
（1）求证：
；
（2）若,求点到平面的距离.
5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，
1
,//,2
AB BC AD BC AB BC AD ⊥==
， PAD ∆是正三角形， E 是PD 的中点． （1）求证： AD PC ⊥；
（2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由．
6．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点．
（1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ．
7．如图，在矩形中，
，
平面
，
分别为
的中点，点
是
上一个动点．
(1) 当是
中点时，求证:平面
平面
；
(2) 当时，求的值．
8．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，点,D E 分别是1,A C AB 的中点． 求证： ED ∥平面11BB C C
若1AB 求证：A 1B ⊥平面B 1CE.
9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1,1AB AD A A ===.
（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.
10．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 所在平面互相垂直， FD ⊥平面ABCD ，且
2AB =， FD =
（1）求证： //EF 平面ABCD ； （2）若3
CBA π
∠=
，求几何体EFABCD 的体积.
11．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．
12．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的
中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥
的体积.
13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，
，，为中点，平面平面.
(1)证明：； (2)求三棱锥的体积.
14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，
是中点，与所成的角为，且.
（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.
15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，
，.
（1）设是上一点，求证：平面平面. （2）求四棱锥的体积.
-中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，16．如图，在四棱锥P ABCD
∠=，1,
ABC
60
==为PC的中点
PA PB E
.
（1）求证： //PA 平面BDE ；（2）求三棱锥P BDE -的体积.
17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -中，点G 是AC 的中点．
（1）求证： 1//B C 平面1A BG ；（2）若A B B C =， 1AC ，求证： 11AC A B ⊥． 18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ， SA AD ⊥， //AD BC ，
4
3
SA BC AB ==
24AD ==．
（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ；
（2）若AB AC =，在（1）的条件下，求三棱锥S AED -的体积． 19．（本小题共12分）
如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，
AE AB ⊥，且2EM MD =， 3AB AN =.
（Ⅰ）求证： //MN 平面BEC ；（Ⅱ）求三棱锥E BMC -的体积.
20．如图，在四棱锥中，底面
是边长为2的正方形，
分别为
的中点，
平面
底面
.
（1）求证:
平面
；（2）若
，求三棱锥
的体积.
21．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：
（Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．
22．如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将ADC ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ， E 为AB 的中点，连接,DE DB .
（1）求证： BC AD ⊥； （2）求E 到平面BCD 的距离. 23．如图，四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
，为
的中点．
（Ⅰ）证明：
平面
； （Ⅱ）设，求三棱锥
的体积．
24．如图，在多面体
中，四边形是正方形，在等腰梯形
中，
，
，
，为
中点，平面
平面
.
(1)证明：
；(2)求三棱锥
的体积.
25．如图1，在矩形中，，
，是的中点，将沿
折起，得到如图2
所示的四棱锥
，其中平面
平面
.
（1）证明：
平面
；
（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
26．如图，在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=， BAC ∠ 60CAD =∠=，
PA ⊥平面ABCD ， 2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点.
（1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；（2）求三棱锥P ABM -的体积.
27．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形， 12AA =，
P 为棱1BB 上的一个动点.
（1）求三棱锥1C PAA -的体积；
（2）当1A P PC +取得最小值时，求证： 1PD ⊥平面PAC .
28．在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC 的中点，
13,2,AC AB BC CC ===.
（1）证明: 1B C ⊥平面1AMC ；（2）求点1A 到平面1AMC 的距离.
29．五边形11ANB C C 是由一个梯形1ANB B 与一个矩形11BB C C 组成的，如图甲所示，B 为AC 的中点， 128AC CC AN ===． 先沿着虚线1BB 将五边形11ANB C C 折成直二面角
1A BB C --，如图乙所示．
（Ⅰ）求证：平面BNC ⊥平面11C B N ；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．
30．如图1， 1AFA ∆中， 11,82FA FA AA CF ===，，点,,B C D 为线段1AA 的四等分点，线段,,BE CF DG 互相平行，现沿,,BE CF DG 折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD 为正方形.
（1）证明： ,,,A E F G 四点共面；（2）求四棱锥B AEFG -的体积.
31．如图，三棱锥P ABC -中， PC ⊥平面ABC ， ,,F G H 分别是,,PC AC BC 的中点，
I 是线段FG 上的任意一点， 22PC AB BC ===，过点F 作平行于底面ABC 的平面DEF 交AP 于点D ，交BP 于点E . （1）求证： //HI 平面ABD ；
（2）若AC BC ⊥，求点E 到平面FGH 的距离.
32．如图，已知正方体
的棱长为3，
分别是棱
、
上的点，且
.
（1）证明：
四点共面；
（2）求几何体的体积.
33．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AA C C ⊥平面A B C D ，且
A B B C C A == 1AD CD ==．
（1）求证： 1BD AA ⊥；（2）若E 为棱BC 的中点，求证： //AE 平面11DCC D ． 34．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ,
D 为AB 的中点，
(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1A CD ；
(Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积；
35．如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线
，
，垂足分
别为，，四边形为菱形，且.
（1）求证：
平面
； （2）若
，求该几何体的体积.
36．如图，在四棱锥P ABCD -中， 1
22
PC AD CD AB ===
=， //AB DC ， AD CD ⊥， PC ⊥平面ABCD .
（1）求证： BC ⊥平面PAC ；
（2）若M 为线段PA 的中点，且过,,C D M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN -的高.
37．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面
ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点.
（Ⅰ）证明： OD ⊥平面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥O EFG -的体积.
38．如图，多面体ABCDEF 中， //,AD BC AB AD ⊥, FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且222AB AD AF BC DE =====.
（Ⅰ）M 为线段EF 中点，求证： //CM 平面ABF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.
39．在如图所示的几何体中，四边形11BB C C 是矩形， 1BB ⊥平面ABC ，
1111//,2,A B AB AB A B E =是AC 的中点.
（1）求证： 1//A E 平面11BB C C ；
（2）若AC BC =， 12AB BB =，求证平面1BEA ⊥平面11AA C .
40．如图，四边形ABCD 为梯形， AB CD ， PD ⊥平面A B C D ，
90BAD ADC ∠∠==︒， 22DC AB a ==， DA =， E 为BC 中点.
（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；
（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA 平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.
41．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60BAD ∠=︒，
SA SD SB ===E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且
SF
SC
λ=， SA //平面BEF ．
（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F EBC -的体积．
42．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=CA=AA 1=2，侧棱AA 1⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF=
1
4
AB 。 （1）求证：EF ∥平面BDC 1；（2）求三棱锥D-BEC 1的体积。
43．如图2，四边形为矩形，⊥平面
，
,作如图3折叠，折痕
，其中点
分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且
⊥
.（1）证明：⊥平面
; （2）求三棱锥
的体积.
44．由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD （1）证明： 1A O ∥平面B 1CD 1;
（2）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
45．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， ,60,PD AD DAB PD =∠=⊥
底面ABCD .
（1）求证: AC PB ⊥ （2）求PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
46．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均为2，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．
（Ⅰ）证明EF ∥平面A 1CD ；
（Ⅱ）若三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直棱柱， 求三棱锥
的体积．
47．如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，
,,26,30BE EC DE BC BC DE AB ABC ⊥===∠=．
（I ）求证： AC BE ⊥；（II ）若45BCE ∠=，求三棱锥A CDE -的体积．
48．在四棱锥P ABCD -中， PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， AB AD ⊥， 224CD AB AD ===.
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -的体积；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点E ，使得//BE 平面PAD ?若存在，请确定点E 的位置并证明；若不存在，说明理由． 49．如图，已知多面体
的底面是边长为2的正方形，底面，，
且．
（Ⅰ）求多面体的体积；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面
平行，要求保
留作图痕迹，但不要求证明．
50．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，
160CBB ∠=， 1AB B C ⊥.
（Ⅰ）求证：平面11ABB A ⊥ 11BB C C ；
（Ⅱ）若2AB =，求三棱柱111ABC A B C -的体积.
51．在三棱柱111ABC A B C -中， 2AC BC ==， 120ACB ∠=︒， D 为11A B 的中点.
（1）证明： 1//AC 平面1BC D ；
（2）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为求三棱锥11A BC D -的体积.
52．如图： ABCD 是平行四边行， AP ⊥平面ABCD , BE // AP , 2AB AP ==，
1BE BC ==， 60CBA ∠=。
（1）求证： EC //平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面EBC ；
53．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，
//AB CD ， 2AB DC ==，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形， E 为AD 的中点， G 为PAD ∆重心.
（1）求证： //GF 平面PDC ；（2）求三棱锥G PCD -的体积.
54．如图，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直，
AF BC O ⋂=， DE =， //ED AF 且90DAF ∠=.
（1）求证： DE ⊥平面BCE ；
（2）过O 作OH ⊥平面BEF ，垂足为H ，求三棱锥A BCH -的体积.
55．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1， 11AB A B E ⋂=，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；
（1）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（2）若1,AB =且1AC AD ⋅=，求三棱锥A-BCB 1的体积．
56．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为AC 与BD 的交点， BE ⊥平面ABCD ．
（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若0
120,ABC AE EC ∠=⊥，三棱锥E ACD -，求该三棱锥的侧面积（平面ACD 为底面）．
57．已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BD 相交于O ，球的表面积为
169π
9
，若E 为PC 中点.
(1)求异面直线BP 和AD 所成角的余弦值；(2)求点E 到平面PAD 的距离. 58．如图，在四棱锥中，
底面
，
，
，
点为棱
的中点.
（1）证明：
面；（2）证明；（3）求三棱锥的体积．
59．在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=，
60,BAC CAD PA ∠=∠=⊥平面,ABCD E 为PD 的中
点， 22PA AB ==.
(1)求四棱锥P ABCD -的体积V ；(2)若F 为PC 的中点，求证PC ⊥面AEF . 60．在三棱柱111ABC A B C -中， 12AB BC CA AA ====，侧棱
1AA ⊥平面ABC ，且D ， E 分别是棱11A B ， 1AA 的中点，点F 棱
AB 上，且1
4
AF AB =
． （1）求证： //EF 平面1BDC ；（2）求三棱锥1D BEC -的体积．
61．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ．
（1）求证：CD ⊥AP ； （2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；
62．如图，已知三棱锥P ABC -中， PA AC ⊥， PC BC ⊥， E 为PB 的中点， D 为AB 的中点，且ABE 为正三角形.
（Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）请作出点B 在平面DEC 上的射影H ，并说明理由.若3BC =， 12
5
BH =，求三棱锥P ABC -的体积.
63．如图，在三棱锥P ABC -中， 2PA PB AB ===， 3BC =， 90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ， D ， E 分别为AB ， AC 中点．
（1）求证： //DE 平面PBC ；（2）求证： AB PE ⊥； （3）求三棱锥P BEC -的体积．
64．如图，在四棱锥E ABCD -中，AE ⊥DE ，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求B 到平面CDE 的距离
（2）在线段DE 上是否存在一点F ，使AF BCE 平面？若存在，求出EF
ED
的值；若不存在，说明理由．
65
．
在
如
图
所
示
的
多
面
体
中， DE ⊥平面
,//,//,,60A B C D A F D E A D B C A B C D A B C
=∠=， 244BC AD DE ===． （1）在AC 上求作点P ，使//PE 平面ABF ，请写出作法并说明理由；
（2）求三棱锥A CDE -的高．
66．如图，直角梯形ABCD 中， 1
,2
AB CD AB CD =
, AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE , BCE ∆为等边三角形， ,M F 分别是,BE BC 的中点， 1
4
DN DC =.
(1)证明： EF ⊥ AD ;(2)证明： MN 平面ADE ; (3)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积.
67．如图，正三棱柱中，为
中点，为上的一点，
.
（1）若平面，求证：
.
（2）平面
将棱柱
分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求
.
68．如图，将边长为的正六边形沿对角线
翻折，连接
、，形成如图所示的多
面体，且
.
立体几何小题100例 一、选择题 1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时， PE 的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ． ．【答案】D 【解析】 试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面 11AA D D ,PE ==选D 考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征． 2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（ ） A ．30? B ．60? C ．90? D ．120? 【答案】B 【解析】 试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,B D A C θ<>= ，因为CD DB BA AC =++，所以2 2 2 2 2()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++?+?+?
而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ?=?= 所以2222 ||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-?即222417468286cos θ?=++-?? 所以1 cos 2 θ= ，而[0,]θπ∈，所以60θ=?，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用. 3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ） A ．343cm B ．383cm C ．33cm D ．3 4cm 【答案】B ． 【解析】 试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积3 8 2231312=??==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算． 4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ?的面积为 (x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）
立体几何填空通关100题 1. 用平面截半径为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的 比值为． 2. 若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积 为． 3. 棱长为的正四面体的外接球的表面积为． 4. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①； ②与所成的角为； ③与是异面直线； ④． 以上四个命题中，正确命题的序号是． 5. 在体积为的球的表面上有，，三点，，，，两点的球面距离为 ，则球心到平面的距离为． 6. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为）． 则该几何体的体积为． 7. 已知点是所在平面外一点，点是点在平面上的射影，若点到的三 个顶点的距离相等，那么点一定是的心． 8. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该 六棱柱的体积为，底面周长为，那么这个球的体积为． 9. 已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，，则棱锥 的体积为． 10. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且 该六棱柱的高为，底面周长为，那么这个球的体积为．
11. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为． 12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是． 13. 空间四边形中，，，，分别是，，，的中点，若，且 与所成的角为，则四边形的面积是． 14. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为． 15. 下列说法中： ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； ②在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相 同； ③一个圆绕其任意一条直径旋转所形成的旋转体叫做球； ④，； ⑤已知三条两两异面的直线，则存在无穷多条直线与它们都相交． 则正确的序号是． 16. 已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
【高考压轴题】空间立体几何经典大题汇编100题（含答案) 未命名 一、解答题 1．直三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，'D 是棱''A C 的 中点，且'AA =. （1）若点M 为棱'CC 的中点，求异面直线'AB 与BM 所成角的余弦值； （2）若点M 在棱'CC 上，且'A M ⊥平面''AB D ，求线段CM 的长. 2．如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥， 45BAC ∠=?，CF DE =，,G H 分别为,AC BC 的中点. （1）求证：//BD 平面FGH ； （2）求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小. 3．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==12AB AA ==，E 是棱1CC 的中 点.
(1)求证：平面1A AB ⊥平面1A BE ； (2)求二面角1A BE A --的余弦值. 4．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,ABCD AB AD CD BC ==. （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）若120,60B A D B CD ∠=∠=，且P B P D ⊥，求二面角B PC D --的平面角的 大小. 5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 是矩形，11AB B C ⊥，平面1A BC ⊥平面11AB C . （1）求证：11AB A B ⊥； （2）若113B C =，4AB =，160ABB ? ∠=，求二面角1A A C B --的余弦值. 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,CC B C 的中点．
高中数学立体几何多选题100及答案 一、立体几何多选题 1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ） A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MAT B ．当) 3,2x ∈ 时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD C ．若使点M 在平面ABC D 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥 M HAB -6322 ++【答案】BCD 【分析】 对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当) 3,2 x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21 233 V x x = ??-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为 2 323 r = ++ 【详解】 对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ?面()MDC N MN =．
此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥． 若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当) 3,2x ∈ 时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面 ABCD 故B 正确； 对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈， 所以() 2 2 22222 1223232331333232x x V x x x x ??+-??=??-=-≤== ? ????? 当且仅当223x x =-，即6 x = 时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =
高中数学立体几何多选题100附答案 一、立体几何多选题 1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正 确的是（ ） A ．异面直线1A B 与1AD 所成的角是3 π B ．1BD ⊥平面11A C D C ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3 D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23 【答案】ABD 【分析】 选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体 11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线 长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】 A ：正方体1111ABCD A B C D -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线
1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113 A BC π ∠= ，正确； B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111 D C B A ，即111AC B B ⊥，又 11 11AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确； C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为 1 3 4 ACB S = ，错误； D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()() 2 2 2 2 2 2 6++=2
北京市第一七一中学2021年高中数学立体几何多选题100附解析 一、立体几何多选题 1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若 ||5AE =，AC DF ⊥，则（ ） A ．点E 的轨迹是一个圆 B ．点F 的轨迹是一个圆 C ．EF 21- D ．A E 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为1530 15 【答案】ACD 【分析】 对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E = +=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆； 选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E = +=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面 1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确； 对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以 AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误； 对于C:在平面1111D C B A 内，
1A 到直线11B D 的距离为2,d =当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正 确； 对于D: 建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D 因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=- 设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1 · 220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ 不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则： 22| ||sin |cos ,|||||5315 n AE n AE n AE πθα⎛ ⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4 π θ=时，sin α221530 1515 = ， 故D 正确
新高中数学立体几何多选题100含解析 一、立体几何多选题 1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正 确的是（ ） A ．异面直线1A B 与1AD 所成的角是3 π B ．1BD ⊥平面11A C D C ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3 D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23 【答案】ABD 【分析】 选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体 11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线 长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】 A ：正方体1111ABCD A B C D -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线
1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113 A BC π ∠= ，正确； B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111 D C B A ，即111AC B B ⊥，又 11 11AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确； C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为 1 3 4 ACB S = ，错误； D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()() 2 2 2 2 2 2 6++=2
新高中数学立体几何多选题100及解析 一、立体几何多选题 1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ） A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MAT B ．当) 3,2x ∈ 时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD C ．若使点M 在平面ABC D 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥 M HAB -6322 ++【答案】BCD 【分析】 对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当) 3,2 x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21 233 V x x = ⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为 2 323 r = ++ 【详解】 对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．
此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥． 若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当) 3,2x ∈ 时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面 ABCD 故B 正确； 对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈， 所以() 2 2 22222 1223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当223x x =-，即6 x = 时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =
立体几何选择通关 100 题 1.如图所示的四个几何体，其中判断正确的是 A.（1）不是棱柱 B. （2）是棱柱 C. （3）是圆台 D. （4）是棱锥 2.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 A.7o B. 6晦o C. 4o D. 3晦o 3.如图，在正方体A t h D— A1t1h1D1中，E，F，G，H分别为AA1，A t，tt1，t1h1的中点，则异 面直线EF 与GH 所成的角等于 A.4o B. 6晦o C. 9晦o D. 12晦o 4.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆半径为1，则该几何体体积为 A. 24 —3π B. 24 —π C. 24 —π D. 24 —π 2 3 2 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
A. 2 3 B. 3 23 C. 3 D. 3 3 4 6.如图，在长方体A t h D— A1t1h1D1中，A t䁪t h䁪2，AA1䁪1，则t h1与平面tt1D1D所成角 的正弦值为 A.6 3 B.2 6 C.1 D.1晦 7.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 A.2 对 B. 3 对 C. 6 对 D. 12 对 8.已知m，n 为两条不同的直线，α，þ 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.m < α，n < α，m∥þ，n∥þ t α∥þ B.α∥þ，m <α，n <þt m∥n C.m T α，m T n t n∥α D.n∥m，n T αt m T α 9.若一个圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则这个圆锥的表面积是 A.3π B. 3 3π C. 6π D. 9π 10.平面α截球0 的球面所得圆的半径为1，球心0 到平面α的距离为2，则此球的体积为 A. 6π B. 4 3π C. 4 6π D. 6 3π 11.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，，且它的8 个顶点都在同一球面上，则这个球的 表面积是 A.2π B. 晦π C. 12π D. 都不对 12.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是
专题19 立体几何综合小题必刷100题 任务一:善良模式(基础)1-30题 一、单选题 1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ） A B ．C D ． 2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m α B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ D ．若//αβ，m α⊂，则//m β 3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点， MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ） A ．12，23-，12 B ．23-，12，12 C ．12，12，23- D ．23，23，12 - 4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） A ．若//m α，//m β，则//αβ B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n D ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 5．已知四棱锥P ABCD -的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm ）的正三角形，俯视图为正方形，则该四棱锥的体积（单位：3cm ）是（ ）
A ．83 B C D ．43 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，则直线1A D 与直线AC 所成角大小为（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为侧面11ABB A 内动点，且满足1PD △PBC 面积的最小值为（ ） A ．1 B C ．2 D ．2 8．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒.1D 、1E 分别是11A B 、11A C 的中点，1CA CB CC ==，则1AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，则以下结论错误的是（ ） A ．BD ∥平面C B 1D 1 B ．AD ⊥平面CB 1D 1
立体几何100题 1.如图，三角形中， ， 是边长为l 的正方形，平面 底面 ， 若 分别是 的中点. （1）求证：底面； （2）求几何体 的体积. 2．在三棱锥P ABC -中， PAC ∆和PBC ∆ 2AB =， ,O D 分别是,AB PB 的中点. （1）求证： //OD 平面PAC ； （2）求证: OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积. 3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 0 90BAC ∠=， 2AB AC ==，点,M N 分别 为111,AC AB 的中点. （1）证明： //MN 平面11BB C C ； （2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.. 4．如图，在三棱柱中， 平面，点是与 的交点，点在线段上，平面 . （1）求证： ；
（2）若,求点到平面的距离. 5．如图，四棱锥P A B C -中，底面ABCD 是直角梯形， 1 ,//,2 AB BC AD BC AB BC AD ⊥== ， PAD ∆是正三角形， E 是PD 的中点． （1）求证： AD PC ⊥； （2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由． 6．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点． （1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ． 7．如图，在矩形中， ， 平面 ， 分别为 的中点，点 是 上一个动点． (1) 当是 中点时，求证:平面 平面 ； (2) 当时，求的值． 8．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，点,D E 分别是1,AC AB 的中点． 求证： ED ∥平面11BB C C
专题20 立体几何综合大题必刷100题 任务一:善良模式(基础)1-30题 1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点. （1）求点B 到直线1AC 的距离； （2）求直线FC 到平面1AEC 的距离. 2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=. （1）证明:当12 λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ； （2）当14λ= 时，求二面角1D BC C --的余弦值.
3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5. （1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值. 4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =. （1）求证：//MN 平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值； （3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.
5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值. 6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点． （1）求证：PC BM ⊥； （2）求二面角B PM C --的正弦值． 7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.