1、垂直于同一条直线的两条直线一定
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、以上都有可能 2、a ,b ,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②若b M ,
a ∥
b ,则a ∥M ;③若a ⊥
c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b .其中正确命题的个数有
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
3.对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得( ) A .a ?α,b ?α B .a ?α,b ∥α C .a ⊥α,b ⊥α D .a ?α,b ⊥α 4.下面四个命题:
①若直线a ,b 异面,b ,c 异面,则a ,c 异面; ②若直线a ,b 相交,b ,c 相交,则a ,c 相交; ③若a ∥b ,则a ,b 与c 所成的角相等; ④若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ∥c . 其中真命题的个数为( )
A .4
B .3
C .2
D .1
5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是线段A 1B 1,B 1C 1上的不与端点重合的动点,如果A 1E =B 1F ,有下面四个结论:
①EF ⊥AA 1;②EF ∥AC ;③EF 与AC 异面;④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )
A .①②
B .②③
C .②④
D .①④
6.设a ,b 为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是( )
A .若a ,b 与α所成的角相等,则a ∥b
B .若a ∥α,b ∥β,α∥β,则a ∥b
C .若a ?α,b ?β,a ∥b ,则α∥β
D .若a ⊥α,b ⊥β,α⊥β,则a ⊥b
7.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ?l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,n ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A .A
B ∥m B .A
C ⊥m C .AB ∥β
D .AC ⊥β
1. 如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=1
2AA 1,D 是
棱AA 1的中点
(I)证明:平面BDC 1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
2. 如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点且1
2
DF AB =,PH 为△PAD 中AD 边上的高. (1)证明:PH ⊥平面ABCD ; (2)若1PH =,2AD =,1FC =,求三棱锥E BCF -的体积;
(3)证明:EF ⊥平面PAB .
3. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ,分别是棱1BC CC ,上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥,为11B C 的中点. 求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ; (2)直线1//A F 平面ADE .
4. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形, MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==.
(I )求证:平面EFG ⊥平面PDC ;
C B
A
D
C 1
A 1
图 5
D
G
B
F
C
A
E
图 4
G
E
F A
B
C
D
(II )求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.
5.如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为BC
的中点,
(Ⅰ)求证:FH ∥平面EDB; (Ⅱ)求证:AC ⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B —DEF 的体积;
6.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F
是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥
A BCF -,其中2
2
BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当2
3
AD =
时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.
A
D
C
P
M
F
G
E
H
B
D F E
7.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面
ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:
(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD
1. 【解析】(Ⅰ)由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ,
1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ,∴1DC BC ⊥,
由题设知0
1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,
即1DC DC ⊥,
又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵
1DC ?面1BDC ,∴面BDC ⊥面1BDC ;
(Ⅱ)设棱锥1B DACC -的体积为1V ,AC =1,由题意得,1V =1121132
+?
??=1
2,
由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1,
∴11():V V V -=1:1, ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 【解析】(1)证明:因为AB ⊥平面PAD ,
所以PH AB ⊥。
因为PH 为△PAD 中AD 边上的高,所以PH AD ⊥。 因为AB AD A =,所以PH ⊥平面ABCD 。 (2)连结BH ,取BH 中点G ,连结EG 。 因为E 是PB 的中点,所以//EG PH 。
因为PH ⊥平面ABCD ,所以EG ⊥平面ABCD 。
则1122
EG PH =
=, 111
332
E BC
F BCF V S E
G FC AD EG -?=
?=????=2。 (3)证明:取PA 中点M ,连结MD ,ME 。 因为E 是PB 的中点,所以1
//
2ME AB =。
C
B
A
D
C 1
A 1
因为1
//
2DF AB =,所以//ME DF =
,所以四边形MEDF 是平行四边形,所以
//EF MD 。
因为PD AD =,所以MD PA ⊥。
因为AB ⊥平面PAD ,所以MD AB ⊥。
因为PA AB A =,所以MD ⊥平面PAB ,所以EF ⊥平面PAB 。
3. 【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ?平面ABC ,∴1CC AD ⊥。 又∵1AD DE CC DE ⊥?,,平面111
BCC B CC DE E =,,∴AD ⊥平面11BCC B 。
又∵AD ?平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B (2)∵1111A B AC =,
F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥。
又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ?平面111A B C ,∴11CC A F ⊥。 又∵111 CC B C ?,平面11BCC B ,1
111CC B C C =,∴1A F ⊥平面111A B C 。
由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD 。
又∵AD ?平面1, ADE A F ?平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE
4. 【解析】(I )证明:由已知MA 平面ABCD ,PD ∥MA ,所以
PD ∈平面ABCD,又BC ∈平面ABCD , 因为四边形ABCD 为正方形,所以 PD ⊥ BC 又PD ∩DC=D ,因此BC ⊥平面PDC
在△PBC 中,因为G 平分为PC 的中点,所以GF ∥BC,因此GF ⊥平面PDC
又GF ∈平面EFG ,所以平面EFG ⊥平面PDC.
(Ⅱ )解:因为PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,不妨设
MA=1,
则 PD=AD=2,AB CD,所以 V p-ABCD =1/3S 正方形ABCD ,PD=8/3 由于DA ⊥面MAB 的距离, 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离,
三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3,所以 Vp-MAB :Vp-ABCD=1:4。 5.
(1),1
//
,21
//,2
////AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB ∴∴?∴证:设与交于点,则为的中点,连,由于为的中点,故
又四边形为平行四边形
,而平面,平面A D
M
F
G
E A
B
C
D
E F
H
0,.,.
.//,,90,.FB BFG FH FH BF FG H BC FH BC FH ABCD FH AC FH EG AC EG AC BD EG BD G AC EDB
FB BFC BF CDEF BF B DEF BC A ∏⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥=∴⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥?=∴⊥⊥∠=∴⊥∴-=()证:由四边形ABCD 为正方形,有AB BC 。
又EF//AB ,EF BC 。而EF ,EF 平面EF AB 又为的中点,。
平面又,又,平面(Ⅲ)解:EF 平面为四面体的高,又2,2
111
**1*2*2.
323
B DEF B BF F
C V BF
-=∴====∴
6. 【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =
AD AE
DB EC ∴
=
,在折叠后的三棱锥A BCF -中
也成立,//DE BC ∴ ,DE ?平面BCF ,
BC ?平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;
(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,
12BF CF ==
.
在三棱锥A BCF -中,
2
2BC =
,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②
BF CF F CF ABF ?=∴⊥平面;
(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.
1111113133232333F DEG E DFG
V V DG FG GF --?∴==????=????= ??
7. 【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA 垂直于这个平面的交线AD
所以PA 垂直底面ABCD.
(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E 为CD 的中点 ,所以AB∥DE,且AB=DE ,所以ABED 为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE ?平面PAD,AD ?平面PAD ,所以BE∥平面PAD. (III)因为AB⊥AD,而且ABED 为平行四边形 , 所以BE⊥CD,AD⊥CD, 由(I)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD ,所以CD⊥PD, 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行 3、两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义:成? 90角 2、直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 2、外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 3、重心:中线的交点 4、垂心:高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行; (3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
A A 1 P 1一 :选择题(4分10?题) 1.下面四个条件中,能确定一个平面的条件是( ) A . 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 2.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ). A.12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ? ? B.12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥ C.233////l l l ?1l ,2l ,3l 共面? ? D.1l ,2l ,3l 共点?1l ,2l ,3l 共面 3.已知m,n是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,下列命题中正确的是: A.若,αγβγ⊥⊥,则α∥β B.若,m n αα⊥⊥,则m ∥n C .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n D .若m ∥α,m ∥β,则α∥β 4.在四面体ABC P -的四个面中,是直角三角形的面至多有( ) A .0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5,下列命题中错误..的是?? A .如果平面αβ⊥平面,那么平面α内一定存在直线平行于平面β ?B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C .如果平面αγ⊥平面,平面βγ⊥平面,l =βα ,那么l γ⊥平面 ?D.如果平面αβ⊥平面,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6.如图所示正方体1AC ,下面结论错误的是( ) A. 11//D CB BD 平面 B . BD AC ⊥1 C . 111 D CB AC 平面⊥ D . 异面直线1CB AD 与角为? 60 7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是( ) A. ?120 B. ?150 C. ?180 D . ? 240 8.把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列命题正确的是( ) A. BC AB ⊥ B . BD AC ⊥ C . ABC CD 平面⊥ D . ACD ABC 平面平面⊥ 9某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) .A 180 .B 200 .C 220 .D 240 左视图
2015-2016学年第一学期立体几何测试 高二理科数学 参考公式: 圆柱的表面积公式:rl r S ππ222 +=,圆锥的表面积公式:rl r S ππ+=2 台体的体积公式h S S S S V )(3 1'' ++= ,球的表面积公式:24r S π= 圆台的表面积公式Rl rl R r S π+π+π+π=2 2,球的体积公式:33 4r V π= 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.下列四个几何体中,是棱台的为( ) 2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( ) 3.给出下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②若直线a ,b ,c 满足a ∥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ; ③若直线l 1,l 2是异面直线,则与l 1,l 2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4
4.空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( ) A .96 B .136 C .152 D .192 5.若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切,则该球的体积为( ) A .3π2 B .2π3 C .2π12 D .π 6 6.对于直线m ,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( ) A .m ⊥n ,m ∥α,n ∥β B .m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C .m ∥n ,n ⊥β,m ?α D .m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A .10π+96 B .9π+96 C .8π+96 D .9π+80 8.m,n 是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为 ( ) ①m ⊥α,n ∥β,α∥β?m ⊥n; ②m ⊥n,α∥β,m ⊥α?n ∥β; ③m ⊥n,α∥β,m ∥α?n ⊥β; ④m ⊥α,m ∥n,α∥β?n ⊥β. A.1 B.2 C.3 D.4