高中数学：立体几何常考证明题大汇总，超全...
高中数学：立体几何常考证明题大汇总，超全面，数学老师要求必须掌握
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高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且 22EF AC = ，90BDC ∠=o ， A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A A B 1 C 1 C D 1 D G E F
求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体 1111 ABCD A B C D -中，M 为 1 CC 的中点，AC 交BD
高中数学立体几何证明题汇总 立体几何常考证明题 1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。 1）证明EFGH是平行四边形。 2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。 2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。 1）证明AB垂直于平面CDE。 2）证明平面CDE垂直于平面ABC。
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。 证明A1C平行于平面BDE。 4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。 证明AD垂直于面SBC。 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。 1）证明C1O平行于面AB1D1. 2）证明AC1垂直于面AB1D1. 6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。 1）证明AC垂直于平面B1D1D。
2）证明BD1垂直于平面ACB1. 7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。 1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。 2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面 EB1D1平行于平面FBD。 8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。 证明BD垂直于平面ACD。 9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。 1）证明XXX垂直于AB。
2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。 证明平面D1EF平行于平面BDG。 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。 1）证明A1C平行于平面BDE。 2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。 12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。 1）证明：连接DE，假设DE不垂直于平面PAE，即DE 与平面PAE有交点F，则EF为平面PAE内的线段，且EF>0.连接AF和PF，由于PA垂直于平面ABCD，所以PA垂直于AF，即PA与AF重合或平行。若PA与AF平行，则PAF为
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形，E,F,G,H 分别是边AB, BC,CD, DA 的中点 (1) 求证：EFGH 是平行四边形 (2) 若BD=2√3，AC=2 EG=2求异面直线 AG BD 所成的角和EG BD 所成的角。 1 证明：在 ABD 中，??? E, H 分别是AB, AD 的中点二EH //BD ,EH BD 2 1 同理，FG // BD , FG BD ∕? EH // FG ,EH = FG .?.四边形 EFGH 是平行四边形。 2 ⑵ 90 ° 30 ° 考点：证平行(利用三角形中位线) ，异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形 ABCD 中，BC =AC, AD =BD , E 是AB 的中点。 同理，AD 一 BD = DE _ AB AE =BE, 又?.? CE DE=E .?. AB _ 平面 CDE (2)由(1)有AB _平面CDE 又?.? A B -平面ABC , .?.平面CDE _平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 求证： (1) AB _ 平面 CDE; (2) 平面CDE _平面ABC 。 证明： BC=AC [— (1) ? CE 丄 AB AE=BE A C
3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA l的中点, 求证：AC//平面BDE 。 证明：连接AC交BD于O ,连接EO , ??? E为AA1的中点，O为AC的中点 ??? EO为三角形A1AC的中位线??? EO//AC 又EO在平面BDE内，AC在平面BDE夕卜 ?A I C // 平面BDE。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC 中.ACB =90〔SA_ 面ABC, AD _ SC,求证：AD _ 面SBC. 证明：T ACB =90 ° BC _ AC 又SA_面ABC . SA_ BC .BC _ 面SAC .BC _ AD 又SC — AD, SC「BC =C AD_ 面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体ABCD -A I BIGD I , O是底ABCD对角线的交点? 求证：（1 ）C I O // 面AB1D1 ; （2）AC-面AB1D1 . 证明：（1）连结A1C1,设A I Cλ B I D^O I,连结AO 1 ??? ABCD -^B1C1D1是正方体.A l ACC I是平行四边形? A1C1 // AC 且A I C^AC 又O1,O 分别是A1C1,AC 的中点，??? O1C1∕/ AO 且O1C1 =AO AOC1O1是平行四边形 Ca AO I , AO I面AB1D1, C1O 二面AB1D1? C1O// 面AB1D1 （2）'* CC1丄面A1B1C1D1 =CC 丄BD 又T AG 丄B I D I, ΛB1 D1丄面 A1C1C 即 AC丄BD 同理可证A I C—AD I ,又D I B I AD1 = D I AC -面AB1D1 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定B C C B C1 C
高中数学几何证明题 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理， 1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =? ?⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， A E D 1 C B 1 A H G F E D C B A E B C
N M P C B A 立体几何常考证明题 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （ 2） 若BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是 AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）'' BD ACB ⊥平面. 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 EF AC = 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG . 11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1A 1 C A 1
立体几何选择题： 一、三视图考点透视： ① 能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ② 通过三视图计算空间几何体的体积或表面积 ? ③ 解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 1. 一空间几何体的三视图如图 2所示, 该几何体的体积为AJ ， 3 则正视图中X 的值为（ ） A. 5 B.4 C. 3 D. 2 2. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的 侧视图可以为 3. _________________________________ 如图4,已知一个锥体的正视图（也称主视图） 别为3, 4, 6, 则该锥体的体积是 4 _____________________ . 4?某四棱锥的三视图如图 1 — 1所示，该四棱锥的表面积是 （B ） A . 32 B . 16+ 16 .2 C. 48 D . 16 + 32 2 二、直观图 掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变； ② 平行于y 轴的长度为原来的一半， X 轴不变； ③ 新坐标轴夹角为 45°或135 °。 1、禾U 用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（ ） 不要求记忆，但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积” 。 （1） 圆柱、圆锥、圆台的侧面积，球的表面积公式。 （2） 柱、锥、台体，球体的体积公式。 （3） 正方体的内切球和外接球：内切球半径？ 外接球直径？ （4） 扇形的面积公式 S =1Ir =丄十 弧长公式IXr 2 2 1、一个直角三角形的两条直角边分别是 3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的表面积为（ ） A. 84- B. 144 - C . 36 二 D. 24 二 5 (15) Q ? [? Δ Λ ABC D 正视图 左视图 正视图 俯视图 4 =? ,左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分 A .正三角形的直观图仍然是正三角形. B. 平行四边形的直观图一定是平行四边形. C. 正方形的直观图是正方形. D .圆的直观图是圆 2、如图，梯形 A I BCD 是一平面图形 =1 ,则梯形ABC 啲面积是（ ） ABC [的直观图（斜二测），若 AD // Oy 1, AB // CD , AB = 2, GD = 3 D . 10 I 2 二、表面积和体积 AD 俯视图
立体几何常考证明题汇总 考点1：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点2：线面垂直，面面垂直的判定 如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点3：线面平行的判定 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE A E D 1 C B 1 A H G F E D C B A E D B C
考点4：线面垂直的判定 已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点5：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 已知正方体1111-ABCD A B C D ，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点6：线面垂直的判定 正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
M P C A 考点7：线面平行的判定（利用平行四边形） 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点8：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点9：三垂线定理 如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F
立体几何常考证明题 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，E, F,G, H 分别是边AB,BC,CD , DA 的中点 （1）求证：EFGH是平行四边形 （2）若BD=2 3 ，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。 A E H B D F G C 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC, AD BD ，E 是AB 的中点。 求证：（1）AB 平面CDE; （2）平面CDE 平面ABC 。 A E B C D 3、如图，在正方体A BCD ABC D 中，E 是AA1 的中点， 1 1 1 1 求证：A1C // 平面BDE 。A D1 B1 C E A D
B C 1
4、已知ABC 中ACB 90 , SA 面ABC , AD SC ,求证：AD 面SBC ． S D B A C 5、已知正方体ABCD A1B1C1D1，O是底ABCD 对角线的交点. D1C1 B1 求证：(１) C1O∥面AB1D1 ；(2) A1C 面AB1D1 ．A 1 D C O A B 6、正方体ABCD A'B'C 'D'中，求证：（1）AC 平面B'D 'DB ；（2）BD ' 平面ACB '.
2
7、正方体ABCD —A1B1C1D1 中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；D 1 C1 (2)若E、F 分别是AA1，CC1 的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ．A 1 B1 F E G C D A B 8、四面体ABCD 中，AC BD,E, F 分别为AD, BC 的中点，且BDC 90 ，求证：BD 平面ACD 2 EF AC ， 2 9、如图P 是ABC 所在平面外一点，PA PB, CB 平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， AN 3NB P （1）求证：MN AB ；（2）当APB 90 ，AB 2BC 4 时，求MN 的长。 M C A
① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证： //1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 1 C _
例2、如图, 在矩形ABCD中,2 AB BC = , ,P Q分别为线段, AB CD的中点, EP⊥平面ABCD.求证: AQ∥平面CEP；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点。求证：AF∥平面PCE； ②如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，ABCD 平面 PD⊥，M，N分别是AB，PC中点。求证：//PAD MN平面 P A B C D M N ③如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD = DE = 2AB，且F是CD的中点.⑴求证：AF//平面BCE； ④、已知正方体ABCD- 1 1 1 1 D C B A，O是底ABCD对角线的交点.求证：// 1 O C面11 AB D． G P A B C D F E A B C D E F
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1） BC AC CE AB AE BE =⎫ ⇒⊥⎬=⎭ 同理， AD BD DE AB AE BE =⎫ ⇒⊥⎬=⎭ 又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ∆中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ⋂=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂ ∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ⋂= ∴1A C ⊥面11AB D A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
必修2立体几何证明题详解（五篇） 第一篇：必修2 立体几何证明题详解 迎接新的挑战! 必修2 证明题 一．解答题（共3小题） 1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点． （1）求证：PB∥平面AEC； （2）求二面角E﹣AC﹣B的大小． 考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。 分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定 定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD 交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件； （2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是 二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面 角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补． 解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC 又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB 连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB ∴PB∥平面AEC （2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD 同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角． 又 FO=AB=PA=EF ∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所
求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°． 点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上． 考点：三垂线定理。 专题：作图题；证明题。 分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上． 解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF． 欢迎加入高一数学组联系电话 :*** 迎接新的挑战! 必修2 证明题 在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3． （I）求证：A1C⊥BD； （II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值； （III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值． 考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。 专题：计算题；证明题；综合题。 分析：（I）连AC，要证A1C⊥BD，只需证明AC⊥BD，说明AC 是A1C在平面ABCD 上的射影即可；
新课标立体几何常考垂直证明题汇总 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1） BC AC CE AB AE BE =⎫ ⇒⊥⎬=⎭ 同理，AD BD DE AB AE BE =⎫ ⇒⊥⎬=⎭ 又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SAC B C A D ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11AC ，设11111AC B D O ⋂=，连结1 AO ∵ 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1 C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D ∴⊥ 又1111AC B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 111A C B D ⊥即 同理可证11AC AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂= ∴1 AC ⊥面11AB D A E D B C S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
新课标立体几何常考证明题汇总【1】 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1//,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1） BC AC CE AB AE BE =⎫ ⇒⊥⎬=⎭ 同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭ 又∵CE DE E ⋂=∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ⊆平面ABC ，∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证：1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C