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一元二次方程全章讲义

一元二次方程的概念与方程的解

【知识点】：

1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式20（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中2是二次项，a 是二次项系数；是一次项，b 是一次项系数；

c 是常数项．）

3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．

【例题精讲】:

例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是。

① k2x + 5k + 6 = 0 ；②2x2 － 43x － 21= 0 ；③3x2 + x

1 －

2 = 0；

④3x2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2 = －1；⑥（2x －1）2 = （x －1）

（4x + 3）。

例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2

=+--是一元二次方程，求m 的值。

例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x2 －x + a2－1 = 0的一根是0，则

a 的值为（）

A 、1

B 、－1

C 、1或－1

D 、2

1。

【夯实基础练】：

一）、填空题：

1、方程（x －4）2 = 3x + 12的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

2、（11滨州）若2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为.

3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mx m 是一元二次方程，则m2 = 。

4、（2012惠山区）一元二次方程（1）x22-1=0的一个根为0，则．

5、已知关于x 的方程2 + + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + ，a －b + c = 。

6、关于x 的方程（k2－1）x2 + 2

（k －1）x + 2k + 2 =0，当k ≠ 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。

二）、选择题：

1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A 、01232=++x x

B 、531212-=x

C 、011.02=+-x x

D 、)2)(1(2-+=+x x x x

2、方程53)3)(3()12(32++-+=-x x x x 化为一般形式后，a 、b 、c 的值分别为

（）

A 、a = 5，b = 3，c = 5

B 、a = 5，b = －3，c = －5

C 、a = 7，b = 3，c = 5

D 、a =8，b = 6，c = 1

三）、解答题：

1、已知关于x的方程（m2－1）x2 + （m + 1）x + 1 = 0

（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？

（2）当m 为何值时，此方程为一元一次方程？

2、关于x的方程（m + 2）2x2 + 3m2x + m2－4 = 0有一根为0，求2m2－

4m + 3的值。

3、已知x = －2是方程x2－ + 2 =0的一个根，试化简2

-。

【能力提高练】：

1、试证明关于x 的方程（m2－8m + 17）x2 +2m +1 =0，不论m 为何值，该

方程都是一元二次方程。

2、已知x2 +3x +1的值为5，则代数式2x2 +6x －2的值为多少？

3、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，求这个直角三角形的斜边长。

4、若=?=-+y x 则y x 324,0352的值是多少？

一元二次方程的解法

【知识点】：

1、理解解一元二次方程的“降次”思想，将一元二次方程“化成”两个一

元一次方程．

2、直接开平方法：如果方程能化成2x p =或2()(0)mx n p p +=≥的形式，那么直接开平方可得

x =mx n +=

3、配方法：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。

4、公式法：公式a ac b b x 242-±-=（042≥-ac b ）称为一元二次方程的求根公

式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；

5、利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

6、一元二次方程根的判别式：b2-4叫根的判别式；（1）当b2-4>0时，一

元二次方程20（a ≠0）?有两个不相等实数根即x1=

，

．

（2）当40时，一元二次方程20（a ≠0）有两个相等实数根即x12=

2b a -．（3）当b2-4<0时，一元二次方程20（a ≠0）没有实数根．

【例题精讲】:

1、用直接开平方法解下列方程：（1）2(21)5x -=；（2）2692x x ++=

2、用配方法解下列方程：（1）2213x x +=；（2）23640x x -+=．

3、用公式法解下列方程：（1）5x2+26=0 （2）4x2-72=0 （3）2x212320

4、用因式分解法解下列方程：

（1）(2)20x x x -+-=；（2）221352244x x x x --=-+；

（3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．

5、已知y =2x2 +7x －1，当x 为何值时，y 的值与4x + 1的值相等？x 为何值时，y 的值与x2－19的值互为相反数？

6、解方程062=-+x x 。

7、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则的值是多少？

【夯实基础练】：

一）、填空题

1、(2011镇江)已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2,则,另一根是.

2、如果x2 + + 16是一个完全平方式，则m 的值为。

3、当x = 时，代数式x2 + 4x + 6有最值是；【提示：配方法】

4、方程3x2 +2 中，a = ，b = ，c = ，b2－4 = ；

5、已知一元二次方程2 + 4x + 2 =0 且b2－4 = 0，则a = ，x = 。

6、（2011上海）如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝．

8、已知a ≠0，a ≠b ，x = 1是方程2 + －10 =0的一个解，则b

a b a 2222--的值是。

二）、选择题：

1、解方程（x +5）2－3（x +5） =0，较简便的解法是（）

A 、直接开平方法

B 、因式分解法

C 、配方法

D 、公式法

2、方程x2 +2x －3 = 0的解是（）

A 、x1 =1，x2 =3 ；

B 、x1 =1 ，x2 =－3；

C 、x1 =－1，x2 =3 ；

D 、x1 =－1 ，x2 =－3 。

3、（2011兰州）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）

A ．2(1)6x +=

B ．2(2)9x +=

C ．2(1)6x -=

D ．2(2)9x -=

4、01442=--+++y x y y ，则xy 的值是（）

A 、－6

B 、－2

C 、2

D 、6

5、（2011安徽）一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（）

A ．－1

B ．2

C ．1和2

D ．－1和2

6、下列是某同学在一次数学测验中解答的题目，其中答对的是（）

A 、若x2 =4 ，则x =2 ；

B 、若3x2 =6x ，则x =2 ；

C 、若x2 + x －k =0的一个根是1，则k =2 ；

D 、若分式

322+--x x x 的值为零，则x =2 。

7、已知方程x2－6x + q = 0可以配方成（x －p ）2 =7的形式，那么x2－6x =2可以配方成下列的（）

A 、（x －p ）2 =5 ；

B 、（x －p ）2 = 9 ；

C 、（x －p +2）2 =9 ；

D 、（x －p + 2）2 =5。

8、关于x 的方程k2x2 +2（k －1）x +1 =0有两个实数根，则k 的取值范围是（）

A 、k ＜21

B 、k ≤21

C 、k ＜21且k ≠0

D 、k ≤21且k ≠0 三、解答题：

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）25(21)180y -=；（2）

21(31)644x +=；（3）26(2)1x +=；

2、用配方法解下列方程：

（1）210x x --=；（2）09632=+-x x ．（3）

232310y y ++=．

一元二次方程应用一对一辅导讲义

课题一元二次方程的应用授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。重点、难点会运用一元二次方程解决简单的实际问题考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题教学内容第一课时一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测

1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是：（1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。（2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。第二课时一元二次方程的应用典型例题考点一：增长率（降低率）和利润问题典型例题知识梳理

（一）增长率（降低率）问题：【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率．（二）利润问题：【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。

人教版九年级数学上册_第21章_一元二次方程_单元检测题

人教版九年级数学上册_第21章_一元二次方程_单元检测题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．请检验下列各数哪个为方程2680x x -+=的解（） A ．5 B ．2 C ．-8 D ．-2 2．（2011?福州）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 3．一元二次方程245x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A ．1，4，5 B ．1，4-，5 C ．1，4-，5- D ．1，4，5- 4．下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（） A ．220x x ++= B ．250x x --= C ．230x x +-= D ．2210x x --= 5．设a ，b 是方程220110x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（） A ．2009 B ．2010 C ．2011 D ．2012 6．关于x 的一元二次方程x 2-k=0有实数根，则( ) A ．k<0 B ．k>0 C ．k≥0. D ．k≤0 7．将方程x 2+4x+3=0配方后，原方程变形为( ) A ．2(x 2)1+= B ．2(x 4)1+= C ．2(x 2)3+=- D ．2(x 2)1+=- 8．方程22x x =的根是（） A ．2x = B ．x=0 C ．10x =，22x = D ．10x =，22x =- 9．设a ，b 是方程220170x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为( ) A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．2017 10．某商品原价269元，经连续两次降价后，售价为256元．设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为（） A ．2269(1)256x += B ．2269(1)256x -= C ．2256(1)269x -= D ．2269269256x -=

第21章一元二次方程

第二十一章一元二次方程巩固练习题姓名：__________ 一．选择题（共10小题） 1．方程(m ﹣1)x 2+2x +3=0是关于x 的一元二次方程，则（） A ．m ≠一1 B ．m ≠1 C ．m ≠2 D ．m ≠3 2．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5 3．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（） A ．1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ． 12 4．方程：x 2﹣25=0的解是（） A ．x =5 B ．x =﹣5 C ．x 1=﹣5，x 2=5 D ．x =±25 5．一元二次方程x 2+6x ﹣5=0配方后变形正确的是（） A ．(x ﹣3)2=14 B ．(x +3)2=4 C ．21(6)2 x += D ．（x +3）2=14 6．用公式法解方程4x 2﹣12x =3所得的解正确的是（） A ．32x -±= B ．32x ±= C ．32x -±= D ．32x ±= 7．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（） A ．x 1=1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1=﹣1，x 2=2 D ．x 1=﹣1，x 2=﹣2 8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为（） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2 9．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．m ＜﹣1 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞﹣1且m ≠0 10．广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a %，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（） A ．188(1+a %)2=118 B ．188(1﹣a %)2=118 C ．188(1﹣2a %)=118 D ．188(1﹣a 2%)=118 二．填空题（共10小题） 11．已知关于x 的方程mx |m ﹣2|+2（m +1）x ﹣3=0是一元二次方程，则m = ． 12．把一元二次方程3x （x ﹣2）=4化为一般形式是． 13．方程（x ﹣1）2=1的解为．

第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析一、单项选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x ﹣3）2=4+9 2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范畴是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1 3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm 4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k 的取值范畴是（） A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤ 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分不为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（） A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2 6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，打算在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则能够列出关于x的方程是（） A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0 7．下列方程有两个相等的实数根的是（） A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0 8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务进展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛进展，2014年增速位居全国第一．若

一元二次函数解法辅导讲义

课题一元二次方程的解法重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法教学内容一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0）例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8

练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （使方程右边为零）方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式）即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=

人教版九年级上第21章《一元二次方程》实际应用题练习含答案

《一元二次方程》实际应用题专项练习（一） 1．今年国庆中秋双节同庆，某店推出了莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼两种月饼，其中莲蓉蛋黄月饼每盒成本15.5元售价40元，流心芝士月饼每盒成本18元售价48元．两种月饼均为整盒出售，不售散装．中秋节前，莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼共销售了400盒，销售总额为17440元．（1）中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了多少盒？（2）为迎接双节，中秋当日该店大促销，莲蓉蛋黄月饼“买一送一”（买一盒送一盒）但销售单价不变，其当日销量（不算赠品）达到中秋前售卖的莲蓉蛋黄月饼总销量的；流心芝士月饼每盒销售单价减少，其当日销量比中秋节前流心芝士月饼总销量增加了5a%．中秋当日两种月饼的销售利润为2736元，求a的值． 2．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．经调查发现，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该衬衫每件降价5元，则当天该衬衫的销量为件，当天可获利元；（2）设每件衬衫降价x元，则商场日销售量增加件，每件衬衫盈利元（用含x的代数式表示）；（3）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ 3．随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双

十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一” 当天的订单量增长率相同．（1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率；（2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？ 4．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年3月份的进价如表：普通口罩N95口罩进价（元/包）8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩售价贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价． 5．“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所

第21章一元二次方程单元检测题

第21章一元二次方程单元检测题满分:100分,限时:60分钟一、选择题(每小题3分,共30分) 1.(2019江苏盐城东台期中)下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的为( ) A.x2-2=(x+3)2 B.ax2+bx+c=0 -5=0 D.x2-1=0 C.x2+3 x 2.(2019天津宁河期中)x=2不是下列哪一个方程的解?( ) A.3(x-2)=0 B.2x2-3x=2 C.(x-2)(x+2)=0 D.x2-x+2=0 3.(2016新疆中考)一元二次方程x2-6x-5=0配方可变形为( ) A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 4.(2018上海中考)下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断,正确的是( ) A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根 5.(2016辽宁营口中考)若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根,则实数k的取值范围是( ) A.k≥-1 B.k>-1 C.k≥-1且k≠0 D.k>-1且k≠0 6.(2019河南周口川汇期中)在设计人体雕像时,使雕像的上部与下部的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如果雕像高度为2 m,设雕像下部高为x m,则x满足( ) A.x2=2(2-x) B.(2-x)2=2x C.x2=2(2+x) D.(2+x)2=2x 7.(2018湖北咸宁中考)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1

人教版 21章一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；

（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3）把原方程变为()n m x =+2的形式。（4）若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式；（4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

二次函数与一元二次方程讲义

二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入

如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3

C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________

解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.

人教版21章一元二次方程知识点总结

___________ 一名师推荐____ 精心整理_______ 学习必备. 21章一元二次方程知识点一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2? bx ? c = 0（a = 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c叫做常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如ax2 bx 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a = 0时是一元二次方程。二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，女口：当x = 2 2 2 时，x -3x 2 = 0所以x=2是x -3x 2 = 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义。利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b_0时，x a=g b，x =「a—b，

当b<0时，方程没有实数根。三种类型：（1）x2二aa-0的解是x二 a ； __________ 名师推荐_______ 精心整理______ 学习必备. (2) (x+m)2= n(n 兰0 )的解是x = 土亦一m ; (3) mx n $ = c m = 0,且 c _ 0 的解是x = ——n。 m 2、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2_2ab b2二(a b)2，把公式中的a看做未知数X,并用X代替，则有X2_2bx b2=(x_b)2。 (一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式 (2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3)把原方程变为(x+m$=n的形式。 (4)若n 一0,用直接开平方法求出x的值，若n<0,原方程无解。 (二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2? bx ? c = 0 a = 0,a = 1时，用配方法解一元二次方程的步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式 (2)先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数； (3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为(x+m f=n的形式； (4)若n 一0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

九年级上第21章《一元二次方程》基础练习含答案(5套)

基础知识反馈卡·21.1 时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) ) (的一元二次方程，则x 是关于0＝c ＋bx ＋2x 1)－a (．若1 A ．a ≠0 B．a ≠1 C ．a ＝1 D ．a ≠－1 化成一般形式后二次项的系数 1)－x (x ＝1＋x 1)＋m (－2x 2．一元二次方程2为1，一次项的系数为－1，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 二、填空题(每小题4分，共12分) ＝ m 的一元二次方程，则x 是关于0＝1＋mx 3＋|m |x 2)＋m (．方程3_______________. ．______的值是m ，则2有一个解为0＝5＋x 1)－m (＋2mx 的方程x ．若关于4 ，二次项 ________________化为一般形式为5＝23)－x (．把一元二次方程5为________，一次项系数为__________，常数项为________. 三、解答题(共7分) ，求 1＝－x 有一根是0＝5＋mx 3＋2x 1)－m (2的一元二次方程x ．已知关于6m 的值．

时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) ) (，正确的配方为0＝1－x 23 －2 x ．用配方法解方程1 109＝ 2? ????x －13D. 0 ＝109＋2? ????x －13C. 59＝2? ????x －23B. 89＝2? ????x －13A. ) (的根的情况是0＝14 ＋x ＋2 x ．一元二次方程2 A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定二、填空题(每小题4分，共12分) ________. ＝2x ，________＝1x 的解0＝12－x 4－2x ．方程3 ．____________配方后的方程为0＝5－x 2＋2x ．4 ________. ＝x ，得到3＝x 12－2x 4．用公式法解方程5 三、解答题(共7分) 0. ＝2－mx －2x 的一元二次方程x ．已知关于6 (1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根．

一元二次方程知识点复习及典型题讲解

一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念：中考常见题型：例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）：中考常见题型：例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例

例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根．练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）：

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程综合能力检测(一)

一元二次方程综合能力检测（一）一．选择题1．方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是（） A．2B．3C．﹣1，2D．﹣2，1 2．把方程x2﹣6x﹣5＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A．（x﹣6）2＝41B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣3）2＝14D．（x﹣3）2＝9 3．一元二次方程4x2＝12x﹣9的根的情况是（） A．只有一个实数根B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 4．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（） A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝13C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝4 5．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（） A．5（1+x+1.5x）＝7.8B．5（1+x×1.5x）＝7.8 C．7.8（1﹣x）（1﹣1.5x）＝5D．5（1+x）（1+1.5x）＝7.8 6．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1?x2的值是（）A．5B．﹣5C．6D．﹣6 7．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞ C．a≤且a≠0D．a≥

8．如果关于x的方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有两个实数根，且关于x的分式方程＝a有整数解，则符合条件的整数a的和为（） A．1B．2C．6D．7 9．若α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2018B．2020C．﹣2020D．4040 10．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（） A．40B．48C．52D．56 二．填空题 11．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+2＝0的一个实数根，则另一实数根为．12．如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程是． 13．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程???→ 降次一元一次方程

2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42 -=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；

(完整版)一元二次方程全章测试及答案

一元二次方程全章测试及答案一、填空题 1．一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的解是______． 2．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______． 3．小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是 x ＝______． 4．当a ______时，方程(x －b )2＝－a 有实数解，实数解为______． 5．已知关于x 的一元二次方程(m 2－1)x m －2＋3mx －1＝0，则m ＝______． 6．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝0的一个根是3，则a ＝______． 7．若(x 2－5x ＋6)2＋｜x 2＋3x －10｜＝0，则x ＝______． 8．已知关于x 的方程x 2－2x ＋n －1＝0有两个不相等的实数根，那么｜n －2｜＋n ＋1的化简结果是______．二、选择题 9．方程x 2－3x ＋2＝0的解是( )． A ．1和2 B ．－1和－2 C ．1和－2 D ．－1和2 10．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 11．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是( )． A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 12．如果关于x 的一元二次方程02 22=+-k x x 没有实数根，那么k 的最小整数值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 13．关于x 的方程x 2＋m (1－x )－2(1－x )＝0，下面结论正确的是( )． A ．m 不能为0，否则方程无解 B ．m 为任何实数时，方程都有实数解 C ．当2

第21章《一元二次方程》单元测试题

一元二次方程单元测试题一.选择题 1. 下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（）个 ①2203x -= ②1 21x x x -=- ③2(3)0x x y -= ④222(1)30x x x -+-= A 1 B 2 C 3 D 4 2将方程2342x x -=-化为一元二次方程的一般形式后，二次项的系数、一次项的系数、常数分别为（） A 3；-4；-2 B 3；2 ；-4 C 3 ；-2 ；-4 D 2 ；-2 ；0 3.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（） A ．()2 16 x += B ．()2 16 x -= C ．()2 29 x += D ．()2 29x -= 4.若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．1k >- B. 1k >-且0k ≠ C.1k < D 1k <且0k ≠ 5．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6. 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（） A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定 7. 设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 8. 为了让惠州的山更绿、水更清，2012年市委、市政府提出了确保到2014年实现全市森林覆盖率达到63%的目标，已知2012年我市森林覆盖率为60.05%，设从2012年起我市森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（） A ．()60.051263%x += B ．()60.051263x += C ．()2 60.05163%x += D ．()2 60.05163x += 9. 如图9，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（） A ．4+ B ．12+ C ．2+ D ．212++ A D C E B 图9

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