21．1 一元二次方程（1）
基础知识梳理
1.只含有 ___个未知数,并且未知数的最高次数是___ 的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是___________ ,其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________, _____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。）
3.使方程左右两边_____的未知数的值是一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_______,
知识点1 一元二次方程的定义
【例1】判断下列方程是否为一元二次方程：
2222
2(1)10(3)23x 10x x
(5)(3)(3)x x -==+=-22
ｘ (2)2(x -1)=3y
12
ｘ－－ (4)
－=0 (6)9x =5－4x
知识点2 一元二次方程的一般形式
【例2】将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
练习1.：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：
① 52x -1=4x ② 42x =81 ③－2x 2+1=6x
④ 4x(x+2)=25
⑤(3x-2)(x+1)=8x-3
知识点3 一元二次方程的解
【例3】已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( ) A.1 B.－1 C.0 D.无法确定 练习：2.下面哪些数是方程x 2
+x-12=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。
3.你能想出下列方程的根吗？
(1) x 2
-36 = 0 (2) 4x 2
-9 = 0
知识点4 列一元二次方程
4.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
1)若两相邻偶数的积为528,设较小的一个偶数为x,则可以列方程____________．
2）如图,在宽为20 m,长30 m 的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为500 m 2,若设路宽为x m,则可得关于x 的一元二次方程的一般形式为____________．
3）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
4）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；
【巩固练习】
5.在下列方程中，一元二次方程有_____________． ①2370x += ②20ax bx c ++= ③（x-2）（x+5）=2x -1 ④25
30x x
-
= 6．
2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ）．
A ．p=1
B ．p>0
C ．p ≠0
D ．p 为任意实数 7.方程22x =3（x-6）化为一般式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别是（ ）． A ．2，3，-6 B ．2，-3，18 C ．2，-3，6 D ．2，3，6
8．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_________． 9.已知方程2
390x
x m -+=的一个根是1，则m
的值是
______.
10.若a是方程2x2－x－3＝0的一个解，则6a2－3a的值为( )
A.3
B.－3
C.9
D.－9
11.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,求a的值.
12．若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．
13.小明在写作业时，一不小心把方程3x2－■x－5＝0的x前的数用墨水盖住了，但通过答案知道该方程的一个根是x＝5，请你帮助小明求出被墨水覆盖的数.
14.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.
(1)m为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)m为何值时,此方程是一元二次方程?并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
达标检测(10分钟)
15.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2＋1
x2
＝0 B.ax2＋bx＋c＝0
C.(x－1)(x＋2)＝1
D.3x2－2xy－5y2＝0
16.方程2x2－6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.6，2，9
B.2，－6，9
C.2，－6，－9
D.2，6，9
17.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900 m2的矩形绿地，长比宽多10 m，设绿地的宽为x m，根据题意可列方程为( ) A.x(x－10)＝900 B.x(x＋10)＝900
C.10(x＋10)＝900
D.2[x＋(x＋10)]＝900
18.若一元二次方程ax2－bx－2 015＝0有一根为x ＝－1，则a＋b＝________.
19.若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值.
21.2.1 直接开平方法解一元二次方程
你会解一元二次方程吗？比如：方程x2=25，你能
求出这个方程的解吗？
我们把这种求一元二次方程的解的方法叫做
_____________．
解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程
“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这
种思想称为“降次转化思想”．
【例1】计算：用直接开平方法解下列方程：
①x2=8 ② (2x-1)2=5 ③ 4m2-9=0 ④ x2+4x+4=1 ⑤ 3(x-1)2-9=108
练习：1.用直接开平方法解下列方程：
① x2-81=0 ② x2+6x+9=0
③（2-x）2＝4 ④16(x－2)2－25=0
用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤
(1)看：看是否符合x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的形
式；
(2)化：对于不符合x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)形式
的方程先化为符合的形式；
(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为
两个一元一次方程求解.
【巩固练习】
1．方程3x2+9=0的根为（）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
2．若8x2-16=0，则x的值是_________．
3．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次
方程的两根是________．
4．如果a、b
2-12b+36=0，
那么ab的值是_______．
5．用直接开平方法解下列方程：
①（2-x）2-81＝0 ② 2（1-x）2-18＝0
27 m
x-
6．若k2+2=（x-1）2，这个方程的一个根是3，求k的值及另一个根？
7.当k＝________时，方程x2－2(k＋1)x＋4＝0的左边是一个关于x的完全平方式.
8.在实数范围内定义运算“＃”,其法则为:
a＃ b=a2-b2,求方程(4＃ 3)＃ x=24的解.
达标检测(10分钟)
9.方程x2=16的解是( )
A.2
B.4
C.±2
D.±4
10.方程(x-3)2=16的根是( )
A.x1=x2=3
B.x1=-1,x2=7
C.x1=1,x2=-7
D.x1=-1,x2=-7
11.若关于x的方程(x+1)2=1-k没有实根,则k的取值范围是( )
A.k<1
B.k<-1
C.k≥1
D.k>1
12.有下列方程:
①x2-2x=0; ②9x2-25=0;
③(2x-1)2=1; ④1
3
(x+3)2=27.
其中能用直接开平方法解的是( )
A.①②③
B.②③
C.②③④
D.①②③④
13.用直接开平方法解下列方程:
① 9x2=25; ② x2-√256=0;
③3x2-1=5 ④ 4x2+16x+16=9
⑤(2t-1)2=9; ⑥ (x-3)2-9=0.
⑦2(x－3)2＝72；⑧9(y＋4)2－49＝0.
21.2.2配方法解一元二次方程（1）
填空：
（1）x2+6x+______=（x+______）2；
（2）x2-12x+_____=（x-_____）2
（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．
（4）x2- 4x+_____=（x-_____）2
用配方法解下列关于x的方程
1.通过配成形式来解一元二次方程的方法,
叫做配方法. 可以看出,配方是为了,把一
个一元二次方程转化成两个来解.
2.(1)当p>0时,方程(x+n)2=p有两个的实数
根,x1=√p,x2=√p.
(2)当p=0时,方程(x+n)2=p有两个的实数
根,x1=x2=.
(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有(x+n)2≥0,
所以方程(x+n)2=p实数根.
【例1】解方程：① x2-4x+2=0 ② x2+8x-9=0 【例2】解方程：① 2x2-4x-8=0 ② 2x2+2=6x
用配方法解一元二次方程的“五步法”
(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边
为常数项.
(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程
的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.
(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半
的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.
(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一
次方程；若p＜0，则原方程无解.
(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程
的解.
【巩固练习】
1.用配方法解下列关于x的方程：
（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x
（3）3x2-6x+4=0 （4）4x2-6x-3=0
（5）x24x-9=2x-11 （6）x(x+4)=8x+12 （7）x2-8x+7=0 （8）9y2-18y-4=0
2.（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2
（3）x2+px+_____=（x+______）2
3．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3
C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
4．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 5．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
6.方程(x＋1)2＝4(x－2)2的解是( )
A.x＝1
B.x＝5
C.x1＝5，x2＝1
D.x1＝1，x2＝－2
7.
已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
8．如果x2-4x+y2+13=0，求（xy）z的值．
9.用配方法证明多项式x2－4x＋5的值不小于1.
10.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
①鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
②鸡场的面积能达到210m2吗？
达标检测(10分钟)
11.用配方法解方程x2＋x＝2时，应在方程的两边同时( )
A.加
1
4
B.加
1
2
C.减
1
4
D.减
1
2
12.填空：
(1)x2＋6x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2－8x＋________＝(x－________)2；
(3)x2＋
7
2
x＋________＝(x＋________)2.
13.方程4x2－4x＋1＝0的解为________.
14.若关于x的方程(x－a)2＋b＝0有解，则b的取值范围是________.
15.用配方法解下列一元二次方程：
(1)x2－7x－18＝0; (2)x2－2x＝5；
(3)2x2＋3＝7x; (4)6x2－x－12＝0.
21.2.3用公式法解一元二次方程
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，
(1)根的判别式
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.
①当Δ＞0时，方程有________的实数根；
②当Δ＝0时，方程有________的实数根；
③当Δ＜0时，方程________实数根.
（2）当Δ≥0时，
x=
2
b
a
-±
叫做一元二
次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
要点突破1 用公式法解一元二次方程
【例1】用公式法解下列方程．
① 2x2-4x-1=0 ② 5x+2=3x2 ③(x-2)(3x-5)=-11 ④ 2x2-2
2x+1=0
用公式法解一元二次方程的四个步骤
(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
(2)定：确定a，b，c的值.
(3)算：计算b2－4ac的值.
(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac＜0，则原方程没有实数根. 练习：1.用公式法解下列方程．
① x2-4x-7=0 ②5x2-3x=x+1 ③4x2-3x+1=0
要点突破2 一元二次方程根的判别式
【例2】若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是____________. 变式：方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，求m的值及方程的根.
练习：2.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋
1
4
＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________.
3.已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程根的情况；
(2)若方程有一个根为3，求m的值.
根的判别式的“三大作用”
(1)判：不解方程，根据b2－4ac的符号，直接判断方程根的情况；
(2)求：已知方程根的情况，求方程中字母系数的取值范围；
(3)证：根据b2－4ac恒大于0，恒小于0或恒等于0，证明方程根的情况.
【巩固练习】
4.关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是( )
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
5.若关于x的一元二次方程(k-1)·x 2+2x-2=0有不相等实数根,则k的取值范围是( )
A.k>12
B.k ≥12
C.k>12且k ≠1
D.k ≥1
2且k ≠1 6.若方程x 2
+kx+9=0有两个相等的实数根,则k=_____.
7．当x=______时，代数式x 2
-8x+12的值是-4． 8．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2
+x+m 2
+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____． 9、用公式法解下列方程．
①2x 2
-3x-2
3
=0 ②x 2+x-6=0
③ x 2-24x+9=0 ④ 3x 2+10x=2x 2+8x
达标检测(10分钟) 10.用公式法解方程6x －8＝5x 2时，a ，b ，c 的值分别是( )
A.5，6，－8
B.5，－6，－8
C.5，－6，8
D.6，5，－8
11.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A.(x －1)2
＝0 B. x 2
＋2x －19＝0 C.x 2＋4＝0 D.x 2＋x ＋1＝0 12.用公式法解下列方程：
① 3x 2－2x ＋2＝0； ② (x －2)(3x －5)＝1.
13.求证：关于x 的方程x 2
＋(2k ＋1)x ＋k －1＝0有两个不等的实数根.
21.2.4因式分解法
1：知识准备 (1)分解因式：
①x 2－2x ＝________； ②x 2－16＝________； ③x 2
－6x ＋9＝________； 2、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程的一边化为0，再使方程的另一边分解成_____________的形式，从而实现令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程，再_____________________，它们的解就是原方程的解，这种解法叫做______________。
（2）如果0a b ?=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。 练习1、说出下列方程的根： ①0)8(=-x x ② (1)(5)0x x +-=
要点突破1 用因式分解法解一元二次方程 例1、 用因式分解法解下列方程
① 2540x x -= ②
③ ④ (2x －1)2
－x 2
＝0
用因式分解法解一元二次方程的“四步法”
(2)20x x x -+-=3(21)42x x x +=+
练习2、用因式分解法解下列方程： ① x 2-4x=0 ② 4x 2-49=0
③ x ＋1＝x(x ＋1) ④ 3(1)2(1)x x x -=-
⑤ (2x-1)2
=(3-x)2
⑥ 5x 2
-20x+20=0
要点突破2 选择恰当的方法解一元二次方程 解一元二次方程的方法选择及基本思路
(1)解一元二次方程常见的方法有__________、________、________、____________.
(2)________、________适用于所有的一元二次方程，而____________、____________适用于某些一元二次方程.
(3)解一元二次方程的基本思路是将二次方程化为________________，即____________. 【例2】选择恰当的方法解下列方程： (1) x 2－3x ＋1＝0； (2)(x －1)2＝3；
(2) (3x －4)2＝9x －12； (4)x 2－2x ＝4.
【针对训练】
3.解方程：①(x ＋1)2＝3，②x 2－3x －1＝0，③(x －2)2
＝(2x ＋1)2
，在选项给出的方法中，最为简捷
的一组是( )
A.①直接开平方法；②因式分解法；③配方法
B.①因式分解法；②配方法；③公式法
C.①公式法；②配方法；③因式分解法
D.①直接开平方法；②公式法；③因式分解法
4.用适当的方法解下列方程:
(1)(x-1)2
=3; (2)x 2
+2x-2=0;
(3)x 2－3x ＋2＝0； (4)x(3x-2)=3x-2.
一元二次方程的解法选择
一元二次方程主要有四种解法，它们的理论依据和适用方程的形式如下表：
【巩固练习】
5.方程(3)0x x +=的根是
6.方程22(1)1x x +=+的根是___________ 7．方程2x （x-2）=3（x-2）的解是_________ 8．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x 1、x 2，且x 1>x 2，则x 1-2x 2的值等于___
9．若（2x+3y ）2+4（2x+3y ）+4=0，则2x+3y 的值为_________．
10．已知y=x 2
-6x+9，当x=______时，y 的值为0；当x=_____时，y 的值等于9．
11．方程x （x+1）（x-2）=0的根是（ ） A ．-1，2 B ．1，-2 C ．0，-1，2 D ．0，1，2 12、用因式分解法解下列方程：
(1) (41)(57)0x x -+=
(2) 2x =
(7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x 2+x （x-5）=0
(5)22(3)9x x -=-
（6）2216(2)9(3)x x -=+
13、把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
达标检测(10分钟) 14.方程x 2
＝x 的解是( ) A.x ＝1 B.x ＝0
C.x 1＝1，x 2＝0
D.x 1＝－1，x 2＝0
15.解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法 是( )
A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
16.若关于x 的一元二次方程的根分别为－5，7，则该方程可以为( )
A.(x ＋5)(x －7)＝0
B.(x －5)(x ＋7)＝0
C.(x ＋5)(x ＋7)＝0
D.(x －5)(x －7)＝0 17.方程x(x －2)＝x 的根是_________. 18.解方程：
(1)4x 2＝11x ； (2)x 2－6x －4＝0.
21.2.6一元二次方程根与系数的关系 1、知识准备
( 1 ) 一元二次方程的一般式：
（2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式：
2、探究1：完成下列表格
问题：你发现什么规律？ 探究2：完成下列表格
问题：上面发现的结论在这里成立吗？ 请完善规律； ax 2+bx+c=0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理） ax 2+bx+c=0的两根1x = , 2x =
12x x + = 12.x x =
要点突破1 一元二次方程的根与系数的关系 【例1】不解方程，求下列方程的两根和与两根积： （1）x 2-6x-15=0 （2）3x 2+7x-9=0 （3）5x-1=4x 2
【例2】已知方程2290x kx +-=的一个根是 -3 ，求另一根及K 的值。 【针对训练】
1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
第二十一章 一元二次方程巩固练习题 姓名：__________ 一．选择题（共10小题） 1．方程(m ﹣1)x 2+2x +3=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m ≠一1 B ．m ≠1 C ．m ≠2 D ．m ≠3 2．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5 3．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ． 12 4．方程：x 2﹣25=0的解是（ ） A ．x =5 B ．x =﹣5 C ．x 1=﹣5，x 2=5 D ．x =±25 5．一元二次方程x 2+6x ﹣5=0配方后变形正确的是（ ） A ．(x ﹣3)2=14 B ．(x +3)2=4 C ．21(6)2 x += D ．（x +3）2=14 6．用公式法解方程4x 2﹣12x =3所得的解正确的是（ ） A ．32x -±= B ．32x ±= C ．32x -±= D ．32x ±= 7．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（ ） A ．x 1=1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1=﹣1，x 2=2 D ．x 1=﹣1，x 2=﹣2 8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2 9．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣1 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞﹣1且m ≠0 10．广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a %，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（ ） A ．188(1+a %)2=118 B ．188(1﹣a %)2=118 C ．188(1﹣2a %)=118 D ．188(1﹣a 2%)=118 二．填空题（共10小题） 11．已知关于x 的方程mx |m ﹣2|+2（m +1）x ﹣3=0是一元二次方程，则m = ． 12．把一元二次方程3x （x ﹣2）=4化为一般形式是 ． 13．方程（x ﹣1）2=1的解为 ．
九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．
《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析 一、单项选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x ﹣3）2=4+9 2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范畴是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1 3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm 4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k 的取值范畴是（） A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤ 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分不为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（） A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2 6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，打算在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则能够列出关于x的方程是（） A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0 7．下列方程有两个相等的实数根的是（） A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0 8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务进展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛进展，2014年增速位居全国第一．若
课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8
练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=
《一元二次方程》实际应用题专项练习（一） 1．今年国庆中秋双节同庆，某店推出了莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼两种月饼，其中莲蓉蛋黄月饼每盒成本15.5元售价40元，流心芝士月饼每盒成本18元售价48元．两种月饼均为整盒出售，不售散装．中秋节前，莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼共销售了400盒，销售总额为17440元． （1）中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了多少盒？ （2）为迎接双节，中秋当日该店大促销，莲蓉蛋黄月饼“买一送一”（买一盒送一盒）但销售单价不变，其当日销量（不算赠品）达到中秋前售卖的莲蓉蛋黄月饼总销量的； 流心芝士月饼每盒销售单价减少，其当日销量比中秋节前流心芝士月饼总销量增加了5a%．中秋当日两种月饼的销售利润为2736元，求a的值． 2．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．经调查发现，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该衬衫每件降价5元，则当天该衬衫的销量为件，当天可获利元； （2）设每件衬衫降价x元，则商场日销售量增加件，每件衬衫盈利元（用含x的代数式表示）； （3）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ 3．随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双
十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一” 当天的订单量增长率相同． （1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率； （2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？ 4．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年3月份的进价如表： 普通口罩N95口罩 进价（元/包）8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩售价贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价． 5．“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所
21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；
（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：
二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入
如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3
C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________
解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点， 所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.
基础知识反馈卡·21.1 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) ) (的一元二次方程，则x 是关于0＝c ＋bx ＋2x 1)－a (．若1 A ．a ≠0 B．a ≠1 C ．a ＝1 D ．a ≠－1 化成一般形式后二次项的系数 1)－x (x ＝1＋x 1)＋m (－2x 2．一元二次方程2为1，一次项的系数为－1，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 二、填空题(每小题4分，共12分) ＝ m 的一元二次方程，则x 是关于0＝1＋mx 3＋|m |x 2)＋m (．方程3_______________. ．______的值是m ，则2有一个解为0＝5＋x 1)－m (＋2mx 的方程x ．若关于4 ，二次项 ________________化为一般形式为5＝23)－x (．把一元二次方程5为________，一次项系数为__________，常数项为________. 三、解答题(共7分) ，求 1＝－x 有一根是0＝5＋mx 3＋2x 1)－m (2的一元二次方程x ．已知关于6m 的值．
时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) ) (，正确的配方为0＝1－x 23 －2 x ．用配方法解方程1 109＝ 2? ????x －13D. 0 ＝109＋2? ????x －13C. 59＝2? ????x －23B. 89＝2? ????x －13A. ) (的根的情况是0＝14 ＋x ＋2 x ．一元二次方程2 A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 二、填空题(每小题4分，共12分) ________. ＝2x ，________＝1x 的解0＝12－x 4－2x ．方程3 ．____________配方后的方程为0＝5－x 2＋2x ．4 ________. ＝x ，得到3＝x 12－2x 4．用公式法解方程5 三、解答题(共7分) 0. ＝2－mx －2x 的一元二次方程x ．已知关于6 (1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根．
___________ 一名师推荐____ 精心整理_______ 学习必备. 21章一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2? bx ? c = 0（a = 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如ax2 bx 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a = 0时是一元二次方程。 二、一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，女口：当x = 2 2 2 时，x -3x 2 = 0所以x=2是x -3x 2 = 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法： 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b_0时，x a=g b，x =「a—b，
当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）x2二aa-0的解是x二 a ； __________ 名师推荐_______ 精心整理______ 学习必备. (2) (x+m)2= n(n 兰0 )的解是x = 土亦一m ; (3) mx n $ = c m = 0,且 c _ 0 的解是x = ——n。 m 2、配方法： 配方法的理论根据是完全平方公式a2_2ab b2二(a b)2，把公式中的a看做未知数X,并用X代替，则有X2_2bx b2=(x_b)2。 (一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式 (2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3)把原方程变为(x+m$=n的形式。 (4)若n 一0,用直接开平方法求出x的值，若n<0,原方程无解。 (二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为ax2? bx ? c = 0 a = 0,a = 1时，用配方法解一元二次方程的步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式 (2)先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1:方 程的左、右两边同时除以二项的系数； (3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为(x+m f=n的形式； (4)若n 一0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念： 中考常见题型： 例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）： 中考常见题型： 例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例
例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根． 练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）：
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程???→ 降次一元一次方程
2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42 -=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解 决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
《第21章一元二次方程》 一、单项选择题:(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上) 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是( ) A．(x﹣6)2=﹣4+36 B．(x﹣6)2=4+36 C．(x﹣3)2=﹣4+9 D．(x﹣3)2=4+9 2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1 3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( ) A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm 4．若关于x的一元二次方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是( ) A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤ 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2 =4，则m+n的值是( ) A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2 6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( ) A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0 7．下列方程有两个相等的实数根的是( ) A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0 8．我省2020年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2020年增速位居全国第一．若2020年的快递业务量达到4.5亿件．设2020年与2020年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( ) A．1.4(1+x)=4.5 B．1.4(1+2x)=4.5 C．1.4(1+x)2=4.5 D．1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5
一元二次方程全章测试及答案 一、填空题 1．一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的解是______． 2．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______． 3．小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是 x ＝______． 4．当a ______时，方程(x －b )2＝－a 有实数解，实数解为______． 5．已知关于x 的一元二次方程(m 2－1)x m －2＋3mx －1＝0，则m ＝______． 6．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝0的一个根是3，则a ＝______． 7．若(x 2－5x ＋6)2＋｜x 2＋3x －10｜＝0，则x ＝______． 8．已知关于x 的方程x 2－2x ＋n －1＝0有两个不相等的实数根，那么｜n －2｜＋n ＋1的化 简结果是______． 二、选择题 9．方程x 2－3x ＋2＝0的解是( )． A ．1和2 B ．－1和－2 C ．1和－2 D ．－1和2 10．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 11．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是( )． A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 12．如果关于x 的一元二次方程02 22=+-k x x 没有实数根，那么k 的最小整数值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 13．关于x 的方程x 2＋m (1－x )－2(1－x )＝0，下面结论正确的是( )． A ．m 不能为0，否则方程无解 B ．m 为任何实数时，方程都有实数解 C ．当2 第21章一元二次方程测试题 一．选择题（共14小题,42分） 1．若方程（a+1）x2+ax﹣1=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a≠0C．a≠1D．a≠﹣1 2．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．5D．1 3．方程x2=4x的根是（）A．x=4B．x=0C．x1=0，x2=4D．x1=0，x2=﹣4 4．若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（） A．正数B．非负数C．一切实数D．零 5．一元二次方程x2﹣3x=1的两个实数根为α，β，则α+β值为（）A．3B．﹣1C．﹣3D．1 6．将一元二次方程x（x﹣9）=﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（） A．9，3B．9，﹣3C．﹣9，﹣3D．﹣9，3 7．在下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（） A．ax2+x+1=0B．x2=0C．（）2++1=0 D．x（x﹣1）=x2． 8．一元二次方程x2﹣10x+21=0可以转化的两个一元一次方程正确的是（）A．x﹣3=0，x+7=0B．x+3=0，x+7=0C．x﹣3=0，x﹣7=0 D．x+3=0，x﹣7=0 9．某区2016年应届初中毕业生为5万人，2017年、2018年两届毕业生一共为12万人，设2016年到2018年平均每年学生人数增长的百分率为x，则方程可列为（）A．5（1+x）2=12B．5+5（1+x）2=12 C．5+5（1+x）+5（1+x）2=12D．5（1+x）+5（1+x）2=12 10．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 一元二次方程单元测试题 一.选择题 1. 下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ）个 ①2203x -= ②1 21x x x -=- ③2(3)0x x y -= ④222(1)30x x x -+-= A 1 B 2 C 3 D 4 2将方程2342x x -=-化为一元二次方程的一般形式后，二次项的系数、一次项的系数、常数分别为（ ） A 3；-4；-2 B 3；2 ；-4 C 3 ；-2 ；-4 D 2 ；-2 ；0 3.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()2 16 x += B ．()2 16 x -= C ．()2 29 x += D ．()2 29x -= 4.若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B. 1k >-且0k ≠ C.1k < D 1k <且0k ≠ 5．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6. 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定 7. 设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 8. 为了让惠州的山更绿、水更清，2012年市委、市政府提出了确保到2014年实现全市森林覆盖率达到63%的目标，已知2012年我市森林覆盖率为60.05%，设从2012年起我市森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．()60.051263%x += B ．()60.051263x += C ．()2 60.05163%x += D ．()2 60.05163x += 9. 如图9，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===， 且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（ ） A ．4+ B ．12+ C ．2+ D ．212++ A D C E B 图9 一元二次方程的概念与方程的解 【知识点】： 1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式20（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中2是二次项，a 是二次项系数；是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．） 3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】: 例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。 ① k2x + 5k + 6 = 0 ；②2x2 － 43x － 21= 0 ；③3x2 + x 1 － 2 = 0； ④3x2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2 = －1；⑥（2x －1）2 = （x －1） （4x + 3）。 例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2 =+--是一元二次方程，求m 的值。 例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x2 －x + a2－1 = 0的一根是0，则 a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2 1。 【夯实基础练】： 一）、填空题： 1、方程（x －4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 2、（11滨州）若2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为. 3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mx m 是一元二次方程，则m2 = 。 4、（2012惠山区）一元二次方程（1）x22-1=0的一个根为0，则 ． 5、已知关于x 的方程2 + + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + ，a －b + c = 。 6、关于x 的方程（k2－1）x2 + 2 （k －1）x + 2k + 2 =0，当k ≠ 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。 二）、选择题： 1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A 、01232=++x x B 、531212-=x C 、011.02=+-x x D 、)2)(1(2-+=+x x x x 2、方程53)3)(3()12(32++-+=-x x x x 化为一般形式后，a 、b 、c 的值分别为 （ ） A 、a = 5，b = 3，c = 5 B 、a = 5，b = －3，c = －5 C 、a = 7，b = 3，c = 5 D 、a =8，b = 6，c = 1 三）、解答题： 《第21章一元二次方程》 一、精心选一选: 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( ) A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3(x+1)2=2(x+1) D． +﹣2=0 2．用配方法解方程:x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是( ) A．(x﹣2)2=2 B．(x+2)2=2 C．(x﹣2)2=﹣2 D．(x﹣2)2=6 3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是( ) A．36(1﹣x)2=36﹣25 B．36(1﹣2x)=25 C．36(1﹣x)2=25 D．36(1﹣x2)=25 4．若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是( ) A．2 B．1 C．﹣1 D．0 5．若b(b≠0)是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为( ) A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足( ) A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 7．已知关于x的方程x2﹣(2k﹣1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是( ) A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 8．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为( ) A．2 B．0 C．﹣1 D．无法确定 9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为2020的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程( ) A．x(13﹣x)=2020．C．D． 10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+(2m ﹣1)x+m2+3=0的根，则m的值为( )第21章一元二次方程测试题
第21章《一元二次方程》单元测试题
一元二次方程全章讲义
新人教版《第21章一元二次方程》单元达标测含答案
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