[人教 A 版教学设计]
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
广州市第三中学 数学科 刘窗洲
一、教学目标：
1、培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两
角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构 。
2、领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形(突出
2C α 的两种变形)并理
解 倍角 的 相对性 。
3、会利用倍角公式进行求值运算、化简，培养学生运算、分析和逻辑推理能力 。 二、重点与难点：
1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式 。
2、难点是倍角公式的形成 及 公式的变形 。
三、教学过程(师生互动):
1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而
知新。)
☆ 复习回顾： sin()αβ+=
cos()αβ+=
tan()αβ+=
我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。那么，如
何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正
切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系 。让学生领悟到：
2ααα=+
☆ 举一例引导化归思想：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
sin(α+★)sin cos α=★cos sin α+★ ( ★ 表示任意角)
当 β 取特殊角 α 时，上述公式表示为: sin()sin cos cos sin αααααα+=+
即： sin 22sin cos ααα= ，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊
的化归思想 。
☆ 双向沟通： (请把化归的结果填入下面的式中)
sin 2α= 简记： 2()S α
cos 2α= 简记： 2()C α
tan 2α= (2k παπ≠
+且)()42
k k Z ππα≠+∈ 简记：2()T α
我们发现 22cos 2cos sin ααα=- 公式的右边既有 cos α 也有 sin α ，假设已知 sin α 的值，要求 cos 2α 的值，就必然要再求到 cos α 的值，然后再代入公式求解 。
如果每次都如此，则会变得工作重复，试问是否可通过公式变形用 cos α 或 sin α 来单
独表示 cos 2α 以达到公式简洁，从而避免重复工作，提高解题速度 。
利用 22sin cos 1αα+= ， 公式 2C α 还可以变形为：
cos 2α= 或 cos 2α=
☆ 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令 = (实现一般化
归为特殊) 。
上面这些公式都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍
角的三角函数 。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体
会化归(这里是将一般化归为特殊)这一基本数学思想所起的作用 。
2、公式的运用：
☆ 师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数 的对比、系数的对比、幂次数的对比学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的 。 注意以下题组的变化：(让学生自己发现变化之处)
sin 22sin cos ααα= 22cos 2cos sin ααα=-
sin α= cos 4α= sin
2α= cos 6α= sin
4α= cos8α=
在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化 。为了 进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计三个梯度的课堂练 习以达到相关目的 。
☆ 梯度一：(熟练公式结构)
（1）002sin 6730'cos6730'?= (公式的逆用)
（2）22cos sin 8
8π
π-= (公式的逆用) （3）22cos 112π
-= (公式的逆用)
（4）2012sin 75-= (公式的逆用)
（5）0
202tan 22.51tan 22.5
=- (公式的逆用) ☆ 梯度二：(倍角的相对性) (1) sin 2α
= sin cos (2) cos 3α
= 2cos 2sin -
(3) sin 3cos3αα?= (公式的逆用伴有系数的变化) (4) 4sin cos 44α
α
?= (公式的逆用伴有系数的变化)
评xxx老师上《二倍角的正弦、余弦、正切公式》一课 X X 中学x x x 2012年4月12日（星期四），我们备课组有幸听了xxx老师上的课——《二倍角公式》，我们深深地体会到新课程不仅要求教师的观念要更新，而且要求教师的角色要转变，同时新课程要求教师提高素质、更新观念、转变角色，必然也要求教师的教学行为产生相应的变化。xxx老师这节课的教学设计既符合数学的学科特点,也符合学生的心理和思维的发展特点，设计主题鲜明，思路清晰，课堂节奏把握较好，各环节紧扣，层层推进，在教法上，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。在学法上，以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展以及学生的学习体验，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。具体我认为有以下特点： 1、新课改的核心理念是：以学生发展为本。xxx老师这节课以复习引入——提出问题——探索尝试——启发引导——解决问题——练习巩固.的设计流程，去体现“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式。让学生在由和角公式探究出倍角公式的过程中感受一般化归为特殊的基本 数学思想方法，学生的印象是极其深刻的。
2、本节课的重要内容是二倍角公式的应用，故xxx老师设计了该公式的正用、逆用及变形应用，从而让学生在直接正用公式的基础上去发现数学规律，逐步掌握灵活运用的方法，这种引导是否成功是教学的关键所在，经当堂检测效果是非常好的。 3、教学过程中学是中心、会学是目的，本节课通过“探索特殊情形、发现数学规律、主动学习应用”的创新式学习方法，增强了学生的参与意识，使学生真正成为学习的主人，真正体会学习数学的成就感。 4、由于二倍角公式是和角公式的特殊形式，同时，二倍角公式又可以和后面的半角公式联系起来，所以二倍角公式的地位是显而易见的。其次，二倍角公式的应用也比较广泛，在三角函数式的计算、化简、求证及简单应用中都会涉及到。最后，二倍角公式的证明本身就是一种化归的数学思想。但是公式的推导本身相当简单，难点在于公式的应用。它对于学生的思维及能力是一个相当大的挑战。毕竟，公式本身就是符号的集合，抽象是其主要特征。当然也正因为其抽象性，才具有广泛的迁移性及应用。因此，xxx老师的练习设计从简到繁，由易到难，层层推进，全方位、多层次，既遵循了学生的认知规律，又尊重和关注了全体学生，使全班学生都能全面发展。 5、xxx老师在整个课堂教学过程中，始终将教师的指导教学和学生的自主学习有效地结合起来，非常圆满完成了本节内容的教学任务。并且，十分注重讲练结合，提示和点评都能够结合学生的实际情况进行。另外从学生的角度来说，通过二倍角公式的学习和应用，使
二倍角的三角函数 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）能够由和角公式而导出倍角公式； （2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； （3）能推导和理解半角公式； 4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教法 教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 （一）探究新知 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？ 3、让学生板演得下述二倍角公式：
α-=-α=α-α=ααα=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin ααα2tan 1tan 22tan -= [展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？ 注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. （二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22?30’cos22?30’=4 245sin 21=ο ②．=-π18 cos 22224cos =π ③．=π-π8cos 8sin 22 224cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)12 5cos 125)(sin 125cos 125(sin 2365cos 125cos 125sin 22 =π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．=α+-α-tan 11tan 11α=α -α2tan tan 1tan 22 ④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例3、已知),2 (,135sin ππ∈α= α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α
课题十：二倍角公式的应用，推导万能公式 教学第一环节：衔接阶段 回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。 了解家长的反馈意见 通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪 了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据 教学第二个环节：教学内容 一、解答本章开头的问题： 令AOB = , 则AB = a cos OA = a sin ∴S 矩形ABCD = a cos ×2a sin = a 2sin2 ≤a 2 当且仅当 sin2 = 1， 即2 = 90， = 45时, 等号成立。 此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2 2 二、半角公式：在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的 例一、求证：α +α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1在 α-=α2sin 212cos 中，以代2，2 α代 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2在 1cos 22cos 2-α=α 中，以代2，2 α代 即得： 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3以上结果相除得：α +α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1左边是平方形式，只要知道2 α角终边所在象限，就可以开平方。 2公式的“本质”是用角的余弦表示2 α角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4 还有一个有用的公式：α α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证） 三、万能公式 B C a A O D
《二倍角的正弦、余弦、正切》说课稿 张彩霞 各位老师， 大家上午好！今天我说课的题目是全日制普通高级中学 教科书（必修）数学第一册（下）第四章三角函数第七节《二倍角的正 弦、余弦、正切 》的第一课时。我将从以下几个方面来说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习 了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，是三角 函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。 2、教学目标： （1）知识目标：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。能够熟 练地正用，逆用以及变形。 （2）能力目标：通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的引入、理解， 以及研究二倍角的正切公式的存在条件和师生之间的互相活动来提高 学生化归、分析、概括、猜想等数学能力。 （3）情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交 流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。培养学生勇于 探索、勇于创新的精神。
3．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 以及二倍角的余 弦公式的两种变形及应用。 4．教学难点：是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、 诱导公式、和（差）角公式的综合运用。 二、说教学方法 根据本节课的教学内容 ,教学任务以及所面临的教学对象 .我所采用的 教学方法如下; 1.从一般到特殊的化归思想方法. 2.练习巩固法 3.分析法 三、说学法 1．由一般到特殊，再由特殊到一般的化归方法 2．观察分析法 3．练习巩固法 四、说教学设计： 一堂课成败的关键，主要是看教学设计的条理性与清晰性和逻辑性，我 将从以下几个环节来进行设计。
《两角和与差的余弦公式》教学设计
《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维
以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。
三角函数的二倍角公式及应用 一． 考点要求 1、 熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用； 2、 领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美 3、 公式应用的方法与技巧。 二、公式再现； 1、二倍角公式； sin2a= 2sinacosa 。 cos2a =22cos sin αα- = 22cos 1α-= 21sin α- tan2a= 22tan 1tan αα - 2、降幂公式；2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22α αα α-= += 三；闯关训练 A 、类型一 公式逆用 逆用公式，换个角度豁然开朗，逆过来看茅塞顿开，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现； 1、求下列各式的值 ()；??cos15sin151 ()8 s i n 8 c o s 22 2 π π - () ? -?5.22tan 15.22tan 32 ； ()15.22cos 242 -? B 、、类型二----公式正用 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感
知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的。 2、已知(),5 3 sin -=-απ求α2cos 的值。 3、已知?? ? ??∈-=ππ ααα,2 ,sin 2sin ，求αtan 的值。 C 、、类型三----化简 ()()()2 4441sin cos ;2cos sin a a θθ +-、 四．能力提升； 1， 已知,128,5 4 8 cos παπα <<-=求4 tan ,4 cos ,4 sin α αα的值 2、已知,2 4,1352sin π απα<<=求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。 3、化简 ()() 11 1sin cos cos 2;2; 1tan 1tan x x x θθ--+ 4.x x - 5. 求值：（1）0000sin13cos17cos13sin17+ （2）0 1tan 751tan 75+- （3）2 2 cos sin 8 8 π π - 6.已知a ，β都是锐角，cosa=17 ，cos ()αβ+=11 14 -，求cos β的值。 7、 已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=求tan2a 及tan 2β的值。 8、求值0000tan 70tan1070tan10- 9、.已知函数 2cos cos x x x +，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。 五；高考链接
二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇
α 1tan tan 二、提出问题：若β = α 让学生板演得下述二倍角公式：
一、例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2．=-π 18 cos 22 224cos = π 3．=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4．=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=
2．=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3． =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ +θ2 cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？ 解：= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一） 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -
二倍角公式教案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
二 倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学方法： 讨论式教学＋练习 五、教学过程 1 复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学习二倍角的相关公式。 2 公式推导 在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟） （1）提问： sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= tanα+ tanα1－tanαtanα =2tanα1－tan 2α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= 2tanα1－tan 2α （2）提问：对于cos2α= cos 2α－ sin 2α，还有没有其他的形式？ 利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α
二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S(α+β)C(α+β)T(α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学方法： 讨论式教学＋练习 五、教学过程 1 复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容：sin（α+β）= cos（α+β）= tan（α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学 习二倍角的相关公式。 2 公式推导 在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课 本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟） （1）提问： sin2α=sin（α+α）= sinαcosα+cosαsinα= 2sinαcosα cos2α=cos（α+α）= cosαcosα－sinαsinα= cos2α－sin2α tan2α= tan（α+α）= αα －αα =α －α 整理得: sin2α=2sinαcosα cos2α= cos2α-sin2α tan2α= α －α （2）提问：对于cos2α= cos2α－ sin2α，还有没有其他的形式？ 利用公式sin2α+ cos2α=1变形可得： cos2α= cos2α－sin2α=cos2α－（1－cos2α）=2cos2α－1 cos2α= cos2α－sin2α=（1－sin2α）－sin2α=1－2sin2α因此：cos2α = cos2α－sin2α =2cos2α－1 =1－2sin2α
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案 珠海市田家炳中学：温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法：研讨式教学，多媒体教学； 六、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式， ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±； ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±． (二) 复习练习： （三）公式推导： 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ？
首先，感谢老师为我们精心准备的精彩课堂，让我们听课的每一位老师受益匪浅！下面谈谈我学习这节课后的感受： 一、首先这是一节“有知识”的课，这其实是最基本的要求。知识不是讲的越多就越好，要讲的精准、精炼、精彩。少则得，多则惑。怎样把握好这个度，取决于你对规律的把握和对学生的了解，知道学生的困惑在哪。听完黄丹老师《倍的认识》这节课可以看出课前她有认真钻研教材，能认真领会教材编排意图，运用好教材确定重难点。《倍的认识》选自于数学教材三上第五单元。原来这一内容是二年级的，但因为二年级只认识了乘法，所以只能从乘法的角度去理解倍的含义。这样就知识本身来是不够完整的。因此，2011版的数学教材将其安排在了三年级上册，这时学生已经认识了乘法，也认识了除法，教学时可以从两方面来理解与应用，学生可以学得更好，理解得更透彻。“倍的认识”是这一单元的起始课，目的在于认识倍，知道倍的含义，“倍”在小学数学里是一个重要概念，本节课是学生第一次接触“整数倍”的概念。也是学生后续学习小数倍、分数（表示率）、百分数、比的内容的基础，也可以看成是对“整数倍”的拓展。但是，对于低年级学生来说，倍的含义比较难理解。与学生在一年级就已掌握的“比大小”相比，倍虽然也反映两个数量之间的比较关系，但它反映的是两个数之间的比率关系，因而较之“比大小”更抽象一些。这一概念知识的生长点是乘法的意义，有关倍数的三类应用题（求一个数是另一个数的几倍，求一个数的几倍是多少；已知一个数的几倍是多少，求这个数），分数、百分数的应用题，这些都与“倍”的概念有很密切的联系，所以“倍”的概念建立至关重要。是三年级数学教学重点、难点之一，它的概念也是比较抽象的。 为了更好建立倍的概念，黄老师没有给“倍”直接下定义，而是通过大量的感性材料和通过学生的观察思考，动手操作、比较，从而得出两数之间的数量关系，体验、明白“把什么当作标准量（1份），有几个这样的1份，就是这样的几倍”，从而逐步建构“倍”这一概念，整节课黄老师非常重视学生对“倍”的意义理解，多角度、循序渐进建立倍的概念，精心组织学生的学习活动。在让学生分清三种萝卜及名称后，通过组织学生认真看、动手摆、积极说，使学生的脑海里产生初步的表象，再引导学生通过小组的合作探究，找出知识的共同特征，从而初步形成了倍的概念。整节课对知识的传授非常流畅，重点突出、难点突破。 二、这是一节“有方法”的课 知识的重要性大家都知道，如何让学生愉快的学知识，这就得有方法，黄老师的这节课设计巧妙，很有方法，课前游戏环节轻松愉悦，巧妙渗透本课关键“标准量”,探究新知
15.2 二倍角公式 教学案 【学习目标】 1.会推导二倍角的正弦、余弦公式 2.熟记二倍角的正弦、余弦公式及变形公式 3.能够正确应用公式进行简单的三角函数化简，求值等。 【学习重点】：熟记公式并灵活应用 【学习难点】：抓住公式的结构特点，凑配公式形式 【学习过程】: （一）课前检测 化简下列各式（做题前请写出本题可能用到的公式）（5分钟） 1、cos440 cos760-sin440cos140 2、2cos200-2sin200 （二）新知探究 二倍角公式： ____;__________2sin =α ______________________________________________2cos ===α； 由二倍角的正弦、余弦公式可得变形公式： .______________cos ____;__________sin 22==ααsin cos αα= 1cos2α+= ；1cos2α-= ；1sin2α+= ；1sin2α-= ； 1.若3sin ,(,)52 πααπ=∈，则sin2α= ；cos2α= ；tan2α= ； 2．sin22?30/cos22?30/=__________________; 3．22 cos 112π-=_________________; 4.8cos 2π 8sin 2π -=____________________; 小结：1.倍角公式的正用与逆用；2.理解“二倍角”的广义含义即两个角之间二
倍关系如24364824284 αααααααααααα与；与；与；与；与；与分别都是二倍角的关系 （三）能力提升 1、=-2sin 2cos 44 αα32，则cos α=( ) A. 32 B.－3 2 C.35 D.－35 2、已知180°＜2α＜270°，化简αα2sin 2cos 2-+=（ ） A 、-3cosα B 、3cos α C 、－3cos α D 、3sin α－3cos α 3、已知4sin(2),cos45απα-==则 4、已知4sin ,(8,12)85ααππ=-∈，求 sin ,cos ,tan 444ααα的值。 5、已知13cos()cos sin()sin ,( ,2)32παββαββαπ+++=∈，求cos(2)4πα+的值 6．已知5cos 13α=-，4cos 5β=，且(,)2παπ∈，(0,)2 πβ∈，求sin(2)αβ-的值。 小结：1.准确理解二倍角的广义含义；2.灵活与用公式；3.掌握统一角的思想。 （四） 学后反思与总结 本节课你学到了哪些知识？还有哪些困惑？你掌握了哪些题型及解决的方法？
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 教学分析 “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”. 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神. 三维目标 1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点 教学重点：二倍角公式推导及其应用. 教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 (问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=53,α∈(2 ,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？
运用二倍角公式解题的五技巧 二倍角公式变化多姿，在求值以及恒等变换中应用很广。若熟练掌握二倍角公式以及变通公式并能灵活运用，则往往能出奇制胜，获得新颖别致的解法。 一、二倍角公式的直接运用 例1 若1 sin cos 3 αα+=，0απ<<，求sin 2cos 2αα+的值。 分析：由条件式两边平方，可求得sin 2α的值。注意到22 cos 2cos sin ααα=- (cos sin )(cos sin )αααα=+-，还需求c o s s i n α α-的值，于是先求22(cos sin )(sin cos )4sin cos αααααα-=+-的值， 然后开方，从而要进一步界定α的范围。 解：由1 sin cos 3 αα+= 两边平方得112sin cos 9αα+=，所以4sin cos 9αα=-。又 0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，所以α为钝角。所以8 sin 22sin cos 9 ααα==-， cos sin αα-= 3 ==- ，所以22cos 2cos sin ααα=-(cos sin )(cos sin )αααα=+ -1(3=?=，从 而sin 2cos 2αα+=。 点评：挖掘隐含得到α 为钝角是解题的一个重要环节。注意导出公式 21sin 2(sin cos )ααα±=±。 二、二倍角公式的逆用 例2 求tan cot 8 8 π π -的值。 解：tan cot 8 8 π π -sin cos 88cos sin 8 8 πππ π =-2 2sin cos 8 8cos sin 88 π π ππ -= cos 41sin 24 π π-= 2cot 24π=-=-。 点评：本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式，从而转化为特殊角函数的求值问题。 三、二倍角公式的连用 例3 求cos12cos 24cos 48cos96 的值． 分析：242 12=? ，48224=? ，96248=? ，联想二倍角的正弦公式αααcos sin 22sin =，若逐步逆用将是一条通途． 解：cos12cos 24cos 48cos96 sin12cos12cos 24cos 48cos96sin12 = sin19216sin12= sin12116sin1216 -==- 。 点评：对形如αααα1 2cos 4cos 2cos cos -n 的求值问题可考虑此法．若逆用诱导公式ααπcos )2sin(=±可知74cos 72cos 7cos πππ14 5sin 143sin 14sin π ππ-=，即对于正弦之 积或正弦余弦混合积的求值问题先利用诱导公式转化为余弦之积的形式利用此法求解． 四、整体配对使用二倍角公式 例4．求值： 78sin 66sin 42sin 6sin 分析：本题可按例２的点评部分所说的方法处理，这里介绍整体构造法．
《倍的认识》评课稿 本节课是学生接触“倍”的概念的第一节课，目的是要求学生初步建立倍的概念，理解倍的概念，初步建立“求一个数的几倍是多少”的计算思路。吴老师在本课的设计以及执教上，有以下几个特点： 一、创设情境，激发学生学习兴趣。 在课的开始，根据学生的年龄特点，提供了多种素材让孩子圈一圈、说一说、从而引出课题“倍的认识”。这样既激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性又分散了本课的难点。再通过学生活动，摆圆片既让学生主动去设定一份数，还思考怎么摆能令人一目了然看出倍数关系，这就让学生时刻不忘一份数这个标准量，对倍概念的建立强化巩固了，也使新知识（倍）和旧知识（几个几）的联系更加地紧密，使学生的学习状态自然地从旧知识的巩固转移到新知识的学习中去。 二、引导学生主动探索，给予学生创新的时间和空间 教师转变观念，转换角色，把自己置于学生学习活动的组织者、引导者和合作者的地位，调动学生已有的经验去积极地思考，让他们通过自己的观察和比较去主动探索，尽量给学生多一点思考的时间，多一点自主活动的空间，多一点表现自己的机会，多一点探索成功的喜悦。在练习的设计中，教师请学生摆3倍关系，当学生汇报摆的结果时，引导学生说明为什么这样摆。通过学生动手操作，动口表述，使学生对“倍”的概念以及“一个数的几倍”有了深入的理解。 三、注重学生学习的主体地位。 学生是学习的主人，整个数学活动吴老师以学生为主体，教师只是引导者、合作者。本节课的教学，很好地体现了学生的主体地位，学生在学习的过程中，既能独立自主地学习数学知识，又能合理地引导学生进行合作探究。在初步形成“倍”的概念时，让学生学、说、圈，使学生的脑海里产生初步的表象，再引导学生通过小组的合作探究，找出知识的共同特征，从而初步形成了“倍”的概念。
高考数学复习点拨：二倍角公式的两个 特殊变式及应用 二倍角公式的两个特殊变式及应用 浙江周宇美 一、变式 变式1：sin2＝sin2(＋)－cos2(＋) ＝2sin2(＋)－1 ＝1－2cos2(＋)． 变式2：cos2＝2sin(＋) cos(＋)＝2sin(＋) sin(－)． 以上两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为(＋)．其实证明只需运用诱导公式再结合倍角公式即可解决．由sin2＝－cos(2＋)＝－cos2(＋)，及cos2＝ sin2(＋)，再用倍角公式即可． 二、应用 变式1、2主要用于题中含有2与±问题的转化． 例1 已知cos(＋)＝，求． 分析：本题只需将sin2及sin(－)，运用变式及诱导公式转化成cos(＋)形式即可解决问题． 解：∵cos(＋)＝，由变式1，得 sin2＝1－2cos2(＋)＝． sin(－)＝cos(＋)＝．
∴ 原式＝． 例2 已知sin(＋x)sin(－x)＝，x∈(，)，求sin4x的值． 分析：本题只需求cos2x即可，又由变式2并结合题意即可 解决． 解：由变式2，得 cos2x＝2sin(＋x)sin(－x)＝，又2x∈(，2)， ∴ sin2x＝－＝－． ∴ sin4x＝2sin2xcos2x＝－． 例3 已知x∈(－，)，且sin2x＝2sin(x－)，求x的值． 分析：将角2x与x－统一即可，又运用变式1即可达到目的．解：由变式1，原方程可化为 1－2cos2(x＋)＝－cos(x＋)． 解得cos(x＋)＝1或cos(x＋)＝－． 又x∈(－，)， ∴x＋＝0或x＋＝， ∴ x＝－或x＝－．
在开放、互动中促进学生全面发展 ——评《最小公倍数》一课 各位领导、各位老师： 早上好！刚才我们听了我校的李艳老师执教的《最小公倍数》一课，我看到了一个充满活力的课堂，一个能促进学生全面发展的课堂。下面，我以一个参与研究者的角度，结合我校“动态生成性的教学模式”，从“教学模式谈教材的解读、教学环节谈策略的实施两个方面谈谈研究的思考和听课后的感受。有不当之处，请批评指正！ 首先，结合教学模式谈教材的解读 1、构建知识间的联系，尊重学生的已有经验。 《最小公倍数》是一节概念教学课，是在学生已经学习了“因数和倍数的意义”、“质数和合数”“分解质因数”及“最大公因数”等内容的基础上进行教学的，学生已有找公因数的经验，所以本节课在找“既是2的倍数又是3的倍数”时，学生就很自然地利用找公因数的方法。它既是对前面知识的综合运用，同时又是学生学习“通分”必不可少的知识基础。因而是本单元的教学重点。 只有充分关注和利用学生的已有经验，找准他们的最近发展区，才难较好地了解学生的认知起点，从而挖掘学生身上的课程资源，并紧紧抓住学生的生成资源，以开放的态度对待教学，我们认为这是本课顺利开展的基础。 2、建立知识与生活的联系，引领学生主动构建概念 五年级学生具有一定的生活经验和较为丰富知识背景，“最小公倍数”这一课，与学生的生活实际看似无多大联系，教材选择具有现实性和趣味性的活动素材，将学生置身于生活实际中，并在实际中操作，由浅入深地促使学生在探索与交流中建立公倍数与最小公倍数的概念。 3、与生活、学科紧密联系，树立全方面育人理念。 教材提供的生活素材，让学生感受到数学与生活的密切联系，数学给生活带来的美，及数学在生活中的价值，从而激发学生美好的数学情怀和学习数学的兴趣。另外，在探究过程中不仅煅炼了学生的动手能力，而且培养了学生的合作交流的的意识。所以我们认为教材的用意是让学生在获取数学知识的同时，又让学生的情感态度，动手操作等多方面的能力得到发展。 本课的教学，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的作用。鉴于此，依据课标，我们将本课的教学目标定为：
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标 1．知识与技能 通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2．过程与方法 通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用. 3．情感态度与价值观 通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 二、重点难点 教学重点：二倍角公式推导及其应用. 教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式。. 三、课时安排 1课时 四、教学设想 （一）复习式导入： 同学们首先回顾一下两角和与差的正弦、余弦和正切公式(在草
稿纸上写) cos(α＋β)＝______________________(C α＋β)； cos(α－β)＝______________________(C α－β)； sin(α＋β)＝______________________(S α＋β)； sin(α－β)＝_____________________(S α－β)； tan(α＋β)＝________________(T α＋β)； tan(α－β)＝________________(T α－β)． 你能利用两角和的公式推导出sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式吗？ （二）公式推导： 请同学们看课本P 132—P 133并填写空白，说明为什么？ （学生自己讨论，得出把上述公式中β看成α即可） ()sin2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--． （上述公式成立的条件：2,22k k ππ απαπ≠+≠+）
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例 知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ； 2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ； 3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。 如T(α±β)可变形为: tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测： 1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) 711 A 、 711 B 、- 713 C 、 7 13D 、- 2、已知cos ????α－π6＋ sin α＝4 5 3，则 sin ????α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.4 5 3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5 13 ，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3 D ．0或 ±3 5 、三角式2cos55°－3sin5° cos5° 值为( ) A.3 2 B.3 C ．2 D ．1 题型训练 题型1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]???+. 变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20 ?? ? - 题型2给值求值 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()() ααβαβ=++-， 2()() αβαβα=+--， 22 αβαβ++=? ，()( ) 222αββ ααβ+=--- 例2 设cos ????α－β2＝－19 ，sin ????α2－β＝2 3，其中α∈????π2，π，β∈????0，π2，求cos(α＋β)． 变式2：π3π33π5 0π,cos(),sin(),4445413 βααβ<< <<-=+=已知求sin(α+β)的值. 题型3给值求角 已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。 例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12， tan β＝－1 7 ，求2α－β的值． 变式3：已知tan α= 17，tan β= 1 3 ，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值. 题型4辅助角公式的应用 ()sin cos a x b x x θ+=+ (其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由 tan b a θ= 确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 例4求函数2 5f (x )sin x cos x x =- x R )∈的单调递增区间？ 变式4（1）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= ； （2）若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用 二倍角公式的升幂降幂