矩阵论
1、意义
随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容
《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：
线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．
矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．
3、方法
在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：
线性代数：引入概念直观，着重计算．
矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用．
第1讲 线性空间
内容： 1.线性空间的概念；
2.基变换和坐标变换；
3.子空间和维数定理；
4.线性空间的同构
线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．
§1 线性空间的概念
1. 群，环，域
代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．
代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．
代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．
1.1群
定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．
1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；
2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；
4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．
注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．
1.2 环
定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；
2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；
3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．
注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．
1.3 域
定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．
例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．
此外，还有其它很多数域.如{}
.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间
定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“?”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ?=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：
⑴ 交换律αββα+=+；
⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
⑶ V V ∈?∈?0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；
⑷ V V ∈?∈?βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈?1,α，有 αα=?1；
⑹ αα?=??)()(kl l k ，P l k ∈,；
⑺ ααα?+?=?+l k l k )(；
⑻ βαβα?+?=+?k k k )(，
则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．
例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．
例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ?矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ?．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合r
R 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ?）．
例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．
例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。证明：R +是实数域R 上的线性空间．
证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。唯一性和封闭性．唯一性显然，若,0 x ,0 y k R ∈，则有：xy y x =+R +∈，k k x x =o R +∈， 封闭性得证．
其次，八条性质。
（1）)()()()(z y x z xy yz x z y x ++===++
（2） x y yx xy y x +===+
（3） 1是零元素．x x =+1
（4） 1x 是x 的负元素 111=+=+x
x x x （5） )()()()(y k x k y x xy y x k k k k +===+ [数因子分配律]
（6） )()()(x l x k x x l k l k +==++ [分配律]
（7） x kl x x x l k kl k l )()()(=== [结合律]
（8） x x x ==11 [恒等律]
由此可证，+R 是实数域R 上的线性空间． 证毕
3.线性空间的基本性质：
（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的．
（2） 如下恒等式成立： θ=x 0，)()1(x x -=-．
4.线性组合和线性表示，线性相关和线性无关性，维数
定义1.5 线性组合：,,,,21V x x x m ∈? P c c c m ∈,,,21 ,
x x c x c x c x c m
i i i m m ==+++∑=12211 ，
x 称为元素组m x x x ,,,21 的一个线性组合．
定义1.6 线性表示：V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x 可由该元素组线性表示．
定义1.7 设V 是数域P 上的线性空间，n x x x ,,,21 是V 的一组向量，如果P 中有一组不全为零的数n k k k ,,,21 ，使得
02211=+++n n x k x k x k (1.1)
则称向量n x x x ,,,21 线性相关；若等式(1.1)仅当021====n k k k 时才能成立，则称这组向量是线性无关的．线性空间V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维数，记为V dim ．
§2 基变换和坐标变换
1．线性空间的基和坐标
定义2.1 设V 是数域P 上的线性空间, )1(,,,21≥r x x x r ，是属于V 的r 个任意元素，如果它满足
（1）r x x x ,,,21 线性无关；
（2）V 中任一向量x 均可由r x x x ,,,21 线性表示．
则称r x x x ,,,21 为V 的一个基或基底，并称r x x x ,,,21 为该基的基元素．
基正是V 中最大线性无关元素组, V 的维数正是基中所含元素的个数．基通常是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等．线性空间的维数是确定的，不会因选取不同的基而改变．
例1:考虑全体复数所形成的集合C ．如果C P =（复数域），则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取R P =（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为},1{i ，空间维数为2．
定义2.2 称线性空间n V 的一个基n x x x ,,,21 为n V 的一个坐标系，
n V x ∈?，它在该基下的线性表示为：
∑==n
i i i x x 1ξ，（n i V x P i i ,,2,1,, =∈∈ξ ）
则称n ξξξ,,,21 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为T n ),,,(21ξξξ .
一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质．但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来．
更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘．
1 ),,,()
,,,(),,,(22112121n n T n T
n y x y x ηξηξηξηηηξξξ+++=+→???== 2 T n T n k k k kx x ),,,(),,,(2121ξξξξξξ =→=
2.基变换和坐标变换
定义2.3 设n x x x ,,,21 是n V 的旧基，n y y y ,,,21 是n V 的新基，它们可以相互线性表示
即 [][][]C x x x c c c c c c c c c x x x y y y n nn n n n n n n ,,,,,,,,,212122221112112121 =?????
???????= （1.2） 其中C 称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式（1.2）为基变换公式．可以证明，过渡矩阵C 是非奇异矩阵．
设n V x ∈，它在旧基下的线性表示为[]?????
???????==∑=n n n i i i x x x x x ξξξξ 21211,,,，它在新基下的线性表示为[]?????
???????==∑=n n n
i i i y y y y x ηηηη 21211,,,，由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系
[][]????
?
???????=????????????n n n n x x x y y y ξξξηηη 21212121,,,,,, ,
则
????
?
???????=????????????→????????????=????????????-n n n n C C ξξξηηηξξξηηη 211212121 上式给出了在基变换式下向量坐标的变换公式．
例1已知矩阵空间22?R 的两个基：
（1）??????=10011A ，??????-=10012A ，??????=01103A ，??
????-=01104A （2）??????=11111B ，??????=01112B ，??????=00113B ，??
????=00014B 求由基（1）改变为基（2）的过渡矩阵．
解 为了计算简单，采用中介基的方法．引入简单基：
(3) ??????=000111E ，??????=001012E ，??????=010021E ，??
????=100022E 由基（3）到基（1）的过渡矩阵为1C ,即1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A =，
可得????????????--=00111100110000111C ， ????????????--=-01100110100110
012111C 再写出由基（3）到基（2）的过渡矩阵为2C ，即2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B =
?????
???????=00010011011111112C 于是写出由基（1）到基（2）的过渡矩阵为C ，即C A A A A B B B B ),,,(),,,(43214321=
?????
???????=????????????????????????--==-0100012211101112210001001101111111011001101001100121211C C C
§3 子空间和维数定理
1.线性子空间的定义及其性质
定义 3.1 设1V 是数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件
（1） 如果1,V y x ∈，则1V y x ∈+；
（2） 如果1V x ∈，P k ∈，则1V kx ∈，
则称1V 是V 的一个线性子空间或子空间．
由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念亦可使用到线性子空间中去．
性质：（1）线性子空间1V 和线性空间V 享有共同的零元素；
（2）1V 中元素的负元素仍在V 1中．
子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间．{O }和V 本身称为平凡子空间； 除以上两类子空间外的称为非平凡子空间，由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零．
定义3.2 设m x x x ,,,21 为V 中的元素，它们的所有线性组合所成的集合
?
?????=∈∑=m i i i i m i P k x k 1,,2,1, 也是V 的线性子空间，称为由m x x x ,,,21 生成（张成）的子空间，记为),,,(21m x x x L 或者),,,(21m x x x Span ．
若m x x x ,,,21 线性无关，则m x x x L m =),,,(dim 21 ．
定理 3.1(基扩定理)：设1V 是数域P 上的线性空间n V 的一个m 维子空间，m x x x ,,,21 是1V 的一个基，则这m 个基向量必可扩充为n V 的一个基；换言之，在n V 中必可找到m n -个元素n m m x x x ,,,21 ++使得n x x x ,,,21 成为n V 的一个基,这m n -个元素必不在1V 中．
2．子空间的交和和
定义3.3 设1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则 {}2121,V x V x x V V ∈∈=
{}2121,V y V x y x V V ∈∈+=+
分别称为1V 和2V 的交和和．
定理3.2：若1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则21V V ，21V V +均为V 的子空间．
定理3.3(维数公式)：若1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则有
)dim ()dim (dim dim 212121V V V V V V ++=+
3．子空间的直和
定义3.4 设1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，若其和空间21V V +中的任一元素都只能唯一的表示为1V 的一个元素和2V 的一个元素之和，即21V V x +∈?，存在唯一的1V y ∈、2V z ∈，使z y x +=，则称21V V +为1V 和2V 的直和，记为21V V ⊕．
定理3.4：如下四种表述等价
（1）21V V +成为直和21V V ⊕
（2）}0{21=V V
（3）2121dim dim )dim (V V V V +=+
（4）若s x x x ,,,21 为1V 的基，t y y y ,,,21 为2V 的基，则s x x x ,,,21 ，
t y y y ,,,21 为21V V +的基
注：子空间的和和交的概念以及有关的定理，可以推广到多个的子空间情形． §4 线性空间的同构
定义4.1 设U ，V 是数域P 上的线性空间，T 是从U 到V 的映射，
即对于U
中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈和之对应，则称T 为V 的一个映射或算子，记为y Tx =，称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变换T 还满足:
)()()(y lT x kT ly kx T +=+，P l k V y U x ∈∈∈?,,,,
称T 为线性映射或线性算子.
定义 4.2 设U ，V 是数域P 上的线性空间，T 是从U 到V 的线性映射，如果T 是一一映射且为满射，则T 为从U 到V 的同构映射．若线性空间U ，V 之间存在同构映射，则称U ，V 为同构的线性空间．若T 为从U 到U 的同构映射，则称T 为从U 的自同构映射．
简单地说，一对一的线性算子称为同构算子．
例1 定义,,0110)(2R x x x T ∈???
????=则T 为2R 的自同构映射． 定理 4.1: 设T 为从数域P 上的线性空间U 到V 的线性映射，且为满射，则T 为从U 到V 的同构映射的充分必要条件是若v x T 0)(=，则u x 0=． 推论１ 设T 为从数域P 上的线性空间U 到V 的线性映射，则T 为从U 到V 的同构映射的充分必要条件是V U R =)(且}0{)(u T N =
定理4.2: 设U ，V 是数域P 上的有限维线性空间，则U ，V 同构的充分必要条件是V U dim dim =.
1.矩阵和线性变换： 线性变换的定义： 线性映射（linear mapping）是从一个 向量空间V到另一个向量空间W的映射 且保持加法运算和数量乘法运算，而线性 变换（linear transformation）是线性空间V 到其自身的线性映射。 一个矩阵对应了一个线性变换这个说法， 就可以知道这个说法并不严谨。（基） 矩阵是对线性变换的表示；确定了定义域空间与目标空间的两组基，就可以很自然地得到该线性变换的矩阵表示。 两个矩阵相乘，表示了三个线性空间的变换。要想从第一个空间转换到第三个空间，则第一个变换的定义域空间U到目标空间 V1，第二个变换的定义域空间V2到目标 空间W，必须满足V1和V2是一个空间。 矩阵把v'i换成vi的换基矩阵与把vi 换成v'i的换基矩阵这两个矩阵是互逆的.
2恒等变换与伸缩变换 3矩阵对角化 条件： n个线性无关的特征向量；每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的代数重数；充分条件n个特征值互不相等（充分条件）； 代数重数：特征多项式的次数；几何重数：与某一个特征值λ相关联的线性无关的特征向量的最大个数。 所以对角化其实就是要用特征向量组成的基来代替标准基，描述线性变换，使得多个耦合的变量尽可能的解耦。 如果A为实对称阵，则其必可以正交相似对角化。其中U内的每个向量互相正交。即：u1.T=u1.I. 线性变换： 可以发现里面并不涉及矩阵维度的变化。其中中间的对角矩阵相当于对矩阵的每一列（t 特征向量）进行拉伸。两边的同维方阵使用的是同一组基，即上述的线性变换始终在一组基
里面，所以相当于在同一空间内做旋转。在一个n维空间里，标准正交基是唯一存在的，该n维空间里面所有的向量都可由该组正交基线性变换得到。 所以矩阵的对角化涉及到的运动包括：旋转和缩放。 A矩阵将一个向量从x这组基的空间旋转到x这组基的空间，并在每个方向进行了缩放。 4.SVD 证明：AA.T的特征向量组就是P矩阵： 2 ∑∑∑∑∑ T T T T T T T =?=?== A P V A V P AA P V V P P P 得证对A进行矩阵分解得到的P矩阵就是AA.T的特征向量组成的P矩阵。 SVD的一些应用 1.降维 左奇用于行数的压缩。右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。 2.PCA使用SVD求解 PCA求解过程中的协方差矩阵为特征之间（列之间）的关系矩阵（m*m）。而SVD的右奇异矩阵也是关于特征之间（矩阵列之间）的关系，所以PCA里面的协方差矩阵可以通过SVD得到。 SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵，也能求出我们的右奇异矩阵。 3.奇异（乱入的） 若n阶方阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵 4.几何意义： 奇异值分解把线性变换清晰地分解为旋转、缩放、投影这三种基本线性变换。 其中，P为m*m矩阵，Q为n*n矩阵。 =∑。A矩阵的作用是将一个向量从Q 这组正交基向量的其中涉及的变换：AQ P 空间旋转到P这组正交基向量空间，并对每个方向进行了一定的缩放，缩放因子就是各个奇异值。如果Q维度比P大，则表示还进行了投影。
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．
华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 2013～2014学年第一学期 课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页 特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确，线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题（每小题3分，共27分） （6）210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. （7）301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页，将矩阵做变换即得
线性代数的起源发展及其意义 线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。由于费马和笛卡尔的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡,矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因当时对其充分的研究和探索而使其达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善男才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现。
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数，非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。 现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。作
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论 课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课 考核方式：考试 开课专业：工科各专业 开课学期：1 总学时：36学时 总学分： 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求） 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段（含现代化教学手段） 本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()|0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 4.设111213315A ?? ? = ? ??? ，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。 5.讨论线性空间 P 4[x ]中向量3 2 11P x x x =+++，3 2 223P x x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。 6.设m n A R ?∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。 7.设113021211152A -?? ? =-- ? ?--?? ，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。 8.在22 R ?中，已知两组基 11000E ??= ???，20100E ??= ???，30010E ??= ???，40001E ?? = ??? 10111G ?? = ? ?? ，21011G ??= ???，31101G ??= ???，41110G ??= ???
矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
线性代数发展史 一行列式 行列式的出现已有300余年，1683年日本数学家关孝和在＜解伏题之法)中首先引人此概念。 1693年，莱布尼兹(G．W．工ezbniz)著作中亦有行列式叙述，世人们仍认为此概念在西方源于数学家柯西(A．L CaMchy) 1750年，克莱姆(G cramer)出版的(线性代数分析导言＞一书中已给出行列式的今日形式。 1841年，雅谷比(c．G JaMM在(论行列式形成与性质)一书中对行列式及其性质、计算作了较系统的阐述 此后．范德蒙(A．T vandeMondl)、裴蜀(E．Be肋Mt)、拉普拉斯(P．s M de I品PLace)等人在行列式研究中也作了许多工作， 但行列式在当今线性代数中似已被淡化，原因是：首先它的大多数功能已被矩阵运算取代，而矩阵(代数)理论与计算已相当成熟；再者是电子计算机的出现与飞速发展，已省去人们许多机械而繁琐的计算．然而行列式也有其自身的魅力：技巧性强、形式漂亮，因而它在历年考研中不断出现． 行列式的主要应用是：求矩阵(或向量组)的秩；解线性方程组；求矩阵特征多项式等行列式与矩阵有着密不可分的连带关系，尽管它们本质上不是一回事(短阵是数表，而行列式是数)． 二矩阵代数 矩阵一词系1850年英国数学家薛尔维斯特(J—J sylves贮r)首先倡用，它原指组成行列式的数字阵列。 矩阵的性质研究是在行列式理论研究中逐渐发展的． 凯莱(A cayley)于1858年定义了矩阵的某些运算，发表＜矩阵论研究报告＞，因而他成了矩阵论的创始人。德国数学家弗罗伯尼(F．G．Fmbenius)于1879年引进矩阵秩的概念，且做了较丰富的工作(发表在(克雷尔杂志＞上) 尔后矩阵作为一种独立的数学分支迅速发展起来． 20世纪40年代，为响应电子计算机出现而诞生厂短阵数值分析，1947年冯·纽曼(Ven Neumann)等人提出分析误差的条件数，1948年图灵(A．Turing)给出厂矩阵的Lu分解，矩阵的另一种分解QR分解的实际应用在上世纪50年代末得以实现．这一切使矩阵计算得以迅猛发展。 如今，矩阵已成为一种重要的数学工具，它的理论和方法在数学和其他科技领域(如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程、数量经济等)都有广泛应用，甚至经济管理、社会科学等方而亦然。 三向量 向量概念是由复数概念扩张而来。1843年哈密顿(w．R Hsmil仍n)的“四元数”概念引入的同时，引入了向量概念，从而开创它的计算与理论研究 1844年，德国数学家格拉斯(G．H．Grassmann)发表＜线性扩张论＞，提出“n维超复数”概念．即n元有序数组，相当于今天的向量概念．此外他还定义了超复数的运算，且将Euclid几何的许多概念拓广至高维空间.
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
线性代数发展史 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 行列式 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其着作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 ,1704-1752) 在其着作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝 祖 ,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。 总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德 蒙 ,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。
2008年硕士生《矩阵论》试卷 任课教师 . 学院专业 学号 姓名 . 一、填空题（共20分） 1. （4分） n 阶实对称矩阵的全体按通常的矩阵加法和数乘运算构成一线性空间， 其维数等于 ，其一组基为 。 n 阶实反对称矩阵的全体按通常的矩阵加法和数乘运算构成一线性空间， 其维数等于 ，其一组基为 。 2.（3分） 设A 是线性空间n V 到线性空间m V 的线性算子，则A 在不同基偶下对应的矩阵是 关系；B 为线性空间n V 上的线性变换，则B 在不同基下对应的矩阵是 关系；设n V 是欧氏空间，则两组不同基的度量矩阵是 关系。 3. （3分） 如果n 阶矩阵A 的特征多项式和最小多项式相同，则A 的Smith 标准形 为 。 4. （3分）设(1,,0,1)T X i =-，则1||||X = ，2||||X = ， ||||X ∞= 。 5. （4分）设122212221A ?? ?= ? ??? ，1||||A = ，||||A ∞= ， ()A ρ= ，2()cond A = 。 6. (3分) 设A=0.10.30.70.6?? ??? ，则矩阵幂级数2k E A A A +++++ 是否绝对收敛？ 。若是，其级数的和是 。 二、是否题（每题2分，共10分） 1.所有n 阶实对称矩阵与反对称矩阵的全体构成线性空间。 ( ) 2.线性变换A 是正交变换的充要条件是保持任意两个向量的夹角不变。 （ ）
3.设(),()[]m n A B P λλλ?∈，则()A B λλ和（） 相抵的充分必要条件是它们有相同的初等因子。 ( ) 4. 单位矩阵的算子范数是所有与向量范数||||x 相容的矩阵范数||||I 中值最小的一个。 （ ） 5.设矩阵序列{()k A }：2,,,,k I A A A ，则lim 0k k A →∞ =的充要条件为()1A ρ<。 三、计算题（共50分） 1. (10分) 在22R ?中, 求由基(I) : 11000A ??= ???, 20100A ??= ???,30010A ??= ???,40 00 1A ??= ??? 到基(II): 11100B ??= ???, 20110B ??= ???, 30011B ??= ???, 42001B ?? = ??? 的过渡矩阵及 1234x x x x α?? = ??? 在基（II ）:1B , 2B , 3B , 4B 下的坐标. 2.（10分）在3R 中，设α=123向量（x ,x ,x ）,线性变换定义为 A 23123123()(22,23,23)x x x x x x x x α=---+---+。 求3R 中的一组基，使A 在该基下的矩阵为对角阵。
第一专题 线性空间和线性变换 矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。 §1 线性空间 一、线性空间的概念与性质 线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。 例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。 例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线
性空间的概念。 在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。 定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。 显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集 R ，全体整数集Z 等都不是数域。 定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元 ,,定义一个加法运算,记为“+”:V （元 称为 与 的和）；定义一个数乘运算:F k V k , （元 k 称为k 与 的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则： (1) ； (2) )()( ； (3) 在V 中存在零元素0；对任何V ，都有 0； (4) 对任何V ，都有 的负元素V ，使0 ，记 ； 数量乘法满足下面两条规则： (5) 1； (6) αα)()( ； 数量乘法与加法满足下面两条规则；
数学家与线性代数 在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而—、二次方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。1683年关孝和(日本人)最早引入行列式概念（一说为莱布尼兹）。关于行列式理论最系统的论述，则是雅可比1841年的《论行列式的形成与性质》一书。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反。凯莱在1855年引入了矩阵的概念，定义了矩阵的运算，零矩阵和单位矩阵，逆矩阵等等，在1858年发表了关于这个课题的第一篇重要文章《矩阵论的研究报告》。19世纪，行列式和矩阵受到人们极大的关注，出现了千余篇关于这两个课题的文章。但是，它们在数学上并不是大的改革，而是速记的一种表达式。不过已经证明它们是高度有用的工具。 莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm Leibniz,德国数学家、物理学家和哲学家,1646～1716) 莱布尼兹1646年7月1日，出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 1661年，15岁的莱布尼兹进入莱比锡大学学习法律，在听了教授讲授的欧几里得的《几何原本》的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。 1667年，莱布尼兹发表了他的第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。 1672年，莱布尼茨深受惠更斯的启发，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作，开始创造性的工作。 莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当教授。他平时从不进教堂，因此他有一个绰号Lovenix，即什么也不信的人。1793年，汉诺威人为他建立了纪念碑；1883年，在莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕像；1983年，汉诺威市政府照原样重修了被毁于第二次世界大战中的“莱布尼兹故居”，供人们瞻仰。
第一章 线性空间与线性变换 §1 线性空间的概念 定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。特别地，每个数域都包含整数0和1。 定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果 （1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈?y x ,，都有 V ∈+y x ； （2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈?x ,λ有 V ∈x λ； （3）上述两个运算满足下列八条规则： 1) V ∈?y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈?z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++； 3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈?x ，都有x x =+θ； 4) V ∈?x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。y 称为x 的负元素； 5) V ∈?x ，都有x x =1； P ∈,?μλ，V ∈?y x ,，下列三条成立： 6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(， 则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。 例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合 }|),,,{(21P x x x x V i n ∈?= ， 若对于V 中任两元素 ),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y = 及每个P k ∈（记作P k ∈?），定义加法及数量乘法为 ),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX = 则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。这个线性空间记为n P 。 例1－2 所有元素属于数域P 的n m ?矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。 比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数 的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。 事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的 范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一 代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知 的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。 大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说： * 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中 发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？ * 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本 质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算
习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，
《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划”的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降低理论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置 中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这 个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促 成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线 性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数 学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封 信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解 伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学 家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具 使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相 分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明 了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年， 柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列 式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士?西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学 的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要 条件这一结果，但没有给出证明。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数 行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几 何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重 要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个 述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为 了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列 式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先 引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了 关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念， 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩