《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析
数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充．
《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
本章内容分为2节，教学时间约4课时．
第一节数系的扩充和复数的概念
本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．
●教学目标
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．
●教学重点
（1）数系的扩充过程．
（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．
（3）复数的几何意义．
●教学难点
（1）虚数单位i的引进．
（2）复数的几何意义．
●教学时数
本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义．
●课标对本节内容的处理特点
数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：
（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．
（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．
（3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》
一一对应
要求“掌握”．从这上点上看，《课标》要求降低了．
●教学建议
1．关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议
（1）课题的引入．教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：
① 在自然数集N 中，方程10x +=有解吗？
② 在整数集Z 中，方程21x =有解吗？
③ 在有理数集Q 中，方程2x ＝2有解吗？
④ 在实数集R 中，方程．有解吗？
（2）回顾从自然数集N 扩充到实数集R 的过程．帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．可让学生思考如下问题：
① 从自然数集N 扩充到实数集R 经历了几次扩充？
② 每一次扩充的主要原因是什么？
③ 每一次扩充的共同特征是什么？
然后师生共同归纳总结：
扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要．
扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展．
（3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程210x +=在新的数集中的解？
（4）引入虚数单位i ．
（5）学习复数的概念．
（6）规定复数相等的意义．
（7）研究复数的分类．
（8）告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由：
① ,a bi c di a c b d +=+?==；在,a c b d ==两式中，只要有一个不成立，则a bi c di +≠+．
② 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小．
③ “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：
对于任意实数a ，b 来说，a b <，a b =，b a <这种情况有且只有一种成立；
如果,a b b c <<，那么a c <；
如果a b <，那么a c b c +<+；
如果,0a b c <<，那么ac bc <．
2．关于“复数的几何意义”的教学建议
（1）帮助学生认识复数的几何表示．复数的几何表示就是指用复平面内的点Z （,a b ）来表示复数z a bi =+．
① 明确“复平面”的概念．
② 建立复数集C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即
复数z a bi =+ 复平面内的点Z （,a b ）．
一一对应 （2）帮助学生认识复数的向量表示．复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z a bi =+．
① 认识复平面内的点Z （,a b ）与向量OZ 的一一对应关系．
② 在相互联系中把握复数的向量表示：
复数z a bi =+
一一对应 一一对应
点Z （,a b ） 向量OZ
（3）用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识．
在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点（原点除外）一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应．可通过一组练习题来强化这一认识．
第二节 复数代数形式的四则运算
本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算．
●教学目标
（1）掌握复数代数形式的加减运算法则．
（2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义．
（3）理解复数代数形式的乘除运算法则．
（4）体验复数问题实数化的思想方法．
●教学重点
（1）复数代数形式的加减运算及其几何意义．
（2）复数代数形式的乘除运算．
（3）复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用．
●教学难点
（1）复数代数形式的加减运算的规定．
（2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解．
（3）复数代数形式的乘除运算法则的运用．
●教学时数
本节教学，建议用2课时．第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第2课时研究复数代数形式的乘除运算．
●课标对本节内容的处理特点
复数代数形式的四则运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：
（1）《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法；
（2）《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法．
●教学建议
1．复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性．这种合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立．
2．复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自
主得出复数减法和除法的运算法则．
3．复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用21
i=-，将它们归结为实数的四则运算．在具体运算情境中，引入共轭复的概念，明确公式22
+-=+是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆复数除法()()
a bi a bi a b
法则．从而让学生体验复数问题实数化的思想方法．
4．要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加减运算的几何意义．
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
§3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 知识点一 复数的有关概念 1．复数 (1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． (2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集 (1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集． (2)表示方法：通常用C 表示． 3．复数的分类 复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )??? 实数(b ＝0). 虚数(b ≠0)??? ?? 纯虚数(a ＝0)， 非纯虚数(a ≠0). 思考 用图示法表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系． 答案 如图所示．
知识点二 两个复数相等 复数相等的充要条件：如果两个复数的实部与虚部分别对应相等，那么我们就说这两个复数相等，即a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d . 思考 两个复数能否比较大小？若a ＋b i>0，则a ，b 的取值范围是什么？ 答案 两个复数若不全是实数，则不能比较大小． 由a ＋b i>0，知b ＝0，a >0. 1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × ) 2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × ) 3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ ) 4．复数可以分为两类：实数与虚数．( √ ) 一、复数的概念 例1 (1)若复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．3或－1 C ．－1 D ．－2 答案 A 解析 由????? lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得????? m ＝3或m ＝－1， m ≠－2且m ≠－1， 即m ＝3. (2)下列说法正确的是( ) A ．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B ．若复数z ＝3m ＋2n i ，则其实部与虚部分别为3m,2n C ．在复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )中，若x ≠0，则复数z 一定不是纯虚数 D ．若a ∈R ，a ≠0，则(a ＋3)i 是纯虚数 答案 C 解析 A 错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数． B 错，只有当m ，n ∈R 时，才能说复数z ＝3m ＋2n i 的实部与虚部分别为3m,2n . C 正确，复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )为纯虚数的条件是x ＝0且y ≠0，只要x ≠0，则复数z 一定
第三章 数系的扩充与复数的引入(B) 一、选择题 1、复数1＋2i 3等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1 D ．3 2、若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不对 3、若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p 等于( ) A ．0 B ．i C ．－i D ．1 4、复数(1＋2i )2 3－4i 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 5、设i 是虚数单位，则5i 2－i 等于( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．1－2i D ．－1＋2i 6、如图，设向量，，，所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，那么( ) A ．z 1－z 2－z 3＝0 B ．z 1＋z 2＋z 3＝0 C ．z 2－z 1－z 3＝0 D ．z 2＋z 4－2z 3＝0 7、设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则z z ＋z ＋z 等于( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1 D ．4 8、复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i
C ．1＋2i D ．1－2i 9、定义运算????a c b d ＝ad －bc ，则符合条件??? ?1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 等于( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i 10、若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为( ) A ．±2 3 B ．±33 C ．±3 D ．±32 11、如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1) D ．(－3，3) 12、已知z 是纯虚数， z ＋21－i 是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 二、填空题 13、设z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋2i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________． 14、若复数z ＝23＋2i 对应的点为Z ，则向量所在直线的倾斜角θ＝________. 15、下列命题，正确的是________．(填序号) ①复数的模总是正实数； ②虚轴上的点与纯虚数一一对应； ③相等的向量对应着相等的复数； ④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数． 16、在复平面内，复数 2i 1－i 对应点的坐标为________． 三、解答题
n次单位根 一.复数的几何表示-----关于模和辐角 1.复数的几何表示 (1)我们可以作为平面上以a和b为坐标的点来画出每一个复数x=(a,b).这个 用它的点来代表复数平面称为复数平面.对应于数0的坐标原点简称为原点.在这样的复数表示法下,横轴上的点代表实数.而纵轴上的点表示纯虚数.因此横轴称为实轴,纵轴称为虚轴. (2)复数还可以用从原点出发的矢量α表示.在这样的复数表示法下,实数部分 a与虚数部分的系数b就称为该矢量的分量. 2.复数加法的几何意义 设x和y是两个复数,于是: 和数x+y可以表为它的分量等于矢量x和y的对应分量之和的矢量. 也就是说,数α+β可以用以矢量α与β为相邻边的平行四边形的对角形表示. 3.模与辐角的概念 设复数,x=a+bi, r=(a^2+b^2)^(1/2), 这个正数r叫做复数x的模,记作|x|.与r为半径原点为中心的圆周上的点所表示的具有同一个模r.数0是唯一的以零为模的复数. 矢量x的方向是由Ox轴正方向与该矢量的方向间的交角确定的,用q表示.这个θ称为复数x的辐角.记作. arg x=q 有: tan q=b/a . 对于每一个复数x,它的辐角可以有无穷多个,彼此间各差2\pi的若干倍.数0是唯一的数,其辐角没有定义.我们有,因此 a=rcosq, b=rsinq, a+bi=r(cosq+isinq). 4.关于模和辐角的定理
作两个复数x=r(cosq+isinq), y=t(cosp+isinp). 的乘积可得: xy=rt(cosq+isinq)(cosp+isinp)=rtr[cos(q+p)+isin(q+p)]. 于是有如下性质: |xy|=|x||y|, arg(xy)=argx+arg. 就是说,两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数的乘积的辐角等于它们的辐角之和. 把上述的乘积推广到n个复数的乘积: |xy...z|=|x||y|...|z|, arg(xy...z)=argx+argy+...+argz. 特别地, |x^n|=|x|^n, arg(x^n)=nargx. 我们得到如下的隶莫佛尔公式: [r(cosq+isinq)]^n=r^n(cosnq+isinnq). 二.关于复数的n次根 设, x=a+bi=r(cosq+isinq),我们定义x^{1/n}为一个自乘n次后等于x的复数.这个数的模显然等于r^(1n),它的辐角等于[q+(2k\pi)]/n,其中k是任意的整数.令k=0,1,2，…,n-1,就得到表达式的n个不同的辐角值;所以按照下列公式x^{1/n}有n个不同的值: x^{1/n}=r^{1/n}(cos{[q+(2k\pi)]/n}+isin{[q+(2k\pi)]/n}),k= 0,1,...,n-1. 从几何意义来看: x^{1/n}的这n个值显然可以用一个内接于以原点为中心r^{1/n}为半径的圆周的正n边形的顶点来表示. 特别地,当x=1时,上述论述中的r=1， =0，于是得到了的n个值,即多项式x^n-1的n个根,它们称为n次单位根. 三.n次单位根 1. x^n-1的n个根 \xi_k=cos{(2k\pi)/n}+isin{(2k\pi)/n}, k=0,1,...,n-1, 就是多项式x^n-1的n个根,它们称为n次单位根. 2. n次单位根的性质 (1)令\xi=\xi_1,由上面关于复数辐角的讨论可知: \xi_k=\xi^k.
《数系的扩充与复数的概念》 教学设计 -----高中人教A版选修2-2 王 海 艳
唐山市第六十二中学 【教材分析】 本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。 【学情分析】 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 【三维目标】 知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。 情感、态度与价值观：
（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法； （２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点； （３）感受人类理性思维的作用。 【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 【教学难点】数集扩充的必要性和过程 【教学设计】 设计思想 知识来源于实际生活。教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。 媒体设计 本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。 设计特色 （１）重视数学的人文价值。（２）知识建构采用合作探究模式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时， 定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。
§3.1.1数系的扩充和复数的概念教案 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观：1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践水平，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会使用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的相关概念． 难点：复数的相关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
【问题探究】 探究一、复数的引入 引导1：因为解方程的需要，人们引入了一个新数i ，并规定： （1）=2i 1- ； （2）实数能够与i 实行加法和乘法运算： 实数a 与数i 相加记为：i a +； 实数b 与数i 相乘记为：bi ； 实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加记为：bi a +； （3）实数与i 实行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 引导2：复数的相关概念： （1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做 虚数单位 ， 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．． 字母 C 表示。 （2）复数的代数形式： 复数通常用小写字母z 表示，即bi a z +=()R b a ∈,，这个表示形 式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部。 例1请说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部。 引导：考虑复数的相关概念.对于复数(),z a bi a b R =+∈，a 叫实部，b 叫虚部. 解： 变式再练：请说出复数)12(,231, 0,6,84-++-i i i 的实部和虚部。点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数i 及引入数i 后实数与i 进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的规定要合理，要有一定的依据基础. ；，虚部是的实部是虚部是的实部是； ，虚部是的实部是3 1031;0,553232----+i i . 120)12(5;2 3212314066300024884)1(--+-+-，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（； ，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i i i
单位根的基本性质 x^n=1的根εk=cos(2kπ/n)+i*sin(2kπ/n)，k=0,1,...,n-1,称为n次单位根 性质一：n次单位根的模为1，即|εk|=1 性质二：两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k 推论1：εj -1=ε-j 推论2：εk m =εmk 推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr 注：它说明εk等价于r=0 推论4：任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1k 说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n 次原根。从而所有n次单位根还可以写作 ε1,ε12,…,ε1n(ε0=1) 推论5：一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即 εk'=εn-k('表示共轭) 因为εk'εk=|εk|2，εk'=1/εk=ε-k=εn-k (由推论3) 注：由上证明看到1/εk=εk'，说明所有虚的n次单位根都成
对共轭 推论6：对任意整数k,h，有εk h=εh k 性质三：A=1+ε1m+ε2m+…+εn-1m 当n|m时，A=n，否则A=0 证明：由性质二推论4有 A=1+ε1m+(ε12)m+…+(ε1n-1)m =1+ε1m+(ε1m)2+…+(ε1m)n-1 =[1-(ε1m)n]/( 1-ε1m)=[1-(ε1n)m]/ (1-ε1m)=(1-1)/ (1 -ε1m)=0 推论1：∑(i从0到n-1) εi=0 推论2：设εk≠1，则∑(i从0到n-1) εk i=0 证明：由εk≠1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，∑(i从0到n-1) εk i=∑(i从0到n-1) εi k=0 性质四：全部单位根将复平面上单位圆n等分。 练习：求1+C n3+C n6+C n9+…+C n3h-3+C n3h 其中3h是不大于n的最大的3的倍数。（[2n+2cos(nπ/3)]/3） 单位根的性质的应用 把1的每一个n(n∈N)次方根叫做n次单位根，简称单位根．1的n个单位根表示
课题：数系的扩充 授课教师：吴晶 教材：苏教版选修1-2第三章第一节 【教材分析】 教材地位和作用： 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备. 教材处理办法： 精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了. 重点： 数系扩充的过程和方法，复数的相关概念. 难点： 数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 【教学目标】 知识目标： 了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念. 能力目标： 发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识. 情感目标： 初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观. 【教学方法】 教学方法： 开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价. 学习方法： 自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结. 教学手段： 结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台. 【教学程序】 以问题为载体，以学生活动为主线. 创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业
创设情境： 用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔. 名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型. 建构数学： 数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数. 数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程： 1x 2x 1201x 22 =+===+x 规定： （1）i 2=-1 虚数单位：i （2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 找到了方程012=+x 的解. 试一试：依据规定，写出实数3与i 进行四则运算后得到的数. 设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课. 设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.
2019-2020年高二数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入 新课 标 人教版 一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.是复数为纯虚数的（ ） A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2.设，则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．（ ） A ． B ． C ． D ． 4．复数z 满足，那么＝（ ） A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i 5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ） A. 2 B.23 C.2 D.－23 6.集合｛Z ︱Z ＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ） A ｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝ C.｛0，2，－2，2｝ D.｛0，2，－2，2，－2｝ 7.设O 是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ） 8、复数，则在复平面内的点位于第（ ）象限。 A ．一 B.二 C.三 D .四 9.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ） 10.设i 为虚数单位，则的值为（ ） A ．4 B.－4 C.4i D.－4i 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。） 11.设（为虚数单位），则z= ；|z|= .
12.复数的实部为 ，虚部为 。 13.已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为原点，则的面积为 。 三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（本小题满分12分） 已知复数z=(2+)).当实数m 取什么值时,复数z 是: （1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。 2025100)21(])11()21[(16i i i i i +-+-+?+、计算 （本小题满分13分） 17．（本小题满分13分） 设∈++-=m i z m m ,)12(14R ，若z 对应的点在直线上。求m 的值。 18．（本小题满分14分） 已知关于的方程组???-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 89)4()2(, )3()12(有实数，求的值。
单位根的性质的应用 把1的每一个n(n ∈N )次方根叫做n 次单位根，简称单位根．1的n 个单位根表示 数学问题时，可以大大地简化解证题过程． 下面仅把下文中用到的单位根的性质列举如下： 性质1 2110n εεε-+++ +=,进而可推广为若1n z =且z≠1，则z 的任意连续n 个整数次幂的和为0，本结论可表示为：()110m m m n z z z m ++-++ +=∈ 性质2 (),mn k k m k εε+=∈ 下面简要说明单位根性质的应用． … 一、在复数计算中的应用
2．计算：219991232000i i i +++ + (答案：－1000(1＋i)) 二、在复数证明中的应用 例2 求证：二项方程(),0,,1n x z z z n n =∈≠∈ >的n 个根的和为零． (注：本题如应用韦达定理证，也较为简单) 三、在求三角函数式的值方面的应用 %
练习题： 四、在恒等式证明中的应用 证明：∵ε是1的七次方根，则71ε=． ()()()2 4 2 4 5 6 3 2 4 5 6 3 4 34 212111εεεεεεεεεεεεεεεε εε+++=+++++=+++++++-+=-+ ^
∴原式得证． 练习题： x^n=1的根εk=cos(2kπ/n)+i*sin(2kπ/n)，k=0,1,...,n-1,称为n次单位根 性质一：n次单位根的模为1，即|εk|=1 性质二：两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k 【 推论1：εj -1=ε-j 推论2：εk m =εmk 推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr 注：它说明εk等价于r=0
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
实用文档 第三章 数系的扩充与复数的引入(B) 一、选择题 1、复数1＋2 i 3等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1 D ．3 2、若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不对 3、若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p 等于( ) A ．0 B ．i C ．－i D ．1 4、复数(1＋2i)2 3－4i 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i
5、设i是虚数单位，则 5i 2－i 等于( ) A．1＋2i B．－1－2i C．1－2i D．－1＋2i 6、如图，设向量，，，所对应的复数分别为z1，z2，z3，z4，那么( ) A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z2＋z4－2z3＝0 7、设z＝1＋i (i是虚数单位)，则z z＋z＋z等于( ) A．－1－i B．－1＋i C．1 D．4 实用文档
实用文档 8、复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i 9、定义运算?????? a c b d ＝ad －b c ，则符合条件??????1 z －1z i ＝4＋2i 的复数z 等于( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i 10、若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为( ) A ．±2 3 B ．±3 3 C ．± 3 D ．±3 2 11、如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1) D ．(－3，3)
§3.1.1 数系的扩充与复数的概念 【教材分析】 教材地位和作用： 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备. 教材处理办法： 精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了. 重点： 数系扩充的过程和方法，复数的相关概念. 难点： 数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 【教学目标】 知识目标： 了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念. 能力目标： 发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识. 情感目标： 初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观. 【教学方法】 教学模式： “4+1”教学模式
教学方法： 开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价. 【教学程序】 以问题为载体，以学生活动为主线. 自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业 1、【自主学习】(课前完成) 阅读教材P102～P104《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考： (1) 你对数的发展的了解 (2) 由得 你有，何困惑？ (3)方根x2-x+1=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？ (4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？ (5)复数的有关概念？ (6)实数集R与复数C的关系？ 2、【合作探究】 探究任务一：数系的扩充过程。 问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。 探究任务二：数系扩充的必要性。 问题2：方根x2-x+1=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？探究任务三：虚数单位 问题3：虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？ 探究任务四：复数的有关概念 问题4：复数的概念？实部、虚部？复数的代数形式？
抽象代数的人间烟火 李尚志 北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191 摘要 抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。 抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。 关键词：抽象代数，精彩案例 某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。我问她哪门课程学得最好。答曰“抽象代数”。不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。让她举一个非交换群。举不出来。举一个有限域，举不出来。我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。 如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。 现有的抽象代数教材，不是没有例子。这些例子本来就很精彩。三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。要讲清楚，课时也不够。只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
《》教学设计 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的 分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简 明扼要的概括和总结） 自然数整数有理数无理数实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问
题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：N* N Z Q R C． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m的值．
贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计） 期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》 学生姓名：何娜 科任教师：龙伟锋 专业：数学与应用数学 年级： 2012级 学号： 122008011013 2015年 12 月 10 日
多项式因式分解的方法 摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解 多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个(n n ＞)0次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。 １ 求根法 （参见文献[]2）设多项式()x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式， 第一步 写出首项系数n a 的全部因数i v ，s i ,,2,1 =； 第二步 写出常数项0a 的全部因数j u ，t j ,2,1=； 第三步 用综合除法对j i u v 试验，确定()x f 的根； 第四步 写出()x f 的标准分解式。 例1 求()x f =251074234-+++x x x x 在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求()x f =251074234-+++x x x x 的有理根。 ()x f 的常数项和首项系数的全部因数分别为1±，2±与1±，2±，4±,则需要检验的有 理数为1±，2±，12±，14 ±. 由于()1-f =0，故-1是()x f 的根，且易知()x f =()() 2734123-+++x x x x .