2019-2020年高二数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入 新课
标 人教版
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.是复数为纯虚数的（ ）
A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
2.设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．复数z 满足，那么＝（ ）
A ．2＋i
B ．2－i
C ．1＋2i
D ．1－2i
5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ） A. 2 B.23 C.2 D.－23
6.集合｛Z ︱Z ＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）
A ｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝
C.｛0，2，－2，2｝
D.｛0，2，－2，2，－2｝
7.设O 是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ）
8、复数，则在复平面内的点位于第（ ）象限。
A ．一 B.二 C.三 D .四
9.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ）
10.设i 为虚数单位，则的值为（ ）
A ．4 B.－4 C.4i D.－4i
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。）
11.设（为虚数单位），则z= ；|z|= .
12.复数的实部为 ，虚部为 。
13.已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为原点，则的面积为 。
三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分12分）
已知复数z=(2+)).当实数m 取什么值时,复数z 是:
（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。
2025100)21(])11()21[(16i
i i
i i +-+-+?+、计算 （本小题满分13分）
17．（本小题满分13分）
设∈++-=m i z m m ,)12(14R ，若z 对应的点在直线上。求m 的值。
18．（本小题满分14分）
已知关于的方程组???-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 89)4()2(,
)3()12(有实数，求的值。
19. （本小题满分14分）
=-=-+=121211
1已知13,68.若,求的值。
z i z i z z z z
20（本小题满分13分）
若复数，求实数使。（其中为的共轭复数）
第三章 数系的扩充与复数的引入
1.解析：B
2.解析：D 点拨：。
3.解析：B 点拨：原式＝＝
4.解析：B 点拨：化简得
5.解析：D 点拨：，由因为实部与虚部互为相反数，即，解得。
6.解析：A 点拨：根据成周期性变化可知。
7.解析：B 点拨：
8.解析：D 点拨：
9.解析：C 点拨：需要，即。
10.解析：B 点拨：=－4
11.解析：， 点拨：
12.解析：1， 点拨：
13.解析： 点拨：设代入解得，故
14.解析：1 点拨：
.
)23()232()
1(2)1(3)2(,15222i m m m m i i m m i z z R m +-+--=--+-+=∈可以表示为
复数、解：由于
.
,20),23(232)4(.,2
1,
023,0232)3(.
,12,
023)2(.
222222对应的复数四象限角平分线上的点是为复平面内第二、时或即当为纯虚数时即当为虚数时且即当为零时，即z m m m m m m z m m m m m z m m m m z m ==+--=---=?????≠+-=--≠≠≠+-=
16．解：2025100)2
1(])11()21[(i i i i
i +-+-+?+
117、解：因为复数41(21),对应的点为（41,2),在直线30上，得413(21)0，即43240，
也就是(24)(21)0，
解得2m m m m m m m m
m m z i m R x y m +=-++∈--=--+=-?-=-+== (21)(3),18、解：(2)(4)
9821,由第一个等式得1(3),x i y y i x ay x y b i i x y y -+=--+--+=--==--??????
?????==.
4,25y x 解得
将上述结果代入第二个等式中得
???==???=+-=+-=+--+.
2,1,
8410,945.
89)410(45b a b a i i b a 解得由两复数相等得 .5
225411250.50
1125011251)103504()101503(111.50
45038611,86.1031013111,3119122211i i z i i i z z z i i z i z i i z i z +-=+-=+-=-=-+-=-=+=-=-=+=-=-=得则得又由得、解：由 20.解析：由，可知，代入得： ，即
则，解得或。
1. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 考点：复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ） （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】 试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数. 【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数
是共轭复数，其模相等. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则 || z z ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55 + （D ） 43i 55 - 【答案】D 【解析】 试题分析： 43i ||55 z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模． 【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 4.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 5.【2016高考北京文数】复数 122i i +=-（ ） A.i B.1i + C.i - D.1i -
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
高二数学复数知识点总结 导读：本文高二数学复数知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【一】 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这
个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进
行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 【二】 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di
5．5 数系的扩充与复数的引入 1．虚数单位为i ，规定：i 2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立． 2．复数的概念 形如：a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数的______，b 叫做复数的__________． ①当________时，复数a ＋b i 为实数； ②当________时，复数a ＋b i 为虚数； ③当________且________时，复数a ＋b i 为纯虚数． 3．复数相等的充要条件 a ＋ b i ＝ c ＋ d i(a ，b ，c ，d ∈R )? ____________，特别地，a ＋b i ＝0?____________. 4．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点Z (a ，b )、平面向量OZ → 都可建立____________的关系(其中O 是坐标原点)． 5．在复平面内，实轴上的点都表示____________；虚轴上的点除____________外都表示____________． 6．复数的模 向量OZ → 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作________或||a ＋b i .即||z ＝||a ＋b i ＝r ＝________(r ≥0，r ∈R )． 7．共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z 的共轭复数记作________． 8．数系的扩充 数集扩充的过程是：自然数集(N )→____________→____________→____________→复数集(C )．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾． 9．复数的加、减、乘、除的运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)z 1±z 2＝____________________________； (2)z 1·z 2＝____________________________； (3)z 1 z 2＝____________________________ (z 2≠0)． 10．复数加、减法的几何意义 以复数z 1，z 2分别对应的向量OZ 1→，OZ 2→为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，对角线OZ 表示的向量OZ → 就是____________．z 1－z 2对应的向量是____________． 自查自纠 1．－1 运算律 2．实部 虚部 ①b ＝0 ②b ≠0 ③a ＝0 b ≠0 3．a ＝c 且b ＝d a ＝b ＝0 4．一一对应 5．实数 原点 纯虚数
最后冲刺 【高考预测】 1.复数的概念 2.复数的代数形式及运算 3.复数概念的应用 4.复数的代数形式及运算 易错点 1 复数的概念 1．（2020精选模拟）若z 1=a+2i,z 2=3-4i,且2 1z z 为纯虚数，则实数a 的值为___________. 【错误解答】 ∵z 1+a+2i,z 2=3-4i, ∴ .25462583169)46(83)43)(43()43)(2(43221i a a i a a i i i i a i a z z ++-=+++-=+-++=-+= 又∵2 1 z z 为纯虚数。 ∴, 02583=-a ∴a=38.∴填38 。 【错解分析】∵复数z=a+bi(a,b ∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b ≠0.因此上面解答虽 【错误解答】 选C ∵z=i -11 =1+i.∴z 为纯虚数为1-i 【错解分析】z=i -11 =1+i 是错误的，因为（1-i ）(1+i)=1-(i)2-z ≠1
【正确解答】 选B ∵z=i -11=.2 12121)1)(1(1i i i i i +=+=+-+ ∴z=i -11的共轭复数是21-21 i 。 3．（2020精选模拟）已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i,,且21z z ?是实数，则实数t= （ ） A ．43 B ．34 C ．-34 D ．-43 【错误解答】 选 C ∵z1·2z ∈R ?2121z z z z +=0。即（3+4i ）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0 ?t=-34 . 【错误解答】 设z=x+yi(x,y ∈R),∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得 y=-2. ∵51222= --=-i i x i z (x+2)(2+i)=51(2x+2)+51(x-4)i. 由题意得x=4,∴z=4-2i. ∵(z+ai)2 =[4+(a-2)i]2 =(12+4a-a 2 )+8(a-2)i ∵(z+ai)2在复平面上的点在第一象限， ∴,.0)2(8, 04122???? ?≥-≥-+a a a 解得2≤a ≤6. ∴实数a 的取值范围是[2，6]。 【错解分析】 复数z=a+bi(a 、b ∈R)对应点（a 、b ）在第一象限的充要条件是a>0,b>0.
一、复数选择题 1．已知复数1z i =+，则2 1z +=（ ） A ．2 B C ．4 D ．5 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 4．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 5．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12 y 6．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．7．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 10．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为 ，则z 为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 11．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ）
高考数学复数知识点总结及解题思路方法 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． §15. 复数知识要点 1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即1 =. i2- ⑵复数及其相关概念： ①复数—形如a + b i的数（其中R ，）； b a∈ ②实数—当b = 0时的复数a + b i，即a； ③虚数—当0≠b时的复数a + b i； ④纯虚数—当a = 0且0≠b时的复数a + b i，即b i. ⑤复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意 a，b都是实数） ⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：
00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0 z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程： ） （00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②2 1 z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③21212 1202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为 a 的椭 圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④ ）， （2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的 双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式： 设21z z ，是不等于零的复数，则 ① 2 12121z z z z z z +≤+≤-.
高中数学人教版选修2-2（理科）第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念（包括3.1.1数系的扩充和复数的概念，3.1.2复数的几何意义）同步练 习（II）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分）设i是虚数单位，复数的虚部为（） A . -i B . -1 C . i D . 1 2. （2分）若，其中、，是虚数单位，则 A . ０ B . ２ C . D . ５ 3. （2分）已知tan（α+β）= ，tan（β﹣）= ，则的值为（） A . B . C . D .
4. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 是边长为2的等边三角形，是边上的动点， 于，则的最小值是（） A . 1 B . C . D . 5. （2分）已知复数，则z的虚部为（） A . 1 B . －1 C . i D . －i 6. （2分）在复平面上，点对应的复数是，线段的中点对应的复数是，则点对应的复数是（） A . B . C . D . 7. （2分）已知复数的实部为1，且，则复数的虚部是（） A . B .
C . D . 8. （2分）(2016·商洛模拟) 在复平面内，复数对应的点的坐标为（） A . （0，﹣1） B . （0，1） C . （，﹣） D . （，） 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分） (2019高三上·大庆期中) 已知，i是虚数单位，若（1 i）（1 bi）=a，则的值为________. 10. （1分） (2019高二下·邗江月考) 设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所表示的点位于第________象限. 11. （1分）已知=1+ni，其中n∈R，i是虚数单位，则n=________ 三、解答题 (共3题；共20分) 12. （10分） (2019高二下·舒兰月考) 已知复数，复数，其中是虚数单位，， 为实数． （1）若，为纯虚数，求； （2）若，求，的值． 13. （5分） (2018高二下·聊城期中) 设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
高二数学 4.3数系的扩充(第一课时) 【精品】 高二数学 4、3数系的扩充(第一课时)从容说课复数系的建立经历了一个漫长的过程、事实上,在德国数学家高斯首次引进“复数”这一名词,并把这类新数与坐标平面(他称之为复平面,后人也称之为高斯平面)内的点一一对应起来之前,欧洲的数学家们已对“虚数”及其几何意义进行了将近三百年的研究、“虚数”产生于解方程需要的实际背景应向学生交待,这是矛盾产生的结果,是数学内部发展的自身需要,也是其他科学发展的需要,揭示了数形结合思想在推动这一新的研究对象发生、形成和发展中所起的重要作用;同时要告诉学生,将一个数集进行扩张,还要解决原有的运算律是否保持这样一个基本问题、通过前几节的学习,学生已经知道在复数集内如何进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,并知道开方运算在复数集内总可以实施、作为复数知识的重要应用,应引导学生运用所学知识(共轭复数、加减法运算)证明“虚根成对定理”和一元二次方程的根与原数关系的推广真正的“韦达定理”,并向学生指明复数广阔的应用领域和发展前景,着重培养学生热爱科学、追求科学、献身科学的精神、第六课时课题 4、3 数系的扩充教学目标 一、教学知识点
1、复数集与实数集的关系,CRQZNN*、 2、实系数一元二次方程的根的问题及根与系数的关系、 二、能力训练要求 1、了解数系的建立发展的过程,学会尊重科学、 2、会运用求根公式及根与系数的关系解决有关问题、 三、德育渗透目标 1、培养学生的探索与创新精神,学会尊重他人的辛勤劳动、 2、培养学生的科学文化素养,提高自身的素质(包括数学素质),懂得数学与文化的关系、教学重点在复数集中解一元二次方程、教学难点复系数一元二次方程根的探索、教学方法探索建构法:在学生已经掌握复数的运算法则和实数一元二次方程的求解的基础上,逐步让学生主动建构出各数集之间的关系,探索出实系数一元二次方程在复数集中的求解公式、韦达定理,以及复系数一元二次方程的求解法、教学过程Ⅰ、复习导入［师］我们已经学习了哪几类数?［生］正整数、零、负整数、分数、无理数、虚数等等、［师］那么这些数集之间有什么关系呢?这些数又是在什么背景下产生的呢?这一节课我们来研究:数系的扩充(板书课题)、Ⅱ、讲授新课［师］数的概念是从实践中产生和发展起来的,早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中由于计数的需要,就产生了
复数综合练习题 一、 选择题 1、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对 2、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分又不必要 3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ?+?是（ ） A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定 4、(),()n n f n i i n N -+=+∈的值域中，元素的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 无数个 5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（ ） A ±±6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（ ） A 12+ B 124,1x x ==- C 43i -+ D 12- 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5 8、已知 z =则501001z z ++的值为（ ） A i B 1 C 2i + D 3 9、已知11x x +=，则199619961x x +的值为（ ） A 1- B 1 C i - D i 10、已知方程|2||2|z z a --+=表示等轴双曲线，则实数a 的值为（ ） A ± B 11、复数集内方程2 5||60z z ++=的解的个数是（ ）
A 2 B 4 C 6 D 8 12、复数1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<的模是（ ） A 2cos 2α B 2cos 2α - C 2sin 2α D 2tan 2 α- 二、填空题 13、34i +的平方根是 、 。 14、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。 15、设12ω=-，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是 。 16、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数 215 z i z + = 。 三、解答题 （写出必要的运算步骤） 17 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +。过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。 18、设,a b 为共轭复数，且2 ()3412a b abi i +-=- ，求,a b 的值。 19、已知复数z 满足|4||4|,z z i -=-且141 z z z -+ -为实数，求z 。 20、已知,z ω为复数，(13)i z +?为纯虚数，2z i ω=+，且||ω= 求复数ω。 21、求同时满足下列两个条件的所有复数z ； （1）10z R z +∈，且1016z z <+≤；（2）z 的实部与虚部都是整数。 22、=x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，求z ． 23、于x 的的方程是0)2()(tan 2 =+-+-i x i x θ；若方程有实数根， 求锐角θ和实数根；
新人教A 版数学高三单元测试27【数系的扩充】 本卷共100分，考试时间90分钟 一、选择题 (每小题4分，共40分) 1. 已知复数z 满足(1)z +=，则z 的共同复数z 的虚部是（ ） A ． B ． C ．D 2. 复数 21(1)1i i +-+的虚部是 （ ） A ．52i - B ．52- C ．32i - D ．32 - 3. 若2i -1i 21+=a +bi （a,b ∈R,i 是虚数单位），则a －b 等于 （ ） A ．－7 B ．－1 C ．－51 D ．－5 7 4. 若复数i m m m m z )65()43(2 2--+--=为纯虚数，则实数m 的值（ ） A . 5 B .6 C. 1- D.4 5. 复数1i i -的共轭复数为 （ ） A ．1122i -+ B ．1122i + C ．1122i -- D ．1122i - 6. 1122 z z 2,3 4.z m i z i m =+=-复数若为实数，则实数的值为 A ．8 3 B ．32 C ．83- D ．32- 7. 定义运算 ,,a b ad bc c d =-，则符合条件,1201,1z i i i +=-+的复数Z 的共轭复数Z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8. 在复平面内，复数 21i + 对应的点与原点的距离是（ ） A. 1 C.2 D.
9. 设i z +=1（i 是虚数单位），则在复平面内，22z z +对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10. 若122 ω=-+,则等于21ωω++=( ) A ．1 B ．0 C ．3+ D ．1- 二、填空题 (共4小题，每小题4分) 11. 已知复数(2)(z i i i =-为虚数单位)，则z = . 12. 若复数z 满足2i z i i -+= ，则复数z 的模为 。 13. 复数i i z +=1在复平面上对应点的坐标为 14. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______. 三、解答题 (共4小题，共44分，写出必要的解题步骤) 15. (本小题满分10分)已知复数i m m m z )4()43(2-+--=， 求实数m 的取值范围： （1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在第三象限. 16. （本题满分10分） 已知复数i z += 31，||2z =2，221z z ?是虚部为正数的纯虚数。 （1）求221z z ?的模；（2）求复数2z 。 17. （本小题满分12分）已知复数i z 311+=，ααsin cos 32i z += ，求复数21z z z ?=实部的最值. 18. （本小题满分12分） 设1cos z x i =+，21sin z i x =+（x 为实数且[0,],2x i π∈是虚 数单位），求函数212()f x z z =-的值域。
复数的概念与四则运算 【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 【答案】B 【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解： ，∴共轭复数为 ，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为、模为 、对应点为 、共轭复数为 . 【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2 i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________. 【答案】 5 2 【解析】由题意可得2 2 234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1 a b ==，则225,2a b ab +==． 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉 复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、 共轭为a bi -等． 【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多． 【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部. 第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】 1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运
复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i +
第五十三讲 数系的扩充与复数的引入 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.(2010·山东)已知2a i i +=b+i(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析:由2a i i +=b+i 得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B. 答案:B 2.(2010·江西)已知(x+i)(1-i) =y,则实数x,y 分别为( ) A.x=-1,y=1 B.x=-1,y=2 C.x=1,y=1 D.x=1,y=2 解析:由(x+i)(1-i)=y 得(x+1)+(1-x)i=y, 又因x,y 为实数,所以有1 ,10y x x =+??-=? 解得1 .2x y =??=? 答案:D 3.(2010·新课标全国)已知复数 z 是z 的共轭复数,则z·z =( ) 1 1 ..42.1.2 A B C D 解析:∵z====== ∴z =∴z?z =|z|2=1 4,
故选A. 答案:A 4.(2010·广东)若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z 1·z 2=( ) A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i 解析:z 1?z 2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i 2 =4+2i. 答案:A 5.(2010·浙江)对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是 ( ) A.|z-z |=2y B.z 2=x 2+y 2 C.|z-z |≥2x D.|z|≤|x|+|y| 解析:|z|= =|x|+|y|,D 正确,易知A ?B ?C 错误. 答案:D 6.(2010·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必 有xy∈S”,则当2211a b c b =??=??=? 时,b+c+d 等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.i 解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c 2=-1得c=±i,因对任意x,y∈S,必有xy∈S,所以当c=i 时,d=-i;当c=-i 时,d=i,所以b+c+d=-1. 答案:B 二?填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.(2010·北京)在复平面内,复数21i i -对应的点的坐标为________. 解析:22(1)1(1)(1) i i i i i i +=--+ =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1). 答案:(-1,1)
专题7.1 复数的概念
运用一 实部虚部 【例1】（2019·黑龙江高三（文））若()()12z i i =+-，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A.1 B.-1 C.-2 D.-4 【答案】D 【解析】()()2 12223z i i i i i i =+-=-+-=--，所以复数z 实部为3-，虚部为1-，所以和为4-，故 选D. 【举一反三】 1．（2019·河南高三（理））已知复数34z i =+，则5 z 的虚部是（ ） A.45 - B. 45 C.-4 D.4 【答案】A 【解析】由34z i =+，得()()()53455343434345i i z i i i --===++-，所以虚部为4 5 -. 故选：A 2．（2019·湖南高三（理））若复数z 满足1z i i ?=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）. A.0 B.1- C.i - D. 1 2 i 【答案】B 【解析】依题意()()() 111i i i z i i i i -?--= ==--?-，故z 的虚部为1-.故选B. 3．（2019·宁夏银川一中高三月考（文））设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A. 3 5 B. 35 C.35 i D.35 i - 【答案】B 【解析】因为(2)1z i i -=+， 1(1)(2)133 2(21)(2)555 i i i i z i i i i ++++∴= ===+--+,
所以复数z 的共轭复数为 13 55i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为3 5 ，故选：B. 4．（2019·山东省烟台第一中学高三月考）若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为 A.1 B.1- C.2 D.2- 【答案】B 【解析】由()1234i z i +=-得 ()()()()22341234310851012121212145 i i i i i i z i i i i i ----+--=====--++--， 所以复数z 的实部为1-，故选B . 运用二 数的分类 【例2】（2019·辽宁高二期末（理））若复数 ()2 321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，则（ ） A.2a ≠ B.1a ≠ C.1a = D.1a ≠且2a ≠ 【答案】A 【解析】 若复数( ) 2 321a a a i -++-（a R ∈）是纯虚数， 根据纯虚数的定义有：21 10=2=1=2 32=0a a a a a a a ≠?-≠????? -+??或， 则复数( ) 2 321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，2a ≠故选A 【举一反三】 1．（2019·辽宁高二期中（文））已知复数2 3()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m =________ 【答案】3 【解析】因为2 3()z m m mi m =-+∈R 是纯虚数， 属于根据纯虚数定义可知230m m -=且0m ≠可解得3m =，故答案为3. 2．（2019·上海市大同中学高三月考）若12i z a =+，214i z =-，且12 z z 为纯虚数，则实数a =________ 【答案】8
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
复数的加减法 一、教学目标： 1、 掌握复数的加法以及其运算律，理解复数加法与向量加法的关系； 2、 掌握复数的减法，理解复数减法与向量减法的关系； 3、 会利用复数模的概念，计算平面上两点之间的距离。 二、教学过程： 复习：复数的代数表示以及与复数对应的点和向量 引入：同过实数加、减的运算结果仍然在实数域内，那么复数的加、减法运算呢？（引出今天上课的主要内容复数的加减法） 板书：复数的加、减法； 记：)R d 、c 、b 、a (di c z ,bi a z 21∈+=+= 一、 复数的加法： 规定)R d 、c 、b 、a (i ）d b （）c a （z z 21∈+++=+ 例1、 计算： )i 27()i 41)(1(-++ )i 41()i 27)(2(++- i 5)]i 34()i 23)[(3(+++-+- ]i 5)i 34[()i 23)(4(+++-+- 复数运算律： 交换律：1221z z z z +=+ 结合律：)z z (z z )z z (321321++=++ （学生自己给出证明） 例2、 在复平面上，分别标出：i 28、i 2-7、i 41++对应的向量，观察，有何发现？ 复数的加法，可以用对应向量的加法来解释。 二、 复数的减法： （复数的减法可以看成是复数减法的逆运算） )R d 、c 、b 、a (i ）d b （）c a （z z 21∈-+-=-
例3、（1）计算：)i 27()i 41(--+ （2）在复平面中，标出)i 27(、)i 41(-+以及（1）中运算结果对应的向量，观察，有何发现？ 复数的减法运算，也可以用其对应的向量减法来解释。 小结： （1） 复数的加、减法运算，就是实部与虚部分别对应相加减。 （2） 复数的加、减法运算，都可以用其对应的向量加、减法来解释。 三、 复平面上两点之间的距离 令复平面上)R b 、a (bi a z 1∈+=对应的点为 ）b ,a （Z 1，)R d 、c (di c z 2∈+=对应的点为）d ,c （Z 2 2 221)d b ()c a (|z z |-+-=- （1） |z z |21-的值可以理解为点1Z 和2Z 的距离； （2）|z z |21-的值也可以理解为对应向量12Z Z 的模。 例4、已知：i 32z 1+=，i 1z 2-=，求：|z z |21- 例5、已知复数z 满足1|z |=，求复数2z -的模的取值范围。 分析： 方法一：代数法，找出复数z 的实部、虚部，并转化为函数的值域问题 方法二：利用复数模的几何意义解题。