16《勾股定理》拓展练习(含解析)
一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）
1．（4分）（1999广西）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）
A．4B．5C．2D．
2．（4分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对
3．（4分）如图，过△ABC的顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于E、D两点，若AB=6，AC=8，则DE=（）
A．10B．14C．16D．24
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
4．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是
_________°．
5．（5分）（1997陕西）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是_________°．
6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是_________cm2．
7．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于_________．
8．（5分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则S△AEF=_________cm2．
9．（5分）如图，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB= _________．
10．（5分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是3，那么另一条直角边的长是_________．
三、解答题（共4小题，满分53分）
11．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2．
12．（13分）如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP=2PQ．
13．（14分）如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．
14．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．
《第1章勾股定理》2010年拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）
1．（4分）（1999广西）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）
A．4B．5C．2D．
考点：解直角三角形．
专题：计算题；压轴题．
分析：分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可．
解答：解：如图，延长AD，BC交于点E，则∠E=30°．
在△CED中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边一半），
∴BE=BC+CE=8，
在△AEB中，AE=2AB（30°锐角所对直角边等于斜边一半）
∴AB2+BE2=AE2，即AB2+64=（2AB）2，3AB2=64，
解得：AB=．
故选D．
点评：本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行计算．
2．（4分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对
考点：三角形．
分析：如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解．
解答：解：如图：
（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；
（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．
所以三角形的形状不能确定．
故选D．
点评：解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．
3．（4分）如图，过△ABC的顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于E、D两点，若AB=6，AC=8，则DE=（）
A．10B．14C．16D．24
考点：勾股定理；平行四边形的性质．
分析：BE为∠ABC的角平分线，∠EBC=∠ABE，CD为∠ACB的角平分线，则∠ACD=∠DCB，因为BC∥DE，根据平行线的性质，内错角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，从而可求出DE的长度．解答：解：由分析得：∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；
根据平行线的性质得：∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED；
所以∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，则AD=AC，AB=AE；
所以DE=AD+AE=AB+AC=6+8=14；故选B．
点评：本题考点：平行四边形的性质．两直线平行，则内错角相等．然后根据角度相等可得出△ADC和ABE为等腰三角形．所以DE的长度等于AB和AC的和．
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
4．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是75°．
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
专题：计算题．
分析：根据三角形内角和定理求出∠DCP=30°，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用△BPD 是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°从而求出∠ACB的度数．
解答：
解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；
∵△PCD中，∠APC=60°，
∴∠DCP=30°，PC=2PD，
∵PC=2PB，
∴BP=PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，
∵∠ABP=45°，
∴∠ABD=15°，
∵∠BAP=∠APC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°，
∴∠ABD=∠BAD=15°，
∴BD=AD，
∵∠DBP=45°﹣15°=30°，∠DCP=30°，
∴BD=DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD=AD，
∴AD=DC，
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，
故答案为：75．
点评：此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．
5．（5分）（1997?陕西）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是135°．
考点：勾股定理的逆定理．
分析：由已知可得AB=BC，从而可求得∠BAC的度数，再根据已知可求得AC：CD：DA=2：3：1，从而发现其符合勾股定理的逆定理，即可得到∠ADC=90°，从而不难求得∠DAB的度数．
解答：解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB：BC：AC=2：2：2=1：1：，
∴AC：CD：DA=2：3：1，
∵AC2+AD2=CD2∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．
点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解及运用能力．
6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是144cm2．
考点：勾股定理的逆定理；勾股定理．
分析：连接AC，根据勾股定理可求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理得，△ADC也是直角三角形，分别求得两个三角形的面积即可得到四边形ABCD的面积．
解答：解：连接AC
∵AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°
∴AC=10cm
∵CD=24cm，DA=26cm
∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°
∴S△ABC=×6×8=24cm2
S△ACD=×10×24=120cm2
∴四边形ABCD的面积=24+120=144cm2
点评：此题主要考查学生对勾股定理逆定理及三角形面积的理解及运用能力．
7．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于18．
考点：勾股定理．
分析：可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD 四条线段的长度的数量关系，然后再代值计算．
解答：解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；
由勾股定理得：
PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；
PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；
因此：PA2+PC2=PB2+PD2，
即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18．
点评：此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量关系至关重要．
8．（5分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则S△AEF=cm2．
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：由翻折的性质知D′F=DF，CE=AE，且CE=BC﹣BE，故由勾股定理求得BE的长，再证得△ABE≌△AD′F，有AF=AD﹣FD，则S△AEF=AF?AB．
解答：解：由题意知，D′F=DF，CE=AE，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
AB2+BE2=（BC﹣BE）2，即32+BE2=（4﹣BE）2，
解得：BE=，
∵∠D′AF+∠EAF=∠EAF+∠BAE=90°，
∴∠D′AF=∠BAE
又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB
∴△D′AF≌△BAE
∴FD=D′F=BE=
∴AF=AD﹣FD=4﹣=
∴S△AEF=AF?AB=××3=．
故本题答案为：．
点评：本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理．
9．（5分）如图，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB= 13．
考点：勾股定理．
分析：过P做A1B1平行线，得到两个直角三角形，利用勾股定理解出AP和BP的长，再计算AP+PB．
解答：解：方法一：如图：
∵AD=AA1﹣A1D=17﹣16=1；
BC=B1B﹣B1C=20﹣16=4；
又∵∠A=∠B
∴tan∠A=tan∠B
∴
∴CP=4DP
∴CP=，DP=．
∴AP=，BP==．
故AP+PB==13．
方法二：过p点作A1B1平行线，分别交AA1于D点，交BB1于F点，延长BP交AA1于c点，过C点作CG垂直于BB1于G点．
∵AA1，BB1分别垂直于A1B1∴AA1∥BB1又∵∠A=∠B，
∴∠A=∠ACP，
∴三角形ACP为等腰三角形，AP=CP
∴AP+BP=CP+PB=CB
∵FD∥A1B1，
∴FD垂直于AA1，
∴D为AC的中点
又∵PP1=16，AA1=17，BB1=20
∴AD=DC=FG=1，BF=4
∴BG=BF+FG=4+1=5
∴在直角三角形CGB中
CG=A1B1=12
BG=5
CB2=CG2+BG2=122+52
∴CB=13=AP+PB
点评：考查了勾股定理和三角函数在直角三角形中的应用．
10．（5分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是3，那么另一条直角边的长是4．
考点：勾股定理．
分析：根据勾股定理，两边的平方和等于第三边的平方，设另一条直角边a，根据勾股定理可以得出斜边为，根据边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合边长为整数，进而得出a的值．
解答：解：设另一个直角边为a，
则根据勾股定理可以得出斜边为，
由三角形的边长关系：
3+a＞，
∵边长为整数，
∴a=4，
即斜边为5．
即另一条直角边的长是4．
点评：本题考查了勾股定理的应用，属于比较简单的题目，需要熟练掌握．
三、解答题（共4小题，满分53分）
11．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2．
考点：勾股定理．
专题：证明题．
分析：作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2，ED=BD﹣BE=CE﹣CD，代入求出三者之间的关系即可得证．
解答：证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD﹣BE=CE﹣CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=BC，
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2，
AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2，
AD2=AE2+ED2，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2﹣BE2+（BD﹣BE）2+AC2﹣CE2+（CE﹣CD）2=AB2+AC2+BD2+CD2﹣2BD×BE﹣2CD×CE =AB2+AC2+BD2+CD2﹣2×BC×BC
=BD2+CD2，
即：BD2+CD2=2AD2．
点评：本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系．
12．（13分）如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP=2PQ．
考点：等边三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC=∠C=60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；
（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°，再根据余角的性质得到∠PBQ=30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果．
解答：证明：（1）∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=∠C=60°．
∵AB=AC，AE=CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°．
∴∠BPQ=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ．
点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力．
13．（14分）如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．
考点：勾股定理的逆定理．
专题：证明题．
分析：由A作垂线交BC于H，设∠BAE=y，设BH=AH=CH=1，从而用正切函数表示出EH，HF，EF，BE，CF，再将x=tany代入化简，根据勾股定理的逆定理可得到CF2+BE2=EF2，从而可判定以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．
解答：解：由A作垂线交BC于H．
设∠BAE=y，设BH=AH=CH=1．则
EH=tan（45﹣y）=
HF=tany
EF=EH+HF=+tany
BE=1﹣EH=
CF=1﹣tany
令x=tany，则
EF=x+
BE=
CF=1﹣x
CF2+BE2=（1﹣x）2+（）2=（x+）2=EF2．
故这三条线段可做成直角三角形．
点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的运用能力．
14．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．
考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，由于DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE，可得出△EDF≌△GDF，所以EF=FG，同理证出BE=CG，所以要证明EF2=BE2+CF2，只需证明FG2=FC2+CG2即可．解答：证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2∴EF2=FG2=BE2+CF2．
点评：本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法．
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习 一、填空题(共5道，每道4分) 1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______. 2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______． 3题图5题图 3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____. 4.教材5题：将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是_____. 5.教材10题：矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长_____. 二、解答题(共5道，每道10分) 1.教材9题：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=8cm，BC=6cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上的点C′处，求CD的长以及折痕BD的平方 1题图2题图 2.教材8题：如图，已知DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余，求+的值. 3.教材12题：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，求CN和AM的长. 3题图4题图5题图 4.教材14题：如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？ 5.教材16题：如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）？ 三、证明题(共3道，每道10分) 1.教材2题：如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，F为BC上的一点且BC=4CF，试说明△AEF是直角三角形.
勾股定理练习(根据对称求最小值) 基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM 有最小值。 1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到 直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） A． 6 B．8 C．10 D．12
4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5． （1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长； （2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值 5、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 2， M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为． 6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边 上一点，则EM+BM的最小值为．
7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求 △PQR周长的最小值． 8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（） A．2 B．2 6C．3 D．6 9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm 10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
勾股定理能力提升 【知识点回顾】 1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即： 222c b a =+。 2、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10； （4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 3、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 【考点解析】 考点一：勾股定理的直接应用 例1．若线段a ，b ，c 能构成直角三角形，则它们的比为 ( ) A ．2：3：4 B ．3：4：6 C ．5：12：13 D ．4：6：7 例2. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为n 2-1、2n(n>0)，那么它的斜边长为 ( ) A ．2n B ．n+1 C ．n 2-l D ．n 2+1 例3．如图，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ， 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm 练习1、如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，?这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（ ） A ．9分米 B ．15分米 C ．5分米 D ．8分米
考点二：与高、面积有关 例1．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 约为 1.732， 结果保留三个有效数字）（ ） A ．5.00米 B ．8.66米 C ．17.3米 D ．5.77米 例2．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，?小明在C 处用测角仪测得树顶端A 的仰角为30°，已知 测角仪高DC=1.4m ，BC=30m ，请帮助小明计算出树高AB 取1.732，结果保留三个有效数字）． 例3．四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．?大会会标如图甲，它是由四个相同的 直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．?若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边 的和是5，求中间小正方形的面积； 练习1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积 和为( )． _ B _ C _ D _ A
勾股定理拓展与拔尖 二. 知识点回顾 1、 勾股定理的应用: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之 一，其主要应用有: （１）已知直角三角形的两边求第三边 (２)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边(如ｃ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠Ｃ为直角的直角三角形;若2c ≠22b a + 则△AB Ｃ不是直角三角形。 3. 勾股数: 满足22b a +=2c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)３，４，５； (2)5，1２，１3； (3）6，８，１０;(4）8,15,17 （5）７,24,25 （6）9， 40, ４1
三.典型题剖析:针对训练、延伸训练 考点一 证明三角形是直角三角形 1、 在正方形ＡB ＣD 中,F 为ＤC 的中点,E 为BC 上一点,且EC=41 BC,求证:DEFA=90°。 针对训练:1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠Ｃ的对边分别是a 、ｂ、c,满足a 2+b 2+c 2+3３8=10a ＋２4b+2６ｃ.试判断△A ＢC 的形状． 考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例、如图，等腰△A ＢＣ中，底边BC =２０,D 为ＡB 上一点,CD ＝16，BD ＝12, 求△AB Ｃ的周长. 针对训练:1、.已知：如图,四边形ＡBCD ，AD ∥BC ，AB ＝4，BC=6,CD=5，AD=3． 求:四边形A ＢＣD 的面积． 考点三 勾股定理的折叠问题 例、如图，在矩形AB ＣD 中,AB=３，ＢC=5,在CD 上任取一点E ，连接B Ｅ,将△BC Ｅ沿BE 折叠,使点E 恰好落在AD 边上的点Ｆ处，则CE 的长为 . A B D C F E
《勾股定理》练习题一、选择题（12×3′=36′） 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A、25 B、14 C、7 D、7或25 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（） A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5 3．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（） A、121 B、120 C、132 D、不能确定 5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169 6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（） A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56 B、48 C、40 D、32 9．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角
形. 10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 11．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
勾股定理拓展与拔尖 二. 知识点回顾 1、 勾股定理的应用： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3. 勾股数： 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 三．典型题剖析：针对训练、延伸训练 考点一 证明三角形是直角三角形 1、 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90?. 针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状. A B D C F E
考点二运用勾股定理的逆定理进行计算 例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12， 求△ABC的周长。 针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积. 考点三勾股定理的折叠问题 例、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD 边上的点F处，则CE的长为． 针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1 处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（） A．3 B．C．5 D．
B A 6cm 3cm 1cm C B A A D E B C 勾股定理拓展提高题 1、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ； ②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ． 2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数 _________ 图1 图2 图3 3、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积 4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2 —10的立方根为 5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为 图4 图5 6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大 正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那 么()2 b a +的值为（ ） （A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169 7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形 8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ， CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等， 则E 站应建在离A 站多少km 处？ 9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且3 2=EFGH S 正方形。求：a b -的值。 10、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。 （1）说明：222EF CF BE =+ (2)若BE=12,CF=5，试求DEF ?的面积。 勾股定律逆定理应用 考点一 证明三角形是直角三角形 例1、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，A B
尊敬的各位评委、老师，您们好。今天我说课的内容是人教版《数学》八年级下册第十八章第一节《勾股定理》第一课时，我将从教材、教法与学法、教学过程、教学评价以及设计说明五个方面来阐述对本节课的理解与设计。 一、教材分析： （一）教材的地位与作用 从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。 从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁； 勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中【情感态度】方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。 （二）重点与难点 为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。限于八年级学生的思维水平，我将面积法发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突
出重点，合作交流突破难点。 二、教法与学法分析 教学方法叶圣陶说过“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。 学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。 三、教学过程 我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。 首先，情境导入 给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。（请看视频）让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了什么三角形？反映在三边上,又蕴含着什么数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。 第二步追溯历史解密真相 勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。 从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。学生很容
勾股定理优秀教案 【篇一：探索勾股定理优秀教案】 —1— —2— —3— 1.1探索勾股定理 1．小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，他摆完这个直角 三角形共用火柴棒（）根 a．20 b. 14 c. 24 d. 30 2．在rt△abc中，斜边ab=1，则 ab2+bc2+ac2=（） a．2 b. 4 c. 6d. 8 3．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方 形的面积为（） a．8 b. 64 c. 16 d. 32 4．直角三角形的两条直角边的比为3:4，斜边长25cm，则斜边上 的高为（） a．10cm b. 12cm c. 15cmd. 20cm 15 第3题 —4— 【篇二：勾股定理教学设计与反思】 教学设计 【篇三：《勾股定理》教学设计】 《勾股定理》教学设计 创新整合点 本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生 经历数学知识的形成与应用过程。教材分析 这节课是苏科版《义务教育课程标准实验教科书》八年级（下）教 材《勾股定理》第一节的内容。勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面： 1、勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测 量问题。
2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的 作用，为学生的终生学习奠定良好的基础。 3、解直角三角形内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关。 学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学 生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨 论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独 的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们 自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足 他们的创造愿望。教学目标 知识与技能目标：能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实 际运用. 过程与方法目标：经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 情感态度与价值观目标：通过对勾股定理历史的了解和实例应用， 体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心. 教学过程： （一）创设情境，提出问题。 情境：数学来源于生活，生活离不开数学。在生活中有许多美丽的 图案是由几何图形构成的，下面我们一起来欣赏一颗由几何图形构 成的美丽的大树。 问：请观察这棵树，它是由哪些几何图形构成的？ 问：如果这里不是一个一般直角三角形，而是一个等腰直角三角形，你能想象出此时大树的形状吗？（学生猜想，教师出示图片） 问：这颗大树中有很多大大小小的形状相同的组合，你能把它找出 来吗？ 这四个图形之间有着怎样的联系呢？哪个图形起决定作用？ 引入课题：三个正方形是以直角三角形的三条边为边长作出来的，这三个正方形之间有什么关系呢？直角三角形的三边之间有着怎样 的关系呢？这棵美丽的大树是根据什么设计出来的呢？今天我们就 一起来探讨这个问题。
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《勾股定理》(一)重难点解决妙招设计单 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）教学目标 知识与技能： 1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。 2、了解勾股定理的内容。 3、能利用已知两边求直角三角形另一边的长。 数学思考： 在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。 解决问题： 1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。 情感与态度： 1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理 的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。 2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培 养合作意识和探索精神。 （三）教学重、难点
重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理 二、学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。 三、教学策略 本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。 四、教学程序
3、如图2,直线I 上有三个正方形 a, b, c ,若a, c 的面积分别为5和11,则b 的面积 4、如图3,数轴上的点 A 所表示的数为x ，则X 2 —10的立方根为 ___________ 5、如图4, 一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为 6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方 图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 5所 示）.如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为 a,较 长直角边为b ,那么（a + b f 的值为（ ） 7、已知△ ABC 的三边长满足 a ? b = 10,ab = 18 , c = 8，则为 ______ 三角形 勾股定理拓展提高题 1、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm,咼为6cm ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B, 那么所用细线最短需要 ___________ cm ②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B, 那么所用细线最短需要 ___________ cm 2、如图1,每个小正方形的边长为 1, A B C 是小正方形的顶点，则/ ABQ 的度数 图1 图 2 (A ) 13 (B ) 19 (C ) 25 (D ) 169
8、如图，铁路上A, B 两点相距25km, C,D 为两村庄，DAIAB 于A, CB 丄AB 于B,已知DA=15km CB=10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ，使得C, D 两村到E 站的距离相 等，则E 站应建在离 A 站多少km 处？ 9、已知：正方形 ABCD 的边长为1,正方形 ABCD 的边长为1，正方形 EFGH 内接于 ABCD 2 AE =a ，AF=b,且 S 正方形 EFGH 「。求: AB=AC 点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB AC 边上的点, 且 DEI DF 。 (1)说明：BE 2 ? CF 2 二 EF 2 ⑵若BE=12,CF=5,试求 DEF 的面积。 勾股定律逆定理应用 考点一 证明三角形是直角三角形 例1、已知：如图，在△ ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD ?BD. 求证：△ ABC 是直角三角形. b - a 的值。 10、在等腰直角三角形中 ,
B A 6cm 3cm 1cm C B A 勾股定理拓展提高题4.1 1、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ； ②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ． 2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数_________ 图1 图2 图3 3、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积 4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2 —10的立方根为 5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为 图 4 图5 6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2 b a +的值为（ ） （A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169 7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形 ? ? A B
A D E B C 8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且3 2 = EFGH S 正方形。求：a b -的值。 10、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。 （1）说明：2 22EF CF BE =+ (2)若BE=12,CF=5，试求DEF ?的面积。 H G F C B
第十七章、勾股定理 一、知识精读 (一）、 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 （二）. 勾股定理的应用. 勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范. 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证 明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． （三）. 勾股定理的证法. 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证．
c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为22 1422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，，化简得证 （四）.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b ，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 （五）.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ， b ， c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：
勾股定理教案 一、指导思想与教学理念： 以学生为主体的讨论探索法 二、教学对象分析： 八年级学生好奇心强，学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流， 三、教材分析： 勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切地联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是后续学习解直角三角形的基础，是三角形知识的深化。 四、教学方法： 讲授法、讨论法 五、教学目标： （1）知识与技能：了解勾股定理的产生背景，体验勾股定理的探索过程，掌握验证勾股定理的方法；了解勾股定理的内容；能利用已知两边求直角三角形另一边的长； （2）过程与方法：在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想； （3）情感与态度：在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，培养合作意识和探索精神。 六、教学环境： 普通教室 七、教学用具： 黑板、粉笔、自制的方格纸、画笔 八、教学重、难点： 重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理 九、教学过程： 一、创设情境，导入新课 1、出示问题，引发思考（用多媒体播放视频）“某楼房二楼失火，消防队
员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?” 2、引入新课：教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。 二、探究勾股定理 1、探究等腰直角三角形的三边之间的特殊关系 引导思考：等腰直角三角形的三边之间有怎样的特殊关系? 给出证明:通过斜边的中线为斜边的一半可以证明,可以让学生证明也可以自己证明 归纳总结：等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方. 2、探究一般直角三角形的三边之间的特殊关系 引导思考：在一般的直角三角形中是否满足这个关系 学生根据问题，分组交流 给出证明:引导学生证明勾股定理,通过构建四个直角三角形围成正方形的方法给出证明 归纳总结：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 介绍勾股定理的命名：.约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里 .人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.所以我国称它为勾股定理. 介绍古今中外数学家和数学爱好者对勾股定理研究和证明的历史. 西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 十一、布置作业： 课后作业1、2 十二、教材反思： 在课堂教学中，始终注重学生的自主探究能力，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在举勾股定理在生活中的例子时，学生思
B A 6cm 3cm 1cm C B A 勾股定理拓展提高题 1、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ； ②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ． 2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数 _________ 图1 图2 图3 3、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积 4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2 —10的立方根为 5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为 图4 图5 6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2 b a +的值为（ ） （A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169 7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形 ? ? A B
A D E B C 8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且3 2 = EFGH S 正方形。求：a b -的值。 10、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。 （1）说明：2 22EF CF BE =+ (2)若BE=12,CF=5，试求DEF ?的面积。 勾股定律逆定理应用 考点一 证明三角形是直角三角形 例1、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD. 求证：△ABC 是直角三角形. H G F E C B F E A
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 《勾股定理》能力提升训练 1、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A ．32，42，52 B ．C ． D ．1，2，3 2. 下列说法中, 不正确的是 ( ) A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形 B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形 C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形 D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形 3、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ） A ．-4和-3之间 B ．3和4之间 C ．-5和-4之间 D ．4和5之间 5、如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子 末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑 轮上方的部分忽略不计）为（ ） A ．12m B ．13m C ．16m D ．17m 6、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔， 则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A ．12≤a ≤13 B ．12≤a ≤15 C ．5≤a ≤12 D ．5≤a ≤13 7、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） A. CD 、EF 、GH B. AB 、EF 、GH C. AB 、CD 、GH D. AB 、CD 、EF 8、如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ， EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（ ） A ．12厘米 B ．16厘米 C ．20厘米 D ．28厘米 9、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 10. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2 B. a 2+b 2=2h 2 C. a 1+b 1=h 1 D. 21a +21b =21h 11.已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，如果AB=3，AD=4，那么（ ） 第6题
5?教材16题：如图，某沿海城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 150km 的B 处有一台风中心正以 20km/h 的速度向 BC 方向移动，已知城市 A 到BC 的距离AD=90km （1）台风中心经过多长时间从 30km 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险， 为让D 点的游人脱离危险， 游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离 （撤离速度为6km/h ） 三、证明题（共3道，每道10分） 1?教材2题：如图，在正方形 ABCD 中，E 是DC 的中点，F 为BC 上的一点且BC=4CF 试说明△ AEF 是直角三角形 1题图 2题图 3题图 2?作业1题：如图，已知 P 是矩形 ABCD 内任一点，求证： PA2+PC2=PB2+PD2 3?教材6题：如图所示.已知：在正方形 ABCD 中，/ BAC 的平分线交 BC 于E ,作EF 丄AC 于F ,作FG 丄AB 于G .求证: AB2=2FG2． 八年级数学勾股定理拓展提高（勾股定理）拔高练习 一、填空题（共5道，每道4分） 1?教材 1 题：△ ABC 中，AB=15, AC=13,高 AD=12，则△ ABC 的周长是 _______ ? 2?教材3题：在直线I 上依次摆放着七个正方形（如图所示）?已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置 的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3 S4,贝U S1+ S2+ S3+ S4= ________ ? 5题图 3?教材4题：△ ABC 周长是24, M 是AB 的中点，MC = MA = 5，则A ABC 的面积是 _______ . 4.教材5题：将一根长24 cm 的筷子，置于底面直径为 5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 hcm ，则h 的取值范围是 _______________ ? 5?教材10题：矩形ABCD 中，BC=4, DC=3,将该矩形沿对角线 BD 折叠，使点C 落在点F 处，求EF 的长 ____________ ? 二、解答题（共5道，每道10分） 1?教材9题：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=8cm , BC=6cm,现将直角边 BC 沿直线BD 折叠，使它落在 斜边AB 上的点C 处，求CD 的长以及折痕BD 的平方 DE=m , BC=n , / EBC 与/DCB 互余，求兰二；上+■汀的值. 1题图 2?教材8题：如图，已知 3?教材12题：如图，四边形 ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对 应点为A',且B' C=3求CN 和AM 的长? 3题图 4题图 4?教材14题：如图，某隧道的截面是一个半径为米的半圆形，一辆高米，宽 3米的卡车能通过该隧道吗 B 点移到D 点（ 2）如果在距台风中心
北师版八年级数学上册 1.3勾股定理的应用 能力提升卷 一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．如图，小红想用一条彩带缠绕一个圆柱，正好从A点绕四圈到正上方B点，已知圆柱底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短是() A．13 cm B．24 cm C．25 cm D．52 cm 2．如图，长方体的长为9，宽为4，高为12，点B与点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿长方体的侧面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是() A．12B．13 C．15 D．17 3．一有盖长方体笔盒长、宽、高分别为12 cm，6 cm，4 cm，则它能容纳的最长的笔的长度为( ) A．12 cm B．13 cm C．14 cm D．15 cm 4．如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬() A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，
条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为() A．7.5平方千米B．15平方千米 C．75平方千米D．750平方千米 6. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口点A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口点A到藏宝点的直线距离是( ) A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km 7．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是() A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼铒，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内到G处吃鱼铒，则小虫爬行的最短路线长为( ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm 9．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为( ) A． 5 B．2 5 C．3 5 D．4 5