八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何(勾股
定理)拔高练习
试卷简介:全卷共14道大题，8道计算题，每题5分；6道证明题，每题10分，满分100分，测试时间150分钟。本套试卷以勾股定理为基础，通过对称变换和旋转变换把一些零散的条件集中起来，寻找勾股关系，同时涉及到证明三角形全等，对称和旋转的一些知识。
学习建议:本讲内容主要包括两个方面，第一是通过对称变换寻找勾股关系，要注意对称的两个图形是全等的，利用这一知识，我们一般求最短距离，先找出某个点的对称点，再根据两点之间线段最短求得；第二，通过旋转变换寻找勾股关系，旋转前后的两个图形也是全等的，这样我们可以把一些条件进行转移，把一些零散的条件集中起来。这一部分，题目比较多，也相对较难，希望同学们认真思考。，寻找其中的规律。
一、计算题(共8道，每道5分)
1. 如图，某人在B处通过平面镜看见在B正上方3米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为2米，问B点到物体A的像A′的距离是多少？
答案：5米
解题思路：连接AB，则AA‘⊥AB，AA‘=2+2=4，AB=3，在直角三角形A‘AB 中，由勾股定理得A’B=5
易错点：找出直角三角形，利用勾股定理。
试题难度：一颗星知识点：勾股定理
2.在△ABC中,AB=AC=1 , BC边上有2006个不同的点P1 ，P2,……P2006，记
,则
=_____.
答案：2006
解题思路：不妨设P为BC上的任一点，，过点A做AD⊥BC于点D，
在直角△APD中，,
在直角△ABD中，，
所以,所以
，即
故本题答案为2006.
易错点：不会添加辅助线，寻找关系。
试题难度：二颗星知识点：勾股定理
3.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
答案：17km
解题思路：
设河岸为MN，则AC=7，BC=8，做点A关于MN的对称点A‘，连接A‘B交MN于点P，点P 即为所求。此时AP+BP=A‘P+BP=A‘B==17
易错点：这是一个最短路问题，要做定点A或B关于定直线（小河）的对称点，然后根据两点之间的距离最短求得。
试题难度：二颗星知识点：勾股定理
4.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 ，BE=1,P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是？
答案：5
解题思路：连接DE交AC与点P，点P即为所求。此时，AE=3，AD=4，PB+PE=PD+PE=DE=
易错点：这是奶站问题的一个应用，B、E在AC的同侧，这时候要把点B关于直线AC对称到点D，BP=DP，，再根据两点之间线段最短。
试题难度：三颗星知识点：勾股定理
5.如图：正方形ABCD中有一点P,且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．
答案：135°
解题思路：
把△APB绕点B旋转到三角形CＰ１B，则CP1=AP=1，BP1=BP=2，∠2=∠1，∠APB=∠CP1B. ∵∠1+∠PBC=90°
∴∠2+∠PBC=90°
又BP=BP1=2
∴ PP1=，∠BP1P=45°
在△PP1C中，PC＝3，PP1=，P1C＝1，有ＰＣ2＝ＰＰ１2＋ＣＰ１2∴∠ＰＰ１Ｃ
＝９０°∴∠ＡＰＢ＝∠ＣＰ１Ｂ＝∠ＢＰ１Ｐ＋∠ＰＰ１Ｃ＝４５°＋９０°＝１３５°易错点：通过旋转把条件AP=1，BP=2，CP=3,联系起来。
试题难度：四颗星知识点：勾股定理
6.如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB＝BC=2AD，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求梯形ABCD 的面积．
答案：
解题思路：
旋转△APB到△CP1B，可得∠C P1B=135°（参考第5题），做CE⊥BP1并交其延长线于点E，
则∠CP1E=45°，CE=P1E=，又BP1=2，所以BC==
易错点：不能通过旋转找出条件之间的联系，进而求解。
试题难度：五颗星知识点：勾股定理
7.如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.
答案：150°
解题思路：把△APC绕点C顺时针旋转60°到△B P1C，连接PP1，则
BP1=AP=3，CP1=CP=5，∠BP1C=∠APC，∠2=∠1, ∵∠ACP=60°，∴∠PCP1=60°。∴△PCP1为等边三角形，PP1=PC=5. 因为在直角三角形PBP1中，PB=4，BP1=3，PP1=5，所以∠PBP1=90°，在四边形CPBP1中，∠CPB+∠CP1B=360°-60°-90°=210°∴∠APC+∠CPB=210°∴∠APB=360°-210°=150°
易错点：题目中给出了三条边，所以要通过旋转把三条边转移到一个三角形中。
试题难度：三颗星知识点：旋转的性质
8.如图所示，在直角三角形ABC 中,∠BAC=90°，AC=AB ，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4 ,
求DE 的长.
答案：5
解题思路：把△CEA顺时针旋转到△BFA，得到Rt△DBF，BD=3，BF=CE=4，
所以DF=5. 然后证明△AED≌△AFD，得ED=DF=5.
易错点：不能通过旋转，建立条件之间的联系。
试题难度：四颗星知识点：旋转的性质
二、证明题(共6道，每道10分)
1.如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若P为边BC上的中点，连结AP，求证：BP×CP=AB2-AP2；
（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.
答案：（1）在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP2，又BP=CP，所以BP CP=AB2-AP2。
（2）结论仍然成立。如图
做AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中AB2=AD2+BD2
在Rt△APD中AP2=AD2+PD2
∴AB2-AP2=BD2-PD2=(BD-PD)(BD+PD)=PC(PD+BD)=CP BP
∴AP2-AC2=CP BP.
（3）如图，
做AD⊥BC于点D，在直角三角形ACD中AC2=AD2+CD2
在直角三角形APD中AP2=AD2+PD2
∴AP2-AC2=PD2-CD2=(PD-CD)(PD+CD)=PC(PD+BD)=CP BP
解题思路：通过做辅助线，得到两个直角三角形，分别利用勾股定理，即可。
易错点：受第一题的启发，仍然做BC边上高AD，进而出现直角三角形，从而应用勾股定理。试题难度：二颗星知识点：勾股定理
2.（2010宁德市）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
答案：（1）在△AMB与△ENB中
MB=NB
∠NBE=∠MBA
BA=BE
所以△AMB≌△ENB（SAS）
（2））①M在BD的中点时最小，两点之间线段最短。②连接MN,由（1）中可得AM=EN，∠MBN=60°，则△BMN为等边三角形，此时AM+BM+CM=EN+NM+MC，点E、N、M、C在一条直线上时，之和最短，最短只等于EC。所以连接CE交BD于点M，点M即为所求。
（3）做EF⊥CB交CB的延长线于点F，设边长为a，又∠EBF=30°，所以EF=，BF=，在直角三角形EFC中应用勾股定理可得a=
解题思路：（1）证明三角形全等比较简单；（2）通过线段之间的等量代换，把一些线段之和转化为两点之间的距离。（3）通过做辅助线，找到一个既含EC又与正方形的边长有关的直角三角形，进而建立等式求解。
易错点：充分利用题目中的已知条件，进行线段之间的转化，把一些线段之和转化为两点之间的距离，利用两点之间线段最短。
试题难度：四颗星知识点：三角形三边关系
3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由.
答案：EF2=CF2+BE2 绕点A顺时针旋转△BEA到CHA，连接FH，
则CH=BE，∠ACH=∠B，∠4=∠3. ∵∠BAC=90°，∠B+∠FCA=90°，∴∠EAH=90°，∠ACH+∠FCA=∠FCH=90°又∠EAF=45°，∴∠FAH=45°在△EFA与△HFA中AE=AH ∠EAF=∠HAF=45°AF=AF ∴△EAF≌△HFA（SAS）∴HF=EF 在Rt△FCH中，CF2+CH2=HF2 ∴EF2=CF2+BE2
解题思路：通过旋转构造一个直角三角形，由勾股定理得到一个等式，然后利用等量关系代换，得到我们所要的结论。
易错点：我们要找三边之间的关系，只有放在一个三角形里面才能判断，所以通过旋转，把已知的三边转化到一个三角形中。
试题难度：四颗星知识点：旋转的性质
4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2.
答案：做∠DCH=∠B，并使CH=BE，连接DH。则△DCH≌△DBE （SAS）则ED=HD ∵∠B+∠ACB=90°∴∠DCH+∠ACB=90°在直角三角形FCH中，
HF2=CH2+CF2=BE2+CF2 又∵∠EDF=90°，∴∠BDE+∠FDC=90°∵∠CDH=∠BDE，∴∠FDH=90°，∴E、D、H在同一直线上。∵ED=DH，DF⊥ED ∴ EF=HF ∴ EF2=BE2+CF2 解题思路：不会通过旋转建立条件与结论之间的关系
易错点：大部分学生不会把三边EF、BE、CF转化到一个直角三角形中。
试题难度：三颗星知识点：勾股定理
5.（2008天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2
是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由
答案：证明：（1）过点B作∠CBG=∠A，并且使BG=AM，连结CG，NG
则∠NBG=∠A+∠CBG=45°+45°=90°
在△ACM和△BCG中
∴△ACM≌△BCG（SAS）
∴∠1=∠2，CM=CG
∵∠ECF=45°
∴∠1+∠BCF=45°
即∠GCF=∠2+∠BCF=45°
在△GCN和△MCN中
∴MN=NG
在Rt△NBG中，BN2+BG2=NG2
由BG=AM，MN=NG
从而MN2=AM2+BN2
（2）成立，
证明：过点B作∠CBM1=∠CAM，并且使BM1=AM，连结CM1，NM1
在△ACM和△BCM1中AC=BC，∠CAM=∠CBM1=135°，AM=BM1 又∵∠CBM=45°，∴∠M1BN=90°∴△ACM≌△BCM1（SAS）∴∠1=∠2，MC=M1C ∵∠ACB=90°，即∠ACM1+∠2=90°，从而∠ACM1+∠1=90°，即∠MCM1=90°，∵∠MCF=45°∴∠FCM1=45°在△MCN和△M1CN中MC=M1C,∠MCN=∠M1CN，CN=CN ∴△MCN≌M1CN 从而MN=M1N 在Rt△BNM1中，BM12+BN2=M1N2 ∵MN=M1N，AM=BM1 ∴MN2=AM2+BN2
解题思路：通过旋转将分散的关于三角形的边角关系集中到一个三角形中解决
易错点：辅助线的添加
试题难度：五颗星知识点：运动变化型问题
6.如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上任意一点．求证：2AD2=BD2+CD2
答案：过∠BAE=∠CAD，并使AE=AD，连接BE。在△BAE和△CAD中，BA=CA，∠BAE=∠CAD，AE=AD，所以△BAE≌△CAD（SAS）∴∠BAE=∠CAD，CD=BE，∠C=∠ABE=45°，AD=AE ∵∠BAC=90°，∴∠EAD=90°，∠EBD=∠ABE+∠ABC=∠C+∠ABC=90°在直角三角形AED中，ED2=AE2+AD2=2AD2 在直角三角形EBD中，ED2=BE2+BD2=CD2+BD2 ∴ 2AD2=CD2+BD2
解题思路：通过旋转构造两个有公共边ED的直角三角形，利用勾股定理求解。
易错点：不能通过旋转构造与条件相关的直角三角形。
试题难度：四颗星知识点：勾股定理