第4讲 勾股定理的应用2
也许成功属于善于记录的人，而不属于善于记忆的人。
1．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长为__________cm.
变式：如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，，，正放置的四个正方形的面积为S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ） A B 2.42 C D
2、已知数
3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数的平方是另外两个数的积，这个数是 ． 3、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，则以z y x 、、为三边的三角形是 三角形。
变式：若ABC ?的三边长c b a 、、满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，试判断ABC ?的形状。
4、已知71=+x
x ，求下列各式的值： （1）221x
x +； （2）x x 1-；
5、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内
接于ABCD ，AE=a,AF=b,且3
2=EFGH S 正方形。求：a b -的值。
6、如图，△ABC 中，AB=10,BC=9,AC=17，求△ABC 的面积。
7.如图，四边形ABCD 中，?=∠60DAB ，?=∠=∠90D B ，BC=1，CD=2，求对角线AC 的长。
H G F
C B
C B
1C
13.11勾股定理的应用练习（1） 第1题. 如图，△ABC 中，∠ACB =90o，CD 为AB 边上的高，若∠A =30o，AB =16，则BC =______，BD =______，CD =______． 答案：8，4 ， 第2题. 如图是一种“牛头形”图案，其作法是：从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别 向外作正方形2，以此类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形7的边长为_________cm ． 答案：8． 第3题. 甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时，甲、乙两人相距______． 答案：5km 第4题. 如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是______． 答案：12m 第5题. 如图，一扇宽为4米，高为3米的栅栏门，需要一根长______米的木条像图中那样固定． 答案：5 第6题. 一块土地的形状如图所示，90,20,15,7,B D AB BC CD ∠=∠=?===米米米求这块土地的面积? 答案：234平方米 第7题. 某菜农修建一个塑料大棚（如图），若棚宽a =4m ，高b =3m ，长d =35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积． A B C D 4 4 3 3 2 2 1 3 A B C D a b c d
答案：175m 2 第8题. 一游泳池长48cm ，小方和小朱进行游泳比赛，从同一处出发，小方平均速度为3m/秒，小朱为3.1m/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14m ．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？ 答案：小朱用16.13秒,小方用16秒,小方先到达终点 第9题. 如图，正方形ACDE 的面积为25cm ，测量出AB =12cm ，BC =13cm ，问E 、A 、B 三点在一条直线上吗？为什么？ 答案：在一条直线上，理由略 第10题. 从A 到B 有两种路线，一种走直线由A 到B ，另一种走折线，先从A 直线到C ，再由C 直线到B ，其中ACB ∠成直角，已知A 到C 为600m ，C 到B 为800m ，问从A 到B 走直线比走折线少走多少米？ 答案：400米 第11题. 如图，△ABC 中，90C ∠=o ，量出AC 、BC 的长，计算出AB （保留两个有效数字） 答案：略 第12题. 已知一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，你能计算出这个三角形的面积吗？ 答案：96平方厘米 第13题. 某住宅小区的形状是如图所示的直角三角形，直角边AC ，BC 的长分别为600米、800米，DE 为小区的大门，大门宽5米，小区的周围用冬青围成了绿化带，问绿化带有多长？ 答案：2395米 B A B C A D B E
勾股定理的应用举例 （一）教学目标 1．知识目标 (1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”. (2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2．过程性目标 (1)让学生亲自经历卷折圆柱. (2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）. (3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力. (二)教学重点、难点 教学重点：勾股定理的应用. 教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. 原因分析： 1.例1中学生因为其空间想像能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过 制作圆柱模型解决难题. 2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维. 教学突破点：突出重点的教学策略： 通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，（三）、教学过程
部分 答案：c=5. 例2、在Rt△ABC中，一直角边分别为5，斜边为 13，求另一直角边的长是多少？ 答案：另一直角边的长是 12. 小结：在上面两个小题中，我们应用了勾股定理： 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则 c2= a2+b2 . 加深定理的记忆理解，突出定理的 作用. 新 课 讲 解 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在 现实生活和数学中有着广泛的应用． 例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm， 高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的 最短路程． 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬 行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、 B、C、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离， 与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什 么？根据是什么？（学生回答） 通过动手作模型，培养学生的动 手、动脑能力，解决“学生空间想像能 力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”的难 题，从而突破难点.
勾股定理应用题 1.为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架 2.5米长的 梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ） A.0.6米 B.0.7米 C.0.8米 D.0.9米 2.如图1所示，有一块三角形土地，其中∠C ＝90°，AB ＝39米，BC ＝36米，则其面积 是（ ） A.270米2 B.280米2 C.290米2 D.300米 2 3.有一个长为40cm ，宽为30cm 的长方形洞口，环卫工人想用一个圆盖盖住此洞口，那么 圆盖的直径至少是（ ） A.35cm B.40cm C.50cm D.55cm 4.下列条件不能判断三角形是直角三角形的是 （ ） A.三个内角的比为3:4:5 B.三个内角的比为1:2:3 C.三边的比为3:4:5 D.三边的比为7:24:25 5.若三角形三边的平方比是下列各组数，则不是直角三角形的是（ ） A. 1:1:2 B. 1:3:4 C. 9:16:25 D. 16:25:40 6.若三角形三边的长分别为6，8，10，则最短边上的高是（ ） A.6 B.7 C.8 D.10 7.如图2所示，在某建筑物的A 处有一个标志物，A 离地面9米，在离建筑物12米处有一 个探照灯B ，该灯发出的光正好照射到标志物上，则灯离标志物____米 8.小芳的叔叔家承包了一个长方形鱼塘，已知其面积是48平方米， 其对角线长为10米.若要建围栏，则要求鱼塘的周长，它的周长 是____米. 9.公园内有两棵树，其中一棵高13米，另一棵高8米，两树相距 12米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少 要飞_____米. 10.若把一个直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的____倍. 11.若△ABC 的三边长分别是2,2,2===c b a ，则∠A =____，∠B =____，∠C =____. 12.某三角形三条边的长分别为9、12、15，则用两个这样的三角形所拼成的长方形的周长 是______，面积是_____. 13.如图4所示，AB 是一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐桃子，一只猴子从D 往上爬到树顶A ，又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处下滑到B ，又沿B 跑到C ，已知两只猴子所通过的路程均为15米，求树高AB . C B 图1 B C 图4 A C 图3
卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
八年级数学暑期集训练习 勾股定理的应用 1．一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A．米B．2米C．10米D．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里 3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 4．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A．25海里B．30海里C．40海里D．50海里 第4题第5题 5．如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米） A．2 B．4 C．5 D．6
6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）米． A．5 B．7 C．8 D．12 7．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（） A．5≤a≤12 B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（） A．1m B．2m C．3m D．m 9．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（） A．4米B．3米C．5米D．7米 10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（）
勾股定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。 重点知识勾股定理的验证
（美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22121221 c ab b a b a +?=+? +，即222c b a =+ 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 2 14a b ab -+?所以()2 22 14a b ab c -+?=，从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只 要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 重点知识 确定几何体上的最短路线 描述 示意图 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 F D E F
18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 19．（2007?义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长． （1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处； （2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处； （3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A． 20．（2013?贵阳模拟）请阅读下列材料： 问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π） （1）设路线1的长度为L1，则=_________．设路线2的长度为L2，则=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短． （2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：= _________．路线2：=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短． （3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．
勾股定理的应用专项训练 题及答案 Prepared on 24 November 2020
八年级数学暑期集训练习 勾股定理的应用 1．一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A．米 B．2米 C．10米 D．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里 3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 4．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A．25海里 B．30海里C．40海里 D．50海里 第4题第5题 5．如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米） A．2 B．4 C．5 D．6 6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 （）米． A．5 B．7 C．8 D．12 7．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）A．5≤a≤12 B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（） A．1m B．2m C．3m D． m
《勾股定理》专题总结及应用 本章概述 本章主要学习勾股定理、勾股定理的逆定理及它们的应用.通过从特殊到一般的探索过程过程验证了直角三角形三边之间的数量关系——勾股定理，又由生活实例及三角形全等方法验证由三边关系得到直角三角形——勾股定理的逆定理.学习时应注意区分并把它们运用到实际问题中，同时了解定理、互逆命题、互逆定理的相关内容． 本章学习重难点 【本章重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题；掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程，并会应用其解决一些实际问题. 【本章难点】掌握勾股定理探索过程，并掌握其适用范围；理解勾股定理及其逆定量． 【学习本章注意的问题】 在学习本章内容的过程中，主要注意勾股定理及其逆定理的应用.在解决实际问题的过程中常用下列方法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直角三角形以达到解题的目的）； （4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）方程的思想方法. 中考透视 本节知识在中考中以考查已知直角三角形的两边求第三边，运用勾股定理解决实际问题为主.其中定理在实际生活中的应用是热点，一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，有时也与其他知识一起综合命题． 知识网络结构图 一、知识性专题 专题1 勾股定理及其逆定理的应用 【专题解读】要证明以三条线段（或线段所在的直线）为边的三角形是直角三角形，应设法求出三边的长或关系式，利用勾股定理的逆定理证明. 例1 如图18-69所示，在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M ，N ， 使∠MCN =45°，设AM=a ,MN=x,BN=b ,判断以x,a,b 为边长的三角形的形状. 分析 要判断三角形的形状，就应设法将x,a,b 放到一个三角形中，由于 ∠MCN =45°，因此可过点C 作CD ⊥MC ，截取CD=CM ，这样就可以得到 全等的三角形，并把x,a,b 放到一个三角形中，进而利用勾股定理的逆定理 判断三角形的形状. 解：作CD ⊥CM ，且CD=CM ，连接ND ，BD ， ∵AC ⊥BC ，CD ⊥CM ，∴∠ACB =∠MCD =90°.∴∠ACM =∠BCD . 又∵AC=BC ，CM=CD ，∴△CAM ≌△CBD . ∴∠CBD=∠A =45°,AM=BD=a . ∴CM=CD ,∠MCN =∠DCN =45°,CN=CN , ∴△MCN ≌△DCN . ∴ND=MN=x . 直角三角形 勾股定理 拼图法验证 应用 勾股定理的逆定理 判断直角三角形 勾股数 应用
第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。
重点知识 勾股定理的验证 验证方法 验 证 过 程 （美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22 121221 c ab b a b a +?=+?+，即222c b a =+ 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 214a b ab -+?所以()22214a b ab c -+?=， 从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要 没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 重点知识 确定几何体上的最短路线
描述 示意图 几 何 体 的 侧 面 展 开 图 长方体 将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方形 圆柱 圆柱的侧面展开图是一个长方形 名师提示 (1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径. (2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范 (3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。 例1 两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,C A '，C C '，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+. 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 A E F D 丙 D A E B F 乙 B A B A 展开
八年级数学暑期集训练习勾股定理的应用 1．一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A ．米B．2米C．10米D ．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段 ）A．60 3，现将梯子的底端BB′（） A．小于 4 A A．25 5 走了（ A．2 6）米．A．5 7 盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（） A．5≤a≤12 B．12≤a≤3 C．12≤a≤ 4D．12≤a≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（） A．1m B．2m C．3m D ．m 9．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m 及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A．4米B．3米C．5米D．7米 精心整理
10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（） A．6 B．7 C．8 D．9 11．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°， ∠MBC=30°，则警示牌的高CD为______米（结果精确到0.1 米，参考数据：=1.41 ，=1.73）． 12．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC 长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到 AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′ 为m，则鱼竿转过的角度是______． 13． 文）：“15里处 步而见木． 14米．15“能”或“不能” 16 后停在 17 18 从港口A 19 拉长了 20 角顶点间加一个加固木板，这条木板需______m长． 参考答案 1-10DDACBBDDAD 11-202.9；15度；3.5；4；能；0.5；根号41；40海里；2；1.5 精心整理
勾股定理全章常考分类习题 方程思想的应用： 1、 如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ，求、、的值。 2．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的 长． 3．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长． 4. 如图，在长方形ABCD 中，将?ABC 沿AC 对折至?AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长 5. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积 D C B A F E
典型几何题 1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长． 2．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积． 4．已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长． 5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长 D C B A
勾股定理应用之折叠专题 折叠问题的解题步骤： 1. 找：折痕，折叠前后的图形 2. 设：设出未知数，尽可能表达线段长 3. 列：根据勾股定理列方程 专项训练 【板块一】折叠问题经典三步骤 1. （2010广东）如图，把等腰直角△ABC 沿BD 折叠，使 点A 落在边BC 上的点E 处．下面结论错误的是（ ） A ．AB =BE B ．AD =DC C ．AD =DE D ．AD =EC 2. （2011山东）如图：△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的 边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边与点E ，连接AD ，若AE =4cm ，则△ABD 的周长是（ ） A ．22cm B ．20cm C ．18cm D ．15cm 3. （2010黄冈）如图矩形纸片ABCD ，AB =5cm ，BC =10cm ，CD 上有一点E ， ED =2cm ，AD 上有一点P ，PD =3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_______cm ． A ．2 B ．3 C ．3.25 D ．3.5 4. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落 在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，求CN 和AM 的长. B ' M N A ' D C B A
【板块二】折叠问题中模型抽取 平分线夹平行线模型 5. 将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，则得到的△BDF 是 个等腰三角形吗？若是等腰三角形，请写出证明步骤；若不是，请写出理由. 6. 如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在 x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠， 使点A 落在A′的位置上．OB 1 2 BC OC ，求点A′的坐标为___________． 7. （2010湖南改编）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重 合，点D 落在点G 处，EF 为折痕． （1）求证：△FGC ≌△EBC ； （2）若AB =8，AD =4，求折痕EF 的长． F E D C A C B
第一章《勾股定理》专项练习 专题一：勾股定理 考点分析： 勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题 典例剖析 例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器 零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm ． （2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55 分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可． 解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB 2 =902 +1202 =22500，所以AB=150（mm ） （2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ． 点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决． 例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求 122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数． 解：连结 32A E ．32122222A A A A A E A E ==Q ，，32212290A A E A A E ∠=∠=o ， 322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠． 由勾股定理，得：4532C E C E = == ，4532A E A E ===， 图 1 图2 1A 2A 3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C 1 A 2A 3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C 3C 2C 图3
欢迎阅读 八年级数学暑期集训练习 勾股定理的应用 1 ．一旗杆在其的B 处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（ ） A ．米 B ．2米 C ．10米 D ．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航A ．6037m ，B ′，那么A 4．港口A A ．255A ．2 6 ）米． A ．5 B ．7 C ．8 D ．12 7．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a 的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（ ） A ．5≤a ≤12 B ．12≤a ≤3 C ．12≤a ≤ 4 D ．12≤a ≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB 长1m ，则荷花处水深OA 为（ ） A ．1m B ．2m C ．3m D ．m
9．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（） A．4米B．3米C．5米D．7米 10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（） A．6 11 参考数据：=1.41，=1.73）．12m AC m 13 14． 米． 15 “能”或 16 17 18．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______． 19．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了______cm． 20．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需______m长． 参考答案
勾股定理 【例 １】如图，△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１４，ＡＣ＝１５，求 ＢＣ 边上的高 ＡＤ． 1、已知：如图，△ABC中，AB=17，BC=21，AC=10，求△ABC的面积. 2、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠， 使点B与点D重合，折痕为EF．求DE的长； 【例 ２】如图，△ＡＢＣ 中，ＣＥ 是高，Ｄ 是 ＡＢ 的中点，∠Ｂ＝４５°求证：ＡＣ２＝２（ＡＤ２＋ＤＥ２）
△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ 是 ＢＣ 上一点，求证：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ?ＤＣ 【例3】若 △ ＡＢＣ 的 三 边 ａ 、 ｂ 、 ｃ 满 足 条 件 a２＋ｂ２＋ｃ２＋３３８＝１０ａ＋２４ｂ＋２６ｃ，试判断△ＡＢＣ 的形状 如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8。将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。 （1）求EF的长； （2）求梯形ABCE的面积。
如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处， 已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的 长。 勾股定理的应用专题测试题 1、 选择题（每小题5分，共25分） 1． 直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是（ ）． A．5 B．1 C．1．2 D．2．4 2．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）． A．12米 B．13 米 C．14米 D．15米3．△ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是（ ）．A．8 B．10 C．12 D．13 4．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组． A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4 5．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（ ）． A．121 B．132 C．120 D．110 二、填空题（每小题5分，共40分） 6．求下列直角三角形中未知边的长度：
英飞教育数学经典课题习题系列 勾股定理的应用专题 一、选择题 1．直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是（）． A．5 B．1 C．1．2 D．2．4 2．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）． A．12米B．13 米C．14米D．15米 3．△ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是（）． A．8 B．10 C．12 D．13 4．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组． ~ A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4 5．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（）． A．121B．132C．120D．110 二、填空题 6．求下列直角三角形中未知边的长度： b=______ c=______． 7．△ABC中，∠C=90°，c+a=，c-a=5，则b=_____． 8．如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______． | 图1 图2 图3 9．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB、DC为3m，两撑脚间的距离BC为4m，则AC=____m就符合要求． 10．如图2，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米． 11．如图4是一长方形公园，如果某人从景点A走到景点C，则至少要走_____米．
勾股定理的应用举例练习题 1、如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（） A．6 B．3 C． D． 2、如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（） A．B．C．D． 3、小明家与学校的距离仅有500m，但需要拐一个直角弯才能到达，已知拐弯处到学校有400m，则家门口到拐弯处有（） A．300m B．350m C．400m D．450m 4、小颖家在学校正东600米，小丽家在学校正北800米，小颖和小丽家的直线距离为（） A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定 5、如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（） A．8cm B．10cm C．4cm D．20cm 6、如图，现要把阶梯形楼梯铺上地毯，所需地毯长度为（） A．米 B．4米 C．8米 D．（4+）米
7、如图，一场大风后，一棵与地面垂直的树在离地面1m处的A点折断，树尖B点触地，经测量BC=3m，那么树高是（） A．4m B．m C．（+1）m D．（+3）m 8、 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（） A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定 9、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． A．6 B．5 C．4 D．3 10、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为（） A．120cm B．60cm C．60cm D．20cm 11、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（） A．0.6米 B．0.7米 C．0.8米 D．0.9米
勾股定理的应用专题测试题 1.直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是多少？ 2．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是多少？ 3．△ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是多少？ 4．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是多少？ 二、填空题（每小题5分，共40分） 5．求下列直角三角形中未知边的长度： b=______ c=______． 7．△ABC中，∠C=90°，c+a=9.8，c-a=5，则b为多少？8．如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了 一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为 多少？ 图1 图2 图3 9．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与 两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB、DC为3m，两撑脚间的距 离BC为4m，则AC=____m就符合要求． 10．如图2，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离 地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方 向要向左滑动_____米． 11．如图4是一长方形公园，如果某人从景点A走到景点C，则 至少要走_____米． 图4 图5 12．一个等腰直角三角形的面积是8，则它的直角边长为多少？ 13．如图5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个 半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______． 14．如图6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际 上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，（即BC=140米），其 结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB处 的宽度． 图6 15．如图7，根据图上条件，求矩形ABCD的面积． 图7 16．如图8，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O，向东南 方向航行，另一艘船在同样同时同地以12海里/时的速度向东北 方向航行，它们离开港口半小时分别到达A、B，求A、B两点的 距离 ? 图8 17．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9 所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在 的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km， CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能 使它到C、D两所学校的距离相等？ 图9
《勾股定理的应用》专项训练题及答案
八年级数学暑期集训练习 勾股定理的应用 1．一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A．米 B．2米 C．10米 D．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里 3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 4．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A．25海里 B．30海里C．40海里 D．50海里 第4题第5题 5．如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米） A．2 B．4 C．5 D．6
6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 （）米． A．5 B．7 C．8 D．12 7．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（） A．5≤a≤12 B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（） A．1m B．2m C．3m D． m 9．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（） A．4米 B．3米 C．5米D．7米 10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（）