矩阵Kronecker乘积的性质与应用
摘要
按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积B
A ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：
矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix Kronecker
product
Abstract
According to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product B
A , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).
This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.
Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:
Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations
目录
摘要 .................................................................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 (1)
1.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 1 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 6 第三章 矩阵的拉直 . (9)
3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 9 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)
4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 11 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 13 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 14 参考文献......................................................................................................................................... 16 致谢 (18)
符号说明
W a W a 属于集合元素
n
m ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij
⨯
ij A )( 列的元素行的矩阵j i A
T A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A
→
A 按行拉直得到的列向量矩阵A
A det 的行列式方阵A
trA 的主对角元素之和的迹，方阵A A
)(A rank 的秩矩阵A
)(A λ 的特征值方阵A
n I 阶单位矩阵n
R 实数域 C 复数域
n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯
O 零矩阵
B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积
第一章 矩阵的Kronecker 积
1.1 矩阵的Kronecker 积的定义
定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 21
22221
11211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.
例1.1 设⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O B
B A []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.
1.2 矩阵的Kronecker 积的性质
虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则
O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.
证明：略.
性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则
)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.
证明：不失一般性，设⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a
a a a A 21
22221
11211，则：
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 2
1
22221
11211，
根据Kronecker 积的定义可以得到：
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 2122221112112122221
11211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 2122221112112122221
11211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.
性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则
C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.
证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a
a a a A 2
1
22221
11211
，⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，
则：
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A
2
2
1122222221
21
1112121111，
根据Kronecker 积的定义可以得到：
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a C b a
C b a C b a C
b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(22
11222222
2121
1112121111
(1.1)*，
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 2122221
11211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 21
22221
11211 (1.3)*，
由(1.2)*，(1.3)*得：
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 2211
2222222121
1112121111 (1.4)*， 由(1.1)*，(1.4)*可得：
C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.
同理设⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c c
c c c C 2
1
22221
11211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.
性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则
)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗
证明：不失一般性，设⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a
a a a A 2
1
22221
11211，
则：⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(2122221
11211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n
)(21
2222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.
性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则
)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗
证明：不失一般性，设⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a
a a a A 2
1
22221
11211
，⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F
21
2222111211
， 则：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f D
f D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n
2122221
1121121
22221
11211))((
)()()()()()()()(
)()()(112111112211
21
1121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a n
k ks mk n k k mk n k k mk n
k ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========
得证.
性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则
B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .
证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .
性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(
H H H B A B A ⊗=⊗)(
证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.
同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.
性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.
因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：
mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.
故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.
第二章 Kronecker 积的有关定理及推论
定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则
)()()(B rank A rank B A rank =⊗.
证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：
111
1
--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s
其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：
`1211
211
211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O
O I P P Q Q O O O I O O
O I P P Q O O O I P Q O O
O I P B A rs
s
r
s
r
所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.
定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则
y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.
证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和
性质1.2.5可得：
)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.
所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.
推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.
定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若
x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则
y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.
证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：
)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，
故
))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.
所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.
推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，
n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个
特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).
例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，
2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是
B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).
证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：
))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：
)
)(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ
所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则
trB trA B A tr •=⊗)(
证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：
trB
trA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(
得证.
定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则
m n B A B A )(det )(det )det(=⊗
证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论2.2.4可得：
m
n m n n m n m m n n n
j j m n
j j mn
j
i n
j j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()
()()()det(212112121111
1
2,1
1=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ
得证.
第三章 矩阵的拉直
3.1矩阵的拉直的定义
定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：
T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→
即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排
成一列得到的.
例如：⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.
3.2矩阵的拉直的性质
矩阵的拉直具有以下性质：
性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则
)(lB kA +=→
→+B l A k .
证明：略.
性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dt
t dA )(=dt d
)(t A . 证明：左边==))
((
dt
t dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=
))](([t A vec dt
d
=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则
AXB →
⊗=X B A T
)(.
证明：设⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a
a a a A 2
1
22221
11211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第
i 行=i (1，2，…，)n ，则
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m T
n n T )()(111111 ，⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=→
n x x X 1 所以
AXB T T
n mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(1111
11++++= ，， →
⊗=⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有
1.AX →
⊗=X I A n )( 2.XB →
⊗=X B I T
m )(
.3(AX +XB )→
⊗+⊗=X B I I A T
m n )(.
第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程
4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程
设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .
第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：
→
→=⊗+⊗C X B I I A T
m n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：
T
m n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→
，
：有唯一解的充要条件是
det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，
即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.
例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.
(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.
观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：
→
→
=⊗+⊗C X B I I A T
m n )(. (4.1)
设⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=4321
x x x x X ，计算⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=4123T
B ，将A ，T B ，X ，
C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-108171041231001100101124321x x x x ，
计算得到：⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------108171041102301106101
254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.
通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯
，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：
→
→
=⊗+⊗C X B I I A T
m n )(. (4.1)
设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321
x x x x
X ，计算⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=1502T
B ，将A ，T B ，X ，
C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣
⎡113531502100110013201432
1x x x x ， - 计算得到：⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--113532520
05020005
00
34321x x x x ，
根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=c c X 311
(c 为任意常数).
4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程
设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：
F XB A
r
k k k
=∑=1
(r = 1，2，…).
第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：
∑=→
→=⊗r
k T k
k
F X B A
1
)][(. (4.2)
第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：
∑⊗)((T
k
k B A rank ┊))(()1
∑=→
⊗=r
k T
k
k B A rank F . 即∑=⊗r
k T
k
k B A 1
)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程
C XA A AXA X =++22
有唯一解.
证明：将两边方程拉直得到：
→
→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(2
2，
化简得到：
→
→
=⊗+⊗+C X A A A A I T
T
n ])()([2
2.
由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：
22)2
1
(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=
++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程
C XA A AXA X =++22有唯一解.
例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.
已知：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：
→
→
=⊗+⊗C X B A B A T T
)(2
21
1. (4.3)*
设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321
x x x x
X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=02132T
B 代入(4.3)*得到：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-482130213110211302031432
1x x x x .
计算化简得：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------482132002731333139056
4321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.
计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2
211=⊗+⊗=T
T B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程
设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：
⎪⎩⎪
⎨
⎧=+=0
)0()()()
(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：
∑∑∞
=∞
=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k k
I A I A k I A k e
n
n A k k
I e I A k ⊗=⊗=∑
∞
=1)!
1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.
将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：
⎪
⎩⎪
⎨⎧=⊗+⊗=→0
)0()()()
(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)
由引理可得：
T t B At t
B At
B I I A t T
T m n e X e X e
e X e
t X )()()(000)
(=⊗==→
→
⊗+⊗，
又因为
∑∑∞
=∞
====11!
1
))(!1()(k Bt k k T k k k T T
t B e t B k t B k e
T ，
故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.
例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=0)0()()()
(X X B t X t AX dt t dX (4.6)
已知：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t
At
e e e
，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10
1t t Bt
e e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--==10)1()(220t t
Bt
At e e e
X e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=10
)1()(22t t
e e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.
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摘要 按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求 矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。那 是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢本文将介 绍矩阵的一种特殊乘积B A ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体 的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。 本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。之后，对Kronecker积的运算规律，可逆 性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加 以证明。此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和 必要的证明。 矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广， 理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的 研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等 方面也起到重要的作用。本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还 会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。 关键词： 矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程 Properties and Applications of matrix Kronecker product
Abstract According to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product doThis article will describe a special matrix product B A , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product). This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof. Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords: Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations 目录
矩阵Kronecker乘积的性质与应用 摘要 按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积B A ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。 本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。 矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。 关键词： 矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix Kronecker
product Abstract According to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product B A , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product). This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof. Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords: Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations 目录
克罗内克积的证明 克罗内克积是一种矩阵运算，将两个矩阵按位置逐一相乘。它是一种比较重要的运算，可以在矩阵乘法、信号处理、图像处理、量子力学等方面得到广泛的应用。以下是克罗内克积的证明。 首先，我们设矩阵A的大小为mxn，矩阵B的大小为pxq。那么，它们的克罗内克积C的大小就为(m*p) x (n*q)。接下来，我们逐一证明克罗内克积的每个元素。 对于克罗内克积C的第i行第j列的元素Ci,j，根据定义可以得到： Ci,j = A(i,j) * B 其中，B为矩阵B的所有元素，按一定顺序排列，具体顺序为B的第(i-1)*p+1行到第i*p行，第(j-1)*q+1列到第j*q列的所有元素，并且这些元素是在同一行向量中的。 但是，Ci,j的求解方式还可以用另一种形式表示，即： Ci,j = vec(A) ⊗ vec(B)
其中vec(A)和vec(B)分别表示矩阵A和B的列向量化，⊗表示向量积。即将矩阵A和B向量化后进行向量积，从而得到矩阵C。 根据这个式子，我们可以进一步证明克罗内克积的性质。具体证明如下： 首先，对于一个向量x和一个数a，我们有： vec(a*x) = a*vec(x) 这是因为向量的线性运算可以满足这个式子。 然后，对于任意的两个矩阵A和B，以及任意的向量x和y，我们有： vec(A*x*y^T*B^T) = (B^T ⊗ A) * vec(x ⊗ y) 其中^T表示矩阵的转置，⊗表示向量积。 这个式子的意义是，将向量x与y进行向量积，得到的向量再与矩阵 B和A进行向量积，最后得到的是一个长度为(m*p)*(n*q)的向量。这个向量的每个元素都是克罗内克积C的元素。 因此，我们可以看作是将原来的矩阵A和B分别向量化成列向量，然
kronecker积例题 Kronecker积是一种矩阵运算，用于计算两个矩阵的乘积。它 的定义如下： 设A为m×n的矩阵，B为p×q的矩阵，那么A和B的Kronecker积记作A ⊗ B，结果为一个mp × nq的矩阵。具体计算 方式如下： A ⊗ B = [ a11B, a12B, ..., a1nB ] [ a21B, a22B, ..., a2nB ] [ ... , ... , ..., ... ] [ am1B, am2B, ..., amnB ] 其中，aijB表示将矩阵B的每个元素都乘以aij得到的新矩阵。 为了更好地理解Kronecker积，下面举一个例题来说明。
假设有两个矩阵A和B，分别如下： A = [ 1, 2 ] [ 3, 4 ] B = [ 5, 6 ] [ 7, 8 ] 我们来计算A ⊗ B： A ⊗ B = [ 1 B, 2 B ] [ 3 B, 4 B ] = [ [ 1 5, 1 6 ], [ 2 5, 2 6 ] ] [ [ 3 5, 3 6 ], [ 4 5, 4 6 ] ] = [ [ 5, 6 ], [ 10, 12 ] ]
[ [ 15, 18 ], [ 20, 24 ] ] 因此，A ⊗ B的结果为一个4×4的矩阵： [ 5, 6, 0, 0 ] [ 10, 12, 0, 0 ] [ 0, 0, 5, 6 ] [ 0, 0, 10, 12 ] 这个例题展示了如何计算两个矩阵的Kronecker积。当然，在 实际应用中，矩阵的规模可能更大，但计算方式是类似的。 需要注意的是，Kronecker积具有一些特殊的性质，比如分配 律和结合律。此外，Kronecker积在很多领域中有广泛的应用，比 如图像处理、信号处理和量子力学等。 希望这个例题能够帮助你理解Kronecker积的概念和计算方法。如果还有其他问题，欢迎继续提问。
克罗内克内积和矩阵乘法是线性代数中非常重要的概念，它们在各个 领域的数学和科学研究中都有着广泛的应用。理解克罗内克内积与矩 阵乘法之间的关系，可以帮助我们更好地理解向量和矩阵运算的本质，也有助于我们在实际问题中更灵活地运用这些数学工具。在本文中， 我将从简单到复杂，从浅入深地探讨这两个概念，帮助你全面地理解 它们的关系和应用。 1. 克罗内克内积的基本概念 克罗内克内积，又称为张量积，是一种对两个向量进行运算得到的新 向量的方法。如果有两个向量a和b，它们分别是m维和n维的列向量，那么它们的克罗内克内积a ⊗ b将得到一个mn维的列向量。具 体而言，克罗内克内积的运算规则是将向量a的每个元素与向量b相乘，然后将结果按照特定的顺序排列成一个新的列向量。 2. 矩阵乘法的基本概念 矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它用于描述线性变换和多维 空间中的向量运算。如果有两个矩阵A和B，它们的维度分别是m×n 和n×p，那么它们的乘积AB将得到一个m×p的矩阵。具体而言， 矩阵乘法的运算规则是将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行内积 运算，得到新矩阵的每个元素。 3. 克罗内克内积与矩阵乘法的关系 在深入探讨克罗内克内积与矩阵乘法的关系之前，我们先来看一下它
们之间的基本联系。事实上，克罗内克内积可以被视为一种特殊的矩阵乘法运算，它可以用于描述不同维度之间的张量关系。具体而言，如果我们将列向量a和b分别看作是m×1和n×1的矩阵，那么它们的克罗内克内积a⊗b可以被等价地表示为a×b^T，其中b^T表示b 的转置矩阵。 4. 深入理解克罗内克内积与矩阵乘法的关系 在实际问题中，我们经常会遇到需要对不同维度的向量和矩阵进行运算的情况。这时，理解克罗内克内积与矩阵乘法的关系可以帮助我们更灵活地处理这些运算，从而更好地解决问题。举个例子，假设我们需要计算两个不同维度的向量的内积，可以利用克罗内克内积的性质将这个问题转化为矩阵乘法的形式，从而更方便地进行计算。 克罗内克内积与矩阵乘法在信号处理、图像处理、控制理论等领域也有着重要的应用。在这些领域中，我们经常会遇到多维度数据的运算和处理问题，克罗内克内积与矩阵乘法的关系可以帮助我们更好地理解和应用各种数学工具，从而更高效地解决实际问题。 5. 总结与展望 通过本文的讨论，我们可以清楚地看到克罗内克内积与矩阵乘法之间的密切联系。它们都是描述多维度数据关系的重要工具，而克罗内克内积可以被视为矩阵乘法的一种特殊形式。理解克罗内克内积与矩阵乘法的关系可以帮助我们更深入地理解线性代数的基本概念，也有助
克罗内克符号的运算 克罗内克符号（Kronecker Symbol）是一种在数学和物理领域中广泛应用的符号，主要用于表示张量、矩阵和向量的运算。克罗内克符号的运算遵循一定的规则，下面我们将介绍克罗内克符号的运算方法。 设$a_i$ 和$b_j$ 是两个$n \times m$ 的矩阵，克罗内克符号表示为： $$ a \otimes b = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{1m}b_{1m} \\ a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & \cdots & a_{2m}b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{nn}b_{nn} & a_{nn}b_{n-1,n} & \cdots & a_{nn}b_{11} \end{bmatrix} $$ 克罗内克符号的运算主要有以下性质： 1. 对称性：克罗内克符号满足对称性，即$a \otimes b = b \otimes a$。
2. 结合律：$(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$。 3. 单位矩阵：$I \otimes A = A \otimes I = A$，其中$I$ 是单位矩阵，$A$ 是任意矩阵。 4. 零矩阵：$0 \otimes A = 0$，其中$0$ 是零矩阵，$A$ 是任意矩阵。 5. 转置：$(a \otimes b)^T = b^T \otimes a^T$。 6. 克罗内克符号与矩阵的乘法：$a \otimes b$ 表示的是矩阵$a$ 和$b$ 的克罗内克乘积，结果是一个$(n \times m) \times (m \times n)$ 的矩阵。 7. 克罗内克符号与向量的乘法：对于向量$a = [a_1, a_2, \cdots, a_n]$ 和$b = [b_1, b_2, \cdots, b_m]$, $a \otimes b$ 表示的是一个$(n \times m)$ 的矩阵，其中$(i, j)$ 处的元素为$a_i b_j$。 8. 克罗内克符号与标量的乘法：克罗内克符号与标量的乘法遵循矩阵乘法的规则，即$\alpha \otimes A = \alpha A$，其中$\alpha$ 是标量，$A$ 是矩阵。 以上是克罗内克符号的基本运算性质，实际应用中可能还会涉及其他
kronecker积a Kronecker乘积是一种矩阵乘法，用于描述线性变换。它是由德国数学家L. Kronecker定义的，他是直观几何学的创始人之一。Kronecker积定义了两个n维矩阵的乘积，它的定义非常简单，但具有非常丰富的应用。 Kronecker乘积定义为：设A为m x n矩阵，B为q x r矩阵，Kronecker乘积AB为m x n x q x r矩阵，它由m x q行和n x r 列构成，下标分别为(i,j,k,l)，其中：AB(i,j,k,l) = A(i,j) x B(k,l)。Kronecker乘积的主要特点是其结果并不像矩阵加法、矩阵乘法或者Kronecker标量乘积（即A x B）那样形成一个矩阵，它是一个四阶 矩阵。 Kronecker乘积的最重要的应用就是它可以用来描述一个n维的线性变换的作用。特别地，设P是一个n x n的正定矩阵，另外设f 是一个n维的向量，则作用在f上的P的线性变换T可以定义为T(f) = Pf。这里，P是n x n矩阵，而f是n x 1列向量，两者之间的乘积可以非常直观地表示为Kronecker乘积：Pf = P x f，其中x表示Kronecker乘积。 Kronecker乘积还有另外一些应用。例如，它可以用来表示矩阵的相似性。设A和B是两个m x n矩阵，则两者的Kronecker乘积可以定义为：A x B = A x B，其中x表示Kronecker乘积。若A x B = 0，则A和B互为orthogonal，也就是说A和B是相似的，可以通过某一变换转换成一致的矩阵。
Kronecker乘积还可以用来表示矩阵的可加和可乘性质。若A和B都是m x n矩阵，则定义A+B = A + B，称为可加性。也就是说，两个m x n矩阵可以加起来得到一个m x n矩阵。同样地，定义A x B = A x B，称为可乘性。也就是说，两个m x n矩阵可以乘起来得到一个m x n矩阵。 总的来说，Kronecker乘积是一种非常有用的矩阵乘法，它具有广泛的应用，特别地，它可以用来描述线性变换的作用，以及矩阵的可加和可乘性质。它也可以用来表示矩阵的相似性，而这种相似性是一些重要的应用所必需的，例如模式识别和机器学习。 因此，Kronecker乘积在很多方面都发挥了重要的作用，它是一种伟大的发明，被广泛地应用于数学、物理、工程、统计学等领域。
几类特殊矩阵kronecker积 Kronecker积是将两个矩阵A和B乘积，也就是向量积（outer product或tensor prodct）。它可以理解为“非常大的”网格中每一 对元素进行乘积，并将这些乘积汇总到一个新的矩阵中。具体而言， 它的定义如下： Kronecker积：Given two matrices A and B, their Kronecker product is denoted as A#B, and defined by an m×n matrix C of the following form: C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+...+A_{in}B_{nj} Kronecker积有几类特殊的应用： 1、向量积矩阵：Kronecker积可以用来表示两个向量的向量积矩阵，即A#B=vec(b)vec(a)T。其中vec(b)和vec(a)T表示两个向量， 另外一个向量作为列，另一个向量作为行，并且转置后形成一个m×n 矩阵。 2、数值分解矩阵：Kronecker积可以用来表示一个数字分解矩阵，即A#B=UTV，其中UT和V可以看作是特征向量，它们可以用来分解原 矩阵，而T是某个对角矩阵，用来表示特征值。 3、傅里叶变换：Kronecker积也可以用来表示傅里叶变换，即 A#B=FDFT，其中FDFT表示两个实矩阵D和F的乘积，它们可以用来将 原信号进行快速傅里叶变换。 4、卷积矩阵：Kronecker积也可以用来表示卷积矩阵，即A#B=C，其中C可以看作是一个m×n矩阵，它可以用来表示两个向量的卷积形式。 5、单位阵：Kronecker积也可以用来表示单位阵，即A#B=I，其 中I可以看作是一个m×n矩阵，它可以用来表示两个向量的单位阵形式。
kronecker运算 （最新版） 目录 1.Kronecker 运算的定义和符号 2.Kronecker 运算的性质 3.Kronecker 运算的应用 4.Kronecker 运算的示例 正文 Kronecker 运算是一种矩阵运算，它是由德国数学家 Kronecker 发明的，用来处理矩阵的特殊运算。Kronecker 运算的定义是：给定两个矩阵 A 和 B，它们的 Kronecker 运算结果是一个新的矩阵 C，其中 C 的元素是 A 和 B 的对应行和列的乘积之和。Kronecker 运算用符号“⊕”表示。 例如，给定矩阵 A = [[1, 2], [3, 4]] 和矩阵 B = [[a, b], [c, d]]，则矩阵 A 和 B 的 Kronecker 运算结果 C 为： C = A ⊕ B = [[(1*a + 3*c), (1*b + 3*d)], [(2*a + 4*c), (2*b + 4*d)]] Kronecker 运算有很多有用的性质。首先，它满足结合律，即 (A ⊕B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)。其次，Kronecker 运算满足分配律，即 A ⊕(B + C) = A ⊕ B + A ⊕ C。此外，Kronecker 运算还满足矩阵乘法的一些基本性质，如行列式、秩、逆等的保持。 Kronecker 运算在很多领域都有应用，如线性代数、概率论、信号处理等。例如，在信号处理中，Kronecker 运算常用于构造线性时不变系统（LTI）的特性矩阵，从而分析系统的稳定性和因果性。在机器学习中，Kronecker 运算也常用于计算两个矩阵的相似度，或者用于特征提取和降
kronecker积的行列式 （实用版） 目录 1.Kronecker 积的定义 2.Kronecker 积的行列式公式 3.Kronecker 积行列式的性质 4.Kronecker 积行列式的应用 正文 1.Kronecker 积的定义 在矩阵论中，Kronecker 积是一种特殊的矩阵乘积，用于将两个矩阵的元素逐个相乘。设矩阵 A 是一个 m×n 矩阵，矩阵 B 是一个 p×q 矩阵，则它们的 Kronecker 积是一个 mp×nq 矩阵，表示为 AB。其中，AB 的元素由 A 的行和 B 的列对应元素相乘得到。例如，如果 A = [[a11, a12], [a21, a22]]，B = [[b11, b12], [b21, b22]]，则 AB = [[a11b11, a11b12, a12b11, a12b12], [a21b21, a21b22, a22b21, a22b22]]。 2.Kronecker 积的行列式公式 Kronecker 积的行列式是一个重要的概念，它可以通过简单的公式计算。设 A 是一个 m×n 矩阵，B 是一个 p×q 矩阵，则它们的 Kronecker 积的行列式|AB| = |A|·|B|。其中，|A|和|B|分别表示矩阵 A 和 B 的行列式。 3.Kronecker 积行列式的性质 Kronecker 积行列式具有一些有趣的性质。首先，它满足交换律，即|AB| = |BA|。其次，Kronecker 积行列式与矩阵的乘法满足分配律，即|A(BC)| = |A|·|BC|。此外，Kronecker 积行列式还满足行列式的性质，如行列式的某一行（或列）乘以一个常数 k，则行列式的值也要乘以 k。
特殊矩阵的kronecker积 Kronecker积（也称为Kronecker乘积或Kronecker叉积）是一种有关数学矩阵 乘法的数学概念，由意大利数学家L. Kronecker于1897年提出。它要求将两个矩 阵的每一个元素相乘，然后再将结果矩阵重新排列。Kronecker积可以产生一系列 特殊的矩阵，可以发挥重要的作用，例如，它可以帮助解决一些大型线性系统的复杂问题，是应用于线性代数和多维微积分中的基本概念。 一、Kronecker积的概念 Kronecker积是一种矩阵乘法，它要求将矩阵A和矩阵B的每一个元素都相乘，然后将乘积的结果保存在一个新的矩阵中，新矩阵的大小是AB的大小。它也可以表示为：把矩阵A和矩阵B的每一个元素都带入到AB乘积的公式中，而不是把 它们的乘积带入，最后再将乘积的结果保存在新矩阵中。 二、Kronecker积的运算 下面介绍Kronecker积的运算要点： 1、首先将A和B中的每一个元素都带入到AB乘积的公式中； 2、然后将A和B中的每一个元素分别扩展为新的矩阵（新矩阵的大小是AB 的大小）； 3、再把新的矩阵的每一个都相乘，并将运算的结果保存在新的矩阵中； 4、最后将这个结果矩阵再重新排列（这步骤非常重要），得到最终的Kronecker积。 三、Kronecker积的应用 Kronecker积可以用来指示矩阵的形状，因为它可以将复杂的矩阵拆解成多个 比较简单的张成，它还可以帮助解决一些大型线性系统的复杂问题。Kronecker积 还可以根据给定的特殊矩阵生成特殊的新矩阵，这种新矩阵可以解决复杂的矩阵处理问题，此外，Kronecker积还可以在矩阵的多重积分中起到重要作用。 四、特殊矩阵的Kronecker积
克罗内克积逆运算 在线性代数中，克罗内克积（Kronecker product）是一个重要的运算，它将两个矩阵进行运算得到一个新的矩阵。而克罗内克积的逆运算则是指对于给定的一个矩阵，求解与之对应的两个矩阵。 克罗内克积逆运算在很多领域都有广泛的应用，例如信号处理、图像处理、量子力学等。在这篇文章中，我们将详细介绍克罗内克积逆运算的定义、性质以及应用。 我们来定义克罗内克积逆运算。给定矩阵A和矩阵B，它们的克罗内克积记作A ⊗ B。如果存在两个矩阵X和Y，使得X ⊗ Y = A ⊗ B，那么我们称X和Y是A ⊗ B的逆运算，记作X = A ⊗-1 B，Y = B ⊗-1 A。其中，⊗-1表示克罗内克积逆运算。 接下来，我们来探讨克罗内克积逆运算的性质。首先，克罗内克积逆运算满足结合律，即对于任意矩阵A、B和C，有(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)。其次，克罗内克积逆运算还满足分配律，即对于任意矩阵A、B、C和D，有(A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D) = (A ⊗ C) ⊗ (B ⊗ D)。此外，克罗内克积逆运算还满足交换律，即对于任意矩阵A和B，有A ⊗ B = B ⊗ A。 克罗内克积逆运算在信号处理中有着广泛的应用。在信号处理中，我们常常需要对信号进行滤波处理。而滤波器的设计通常可以通过克罗内克积逆运算来实现。具体而言，我们可以将滤波器的频率响
应表示为一个矩阵，然后通过克罗内克积逆运算，将频率响应矩阵分解为两个滤波器的频率响应矩阵。这样，我们就可以得到两个滤波器，分别用于对原始信号进行滤波处理。 除了信号处理，克罗内克积逆运算在图像处理中也有着重要的应用。在图像处理中，我们常常需要对图像进行放缩、旋转等操作。而这些操作通常可以通过克罗内克积逆运算来实现。具体而言，我们可以将图像的像素矩阵表示为一个矩阵，然后通过克罗内克积逆运算，将像素矩阵分解为两个变换矩阵的乘积。这样，我们就可以得到两个变换矩阵，分别用于对原始图像进行放缩、旋转等操作。 克罗内克积逆运算在量子力学中也有着重要的应用。在量子力学中，我们常常需要对两个量子系统进行耦合。而这种耦合通常可以通过克罗内克积逆运算来实现。具体而言，我们可以将两个量子系统的态矢量表示为两个矩阵，然后通过克罗内克积逆运算，将态矢量分解为两个量子系统的态矢量的乘积。这样，我们就可以得到两个量子系统的态矢量，分别用于描述原始量子系统的态。 克罗内克积逆运算是一个重要的运算，它在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有广泛的应用。通过克罗内克积逆运算，我们可以对矩阵进行分解，从而得到更加有用的信息。同时，克罗内克积逆运算还具有结合律、分配律和交换律等性质，使得它更加灵活和便利。希望通过本文的介绍，读者对克罗内克积逆运算有了更深入的了解。
kronecker积和张量积 Kronecker积和张量积是线性代数中重要的概念，它们在矩阵和向量运算中起着关键的作用。本文将介绍Kronecker积和张量积的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。 一、Kronecker积的定义和性质 Kronecker积是两个矩阵的一种运算，它的定义如下：设A是m×n 的矩阵，B是p×q的矩阵，则A和B的Kronecker积记作A⊗B，它是一个mp×nq的矩阵，其中的每个元素都是由A和B对应位置的元素相乘得到的。 Kronecker积具有以下性质： 1. 结合律：(A⊗B)⊗C = A⊗(B⊗C)，对于任意的矩阵A、B和C成立。 2. 分配律：(A+B)⊗C = A⊗C + B⊗C，对于任意的矩阵A、B和C 成立。 3. 乘法结合律：(kA)⊗B = A⊗(kB) = k(A⊗B)，其中k是一个标量。 4. 转置性质：(A⊗B)ᵀ = Aᵀ⊗Bᵀ，其中A和B分别是矩阵A和B的转置。 Kronecker积在矩阵运算中有广泛的应用，例如在图像处理中，可以利用Kronecker积对图像进行缩放、旋转等操作。此外，在量子力学中，Kronecker积也被用来描述多粒子系统的态空间。
二、张量积的定义和性质 张量积是向量空间中的一种运算，它的定义如下：设V和W分别 是两个向量空间，v是V中的向量，w是W中的向量，则v和w的张 量积记作v⊗w，它是一个新的向量，它的维度是V和W的维度的乘积。 张量积具有以下性质： 1. 结合律：(v⊗w)⊗u = v⊗(w⊗u)，对于任意的向量v、w和u成立。 2. 分配律：(v+w)⊗u = v⊗u + w⊗u，对于任意的向量v、w和u成立。 3. 乘法结合律：(kv)⊗w = v⊗(kw) = k(v⊗w)，其中k是一个标量。 4. 转置性质：(v⊗w)ᵀ = vᵀ⊗wᵀ，其中v和w分别是向量v和w的转置。 张量积在量子力学中有重要的应用，它被用来描述多粒子系统的态 空间。此外，在机器学习中，张量积也被用来构建高维特征空间，从 而提高模型的表达能力。 三、Kronecker积和张量积的关系 Kronecker积和张量积在定义上有一定的相似性，它们都是将两个 对象的对应部分相乘得到一个新的对象。事实上，Kronecker积可以看 作是张量积在矩阵运算中的特殊情况。 具体来说，设A是m×n的矩阵，B是p×q的矩阵，可以将A和B 看作是向量空间中的向量，然后对它们进行张量积运算，得到的结果
克罗内克积的特征值 克罗内克积（Kronecker product）是一种用于矩阵计算的运算符号，其运算结果为两个矩阵的逐元素乘积。在数学中，克罗内克积的特征值问 题也是一个重要的研究方向。本文将从定义、性质、计算方法以及应用等 方面进行详细阐述，全文约1200字以上。 一、克罗内克积的定义及性质 C（i,j）=A(i,j)·B 其中，A(i,j)表示矩阵A中的第i行第j列元素，B为任意标量。 1. 尺寸性质：若A为m×n矩阵，B为p×q矩阵，则A ⊗ B为 mp×nq矩阵。 2.线性性质：对于任意标量α和β，有（αA⊗B+βC⊗D） =α(A⊗B)+β(C⊗D)。 3.结合律：(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)。 4.转置性质：(A⊗B)T=AT⊗BT。 5.特殊性质：若A、B都为对角矩阵，则A⊗B也是对角矩阵。 二、克罗内克积的计算方法 1.直接计算法：根据克罗内克积的定义，直接将两个矩阵的对应元素 相乘得到新的矩阵。这种方法适用于小规模矩阵的运算，但对于大规模矩 阵的计算会变得非常复杂和低效。
2.分块矩阵计算法：将大规模矩阵拆分为若干个较小的子矩阵，然后利用子矩阵之间的克罗内克积性质进行计算。这种方法能够有效地减少计算量和运算时间，适用于大规模矩阵的计算。 三、克罗内克积的特征值及应用 1.控制论中的应用：在系统控制领域，经常需要分析和设计多变量系统的特征值，因为特征值与系统的稳定性和动态性能相关。通过克罗内克积可以将多变量系统的特征值问题转化为单变量系统的特征值问题，从而简化了分析和设计过程。 2.信号处理中的应用：克罗内克积被广泛应用于信号处理中的滤波器设计、频谱分析等方面。通过构造合适的克罗内克积矩阵，可以实现对信号的增强、去噪和谱密度估计等操作。 3.图像处理中的应用：图像是二维数据，通过克罗内克积可以将图像的空间域和频域分析相结合。克罗内克积能够实现图像的多尺度分析、纹理合成和图像压缩等功能。 总之，克罗内克积是一种用于矩阵计算的重要运算符号，其特征值问题在控制论、信号处理和图像处理等领域具有广泛的应用。通过克罗内克积的定义、性质、计算方法以及应用的介绍，希望读者对克罗内克积和其特征值问题有了更深入的了解。
kronecker积的行列式 摘要： 1.引言 2.Kronecker 积的定义 3.Kronecker 积的性质 4.Kronecker 积的行列式 5.应用与实际意义 6.总结 正文： 在线性代数中，我们经常会遇到矩阵的运算，其中一个重要的概念就是Kronecker 积。Kronecker 积在许多数学和工程问题中都有广泛的应用，尤其是在处理张量运算和计算复杂网络的稳定性时。本文将详细介绍Kronecker 积的定义、性质、行列式以及其在实际问题中的应用。 首先，我们来了解Kronecker 积的定义。给定两个矩阵A 和B，Kronecker 积记作AB，是一个新的矩阵，其元素为A 和B 对应元素的乘积。具体地，设A = [a11, a12, ..., a1n]、B = [b11, b21, ..., bm1]，那么AB = [a11b11, a11b21, ..., a1nbm1]。 接着，我们来看Kronecker 积的一些性质。首先，Kronecker 积满足交换律，即AB = BA。其次，Kronecker 积也满足结合律，但需要注意的是，结合律仅在特定的条件下成立。此外，Kronecker 积还满足分配律，即(A + B)C = AC + BC。
在了解了Kronecker 积的定义和性质之后，我们来探讨Kronecker 积的行列式。设A 和B 是n 阶方阵，C = AB，那么C 的行列式|C|可以表示为n!|A|·|B|，其中|A|和|B|分别是矩阵A 和B 的行列式。这个结论可以通过矩阵的行列式定义以及代数余子式的方法来证明。 最后，我们来看一下Kronecker 积在实际问题中的应用。在处理张量运算时，Kronecker 积提供了一种便捷的方式，可以将张量的某些分量相互联系起来。此外，在计算复杂网络的稳定性时，Kronecker 积可以帮助我们更好地描述网络中的元素关系，从而为分析网络的稳定性提供有力的工具。 综上所述，Kronecker 积是一种在矩阵运算中具有重要意义的概念，它不仅具有丰富的性质，而且可以应用于许多实际问题。
分类号： 学士学位论文 矩阵的Kronecker积及其应用 学院名称数学与计算机工程学院
目 录 摘要 ............................................................... 1 关键词 ............................................................. 1 引言 ............................................................... 2 1 矩阵的Kronecker 积的定义 ......................................... 2 2矩阵的Kronecker 积的性质、定理及推论 .............................. 2 3.矩阵的Kronecker 积的特征值、特征向量的性质、推论及定理 ........... 5 4.矩阵的Kronecker 积的应用 .. (6) 4.1矩阵的行（列）展开的定义及其相关性质 ........................ 6 4.2利用Kronecker 积解决特殊的矩阵方程 .......................... 7 4.2.1C XB A i s i i =∑=1型方程的求解 ................................. 7 4.2.2C XB AX =+型方程的求解 ................................ 8 4.2.3C AXB X =+型方程的求解 ................................ 8 4.3利用Kronecker 积求一些特殊矩阵的特征值和特征向量 ............ 9 小结 .............................................................. 11 参考文献 .......................................................... 11 致谢 .. (12)