一、单选题
1．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018x
f x e <的解集为（ ）
A. ()0,+∞
B. 21,e ??
+∞
??? C. 21,e ?
?-∞ ??
? D. (),0-∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当()()0,20x xf x f x +'><.则（ ）
A.
()()2
24
f e f e >
B. ()()931f f >
C.
()()2
39
f e f e -<
D.
()()2
24
f e f e -<
3．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()210x f f x x ??
-> ???
的解集为（ ）
A. ()1,+∞
B. (),1-∞
C. ()2,+∞
D. (),2-∞
二、解答题
4．已知函数()()2
ln f x ax x a R =-+∈ .
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围.
5．设函数()()
222ln f x x ax x x x =-++-． （1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求整数a 的最小值．
6．已知函数()()()1ln ,a
f x x a x
g x a R x
+=-=-∈. 若1a =，求函数()f x 的极值；
设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
若在区间[]
()1, 2.71828e e =?上不存在．．．0x ，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围.
7．已知函数()()ln ,f x x a x a R =-∈ . （1）当0a =时，求函数()f x 的极小值；
（2）若函数()f x 在()0,+∞上为增函数，求a 的取值范围.
8．已知函数()()
2x
f x x ax a e =--．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0,2a ∈，对于任意[]
12,4,0x x ∈-，都有()()2124a
f x f x e me --<+恒成立，求m 的取值
范围
【解析】令()()()()()
()0,02018x
x
f x f x f x
g x g x g e
e
-<'=='=
∴
因此()2018x
f x e < ()()()201800x
f x
g x g x e
?
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x
f x
g x e
=
， ()()0f x f x '+<构造
()()x
g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x
=
， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等
2．D
【解析】根据题意，设g （x ）=x 2f （x ），
其导数g′（x ）=（x 2）′f （x ）+x 2?f （x ）=2xf （x ）+x 2?f （x ）=x[2f （x ）+xf'（x ）]， 又由当x ＞0时，有2f （x ）+xf'（x ）<0成立，则数g′（x ）=x[2f （x ）+xf'（x ）]<0， 则函数g （x ）在（0，+∞）上为减函数，
若g （x ）=x 2f （x ），且f （x ）为偶函数，则g （-x ）=（-x ）2f （-x ）=x 2f （x ）=g （x ）， 即g （x ）为偶函数，所以()()2g e g < 即
()()2
24
f e f e <
因为()f x 为偶函数，所以()()2f 2f -=,
所以
()()2
24
f e f e
-<
故选D
点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g （x ）并分析g （x ）的单调性与奇偶性． 3．A
【解析】令()()f x g x x
=，则()()()
2
xf x f x g x x -=
''
∵()()f x xf x >'
∴()()0xf x f x -<'，即()()()
2
0xf x f x g x x
'-='<在()0,+∞上恒成立
()g x ()0,+∞
∵()210x f f x x ??
->
???
∴()11f f x x x x
?? ?
??>，即()1g g x x ??
> ???
∴
1
x x
<，即1x > 故选A
点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系. 4．（1）()f x
在? ?
上递增，在?+∞??
上递减.；（2）1,2?
?-∞ ???. 【解析】试题分析：（1）对函数()f x 求导，再根据a 分类讨论，即可求出()f x 的单调性；（2）将()f x a >-化简得()21ln 0a x x --<，
再根据定义域()1,x ∈+∞，对a 分类讨论， 0a ≤时，满足题意， 0a >时，构造()()21ln g x a x x =--，求出()g x 的单调性，可得()g x 的最大值，即可求出a 的取值
范围.
试题解析：（1）()2
1122ax f x a x x
-='=-+，
当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上递增， 当0a > 时，令()0f x '=
，得x =
， 令()0f x '>
，得x ?∈ ?；令()0f x '<
，得x ?
∈+∞??
，
所以()f x
在? ?
上递增，在?+∞??
上递减. （2）由()f x a >-，得()
21ln 0a x x --<，因为()1,x ∈+∞，所以2
ln 0,10x x --， 当0a ≤时， ()
2
1ln 0a x x --<满足题意，
当12a ≥时，设()()
()22
211ln (1),0ax g x a x x x g x x
-'=-->=
>， 所以()g x 在()1,+∞上递增，所以()()10g x g >=，不合题意，
当10
2a <<
时，令()0g x '>，得x ?∈+∞??，令()0g x '<，得? ?
， 所以()()
max 10g x g g =<=，则()()1,0x g x ?∈+∞<， 综上，
a 的取值范围是1,2
??-∞ ??
?
.
点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 5．(1) f （x ）递增区间为（0，
12），（1，+∞），递减区间为（12
，1）；(2)1. 【解析】试题分析：（1）求出函数f （x ）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为a>x-2（x-1）lnx 恒成立，令g （x ）=x-2（x-1）lnx ，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．
试题解析：
（1）由题意可得f （x ）的定义域为（0，+∞）， 当a=2时，f （x ）=﹣x 2+2x+2（x 2﹣x ）lnx ，
所以f′（x ）=﹣2x+2+2（2x ﹣1）lnx+2（x2﹣x ）?=（4x ﹣2）lnx ， 由f'（x ）＞0可得：（4x ﹣2）lnx ＞0，
所以或，
解得x ＞1或0＜x ＜；
由f'（x ）＜0可得：（4x ﹣2）lnx ＜0，
所以或，
解得：＜x ＜1．
综上可知：f （x ）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）．
即a ＞x ﹣2（x ﹣1）lnx 恒成立，
令g （x ）=x ﹣2（x ﹣1）lnx ，则a ＞g （x ）max ．
因为g′（x ）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx ﹣1+，
所以g'（x ）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，
故存在x 0∈（1，2）使得g （x ）在（0，x 0）上为增函数，在（x 0，+∞）上是减函数， ∴x=x 0时，g （x ）max =g （x 0）≈0， ∴a ＞0，又因为a ∈Z ，所以a min =1．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.
6．（1）极小值为()11f =；（2）见解析（3）21
21
e a e +-≤≤-
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论1a +与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点0x ,使得()()00f x g x <成立时实数a 的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数a 的取值范围，最后取补集得结果
试题解析：解：（I ）当1a =时， ()()1
ln '01x f x x x f x x x
-=-?=
>?>，列极值分布表 ()f x ∴在（0,1）上递减，在
1+∞（，）上递增，∴()f x 的极小值为()11f =； （II ）()1ln a h x x a x x +=-+ ()()()2
11'x x a h x x
??+-+??∴=
①当1a ≤-时， ()()'0,h x h x >∴在0+∞（，）上递增；
②当1a >-时， ()'01h x x a >?>+，
∴()h x 在0,1a +（）
上递减，在()1,a ++∞上递增； []
1,e x ()()f x g x <
()()()0h x f x g x ?=-<在[]1,e 上有解?当[]1,x e ∈时， ()min 0h x <
由（II ）知
①当1a ≤-时， ()h x 在[]
1,e 上递增， ()min 1202h h a a ∴==+-时， ()h x 在0,1a +（）
上递减，在()1,a ++∞上递增 当10a -<≤时， ()h x 在[]
1,e 上递增， ()min 1202h h a a ∴==+
1,e 上递减
()2min
1101a e h h e e a a e e ++∴==-+?-，∴21
1
e a e +>-；
当01a e <<-时， ()h x 在[]
1,1a +上递减，在()1,a e +上递增 ()()min 12ln 1h h a a a a ∴=+=+-+
令()()
()2ln 121ln 1a a a F a a a
a
+-+=
=
+-+，则()221
'01F a a a =--
<+ ()F a ∴在()0,1e -递减， ()()2
101
F a F e e ∴>-=
>-， ()0F a ∴<无解， 即()min 2ln 10h a a a =+-+<无解；
综上：存在一点0x ,使得()()00f x g x <成立，实数a 的取值范围为： 2a <-或21
1
e a e +>-.
所以不存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，实数a 的取值范围为
.
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题. 7．（1）1e -
（2）21,e ?
?-∞- ??
? 【解析】试题分析：（1）当0a =时，得出函数的解析式，求导数，令()'0f x =，解出x 的值，利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；
（2）求出()'f x ，由于函数()f x 在()0,+∞是增函数，转化为()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，分类参数，利用导数()ln g x x x x =+的最小值，即可求实数a 的取值范围． 试题解析：
()0,+∞
当0a =时， ()ln f x x x =， ()'ln 1f x x =+． 令()'0f x =，得1x e
=
． 当10,x e ??∈ ???
时， ()'0f x <， ()f x 为减函数；
当1,x e ??∈+∞ ???
时， ()'0f x >， ()f x 为增函数．
所以函数()f x 的极小值是11f e e
??=- ???
． （2）由已知得()'ln x a
f x x x
-=+
． 因为函数()f x 在()0,+∞是增函数，所以()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立， 由()'0f x ≥得ln 0x a
x x
-+
≥，即ln x x x a +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立”，只要()min a g x ≤. 因为()'ln 2g x x =+，令()'0g x =，得2
1x e =． 当210,
x e ??
∈ ???
时， ()'0g x <， ()g x 为减函数； 当21,x e ??∈+∞
???
时， ()'0g x >， ()g x 为增函数． 所以()g x 的最小值是22
11g e e ??
=-
???
． 故函数()f x 在()0,+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21,e ?
?-∞-
??
?
． 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导
数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数()f x 在()0,+∞是增函数，所以()'0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立是解答的关键．
8．（1）见解析；（2）2
3
1e m e +>.
【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，分三种情况讨论，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x ()'0f x 所以()()()2 m a x 24f x f a e -=-=+， ()()() 443+160f a e a f --=>-=， ()()2124a f x f x e me --<+恒成立，即() 222144a a e e e me ---++<+恒成立，即() 2 1a a m e e -> +恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出 () 2 1a a e e -+的最大值，即可得结果. 试题解析：（1）()()()2x f x x x a e '=+- ①若2a <-，则()f x 在(),a -∞， ()2,-+∞上单调递增，在(),2a -上单调递减； ②2a =-，则(),-∞+∞在上单调递增； ③若2a >-，则()f x 在(),2-∞-， (),a +∞上单调递增，在()2,a -上单调递减； （2）由1知，当()0,2a ∈时， ()f x 在()4,2--上单调递增，在()2,0-单调递减， 所以()()()2 max 24f x f a e -=-=+， ()()()4 43+160f a e a f --=>-=， 故()() ()()12max 20f x f x f f -=--= ()() 222414a e a a e e ---++=++， ()()2124a f x f x e me --<+恒成立， 即() 222144a a e e e me ---++<+恒成立 即() 2 1a a m e e -> +恒成立， 令()(),0,2x x g x x e =∈， 易知()g x 在其定义域上有最大值()11g e = ， 所以2 3 1e m e +> f '(x) = (x - a)(2ln x ■ 1 - a )，但这时会发现 f' (x) = 0 的解除了 x = a 外还有 2In x ■ 1 - ◎ =0 的 x x 解，显然无法用特殊值猜出。 a 令 h(x) = 21 n x 1 ，注意到 h(1) = 1 -a ：： 0 , h(a) = 2In a 0 , x 故f '(x) = 0在(1, a)及(1, 3e )至少还有一个零点， 又h(x)在(0, +^)内单调递增，所以函数h(x) 在(1,3e]内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。 我们可以采取设而不求的方法， 记此零点为x 0, 含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 (1)因式分解求零点 例1讨论函数 f(x) 1 3 1 2 ax -(a )x 2x 1(a ? R)的单调区间 3 2 解析：即求f'(x)的符号问题。由f'(x)二ax 2 -(2a - 1)x 2 = (ax - 1)(x - 2)可以因式分 解析： f'(x) = (x -a)e x ? x 2 -( a ? 1)x ? a = (x -a)(e x ? x -1)，只能解出 f '(x)的一个零点为 a , 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去 猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 1 1 例 4 讨论函数 f (x) =(x - a-1)e x x 3 (a 1)x 2 ax ， a ?二 R ，的极值情况 其它的零点就是e x x 0的根，不能解。 例5(2011高考浙江理科)设函数 f (x) = (x - a)21n x,a ? R (I) 若x =e 为y = f (x)的极值点，求实数a (n) 求实数a 的取值范围，使得对任意的 2 (0,3e],恒有 f(x) — 4e 成立(注：e 为自然对数)， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当0 ::: x 乞1时，对于任意的实数 a ，恒有f (x)乞0 ::: 4e 2成立②当1 ：：： x 乞3e ，由题意，首先 有 f (3e) =(3e - a )2 In(3e)乞4e 2 , 解 3e 2e 乞a 乞3e ---------- n ( , I 3e) 3e 且 h(3e) =2In(3 e) 1 a 3e -2I n(3e) 1 2e I n(3e) 3e = 2(I n3e- 1 3；I )>0 。 含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 1）因式分解求零点（1123)?Rx?1(?(a?)x)f(x?a?2ax 例1 讨论函数的单调区间232)?2?1)(x?1)x?2?(axf'(x)?ax?(2a)(xf'可以因式分的符号问 题。由解析：即求 方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 112x3ax1)x??x(a?f(x)?(x?a?1)e?R?a，讨论函数，的极值情况例4 23x2x)1e?x?a?(x?a)(?(x?a)ex?(a?1)x?f'(x)?a)f'(x其它的零点就的一个零点为,解析：，只能解 出x0?1?e?x的根，不能解。是 2Ra?x?a)ln x,f(x)?(例5（2011高考浙江理科）设函数a?ex)xy?f(的极值点，求实数（Ⅰ）若为2exf()?4ea],3e(0,x?为自然对数），（Ⅱ）求实数恒有的取值范围，使得对任意的成立（注：方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求，2e)?0?4f(xa e1?1?x?30?x 有实时，对于任意的数题,恒有意，首②当先①当，由立成a e22e22,?e?a） 4e ln(3e)f(3e)?(3)1???a)(2ln xf'(x)?(x?e?e?3?a3，但这时解得由 x)e3ln(ln(3e)a??12ln x ax?0?'(x)f=0外还有会发现的解除了的解，显然无法用特殊值猜出。 xa??(x)2ln x?1h h(1)?1?a?0h(a)?2ln a?0，，令，注意到x2e?3e ln(3e)1a)f02(ln3e?h(3e)?2ln(3e?2ln(3e)?1?)?1?且。= e33e)e3ln(3f'(x)?0(1,a)h(x)h(x)(1,3e]内，及（13e在）至少还有一个零点，又在故+∞）内 单调递增，所以函数0在（，x1?x?a。，则有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们 可以采取设而不求的方法，记此零点为从 00x?(x,a)(0,x))x?x(0,)x f x)0f()x f0f,x)f'(x f a?(a??)'('(f在时，；当而，当时，，即；当时， 000?2e?x(1,3)xa(ef?)(x4)a(??,恒成立，只要内单调递增，在对内单调递增。所以要使内单调递减，在0,． 22?f(x)?(x?a)ln x?4e,(1)?000成 立。?22f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)??a2320??2ln x?1?)h(xx f1a?2ln x?xe ln4xx?4，注意到函1）得， 又（，知3）将（3）代入（0000000x0231p x?exx ln2x ln x?x在（1.+ +∞)。再由（)内单调递增，故数3）以及函数内单调递增，可得在[1,+∞02e2e2e?a?3e??a?3e3e3e??e13p a?。所以的取值范围为）解得，综上，a。由（2ln(3e)ln(3e)ln(3e23ea??3?。 3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ，若 f '(-1) = 4 ，则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点（1，3），则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y （x + 2a ）(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ，对于任意实数 x ，有 f ( x ) ≥ 0 ，则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3，则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ，若 k = g ( x ) ，则函数 k = g ( x ) 的图 一、单选题 1．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018x f x e <的解集为（ ） A. ()0,+∞ B. 21,e ?? +∞ ??? C. 21,e ? ?-∞ ??? D. (),0-∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当()()0,20x xf x f x +'><.则（ ） A. ()()2 24 f e f e > B. ()()931f f > C. ()()2 39 f e f e -< D. ()()2 24 f e f e -< 3．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()2 10x f f x x ?? -> ??? 的解集为（ ） A. ()1,+∞ B. (),1-∞ C. ()2,+∞ D. (),2-∞ 二、解答题 4．已知函数()()2 ln f x ax x a R =-+∈ . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围. 5．设函数()() 222ln f x x ax x x x =-++-． （1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求整数a 的最小值． 6．已知函数()()()1ln ,a f x x a x g x a R x +=-=-∈. 若1a =，求函数()f x 的极值； 设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； 若在区间[] ()1, 2.71828e e =?上不存在．．．0x ，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 一、单选题 1 ?已知可导函数f x的导函数为f' x , f 0 =2018，若对任意的R，都有f X f ' x , 则不等式f x :: 2018e x的解集为（） A. 0, ：： B. i | c. D. -：: ,0 2 丿I e丿 2?定义在R上的偶函数f x的导函数为「x，且当x?0,x「x 2f x :: 0.则（） A.鼻 B. 9f 3 f 1 C.—:::字 D.鼻：：：字 4 e 9 e 4 e 2 （1 \ 3 ?已知f x为定义在0「：上的可导函数，且f x xf ' x恒成立，则不等式x2f — -f X - 0 \ x 的解集为（） A. 1, ：： B. ：—,1 C. 2, ：： D. -：：,2 二、解答题 2 4.已知函数f x 一-ax ? Inx a R . （1）讨论f x的单调性； （2）若存在x三［1, = , f x -a，求a的取值范围 5.设函数f x - -x2 ax 2 x2 -X Inx . (1)当a = 2时，讨论函数f x的单调性； (2)若x 0,亠「j时，f x ] - 0恒成立，求整数a的最小值. 1 +a 6 .已知函数f x 二x—al nx, g x a? R ? x 若a =1，求函数f x的极值； 设函数hx=fx-gx，求函数h x的单调区间； 若在区间1,e】(e =2.71828 一一)上不存在x°，使得f(x o )vg(xo )成立，求实数7.已知函数f x 二x—a Inx,a R . (1)当a = 0时，求函数f x 的极小值； (2)若函数f x在0, 上为增函数，求a的取值范围 a的取值范围 导数练习题（B ） 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间 （1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 导数练习题 1．已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求f (x )的解析式； (2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ， 由题意可得???? ? f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0， f ′(0)＝c ＝－3， 解得???? ? a ＝1， b ＝0， c ＝－3. 所以f (x )＝x 3 －3x . (2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2 －3， 切线方程为y －(t 3 －3t )＝(3t 2 －3)(x －t )． 又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3 －3t )＝(3t 2 －3)(2－t )，解得m ＝－2t 3 ＋6t 2 －6. 设g (t )＝－2t 3 ＋6t 2 －6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2 ＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2. 当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表： 作出函数草图(图略)，由图可知： ①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3 ＋6t 2 －6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3 ＋6t 2 －6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6 章末检测 一、选择题 1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3) C．(－2，－3) D．(－2,3) 答案 B 解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)． 2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( ) A．(－∞，－1)及(0,1) B．(－1,0)及(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞) 答案 A 解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值， 即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5. 4．函数y＝ln 1 |x＋1|的大致图象为( ) 答案 D 解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x＞－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D. 5．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点所在象限是( ) A．第一B．第二 C．第三D．第四 答案 C 解析∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限． 6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值围是( ) A．(－∞，－3) B．[－3，3] C．(3，＋∞) D．(－3，3) 答案 B 解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0?－3≤a≤ 3. 7．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( ) A．e2B．ln 2 C.ln 2 2D．e 答案 D 解析f′(x)＝x·(ln x)′＋(x)′·ln x＝1＋ln x. ∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2， ∴ln x0＝1， 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．已知某函数的导数为y′＝12(x－1)，则这个函数可能是 () A．y＝ln1－x B．y＝ln11－x C．y＝ln(1－x) D．y＝ln11－x 2．(2009?江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 () A．4 B．－14 C．2 D．－12 3．(2009?辽宁)曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为 () A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2 C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1 4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 () A.94e2 B．2e2 C．e2 D.e22 5．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是() 6．设y＝8x2－lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别 () A．单调递增，单调递减 B．单调递增，单调递增 C．单调递减，单调递增 D．单调递减，单调递减 7．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是 () ①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}； ②f(－2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)没有最小值，也没有最大值． A．①③ B．①②③C．② D．①② 8．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)?f(n)＜0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上() A．至少有三个实根 B．至少有两个实根C．有且只有一个实根 D．无实根 9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞2 10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为 () A.2033cm B．100cm C．20cm D.203cm 11．(2010?河南省实验中学)若函数f(x)＝(2－m)xx2＋m的图象如图所示，则m的范围 为 () A．(－∞，－1) B．(－1,2) C．(1,2) D．(0,2) 12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1.f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则b＋2a＋2的取值范围是 () A．(13，12) B．(－∞，12)∪(3，＋∞)C．(12，3) D．(－∞，－3) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。) 13．(2009?武汉模拟)函数y＝xln(－x)－1的单调减区间是________． 14．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 15．(2009?南京一调)已知函数f(x)＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足12≤k≤4，则实数a的值是________． 导数习题精选 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．0 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),(+∞-∞ D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．3 10 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 二、填空题 1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin x y x =的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数552 3--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。 三、解答题 1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。 2．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 高二数学导数单元练习 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6. 0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线 3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9 对于R 上可导的任意函数 ()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 二、填空题 11 ． 函 数 32y x x x =--的单调区间为 1．已知函数()222x f x e x ax =+--. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）若()()2 2g x f x x =-+，且()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数2 ()ln f x x mx =-，2 1()2 g x mx x =+，m R ∈，令()()()F x f x g x =+. （1）当1 2 m = 时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值； 3．已知函数)2(sin )(2 e a ax x e x f x -+-=，其中R a ∈，???=71828.2e 为自然对数的底数. （1）当0=a 时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）当 12 1 ≤≤a 时，求证：对任意的),0[+∞∈x ，0)( 含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 （1）因式分解求零点 例1 讨论函数)(12)2 1 (31)(23R a x x a ax x f ∈+++-= 的单调区间 解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2 --=++-=x ax x a ax x f 可以因式分 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+ --=23)1(2 1 31)1()(，R a ∈，的极值情况 解析：)1)(()1()()('2 -+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就是01=-+x e x 的根，不能解。 例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有2 4)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数）， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当10≤ 导数及其应用习题精选 一、选择题 1.直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．1- B ．e C ．ln 2 D ．1 2、函数f (x )＝x 3＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．11(,)24 C.11 (, )416 D.(2,4) 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 7. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4≤m ≤－2 C ．2 5.导函数——不等式 1. 已知函数 ()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ， ()0 f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1 2 (1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N L ． 分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以 ()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞， ． （Ⅱ）由()() f x f x -=可知 () f x 是偶函数． 于是 ()0 f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由 ()e 0x f x k '=-=得ln x k =． ①当(01]k ∈，时， ()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞， 时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： 由此可得，在[0)+∞， 上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又1 1e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+Q ， 12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2 x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+， 5.导函数——不等式 1.已知函数 ()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ， ()0 f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1 2 (1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N L ． 分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以 ()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞， ． （Ⅱ）由()() f x f x -=可知 () f x 是偶函数． 于是 ()0 f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由 ()e 0x f x k '=-=得ln x k =． ①当(01]k ∈，时， ()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞， 时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： 由此可得，在[0)+∞， 上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又1 1e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+Q ， 12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2 x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 高中数学导数难题怎么解题 1高中数学导数难题解题技巧 1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用 利用导数来求函数的最值的一般步骤是：1先根据求导公式对函数求出函数的导数;2 解出令函数的导数等于0的自变量;3从导数性质得出函数的单调区间;4通过定义域从单 调区间中求出函数最值。 2.导数在函数极值中的应用 利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。利用导数求函数极值 的一般步骤是：1首先根据求导法则求出函数的导数;2令函数的导数等于0，从而解出导 函数的零点;3从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间;4根据极值点的 定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。 3.导数在求参数的取值范围时的应用 利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。在一般函数含参 数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。 2高中数学解题中导数的妙用 导数知识在函数解题中的妙用 函数知识是高中数学的重点内容，其中包括极值、图像、奇偶性、单调性等方面的分析，具有代表性的题型就是极值的计算和单调性的分析，按照普通的解题过程是通过图像 来分析，可是对于较难的函数来说，制作图像不仅浪费时间，而且极容易出错，而在函数 解题中应用导数简直就是手到擒来。 例如：函数fx=x3+3x2+9x+a，分析fx的单调性。这是高中数学中常见的三次函数， 在对这道题目进行单调性分析时，很多学生根据思维定式会采用常规的手法画图去分析单 调区间，但由于未知数a的存在而遇到困难。如果考虑用导数的相关知识解决这一问题，解：f’x=-3x2+6x+9，令f’x>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是说函数在-∞，-1，3，+∞这个单调区间上单调递减，这样就能非常容易的判断函数的单调性。 导数知识在方程求根解题中的妙用 导数知识在方程求根中的应用属于一项重点内容，在平时的数学练习中以及高考的考 察中均曾以不同的难度形式出现过。导数知识能针对方程求根，根据导函数的求解能判断 原函数的根的个数。在解这一类问题的时候，教师要善于引导学生利用导函数与X轴的交 点个数来判断方程根的个数。数学高考导数难题导数零点问题导数整理
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