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高中数学——导数难题

5.导函数——不等式

1. 已知函数

()e x

f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，

()0

f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；

（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1

(1)(2)()(e

2)()n

n F F F n n +*>+∈N L ．

分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以

()e e x

f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，

．（Ⅱ）由()()

f x f x -=可知

()

f x 是偶函数．

于是

()0

f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由

()e 0x f x k '=-=得ln x k =．

①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，

上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．

②当(1)k ∈+∞，

时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：

由此可得，在[0)+∞，

上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．

（Ⅲ）()()()e e x x

F x f x f x -=+-=+Q ，

12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2

x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，

由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n

F F F n F F n F F n F n F +=->+L L

故1

(1)(2)()(e

2)n

n F F F n n +*>+∈N L ，．

2. 设

()3x f x =

，对任意实数t ，记2

32()3t g x t x t =- （Ⅰ）求函数

8()()

y f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）求证：（ⅰ）当0x >时，

()()

t f x g x ≥对

任意正实数t 成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数

x ，使得

800()()

t g x g x ≥对于任意正实数t 成立。

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法

（I ）解：

316

433x y x =-+

．由

40y x '=-=，得2x =±．因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0，当(22)x ∈-，

时，0y '<，当(2)x ∈+∞，时，0y '>，故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，

，(2)+∞，，单调递减区间是(22)-，．（II ）证明：（i ）方法一：

令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则22

3()h x x t '=-，当0t >时，由()0h x '=，得13

x t =，当13

()x x ∈+∞，

时，()0h x '>，所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是1

()0h t =．故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成

立．方法二：

对任意固定的0x >，令2

2()()(0)

3t h t g x t x t t ==->，则1

32()()3h t t x t -'=-，

由()0h t '=，得3

t x =．当3

0t x <<时，()0h t '>；当3

t x >时，()0h t '<，

所以当3t x =时，()h t 取得最大值

31()3h x x =．因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立．（ii ）方法一：

(2)(2)3t f g =

=．由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立．

即存在正实数02

x =，使得

(2)(2)

x t g g ≥对任意正实数t 成立．

下面证明

x 的唯一性：

当02x ≠，00x >，8t =时，

300()3x f x =，0016

()43x g x x =-，由（i ）得，30016

3x x >-，再取3

0t x =，得30300()3x x g x =，所以30

000016()4()33x x x g x x g x =-<=，即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都

成立．

故有且仅有一个正实数

x =，使得

00()0()

x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．

方法二：对任意00

x >，

0016

()43x g x x =-

，

因为0()t g x 关于t 的最大值是30

13x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必

要条件是：

00161433x x -

≥，即200(2)(4)0x x -+≤， ①

又因为00

x >，不等式①成立的充分必要条件是

x =，所以有且仅有一个正实数02

x =，

使得

00()()

x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．

3. 定义函数f n( x )＝(1＋x)n ―1, x ＞―2，n ∈N* (1)求证：f n ( x )≥ nx ；

(2)是否存在区间[ a ，0 ] (a ＜0)，使函数h( x )＝f 3( x )－f 2( x )在区间[a ，

0]上的值域为[ka ，0]?若存在，求出最小实数k 的值及相应的区间[a ，0]，若不存在，说明理由.

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、数形结合思想方法解：(1)证明：f n( x )－nx ＝(1＋x)n －1－nx ，

令g( x )＝(1＋x)n －1－nx , 则g'( x )＝n[(1＋x)n ―1―1]. 当x ∈(－2，0)时， g'( x )＜0,当x ∈(0，＋∞）时，g'( x )＞0， ∴g( x )在x ＝0处取得极小值g( 0 )＝0，同时g( x )是单峰函数，

则g( 0 )也是最小值.∴g( x )≥0, 即f n ( x )≥nx (当且仅当x ＝0时取等号). 注：亦可用数学归纳法证明.

(2)∵h( x )＝f 3( x )－f 2( x )＝x( 1＋x )2 ∴h'( x )＝(1＋x)2＋x ·2(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)

令h'(x)＝0, 得x ＝－1或x ＝－1

，

∴当x ∈(―2，―1)，h'(x)＞0；当x ∈(―1，―1

3)时，h'(x)

＜0；

当x ∈(－1

3 ,＋∞)时，h'(x)＞0.

故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下：

①当－13≤a ＜0时，h(x)最小值h(a)＝ka ∴k ＝(1＋a)2≥4

②当－43≤a ≤－13时 h(x)最小值h(a)＝h(－13)＝－427＝ka k ＝－427a ∴19≤k ≤4

③当a ＝－43时 h( x )最小值h( a )＝a(1＋a)2＝ka k ＝(1＋a)2≥19，a ＝－4

3时取等号.

综上讨论可知k 的最小值为19，此时[a ，0]＝[－4

，0].

例4. 已知

)(22)(2

R x x a

x x f ∈+-=

在区间]1,1[-上是增函数。

（1）求实数a 的值组成的集合A ；

（2）设关于x 的方程

()1

f x x =

的两个非零实根为1x 、2x 。试问：是否R m ∈?，使得不

等式||1212x x tm m -≥++对A a ∈?及]1,1[-∈t 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存

在，请说明理由。

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．函数方程思想、化归（转化）思想方法

解：（1）∵ =)(x f )(222R x x a

x ∈+-

∴ 2

22)2(2)2()2(2)(+?--+='x x

a x x x f 222)2()2(2+---=x ax x

∵ )(x f 在]1,1[-上↑ ∴ )(x f '0)2()2(22

22≥+---=x ax x 对]1,1[-∈?x 恒成立

即]1,1[-∈?x ，恒有022

≤--ax x 成立

设2)(2

--=ax x x g ∴ ???-=∴≤--=≤≤-∴≤-=-]1,1[01)1(1101)1(A a g a a g

（2）

x x a x x f 1

22)(2=

+-=

022=--ax x

∵ 082>+=?a ∴ 1x 、2x 是方程022

=--ax x 的两不等实根，且a x x =+21，

221-=x x

∴ ]3,22[84)(||2

2122121

∈+=-+=-a x x x x x x ∵

||1212x x tm m -≥++对A a ∈?及]1,1[-∈t 恒成立 ∴ 312

≥++tm m 对]1,1[-∈?t 恒成立

设

)2()(2

-+?=m t m t h ，]1,1[-∈t ∴ 0)(≥t h 对]1,1[-∈?t 恒成立

∴ ???≥-≤≥-≤???

???≥-+=≥--=-122

102)1(02)1(2

2m m m m m m h m m h 或或 ∴ ),2[]2,(+∞?--∞∈?m 满足题意

5. 已知函数)0)(ln()(>+=a a e x f x

。

（1）求函数)(x f y =的反函数)(1

x f

y -=和)(x f 的导函数)(x f '；

（2）假设对)]4ln(),3[ln(a a x ∈?，不等式0))(ln(|)(|1

<'+--x f x f m 成立，求实数m 的取

值范围。

分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．化归（转化）思想方法

解：（1）)ln(a e y x += y x e a e =+ a e e y x -=

)ln(a e x y -= ∴ )ln()(1a e x f x -=- ∵ )ln(a e y x

+= ∴

a e e x f x x

+=')( （2）∵ )]4ln(),3[ln(a a x ∈?，0))(ln(|)(|1

<'+--x f x f

m 成立

∴

x x x x e a e a e e a ex m +=+-<--ln

ln |)ln(| ∴

x a e a e m x a e x

x x -+<--<-+-)ln()ln(])[ln( 设x a e a e x g x x ++--=)ln()ln()(，

x a e a e x h x x -++-=)ln()ln()()]4ln(),3[ln(a a x ∈ ∴ )]4ln(),3[ln(a a x ∈?恒有)()(x h m x g <<成立

1)(++--='a e e a e e x g x x x x ∵ )]4ln(),3[ln(a a x ∈ ∴ ]4,3[a a e x

∈ ∴ a e e a e x x x +<<-<0 ∴ 1>-a e e x

x ，10<+

∴ 0)(>'x g ，）x g (在)]4ln(),3[ln(a a 上↑ ∴

a g x g <=))4(ln()(max

即m a a a <+-)4ln()5ln()3ln(

)512ln(

a m >

∵ 0

1)(>-++-='a e e a e e x h x x

x x ∴ )(x h 在)]4ln(),3[ln(a a 上↑

∴ ))3(ln()(min

a h x h m =< )3ln()4ln()2ln(a a a m -+< )

,1,(11)(N x n N n n x f n

?? ??+11的展开式中二项式系数最大的项;

(Ⅱ)对任意的实数x,证明2)

2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''

(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得a n ＜

∑-??? ??

k k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

120

1C n n ??= ??? （Ⅱ）证法一：因()()22

112211n f x f n n ????

112211n f x f n n ????+=+++ ? ????

?和1ln 1n ??+ ???进行比较。令

因为当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以在1x =处()

g x 有极小值1

故当1x >时，

()()11

g x g >=，从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+>

故有111ln 1n n ????

+>+ ? ?????恒成立。所以()()()'222f x f f x +≥，原不等式成立。

（Ⅲ）对m N ∈，且1m >

有

2012111111m k m

k m m m m m m C C C C C m m m m m ??????????+=+++++++ ? ? ? ? ?

??????????L L 又因()102,3,4,,k k m C k m m ??>= ???L ，故1213

k n n k =??<+< ???∑成立，

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即0 0， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0

高中数学导数及微积分练习题

底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

高中数学导数题型总结

导数经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。（2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ，则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最小值为()2 9 1= -f 。答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中数学导数经典100题

题401：省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数．（1）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（2）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x = +是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．题402：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六）已知()ln()f x x m mx =+- （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +< 题403：省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学（文）已知函数2()ln (0)f x x a x a =-> （1）讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性；（2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+> 题404：西北师大附中2017届高三校第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2 f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若()0f x ≥对定义域的任意x 恒成立,数a 的取值围; (3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式 111...ln(1)ln(2)ln()() n m m m n m m n +++>++++恒成立.

题405：一中2017-2018学年度高三年级第五次月考数学（理）试已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈ （1）当3k =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x >对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值围. 题406：第一中学2018届高三上学期期末考试数学（理）已知函数()ln 1,a f x x a R x =+-∈ （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值；（2）证明：(ln 1)sin 0x e x x +-> 题407：2017—2018学年度衡中七调理科数学已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln ,g x ax x a R =+∈ （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞恒成立，数a 的取值围（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+

导数与函数的切线及函数零点问题专题

导数与函数的切线及函数零点问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点. 真题感悟 (2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1). (1)设a ＝2，b ＝1 2. ①求方程f (x )＝2的根； ②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值. 解 (1)①由已知可得2x ＋? ?? ??12x ＝2，即2x ＋1 2 x ＝2.∴(2x )2－2·2x ＋1＝0，解得2x ＝1，∴x ＝0. ②f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ＝2x ＋2－x ，令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2. 又f (2x )＝22x ＋2－2x ＝t 2－2，故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6，即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4 t ≥2 t ·4 t ＝4(当且仅当t ＝2时等号成立)， ∴m ≤? ? ???t ＋4t min ＝4，即m 的最大值为4. (2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0. g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2，

g′(x)＝a x ln a＋b x ln b且g′(x)为单调递增，值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点， ∴g(x)为先减后增且有唯一极值点. 由题意g(x)有且仅有一个零点，则g(x)的极值一定为0，而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0. ∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0，∴ab＝1. 考点整合 1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x )，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x )解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x ，再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： 3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

高中数学导数练习题(有答案)

导数练习题（含答案）【编著】黄勇权一、求下函数的导数（1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ）（15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】一、求下函数的导数（1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx

（9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1）（）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10

数学高考导数难题导数零点问题导数整理2017

含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 1）因式分解求零点（1123)?Rx?1(?(a?)x)f(x?a?2ax 例1 讨论函数的单调区间232)?2?1)(x?1)x?2?(axf'(x)?ax?(2a)(xf'可以因式分的符号问题。由解析：即求方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 112x3ax1)x??x(a?f(x)?(x?a?1)e?R?a，讨论函数，的极值情况例4 23x2x)1e?x?a?(x?a)(?(x?a)ex?(a?1)x?f'(x)?a)f'(x其它的零点就的一个零点为,解析：，只能解出x0?1?e?x的根，不能解。是 2Ra?x?a)ln x,f(x)?(例5（2011高考浙江理科）设函数a?ex)xy?f(的极值点，求实数（Ⅰ）若为2exf()?4ea],3e(0,x?为自然对数），（Ⅱ）求实数恒有的取值范围，使得对任意的成立（注：方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求，2e)?0?4f(xa e1?1?x?30?x 有实时，对于任意的数题,恒有意，首②当先①当，由立成a e22e22,?e?a） 4e ln(3e)f(3e)?(3)1???a)(2ln xf'(x)?(x?e?e?3?a3，但这时解得由 x)e3ln(ln(3e)a??12ln x ax?0?'(x)f=0外还有会发现的解除了的解，显然无法用特殊值猜出。 xa??(x)2ln x?1h h(1)?1?a?0h(a)?2ln a?0，，令，注意到x2e?3e ln(3e)1a)f02(ln3e?h(3e)?2ln(3e?2ln(3e)?1?)?1?且。= e33e)e3ln(3f'(x)?0(1,a)h(x)h(x)(1,3e]内，及（13e在）至少还有一个零点，又在故+∞）内单调递增，所以函数0在（，x1?x?a。，则有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为从 00x?(x,a)(0,x))x?x(0,)x f x)0f()x f0f,x)f'(x f a?(a??)'('(f在时，；当而，当时，，即；当时， 000?2e?x(1,3)xa(ef?)(x4)a(??,恒成立，只要内单调递增，在对内单调递增。所以要使内单调递减，在0,． 22?f(x)?(x?a)ln x?4e,(1)?000成立。?22f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)??a2320??2ln x?1?)h(xx f1a?2ln x?xe ln4xx?4，注意到函1）得，又（，知3）将（3）代入（0000000x0231p x?exx ln2x ln x?x在（1.+ +∞)。再由（)内单调递增，故数3）以及函数内单调递增，可得在[1,+∞02e2e2e?a?3e??a?3e3e3e??e13p a?。所以的取值范围为）解得，综上，a。由（2ln(3e)ln(3e)ln(3e23ea??3?。

导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题一．方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略类型一察“言”观“色”，“猜”出零点【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得；（2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+，即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-；所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.

(完整word)高中数学导数练习题

专题8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴

导数和函数零点问题

导数和函数零点问题 Prepared on 24 November 2020

导数和函数零点 1、已知函数3()31,0f x x a x a =--≠ （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。 2、设a 为实数，函数a x x x f ++-=3)(3 （1）求)(x f 的极值；（2）若方程0)(=x f 有3个实数根，求a 的取值范围；（3）若0)(=x f 恰有两个实数根，求a 的值。 3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-= （1）讨论)(x f 的单调性；（2）是否存在a 的值，使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。 4、已知函数a ax x a x x f ---+=232 131)(，x R ∈，其中0>a 。（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围； 5、已知函数)0()23()(2 3>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示. （1）求c ，d 的值；（2）若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程在求函数)(x f 的解析式；（3）在（2）的条件下，函数m x x f y x f y ++= =5)(3 1)('与的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围； 6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，)(1ln )(R a ax x x f ∈+-=

高中数学导数及微积分练习题

利用导数解决函数零点问题

利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f

(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一的极大值点0x ,且202 2)(--<

利用导数解决函数零点问题

1 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。一定要用零点判定定理确定零点个数 )(x f ' )(x f

2 (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2--=存在唯一的极大值点0x ,且2022)(--<

人教A版高中数学选修《导数综合练习题》

导数练习题 1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f

导数和函数零点问题

导数和函数零点问题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

数学高考导数难题导数零点问题导数

含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。（1）因式分解求零点例1 讨论函数)(12)2 1(31)(23R a x x a ax x f ∈+++-=的单调区间解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2--=++-=x ax x a ax x f 可以因式分方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+ --=23)1(2131)1()(，R a ∈，的极值情况解析：)1)(()1()()('2-+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就是01=-+x e x 的根，不能解。例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有24)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数），方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求， ①当10≤=a a h ，且(3)2ln(3)12ln(3)13a h e e e e =+- ≥+- =2(ln 30e f 。故0)('=x f 在),1(a 及（1，3e ）至少还有一个零点，又()h x 在（0，+∞）内单调递增，所以函数()h x 在]3,1(e 内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为0x ，则a x <<01。从而，当0(0,)x x ∈时，'()0f x f ；当0(,)x x a ∈时，'()f x a f ；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x f ，即()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增。所以要使2()4f x e ≤对](1,3x e ∈恒成立，只要 2200022()()ln 4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)f x x a x e f e e a e e ?=-≤??=-≤??成立。

(完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)

导数复习一．选择题 (1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2）（2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (3) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (4) 函数,93)(2 3-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！（9）曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 .10设函数()1 x a f x x -= -,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个 13. y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 14.经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25 x +y =0 B.x －y =0或25 x +y =0 C.x +y =0或 25 x －y =0 D.x －y =0或 25 x －y =0 15.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又x x f x )(lim 0 '→=－1,则 f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值 D.等于0 16.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0 B.1 C.n n )221(+- D.1)2 ( 4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( ) A 、有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 18.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( ) A 、3 10 B 、3 13 C 、3 16 D 、3 19 19.过抛物线y=x 2 上的点M （4 1,21）的切线的倾斜角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 20.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) a b x y ) (x f y ?=O