导数练习题（B ）
1．（本题满分12分）
已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．
（I ）求d c ,的值；
（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；
（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3
1
的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）
已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．
（I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2
3若函数]2)('[31)(23m
x f x x x g ++=在区间
（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分）
已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．
（I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若方程9
)32()(2
+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；
（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．
4．（本小题满分12分）
已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）
已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；
（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）
已知2x =是函数2
()(23)x
f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）．
（I ）求实数a 的值；
（II ）求函数()f x 在]3,2
3[∈x 的最大值和最小值．
7．（本小题满分14分）
已知函数)0,(,ln )2(4)(2
≠∈-+-=a R a x a x x x f
（I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；
（II ）求函数)(x f 在区间],[2
e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）
已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．
单调性． （I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2
2
()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238
|()()|||27
g x g x x x ->
-恒成立． 9．（本小题满分12分）
已知函数.1,ln )1(2
1)(2
>-+-=
a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；
（II ）证明：若.1)
()(,),,0(,,52
1212121->--≠+∞∈ 10．（本小题满分14分） 已知函数2 1()ln ,()(1),12 f x x a x g x a x a = +=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．（本小题满分12分） 设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值； （II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分） 定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ， （I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域； （II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在 )14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围； （III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 导数练习题（B ）答案 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得 ? ??==??? ?=--++=03 23233c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f ? ? ?=+--+-=--+5346483 23412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2 +-='x x x f ．可转化为：() m x x x x x x +++-=++-5343962 2 3 有三个不等实根， 即：()m x x x x g -+-=872 3 与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g ， x ??? ? ? ∞-32, 3 2 ?? ? ??432， 4 ()∞+，4 ()x g ' + 0 - 0 + ()x g 增 极大值 减 极小值 增 ()m g m g --=-=??? ??164,27 68 32． …………（10分） 当且仅当()0164027 68 32<--=>-=??? ??m g m g 且时，有三个交点， 故而，27 68 16<<-m 为所求． …………（12分） 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间（1， 3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 解：（I ）)0() 1()('>-= x x x a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞ （II ）32ln 2)(,223 43)4('-+-=-==- =x x x f a a f 得 2)4()(',2)22 (31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x m x x g （6分） 2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间Θ ?? ?><∴. 0)3(', 0)1('g g （8分）?? ? ??>-<∴,319, 3m m （10分）)3,319(--∈m （12分） 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=?=320)1(--=?='a b f ),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f 由3 3 210)(+-==?='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值， 所以313 3 2-+- a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ； …………（4分） （II 依题意得：9 )32()32(2762 +- =++a a a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-= …………（10分） （III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα 在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． …………（14分） 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分） （II ）a x a x a x x g )22)(22(22)(-+ =- ='，由0)(='x g ，得2a x =，列表 当2x 2 22( …………（6分） 由（I ）a e a >，∵?? ???> >22a a e e a a ，∴22a e a >，∴22a e a > 01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分） （i ）当 122≤a ，即20≤a ，即2>a 时 若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =； 若0)2 ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点； 综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论： 当02a e <<时，函数() f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点． …………（12分） 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 解：（I ）当1k =时，2()1 x f x x -'=- )(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数 ∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点， ∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分） ②当0k >时，1() 11()111 k k x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分） 令1()0,k f x x k +'== 得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1 (1,),()0x f x k '∈++∞<时， ∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1 [1,)k ++∞在上是减函数， ∴()f x 的最大值是1 (1)ln f k k +=-， ∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >， 因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3 [∈x 的最大值和最小值． 解：（I ）由2 ()(23)x f x x ax a e =+--可得 22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分） ∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '= ∴2 (5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增， 由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减 ∴2)2(e f =是()f x 在]3,2 3[∈x 的最小值； ……………（8分） 2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)2 3()3(,0)74(4147)23()3(232 33f f e e e e e f f >>-=-=- ∴()f x 在]3,2 3 [∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分） 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2 ≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2 e e 上的最小值． 解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2 --=， x x x x x x f ) 4)(2(21642)('-+= - -= 2分 由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2- 6分 （Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2 -+-= 所以x a x x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2 当0 此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2 e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2 min 8分 当0>a 时，△=08)2(2416>=-?-a a ， 令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或2 21a x -<； 令0)(' 21a x +<<. ①若2 21a + ≥2e ，即a ≥2 2)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==. ②若22 21e a e <+ <，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2 e a +上单调递增， 所以min )(x f )221(a f +=)2 21ln()2(322a a a a +-+--=. ③若2 21a +≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2 e e 单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2 min 综上所述，当a ≥22 2)1(-e 时，a e a x f 244)(2 4 min -+-=； 当2 2 2 )1(2)1(2-<<-e a e 时，)2 21ln()2(322)(min a a a a x f +-+--= ； 当a ≤2 )1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min 14分 8．（本小题满分12分） 已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．． 单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22 ()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238 |()()|||27 g x g x x x -> -恒成立． 解：（I ）226()26a x x a f x x x x -+'=-+=， ………………（2分） ∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．． 单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是3 2 x = ，开口向上的抛物线，∴222620y a =?-?+< 的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分） （II ）由（I ）22 ()2a g x x x x =+-， 方法1：2222 ()()62(0)a g x f x x x x x x '=-+=+->， ∵4a <，∴323233 444244 ()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分） 设2344()2h x x x =-+，344 8124(23) ()x h x x x x -'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值 38 27 ∴从而()g x '38 27 >，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数， 12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838 ()()2727g x x g x x ->- ∴212138 ()()()27 g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴ 1212()()3827g x g x x x ->- ∴ 1212()()g x g x x x --3827 > ，即121238 |()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 方法2： 11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点， 121222 121212 ()()2()2g x g x x x a x x x x x x -+=+-- ，12x x +>Q 4a < 1222 1212122()22x x a a x x x x x x +∴+ ->+ -124 2x x >- ………（8分） 设0t t = >，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t > 由()0u t '<得20,3 t << ()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数， )(t u ∴在32=t 处取极小值27 38，38 ()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827> 即121238 |()()|||27 g x g x x x -> - ………………（12分） 9．（本小题满分12分） 已知函数.1,ln )1(2 1)(2 >-+-= a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性； （II ）证明：若.1) ()(,),,0(,,52 1212121->--≠+∞∈ 则对任意 （1）)(x f 的定义域为),0(+∞，x a x x x a ax x x a a x x f ) 1)(1(11)('2-+-= -+-=-+-= 2分 （i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2 x x x f -= 故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而 )1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加． （iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加． （II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212 x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(1 21)1()('2---=---?≥-+--=a a x a x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞> 故 1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1) ()()()(1 2122121->--=--x x x f x f x x x f x f 10．（本小题满分14分） 已知函数2 1()ln ,()(1),12 f x x a x g x a x a = +=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 解：（I ）(),()1a f x x g x a x ''=+=+， ……………（2分） ∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同， ∴当[1,3]x ∈时，2(1)() ()()0a x a f x g x x ++''?= ≥恒成立， ……………（4分） 即2 (1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-??≥-?在[1,3]x ∈时恒成立，或2 1a a x <-??≤-?在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分） （II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x = +-+，()(1) ()(1)a x a x F x x a x x --'=+-+= ∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a > ∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1 (1)2M F a ==--， 当x a =时，()F x 取极小值21 ()ln 2 m F a a a a a ==--， ………………（8分） ∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分） 设211 ()ln 22 G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--， ∴1 [()]1G a a ''=- ，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''> ∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>= ∴211 ()ln 22 G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分） ∴()()G a G e ≤，即2 211(1)()1222 e G a e e -≤--= -， 而22 211(1)(31)1112222 e e e ----= -<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分） 设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值； （II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e x x -'= -==，得1 x e = 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表： ∴当1 x e =时，()f x 取得极大值()2f e =-，没有极小值； …………（4分） （II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴ 2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201 ln 0x x x x x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211 ()ln ()x g x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--，1 / 211 ()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222 ()()ln ()0x g x g x x x x x <=--=； 222211()ln ()x g x x x x x =--，2 / 221 ()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111 ()()ln ()0x g x g x x x x x >=--=， ∴函数2211 ()ln ()x g x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分） 又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211 ()ln ()x g x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2121 ()ln x x x g x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分） （方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021 ln ln ()1 x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一 设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x > ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分） 定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ， （I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域； （II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在 )14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围； （III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分） 得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++ 设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2 2 3 2b ax x x g bx ax x ++='>+++ ∴存在实数b 使得??? ??>+++-<<--=++111482302 0300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分） 由①得,238020ax x b ---=代入③得08202 0<---ax x ， 200028041x ax x ?++>? ∴? -<<-?? 由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以008 2()[8,10)() x x -+∈-， 当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线 ………………（10分） 方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-?+-?>+-?+-?a a 或， 1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分） 方法3：是22 2(4)(4)802(1)(1)80 a a ??-+?-+≤???-+?-+≤??的补集，即10a < ………………（10分） （III ）令2 ) 1ln(1)(,1,) 1ln()(x x x x x h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x x x x p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分 0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有 ),1[)(+∞∴在x h 单调递减， x y y x y x x y y y x x y x )1()1(),1ln()1ln(,) 1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分） ①② ③ （此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考， 感谢您的配合和支持） 导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12 导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I ）讨论的单调性； （II ）当时，证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. ()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈()f x 1a =()3 ()'2 f x f x +＞[]1,2x ∈ 例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 例3.（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => ， 讨论h （x ）零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数,函数 (Ⅰ)讨论在区间 上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且 求的取值范围. 例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 例6已知函数)(x f 满足21 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。 例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 ln ()1a x b f x x x = ++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x >+-k 导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 设a> 0,函数g(x)= (a A2 + 14)e A x + 4?若E 1、E 2 € [0 , 4],使得|f( E 1) - g( E 2)| v 1 成立, 求a 的取值范围. 二、交点与根的分布 三、不等式证明 （一）做差证明不等式 LL期嗨敕门划=1扣 M】求的单调逼减区创！ <2)^7 I >-1 r求证1 I ----- + x+ 1 W；的宦义域为(一4 + Ehl&￡ /I U li 故)白 )替换构造不等式证明不等式 >=/U ) “川理k C 1；/< <6 N 实出氓I:的崗散丿I + 2 导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【解析】（1）1,1a b ==-； （2）()2 ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x '=+- ， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? ， 两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ，只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一：因为120x x << ，只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t ，即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2 22 12110t h t t t t -'=--=-<， 所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形 为齐次式，设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -= ==-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x << ，只需证12ln ln 0x x -， 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 () 21 10 Q x x x '= ==<， 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()() 20Q x Q x >=，即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1x （或2x ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法. 导数压轴题双变量问题题型 归纳总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【解析】（1）1,1a b ==-； （2）()2 ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x '=+- ， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? ， 两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ，只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一：因为120x x << ，只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t = ，即证12ln 0t t t -+>. 令()()1 2ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2 22 121 10t h t t t t -'=--=-<， 所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形 为齐次式，设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -===-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x << ，只需证12ln ln 0x x -， 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 () 2 21 10Q x x x '= ==<， 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()()2 0Q x Q x >=，即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 高考数学：导数压轴题的归纳总结方法 今天我们来聊聊高考数学导数压轴题的归纳总结方法。在对导数专题归纳总结的时候，可以细分为两个层面。 第一，对题型进行归纳总结。举例说明，下图的题目中的第二小问，如果去做归纳总结的话，很多题目都跟这道题目相类似，这种题目可以概括为一般形式： 如果用归纳总结的思路去做的话，可以细分到之前说的双变量这一类问题的大类，大类下面有一个小类，叫做极值点偏移问题。希望大家在学习导数专题的过程中，不要简单地光做题，而要在做题中能发现这样一类题型。 导数的问题做多了之后就会发现，很多时候都有相似之处，将这些相似之处提取出来，我们就可以将它一般化为这样一种题型，把它抽象出来。 本质上说，我们就是找这样的一般问题，再从一般的角度去解决方法，看这一类的问题有什么具体的解决套路，这样就可以在学习过程中达到事半功倍的效果了。 第二，对解题方法和解题方向进行归纳总结。什么叫做解题方法？就是对于之前已经分好类的xx问题，我们可以第一步xxxxx，第二步xxxxxx……第x步xxxxxx，问题解决。大家可以看出，这样一类问题，方法和套路性比较强。 结合具体例子来谈，还是这个题目，刚刚说可以划归为双变量分类下的极值点偏移这种具体的问题。对于这一类极值点偏移具体的问题，刚才已经提出一般化的解题题型，那么这一类 一般化的解题题型，应该怎样去解决呢？极值点偏移问题三步走： （1）画图观察极值点偏移方向 （2）利用f(x)的单调性转移不等式 （3）构造f(x)=f(x)-f(2a-x)完成证明 在做题的时候，对于这种一般化的问题进行归纳总结，归纳总结出一步一步的套路。当你完成这种从题型到解决方法的归纳总结之后，就会对导数这一类具体问题拍着胸脯说：“考试，考到这样一类问题，把题目做完，应该是一件十拿九稳的事情。” 因为你把一般的问题都做完，考试题目只要是已经归纳总结过的题型，你只需要把已经总结出的方法往上套，结合具体的题目，将一些条件拿过来进行运算，最后就可以将这一类题目做出来。这是第一个层次，从题型和解题方法进行归纳总结。 也可以使用高考数学的教辅书《高考数学题型全归纳》来进行专项训练与突破。可以借用书中张永辉老师的思路来总结整理你自己的思路。 第二层次是从解题方向上进行归纳总结。解题方向是什么呢？我们在做题时考虑方向一，方向二……方向N等等，我们对于每个具体题目而言，已经弄清楚了具体解题步骤，在各个方法的基础上，更进一步去总结一些方向。也就是对于更大的一些问题，可以考虑如何运用不同的方向进行解题。 参考下图题目，这个问题隶属于刚刚讲到的双变量问题这个大类中的一个小类——韦达定理转单变量。两个变量是韦达定理的两个根，可以将两个变量向一个变量转化，就是这样的一个方法。 压轴题题型与方法（选择、填空题） 一、函数与导数 1、抽象函数与性质 主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线） 对策与方法：赋值法、特例法、数形结合 【例1】已知定义在[)+∞,0上的函数()x f ，当[]1,0∈x 时，;2 1 42)(--=x x f 当1＞x 时，()()1,f x af x a R =-∈，a 为常数.下列有关函数()x f 的描 述： ①_x0001_ 2=a 时，423=?? ? ??f ； ②当， ＜1a 函数()x f 的值域为[]2,2-； ③当0＞a 时，不等式()2 12- ≤x a x f 在区间[)+∞,0上恒成立； ④当01-＜＜a 时，函数()x f 的图像与直线()*-∈=N n a y n 12在[]n ，0内的交点个 数为()2 11n n -+-. 其中描述正确的个数有（ ）【答案】C （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 故④正确， 【例2】定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，且对任意x ∈R 都有1 ()2 f x '<，则不 等式22 1 ()2 x f x +>的解集为_________．【答案】(1,1)- 【解析】令1()()2x g x f x +=-，则1()()02g x f x ''=-<，11 (1)(1)0 2g f +=-=， 所以22 1()2x f x +>22 ()0(1)111g x g x x ?>=?的解集为(1,1)-． 【例3】定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ?∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ）【答案】C A.??? ??21,0 B.?? ? ??1,21 C.()2,1 D.()3,2 【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞ ，都有[]2()log 3f f x x -= ， 由f（x）是定义在(0,)+∞上的单调函数，则2()log f x x -为定值， 设2()log t f x x =- ，则2()log f x x t =+ ， 又由f（t）=3，即log 2 t+t=3，解可得，t=2； 则2()log 2f x x =+ ，1 ()ln 2 f x x '= 。 因为()()2f x f x '-= ，所以21log 22ln 2x x +-=， 即21 log 0ln 2x x -= ， 令21 ()log ln 2h x x x =- ， 因为211(1)log 10ln 2ln 2h =-=-< ，211 (2)log 2102ln 2ln 4h =-=-> ， 所以21 ()log ln 2 h x x x =- 的零点在区间(1,2) ，即方程()()2f x f x '-= 的解所在的区间是(1,2) 例 4.（2014湖南理科·Ｔ10）已知函数 221 ()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点， 则a 的取值范围是 ( ) 【答案】B A．( -∞ B．(-∞ C．( D．( 导数题型梳理归纳 题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型 例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1 ax f x x -'= .当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ?>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时，因为10x a << 时()0f x '<，当1 x a >时()0f x '>，所以()min 1f x f a ?? = ??? ，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a = 类型二：主导函数为二次型 例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()2 3210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴 3k x = ，且过()0,1，故03 k k k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ?=-. （1）当24120k ?=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k - 上单调递增； （2）当24120k ?=->时，即k <令()2 3210f x x kx '=-+=，解得： 12x x == ，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上. 因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ??? +-?? ????????? 上单 调递增，在???? 上单调递减. 导数压轴题的命题思路 圆锥曲线和导数能否突破这涉及学生、家长和学校的核心利益，在即将出版的解析几何系统系突破一书是很容易帮学生突破高考的解析几何，但导数这一章处理的技巧太多，与后续大学知识联系紧密，背景广阔，在即将出版的高观点下导数、函数压轴题的系统性突破一书中作了详尽的解读，何为高观点，意义何在 观点越高、问题越简单；观点越高、问题越透彻；高观点并不是想不到，而是用最朴素的思想推动整个思维过程；追求通法，并不排斥技巧，而是明确哪些技巧是必须掌握的，并让这些技巧在我们思维的世界里显得朴素且自然。 这里面选一些题来说明一下命题思路，如有类似，那不是巧合。 （一）双参数问题 1.（第一套理科第21题）设函数x b ax x f -+=)ln()(，（),R b a ∈ （1） 当0,1==b a 时，若x x m x f 2)(- -≥恒成立，求m 的取值范围； （2） 若0)(≤x f 恒成立，求证：2ln 7a ）有公共点，且在该点处的切线相同，则b 的最大值为 （二）两边夹求参数范围 3. （理科第二套第21题）已知()()()ax x x x x g x x f ++ =+=221sin ,1ln （1） 证明：()x x f x x ≤≤+1 （2） 若()()()()1,0,01∈?≤-+x x g x f x 恒成立，求a 的取值范围 2013辽宁文理科卷第21题都是这样考察，2014年全国2卷第21求2ln 的近似值，也是两边夹的思路。命此题，花了两天时间，难度适中。 （三）与三角函数有关的导数及相关问题 4.（文、理科第三套第21题）已知函数()e cos x x f x =，其中e 为自然对数的底数． （I ）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程； （Ⅱ）若对任意[,0]2 x π∈-，不等式sin ()x x f x m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围； （III ）试探究当[,]22x ππ∈- 时，方程()sin f x x x =的解的个数，并说明理由． 全国卷导数题目，函数形式多种多样，此题以三角函数和指数函数为载体，在第（2）问给了一个恒成立，注意对导函数的观察和变形，第（3）问是零点问题，逐段分析法是处理这一问题的基本方法，也要注意对函数进行观察。面对新题，观察能力处于核心的地位。高三导数压轴题题型归纳
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