国家集训队2004论文集_吴景岳

最小生成树算法及其应用

江苏省常州高级中学吴景岳

【摘要】

最小生成树是图论中的经典问题,也是一个重要部分，一般书上往往只介绍求最小生成树的算法，而忽略了更精彩的算法应用部分。本文将对最小生成树算法及其应用作全面的分析说明，使大家对此有更加深刻的认识。本文分三部分：一、基础篇，主要介绍基础概念、求最小生成树的一般算法和常用算法。二、应用篇，具体问题具体分析，侧重于思考和证明的过程。三、总结。

【关键字】

最小生成树

【目录】

一、基础篇

1．定义

2．求最小生成树的一般算法

3．常用算法

a)Kruskal算法

b)Prim算法

4．Maintain——IOI2003

二、应用篇

1．概述

2．例题

a)Robot——BOI2002

b)北极通讯网络——Waterloo University 2002

三、总结

【正文】

1．基础篇

1．1 定义

在电路设计中，常常需要把一些电子元件的插脚用电线连接起来。如果每根电线连接两个插脚，把所有n 个插脚连接起来，只要用n-1根电线就可以了。在所有的连接方案中，我们通常对电线总长度最小的连接方案感兴趣。

把问题转化为图论模型就是：一个无向连通图G=(V ,E)，V 是插脚的集合，E 是插脚两两之间所有可能的连接的集合。给每条边(u,v)一个权值w(u,v)，表示连接它们所需的电线长度。我们的目标就是找到一个无环的边集T ，连接其中所有的点且使总权值最小。

总权值∑∈=T

v u v u w T w ),(),()(

既然T 是连接所有点的无环边集，它一定是一棵树。因为这棵树是从图G 中生成出来的，我们把它叫做生成树。如果一棵生成树在所有生成树中总权值最小，我们就把它称作最小生成树。

1．2 求最小生成树的一般算法

解决最小生成树问题有没有一般的方法呢？下面我们就介绍一种贪心算法。该算法设置了集合A ，该集合一直是某最小生成树的子集。算法执行的每一步，都要决策是否把边(u,v)添加到集合A 中，能够添加的条件是保证A ∪{(u,v)}仍然是最小生成树的子集。我们称像(u,v)这样的边为A 的安全边，或称这样的边对集合A 是安全的。

求最小生成树的一般算法流程如下：

GENERIC-MST(G,w)

1. A ←Ф

2. while A 没有形成一棵生成树

3. do 找出A 的一条安全边(u,v)

4. A ←A ∪{(u,v)}

5. return A

一开始A 为Ф，显然满足最小生成树子集的条件。之后，每一次循环都把一条A 的安全边加入A 中，A 依然是最小生成树。

本节的余下部分将提出一条确认安全边的规则（定理1），下一节将具体讨论运用这一规则寻找安全边的两个有效的算法。

图1 一个图的割(S,V-S)

首先定义几个概念。有向图G=(V,E)的割(S,V-S)是V的一个分划。当一条边(u,v)∈E的一个端点属于S而另一端点属于V-S，我们说边(u,v)通过割(S,V-S)。若集合A中没有边通过割，就说割不妨碍集合A。如果某边是通过割的具有最小权值的边，则称该边为通过割的一条轻边。

如图1，集合S中的结点为黑色结点，集合V-S中的结点为白色结点。连接白色和黑色结点的那些边为通过该割的边。从边上所标的权值看，边(d,c)为通过该割的唯一一条轻边。子集A包含阴影覆盖的那些边，注意，由于A中没有边通过割，所以割(S,V-S)不妨碍A。

确认安全边的规则由下列定理给出。

定理1 设图G(V,E)是一无向连通图，且在E上定义了相应的实数值加权函数w，设A是E的一个子集且包含于G的某个最小生成树中，割(S,V-S)是G的不妨碍A的任意割且边(u,v)是穿过割(S,V-S)的一条轻边，则边(u,v)对集合A是安全的。

证明：设T是包含A的一最小生成树。如果T包含轻边（u,v），则T包含A∪{(u,v)}，证明就完成了。否则，可设法建立另一棵包含A∪{(u,v)}的最小生成树T’，(u,v)对集合A仍然是安全的。

图2 最小生成树T’的建立

图2示出了最小生成树T’的建立。S中的结点为黑色，V-S中的结点为白色，边(u,v)与T中从u到v的通路P构成一回路。由于边(u,v)通过割(S,V-S)，因此在T中的通路P上至少存在一条边也通过这个割。设(x,y)为满足此条件的边。因为割不妨碍A，所以边(x,y)不属于A。又因为(x,y)处于T中从u到v的唯一通路上，所以去掉边(x,y)就会把T分成两个子图。这时加入边(u,v)以形成一新的生成树T’=(T-{(x,y)})∪{(u,v)}。

下一步我们证明T’是一棵最小生成树。因为(u,v)是通过割(S,V-S)的一条轻边，且边(x,y)也通过割，所以有w(u,v)≤w(x,y)，因此w(T’)=w(T)-w(x,y)+w(u,v)

≤w(T)。

但T是最小生成树，因此T’必定也是最小生成树。又因为T’包含A∪{(u,v)}，所以(u,v)对A是安全的。（证毕）

通过定理1可以更好地了解算法GENERIC-MST在连通图G=(V,E)上的执行流程。在算法执行过程中，集合A始终是无回路的，否则包含A的最小生成树就会出现一个环，这是不可能的。在算法执行中的任何一时刻，图G A=(V,A)是一森林且G A的每一连通支均为树。此外，对A安全的任何边(u,v)都连接G A中不同的连通支，这是由于A∪{(u,v)}必定不包含回路。

随着最小生成树的|V|-1条边相继被确定，GENERIC-MST中第2-4行的循环也随之要执行|V|-1次。初始状态下，A=Ф，G A中有|V|棵树，每个迭代过程均将减少一棵树，当森林中只包含一棵树时，算法执行终止。

下面再来看一个由定理1得出的推论，下一节中论述的两种算法均使用了这个推论。

推论1 设G=(V,E)是一无向连通图，且在E上定义了相应的实数值加权函数w，设A是E的子集且包含于G的某个生成树中，C为森林G A=(V,A)中的连通支。若边(u,v)是连接C和G A中其它某连通支的一轻边，则边(u,v)对集合A 是安全的。

证明：因为割(C,V-C)不妨碍A，因此(u,v)是该割的一条轻边。由定理1，边(u,v)对集合A是安全的。（证毕）

1．3 常用算法

GENERIC-MST是形成最小生成树的一般算法，不过我们需要的是更加具体的算法。这一节具体讨论两种常用的算法：Kruskal算法和Prim算法。它们虽然都遵循所谓的“一般”算法，但在实现上有着各自的特点。

Kruskal算法：

Kruskal算法是直接建立在上一节中给出的一般最小生成树算法的基础之上的。该算法找出森林中连结任意两棵树的所有边中具有最小权值的边(u,v)作为安全边，并把它添加到正在生长的森林中。设C1和C2表示边(u,v)连结的两棵树。因为(u,v)必是连结C1和其它某棵树的一条轻边，所以由推论1可知(u,v)对C1是安全边。Kruskal算法是一种贪心算法，因为算法每一步添加到森林中的边的权值都尽可能小。

Kruskal算法的实现可以使用并查集。每一集合包含当前森林中某个树的结点，操作FIND-SET(u)返回包含u的集合中的一个代表元素，因此我们可以通过测试FIND-SET(u)是否等同于FIND-SET(v)来确定两结点u和v是否属于同一棵树，通过过程UNION来完成树与树的连结。

MST-KRUSKAL(G,w)

1.A←Ф

2.for 每个结点v∈V[G]

3. do MAKE-SET(v)

4.根据权w的非递减顺序对E的边进行排序

5.for 每条边(u,v)∈E，按权的非递减次序

6. do if FIND-SET(u)≠FIND-SET(v)

7. then A←A∪{(u,v)}

8. UNION(u,v)

9.return A

Kruskal算法的工作流程如图3所示。阴影覆盖的边属于正在生成的森林A。算法按权的大小顺序考察各边。箭头指向算法每一步所考察到的边。第1-3行初始化集合A为空集并建立|V|棵树，每棵树包含图的一个结点。在第4行中根据其权值非递减次序对E的边进行排序。在第5-8行的for循环中首先检查对每条边(u,v)其端点u和v是否属于同一棵树。如果是，则把(u,v)加入森林就会形成一回路，所以这时放弃边(u,v)；如果不是，则两结点分属不同的树，由第7行把边加入集合A中，第8行对两颗树中的结点进行归并。

图3 Kruskal算法的执行流程

Kruskal算法在图G=(V,E)上的运行时间取决于如何实现集合的合并。我们可以采用路径压缩的优化方法，这是目前所知的最有效的。初始化需占用时间O(V)，第4行中对边进行排序需要的运行时间为O(ElgE)；对分离集的森林要进行O(E)次操作，总共需要时间为O(Eα(E,V))，其中α函数为Ackermann函数的反函数。因为α(E,V)=O(lgE)。所以Kruskal算法的全部运行时间为O(ElgE)。

Prim算法：

正如Kruskal算法一样。Prim算法也是最小生成树一般算法的特例。它的执行非常类似于寻找图的最短通路的Dijkstra算法。Prim算法的特点是集合A中的边总是只形成单棵树。如图4所示，阴影覆盖的边属于正在生成的树，树中的结点为黑色。在算法的每一步，树中与树外的结点确定了图的一个割，并且通过该割的轻边被加进树中。树从任意根结点r开始形成并逐渐生长直至该树跨越了V中的所有结点。在每一步，连接A中某结点到V-A中某结点的轻边被加入到树中。由推论1，该规则总是加入对A安全的边，因此当算法终止时，A中的边就成为一棵最小生成树。因为每次添加到树中的边都是使树的权尽可能小的边，因此上述策略是“贪心”的。

有效实现Prim算法的关键是设法较容易地选择一条新的边添加到由A的边所形成的树中，在下面的伪代码中，算法的输入是连通图G和将生成的最小生成树的根r。在算法执行过程中，不在树中的所有结点都驻留于优先级基于key 域的队列Q中，对每个结点v，key[v]是连结v到树中结点的边所具有的最小权值；按常规，若不存在这样的边则key[v]=∞。域π[v]表示点v的“父亲结点”。在算法执行中，GENERIC-MST的集合A隐含地满足：

A={(v,π[v]):v∈V-{r}-Q}

当算法终止时，优先队列Q为空，因此G的最小生成树A满足：

A={(v,π[v]): v∈V-{r}}

图4 Prim算法的执行流程

MST-PRIM(G,w,r)

1.Q←V[G]

2.for 每个u∈Q

3. do key[u]←∞

4.key[r]←0

5.π[r]←NIL

6.while Q<>Ф

7. do u←EXTRACT-MIN(Q) {返回队列Q中最小的元素}

8. for 每个v∈Adj[u]

9. do if v∈Q and w(u,v)

10. then π[v]←u

11. key[v]←w(u,v)

Prim算法的工作流程如图3所示。第1-4行初始化优先队列Q使其包含所

有结点，置每个结点的key域为∞（除根r以外），r的key域被置为0。第5行初始化π[v]的值为nil，这是由于r没有父亲结点。在整个算法中，集合V-Q包含正在生长的树中的结点。第7行识别出与通过割(V-Q,Q)的一条轻边相关联的结点u∈Q（第一次迭代例外，根据第4行这时u=r）。从集合Q中去掉u后把它加入到树的结点集合V-Q中。第8-11行对与u邻接且不在树中的每个结点v的key域和π域进行更新，这样的更新保证key[v]=w(v,π[v])且(v,π[v])是连结v和树中某结点的一条轻边。

Prim算法的性能取决于我们如何实现优先队列Q。若用二叉堆来实现Q，第1-4行的初始化部分，其运行时间为O(V)。第6-11行的循环需执行|V|次，且由于每次EXTRACT-MIN操作需要O(lgV)的时间，所以对EXTRACT-MIN的总调用时间为O(VlgV)。第8-11行的for循环总共要执行O(E)次，这是因为所有邻接表的长度和为2|E|。在for循环内部，第9行对队列Q的成员条件进行测试可以在常数时间内完成，这是由于我们可以为每个结点空出1位的空间来记录该结点是否在队列Q中，并在该结点被移出队列时随时对该位进行更新。第11行的赋值语句隐含一个对堆进行调整的操作，该操作在堆上可用O(lgV)的时间完成。因此，Prim算法的整个运行时间为O(VlgV+ElgV)=O(ElgV)，和Kruskal算法的运行时间相同。

1．4 例题1——Maintain（IOI2003）

[题目大意]

在一个初始化为空的无向图中，不断加入新边。如果当前图连通，就求出当前图最小生成树的总权值；否则，输出-1。

[算法分析]

根据数据规模，不可能每加入一条边都重新求一下最小生成树。所以我们的主要问题就是如何用较短的时间在一棵最小生成树中加入一条边并得到新的最小生成树。

生成树是具有n个点n-1条边的连通图，所以如果把一条新边加进去的话，就一定会形成一个环。然后再把环上的一条边删去（可以是新加进去的边），就又形成了一棵生成树。为了保证是最小生成树，每次删除的边都必须是环上最长的。

于是不难得到下面的算法：

1.初始化。

2.读入新边，加入图中，直到连通或读完为止。

3.如果不连通，转第7步。

4.求出当前图的最小生成树。

5.读入新边：x，y（端点），c（权值）。在旧图中找到从x到y的路径，如

果路径上的最长边长于c，则把新边加入，最长边去掉。

6.未读完，转第5步；否则转第7步。

7.结束。

[小结]

这道题目的难度并不大，其中蕴含了最小生成树的一些基本性质，比如：在最小生成树中加入一条新边，就会构成一个环；把这个环上的最长边去掉，又可以得到一棵新的最小生成树。

2．应用篇

和其它算法一样，要真正掌握最小生成树算法，不仅要理解算法本身的内容，还要学会如何在恰当的时候运用它。

下面我来看几个运用最小生成树解题的例子：

2．1 例题2——Robot（BalkanOI2002）

[问题描述]

在不久的将来，机器人会在巴尔干信息学奥林匹克竞赛中把快餐传送给参赛者。他们将用一个简单的正方形盘子装所有的食物。不幸的是，厨房通往参赛者休息大厅的路上将会布满多种障碍物，因此，机器人不能搬运任意大小的盘子。你的任务是设计一个程序ROBOT.EXE，用来确定提供食物的盘子的最大尺寸。

预想中的机器人将经过的路线应在由平行的墙构成的走廊中，而且走廊只能有90o拐角。走廊从X轴正方向开始。障碍物是柱子，由点表示，且都在走廊的两墙间。为了使机器人能够通过那条路，盘子不能碰到柱子或墙——只有盘子的边缘能“靠”到他们。机器人和他的盘子只能在X轴或Y轴方向平移。假定机器人的尺寸小于盘子尺寸且机器人一直完全处于盘子下方。

输入数据：

第一行是一个整数m (1 ≤m≤ 30)，代表一堵墙有多少水平或竖直的段组成。在输入文件的下面m+1行是“上部”的墙的所有折点（包括端点）的坐标，也就是起始点有较大的坐标y的虚线。同样地，在下面m+1行是“下部”的墙的所有折点（包括端点）的坐标。输入文件下一行包含代表障碍物个数的整数n (0 ≤n≤100)。在文件下面n行是障碍物坐标。所有坐标都是绝对值小于32001的整数。

输出数据：

只包含一个整数，表示满足题意的盘子最大边长。

样例:

ROBOT.IN

3

0 10

20 10

20 –25

-10 –25

0 0

10 0

10 –10

-10 -10

2

15 –15

6 5

ROBOT.OUT

5

[题目大意]

求能够通过一条有障碍走廊的正方形盘子的最大尺寸。

[算法分析]

一种比较容易想到的算法：二分+模拟(floodfill)。这种方法思路虽然简单，但编程复杂度很高。那么有没有更好的算法呢？

首先，换一个角度思考问题。根据题意机器人是正方形，障碍物是点。如果把机器人的尺寸移植到障碍物上，那么机器人就成了一个点，而障碍物就是正方形了。显然，这两个问题是等价的。要让一个点通不过，唯一的办法就是用障碍物把走廊堵住。这里的“堵住”就是说障碍物将在走廊的两堵墙之间形成一条通路。于是，这道题就被转化成了图论的问题。

把障碍物和墙壁看作图中的点，两点之间边的权值可以这样求得：定义两个点p1(x1,y1)和p2(x2,y2)的距离为max{|x1-x2|,|y1-y2|}，障碍物的距离就是障碍点的距离；障碍物与墙壁的距离就是障碍点与墙壁上所有点的距离的最小值；两堵墙之间的距离就是走廊的最小宽度。

图5 距离

把墙壁看作起点和终点，问题就转化为：从起点到终点的所有路径中最长边的最小值是多少？因为当边长达到一条路径上的最长边时，这条路径就“通”了，走廊也就被堵住了。

这个问题显然可以用二分+BFS解决，时间复杂度是O(n2 log(边的权值的范围))。不过我们有更好的算法：先求出这个图的最小生成树，那么从起点到终点路径就是我们所要找的路径，这条路径上的最长边就是问题的答案。这样时间复杂度就只有O(n2)了。可是怎么证明呢？

用反证法。

记起点为u，终点为v，最小生成树上从u到v的路径为旧路径，旧路径上

的最长边为m。假设从u到v存在一条新路径且上面的最长边短于m。

如果新路径包含m，则新路径上的最长边不可能短于m。与假设不符。

如果新路径不包含m，则新路径一定“跨”过m。如图：x-…-a1-a2-…a k-y 是旧路径上的一段，x-b1-b2-…-b l-y是“跨”过去的一段。如果把m去掉，最小生成树将被分割成两棵子树，显然x和y分属于不同的子树（否则最小生成树包含一个环）。因此在x-b1-b2-…-b l-y上，一定存在一条边m’，它的端点分属于不

同的子树。因为最小生成树中只有m的端

点分属于不同的子树，所以m’不属于最小

生成树。因此m’和m一样是连接两棵子树

的边。因为新路径的最长边短于m且m’属

于新路径，所以w(m’)

把m’加入，将得到一棵新的生成树且它的

总权值比最小生成树的还要小。显然不可能。

综上所述，不可能存在另一条从u到v的路径，使得它的最长边短于m。最小生成树上从u到v的路径就是最长边最短的路径，该路径上的最长边就是问题的解。（证毕）

[小结]

此题有很多解法，除了刚才说的“二分+模拟”和“二分+BFS”之外，还可以用类似Dijikstra求最短路径的方法来做。既然如此，为什么偏要选择这种方法呢？不仅因为它效率高，也不仅因为它编程复杂度低，最重要的是因为它是最难想到的也是最有启发性的。就整个题目而言，把一道看似计算几何的题转化为图论模型就已经颇费脑筋了，再用最小生成树去解决这个图论题，真是难上加难。

在思考这道题时，因为问题是在从u到v的众多路径中选择最佳的，所以我在u和v之间画了两条路径，又标上了最长边，准备考虑如何比较它们的优劣。结果一个环出现了，而且环上还有一条最长边，于是眼前一亮：这不是最小生成树的基本图形吗？然后，经过不断的修正、繁琐的证明，这个算法才逐渐成熟起来。所以，最小生成树的应用并不是想象的那么简单，它需要敏锐的洞察力、扎实的图论基础和严谨的思维。

2．2 例题3——北极通讯网络（Waterloo University 2002）

[问题描述]

北极的某区域共有n座村庄( 1 ≤ n ≤ 500 )，每座村庄的坐标用一对整数(x, y)表示，其中0 ≤ x, y ≤ 10000。为了加强联系，决定在村庄之间建立通讯网络。通讯工具可以是无线电收发机，也可以是卫星设备。所有的村庄都可以拥有一部无线电收发机，且所有的无线电收发机型号相同。但卫星设备数量有限，只能给一部分村庄配备卫星设备。

不同型号的无线电收发机有一个不同的参数d，两座村庄之间的距离如果不超过d就可以用该型号的无线电收发机直接通讯，d值越大的型号价格越贵。拥有卫星设备的两座村庄无论相距多远都可以直接通讯。

现在有k台（0 ≤ k ≤ 100）卫星设备，请你编一个程序，计算出应该如何分配这k台卫星设备，才能使所拥有的无线电收发机的d值最小，并保证每两座村庄之间都可以直接或间接地通讯。

例如，对于下面三座村庄：

其中

||10||20||AB BC AC ===22.36

如果没有任何卫星设备或只有1台卫星设备（k=0或k=1），则满足条件的最小的d = 20，因为A 和B ，B 和C 可以用无线电直接通讯；而A 和C 可以用B 中转实现间接通讯（即消息从A 传到B ，再从B 传到C ）；

如果有2台卫星设备（k=2），则可以把这两台设备分别分配给B 和C ，这样最小的d 可取10，因为A 和B 之间可以用无线电直接通讯；B 和C 之间可以用卫星直接通讯；A 和C 可以用B 中转实现间接通讯。

如果有3台卫星设备，则A,B,C 两两之间都可以直接用卫星通讯，最小的d 可取0。 [算法分析]

当正向思考受阻时，逆向思维可能有奇效。本题就是这样。知道卫星设备的数量，求最小的收发距离，可能比较困难；如果知道距离求数量，就很简单了。把所有可以互相通讯的村庄连接起来，构成一个图。卫星设备的台数就是图的连通支的个数。

问题转化为：找到一个最小的d ，使得把所有权值大于d 的边去掉之后，连通支的个数小于等于k 。

先看一个定理。定理2：如果去掉所有权值大于d 的边后，最小生成树被分割成为k 个连通支，图也被分割成为k 个连通支。

证明：

用反证法。假设原图被分割成k ’ (k'≠k)个连通支，显然不可能k ’>k ，所以k ’

有了这个定理，很容易得到一个构造算法：最小生成树的第k 长边就是问题的解。

证明：

首先，d 取最小生成树中第k 长的边是可行的。如果d 取第k 长的边，我们将去掉最小生成树中前k-1长的边，最小生成树将被分割成为k 部分。由定理2，原图也将分割成为k 部分。（可行性）

其次，如果d 比最小生成树中第k 长的边小的话，最小生成树至少被分割成为k+1部分，原图也至少被分割成为k+1部分。与题意不符。（最优性）

综上所述，最小生成树中第k 长的边是使得连通支个数≤k 的最小的d ，

即

B (10, 0)

C (30, 0)

问题的解。（证毕）

[小结]

一道看似毫无头绪的题目被我们用简单的武器拿下了，这就是最小生成树的威力。就此题而言，定理2是相当重要的，它在最小生成树和图的连通支之间搭起了一座桥梁，正是这座桥梁使我们顺利地到达了胜利的彼岸。

3．总结

本文所介绍的最小生成树算法的应用只能算是“冰山一角”，围绕最小生成树的定理和应用还有很多，远远不是一篇论文所能涵盖的。这些定理和应用有的已经被人们发现，而更多更精彩的还等待着后来人的挖掘。

最小生成树是图论中相当基础的算法之一，可是细细挖掘之后，得到的是惊人的收获。其实，不光是最小生成树，还有相当一部分基础的算法或者定理，在很简单很显然的表面背后，隐藏着令人回味的精髓。这些精髓正是需要发现的。

说到发现，我想起了下面四句话。虽然科学发现多种多样，但这四句话是无数科学发现者们共同的经历。

博览参考文献。“站在巨人的肩膀上”，才能看得更远。

磨砺智慧之剑。智慧是战胜困难的武器。

认定大致方向。认准一条路，坚定不移的走下去。

小心探索前进。同时不放过任何有价值的线索，它们或许正是问题的突破口。

但愿这四句话能给大家带来些有益的启示。

【感谢】

南京金陵中学的苏展同学帮我证明了“北极通讯网络”中的定理2，在此表示感谢！

【参考资料】

书名出版社编者

《Introduction to Algorithms》（Second Edition）The MIT Press Thomas H.Cormen

Charles E.Leiserson

Ronald L.Rivest

Clifford Stein

《走向数学发现》大象出版社蒋声

附录一：Prim算法（用二叉堆实现）

Program MST_Prim;

Const

inputfile='mst.in';

outputfile='mst.out';

maxn=200;

Type

link=^node;{邻接表类型}

node=Record

data,cost:longint;

next:link;

End;

rtype=Record{二叉堆元素类型}

point,cost:longint;

End;

Var

a:Array [1..maxn] of link;{邻接表}

h:Array [1..maxn] of rtype;{堆}

pos:Array [1..maxn] of longint;{每个点在堆中的位置} n,m,htail,ans:longint;

Procedure Insert(x,y,c:longint);{把边插入邻接表中} Var

d:link;

Begin

New(d); d^.data:=y; d^.cost:=c;

d^.next:=a[x]; a[x]:=d;

End;

Procedure Init;{初始化}

Var

i,x,y,c:longint;

Begin

Assign(input,inputfile);

Reset(input);

Read(n,m);

For i:=1 to m Do

Begin

Read(x,y,c);

Insert(x,y,c); Insert(y,x,c);

End;

Close(input);

End;

Procedure Go_Up(j:longint);{堆中元素向上调整}

Var

x:rtype;

i:longint;

Begin

x:=h[j];

While j>1 Do

Begin

i:=j div 2;

If h[i].cost<=x.cost Then Break;

h[j]:=h[i]; pos[h[j].point]:=j;

j:=i;

End;

h[j]:=x; pos[x.point]:=j;

End;

Procedure Go_Down(i:longint);{堆中元素向下调整}

Var

x:rtype;

j:longint;

Begin

x:=h[i];

While i+i<=htail Do

Begin

j:=i+i;

If (j

h[i]:=h[j]; pos[h[i].point]:=i;

i:=j;

End;

h[i]:=x; pos[x.point]:=i;

End;

Procedure Pop(Var point,cost:longint);{最小的元素出堆}

begin

point:=h[1].point; cost:=h[1].cost;

pos[point]:=-1;

h[1]:=h[htail]; pos[h[1].point]:=1;

Dec(htail);

Go_Down(1);

End;

Procedure Main;{主过程}

Var

i,pp,c,j:longint;

p:link;

Begin

For i:=1 to n Do{堆的初始化}

Begin

h[i].point:=i;

If i=1 Then h[i].cost:=0 Else h[i].cost:=maxlongint; pos[i]:=i;

End;

htail:=n;

ans:=0;

For pp:=1 to n Do

Begin

Pop(i,c); Inc(ans,c);{最小的元素出堆}

p:=a[i];{对其它元素的值进行修改}

While p<>nil Do

Begin

j:=p^.data;

If (pos[j]<>-1) and (p^.cost

h[pos[j]].cost:=p^.cost;

Go_Up(pos[j]);

End;

p:=p^.next;

End;

End;

End;

Procedure Answer;{输出}

Begin

Assign(output,outputfile);

Rewrite(output);

Writeln(ans);

Close(output);

End;

Begin

Init;

Main;

Answer;

End.

附录二：Kruskal算法

Program MST_Kruskal;

Const

inputfile='mst.in';

outputfile='mst.out';

maxn=200;

maxe=maxn*maxn;

Type

edgetype=Record{边的类型}

x,y,c:longint;

End;

Var

e:Array [1..maxe] of edgetype;{边集}

f:Array [1..maxn] of longint;{并查集}

n,m,ans:longint;

Procedure Init;{初始化}

Var

i:longint;

Begin

Assign(input,inputfile);

Reset(input);

Read(n,m);

For i:=1 to m Do Read(e[i].x,e[i].y,e[i].c); Close(input);

End;

Procedure Qksort(p,q:longint);{快速排序}

Var

r,i,j:longint;

k:edgetype;

Begin

r:=Random(q-p+1)+p;

k:=e[r];

e[r]:=e[p];

i:=p; j:=q;

While i

Begin

While (i

e[i]:=e[j];

While (i

e[j]:=e[i];

End;

e[i]:=k;

If p

If i+1

End;

Function top(i:longint):longint;{并查集中点i所在树的根} Begin

If i<>f[i] Then f[i]:=top(f[i]);

top:=f[i];

End;

Procedure Union(i,j,c:longint);{合并i和j所在集合}

Var

x,y:longint;

Begin

x:=top(i); y:=top(j);

If x<>y Then

Begin

Inc(ans,c);

f[y]:=x;

End;

End;

Procedure Main;{主过程}

Var

i:longint;

Begin

Qksort(1,m);

For i:=1 to n Do f[i]:=i;

ans:=0;

For i:=1 to m Do Union(e[i].x,e[i].y,e[i].c);

End;

Procedure Answer;{输出}

Begin

Assign(output,outputfile);

Rewrite(output);

Writeln(ans);

Close(output);

End;

Begin

Init;

Main;

Answer;

End.

附录三：Maintain源程序

Program Maintenance;

Const

maxn=200;

Type

rtype=Record{Prim算法中队列元素的类型}

point,cost:longint;

End;

Var

a:Array [1..maxn,1..maxn] of longint;{用邻接矩阵表示边集}

dep,f:array [1..maxn] of longint;{每个点在最小生成树中的深度即父亲结点} edge,n,m,i,j,cost,k,max,mi,mj,ans:longint;

Function Connected:boolean;{判断当前图是否连通}

Var

q:Array [1..maxn] of longint;

visit:Array [1..maxn] of boolean;

head,tail,i,j:longint;

Begin

Fillchar(visit,Sizeof(visit),0);

head:=1; tail:=1; q[1]:=1; visit[1]:=true;

While head<=tail Do

Begin

i:=q[head];

For j:=1 to n Do

If not(visit[j]) and (a[i,j]>0) Then

Begin

visit[j]:=true;

Inc(tail); q[tail]:=j;

End;

Inc(head);

End;

Connected:=(tail=n);

End;

国家集训队2004论文集 肖天

“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用 天津市南开中学肖天 【摘要】本文通过对几道信息学竞赛题的解决，提出了一种解决问题的建模思想——分层图思想。该思想通过挖掘问题性质，将原问题抽象得出的图复 制为若干层并连接形成更大的图，使本来难以用数学语言表达得图论模 型变得简明严谨，为进一步解决问题打下了良好的基础。 【关键字】分层图思想图论数学模型最短路信息学竞赛 【正文】 1 引论 人们在借助计算机解决一个实际问题时，无非就是详细地告诉计算机应该怎么做，使它能通过人们给定的输入得到人们想要的输出。由于一般的计算机只能处理数字信号，所以只有把实际问题转化为数学问题，计算机才能帮助我们。这一步就是建立数学模型。 数学模型的建立在通过计算机解决问题的过程中非常重要。它把计算机无法理解的问题加以转化，使一切事物量化，最终变为只含数学过程的问题。它是人脑与计算机沟通的桥梁。不仅如此，数学模型的好坏直接影响着人与计算机之间的信息交流，影响着计算机对问题的“理解”。好的数学模型能够抓住问题的本质，表述简捷明了，易于人们找到有效的解决方法，并通过编制程序的方式将解决方法告诉计算机；相反，对于同一个问题，如果数学模型不能抓住问题本质，人们就可能无法解决问题，或者找不到有效的方法，更不用提告诉计算机如何做了。 由于建立数学模型是为了解决问题，所以人们在做这项工作时往往希望把问题归结为已经很好解决的经典问题或若干这样问题的有机结合。这样，只要应用前人的研究成果就可以了。比如，排序、求图的单源最短路、网络流等等都是经典问题，前人不仅给出一般解法，而且对各种特殊情况和变形作了深入的研究。但事情并不总像人们希望的那样，有的问题即使可以归结为已有问题，在其中加入一些干扰因素后，原有性质就会发生改变，原来建立起的数学模型难以再用严谨的数学语言表达。这样问题中的部分图论问题可以用本文提出的“分层图思想”解决。 该思想注重对原问题性质的挖掘，通过对原问题数学模型的扩展，将干扰因素融入新的数学模型之中，恢复了模型的严谨性，进而与已解决问题产生联系，得到有效算法。

国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营

国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》换发及变更的通知 【法规类别】旅游综合规定 【发文字号】旅管理函[2008]16号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2008.02.02 【实施日期】2008.02.02 【时效性】现行有效 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》换发及变 更的通知 （旅管理函〔2008〕16号） 各省、自治区、直辖市旅游局（委）： 为了进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》的换发和变更，现根据《旅行社管理条例》及实施细则，就有关事项通知如下： 一、《国际旅行社业务经营许可证》有效期为三年，国际旅行社应当在《国际旅行社业务经营许可证》到期之日前的三个月内，持许可证到原颁证机关（国家旅游局）换发。 二、《国际旅行社业务经营许可证》在有效期内需要变更许可证载明事项内容的，应当在完成工商部门的变更登记之日起的相关规定期限内，持相关材料和许可证到原颁证机

关申请换发。 三、《国际旅行社业务经营许可证》损坏的，应当在相关规定期限内将损坏《国际旅行社业务经营许可证》正、副本上交颁证机关申请换发。 四、《国际旅行社业务经营许可证》遗失的，应当在遗失之日起的相关规定期限内在当地公开发行的报纸上刊登启事，并提供报纸原件向颁证机关申请换发。 五、《国际旅行社业务经营许可证》涉及变更事项的，各省（自治区、直辖市）旅游局须认真审验相关材料，并在《国际旅行社变更事项备案登记表》内签章。 附件：1、《国际旅行社业务经营许可证》变更事项所需提供材料的具体规定 2、国际旅行社变更事项备案登记表 国家旅游局质量规范与管理司 2008年2月2日附件1： 《国际旅行社业务经营许可证》变更事项 所需提供材料的具体规定

NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)

摘抄自C博客 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》 2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》 2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》 数位问题 2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》 博弈 2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》 母函数 2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》 问答交互 2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》 猜数问题 2003 - 张宁：《猜数问题的研究:<聪明的学生>一题的推广》

2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》 数据结构 数据结构 2005 - 何林：《数据关系的简化》 2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》 2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005 - 黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》 动态树 2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》 左偏树 2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》 2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》 线段树 2004 - 林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》 哈希表 2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》 2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》

国家集训队2001论文集 毛子青

动态规划算法的优化技巧 福州第三中学毛子青 [关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态 [摘要] 动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文。 [正文] 一、引言 动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。 使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。 本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。 二、动态规划时间复杂度的分析 使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。 但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。 下面给出动态规划时间复杂度的决定因素： 时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1] 下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。 三、动态规划时间效率的优化 3.1 减少状态总数 我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。

国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法(试行)》的通知

国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法(试行)》的通 知 【法规类别】旅游服务机构导游人员管理 【发文字号】旅办发[2010]198号 【修改依据】国家旅游局办公室关于修订《导游IC卡发放管理办法(试行)》等事项的通知 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2010.12.28 【实施日期】2010.12.28 【时效性】已被修改 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法（试行）》的通知 （旅办发（2010）198号） 各省、自治区、直辖市旅游局（委）： 为规范和加强导游IC卡发放管理工作，健全导游IC卡使用管理制度，现将《导游IC卡发放管理办法（试行）》，印发给你们，并就有关事项通知如下： 一、自2011年1月1日起，由各省、自治区、直辖市和新疆生产建设兵团旅游局（委）（以下简称“省级旅游局”）负责本地区（系统）导游IC卡的制作、颁发和监督检查工作；原有A版制版系统城市不再发放和制作导游IC卡，继续承担IC卡年审职责，系统

保留年审功能；原有B版系统的城市职责和系统功能不变。 二、请各省级旅游局通知并督促使用A版系统城市旅游局立即停止制作发放IC卡，协调配合系统开发维护单位完成对系统软硬件的调整和剩余导游IC卡的清理回收工作，于2010年12月31日前将清理情况书面报告我局。 三、自本通知发出之日起，我局只向各省级旅游局发放导游IC卡，请各省级旅游局在开展导游IC卡系统调整和IC卡清理回收工作的同时，研究制订相关管理办法，与清理工作一并报我局备案。 四、换卡、补卡收取成本费的标准为30元/张（含卡、卡套和加工制作、邮寄等全部费用），汇付账户和具体方式另行通知。 五、我局将对各省导游IC卡发放管理工作进行不定期抽查和调研工作。 《导游IC卡发放管理办法（试行）》和此通知执行中有重要情况和意见，请及时报告我局。 特此通知。 联系人：卓超美 联系电话：（010）65201338 国家旅游局办公室 二Ｏ一Ｏ年十二月二十八日 导游IC卡发放管理办法（试行） 第一条依据《导游人员管理条例》，为规范导游IC卡的发放管理，制定本办法。

国家集训队2005论文集 黄源河

左偏树的特点及其应用 广东省中山市第一中学黄源河 【摘要】 本文较详细地介绍了左偏树的特点以及它的各种操作。 第一部分提出可并堆的概念，指出二叉堆的不足，并引出左偏树。第二部分主要介绍了左偏树的定义和性质。第三部分详细地介绍了左偏树的各种操作，并给出时间复杂度分析。第四部分通过一道例题，说明左偏树在当今信息学竞赛中的应用。第五部分对各种可并堆作了一番比较。最后总结出左偏树的特点以及应用前景。 【关键字】左偏树可并堆优先队列 【目录】 一、引言 (2) 二、左偏树的定义和性质 (2) 2.1 优先队列，可并堆 (2) 2.1.1 优先队列的定义 (2) 2.1.2 可并堆的定义 (2) 2.2 左偏树的定义 (3) 2.3 左偏树的性质 (4) 三、左偏树的操作 (5) 3.1 左偏树的合并 (5) 3.2 插入新节点 (7) 3.3 删除最小节点 (8) 3.4 左偏树的构建 (8) 3.5 删除任意已知节点 (9) 3.6 小结 (12) 四、左偏树的应用 (13) 4.1 例——数字序列（Baltic 2004） (13) 五、左偏树与各种可并堆的比较 (15) 5.1 左偏树的变种——斜堆 (15) 5.2 左偏树与二叉堆的比较 (16) 5.3 左偏树与其他可并堆的比较 (16) 六、总结 (18)

【正文】 一、引言 优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队列都有着广泛的应用。二叉堆是一种常用的优先队列，它编程简单，效率高，但如果问题需要对两个优先队列进行合并，二叉堆的效率就无法令人满意了。本文介绍的左偏树，可以很好地解决这类问题。 二、左偏树的定义和性质 在介绍左偏树之前，我们先来明确一下优先队列和可并堆的概念。 2.1优先队列，可并堆 2.1.1优先队列的定义 优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。优先队列的节点至少要包含一种性质：有序性，也就是说任意两个节点可以比较大小。为了具体起见我们假设这些节点中都包含一个键值(key)，节点的大小通过比较它们的键值而定。优先队列有三个基本的操作：插入节点(Insert)，取得最小节点(Minimum) 和删除最小节点(Delete-Min)。 2.1.2可并堆的定义 可并堆(Mergeable Heap)也是一种抽象数据类型，它除了支持优先队列的三个基本操作(Insert, Minimum, Delete-Min)，还支持一个额外的操作——合并操作： H ← Merge(H1,H2) Merge( ) 构造并返回一个包含H1和H2所有元素的新堆H。 前面已经说过，如果我们不需要合并操作，则二叉堆是理想的选择。可惜合并二叉堆的时间复杂度为O(n)，用它来实现可并堆，则合并操作必然成为算法的瓶颈。左偏树(Leftist Tree)、二项堆(Binomial Heap) 和Fibonacci堆(Fibonacci Heap) 都是十分优秀的可并堆。本文讨论的是左偏树，在后面我们将看到各种可并堆的比较。

国家旅游局公告2006年第1号——欠缴质保金的旅行社名单

国家旅游局公告2006年第1号——欠缴质保金的旅行社名单 【法规类别】旅游服务机构导游人员管理 【发文字号】国家旅游局公告2006年第1号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2006.01.04 【实施日期】2006.01.04 【时效性】现行有效 【效力级别】XE0303 国家旅游局公告 （2006年第1号） 根据我局《关于进一步做好旅行社质量保证金回收工作的通知》（[2005]105号）的要求，各地旅行社补缴质量保证金的工作基本结束。目前，全国仍有74家旅行社未能按时补齐质保金，其中组团社有16家，国际社有58家。现将74家旅行社的名单公示如下。请上述旅行社在2006年2月28日前补齐质保金，逾期将按有关规定给予降类或注销处理。 特此公告。 附：欠缴质保金的旅行社名单 国家旅游局

二00六年一月四日 附： 一、组团社名称及许可证编号（16家） 1 珠海经济特区环球国际旅行社L-GD-GJ00024 2 台山中国旅行社L-GD-GJ00139 3 湛江市旅游总公司L-GD-GJ00017 4 黑龙江省中国青年旅行社L-HLJ-GJ00009 5 伊春中国国际旅行社L-HLJ-GJ00011 6 海南港澳国际旅行社有限公司L-HAN-GJ00006 7 包头中国国际旅行社L-NMG-GJ00008 8 喀什国际旅行社有限责任公司L-XJ-GJ00006 9 开封中国国际旅行社L-HEN-GJ00006 10 广西玉林国际旅行社有限公司L-GX-GJ00024 11 北海中国国际旅行社有限公司L-GX-GJ00005 12 青海省中国青年旅行社有限责任公司L-QH-GJ00003 13 甘肃海外旅游总公司L-GS-GJ0

国家旅游局32号令

国家旅游局32号令：《旅游投诉处理办法》自2010年7月1日起施行2010-5-19 15:12:43国家旅游局政策法规司字号：[大中小]选择背景色： 国家旅游局令 第32号 《旅游投诉处理办法》已经2010年1月4日国家旅游局第1次局长办公会议审议通过。现予公布，自2010年7月1日起施行。 国家旅游局局长：邵琪伟 二○一○年五月五日 旅游投诉处理办法 第一章总则 第一条为了维护旅游者和旅游经营者的合法权益，依法公正处理旅游投诉，依据《中华人民共和国消费者权益保护法》、《旅行社条例》、《导游人员管理条例》和《中国公民出国旅游管理办法》等法律、法规，制定本办法。 第二条本办法所称旅游投诉，是指旅游者认为旅游经营者损害其合法权益，请求旅游行政管理部门、旅游质量监督管理机构或者旅游执法机构（以下统称“旅游投诉处理机构”），对双方发生的民事争议进行处理的行为。 第三条旅游投诉处理机构应当在其职责范围内处理旅游投诉。 地方各级旅游行政主管部门应当在本级人民政府的领导下，建立、健全相关行政管理部门共同处理旅游投诉的工作机制。 第四条旅游投诉处理机构在处理旅游投诉中，发现被投诉人或者其从业人员有违法或犯罪行为的，应当按照法律、法规和规章的规定，作出行政处罚、向有关行政管理部门提出行政处罚建议或者移送司法机关。 第二章管辖 第五条旅游投诉由旅游合同签订地或者被投诉人所在地县级以上地方旅游投诉处理机构管辖。 需要立即制止、纠正被投诉人的损害行为的，应当由损害行为发生地旅游投诉处理机构管辖。 第六条上级旅游投诉处理机构有权处理下级旅游投诉处理机构管辖的投诉案件。 第七条发生管辖争议的，旅游投诉处理机构可以协商确定，或者报请共同的上级旅游投诉处理机构指定管辖。 第三章受理

历年国家集训队论文题目

1999年 陈宏- 数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起 来煜坤- 把握本质，灵活运用——动态规划的深入探讨 齐鑫- 搜索方法中的剪枝优化 邵铮- 数学模型的建立、比较和应用 石润婷- 隐蔽化、多维化、开放化──论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性睢》?- 准确性、全面性、美观性——测试数据设计中的三要素 周咏基- 论随机化算法的原理与设计 2000年 陈彧- 信息学竞赛中的思维方法 方奇- 动态规划 高寒蕊- 递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用 郭一- 数学模型及其在信息学竞赛中的应用 江鹏- 探索构造法解题模式 李刚- 动态规划的深入讨论 龙翀- 解决空间规模问题的几种常用的存储结构 骆骥- 数学模型的建立和选择 施遥- 人工智能在围棋程序中的应用 肖洲- 数据结构的在程序设计中的应用 谢婧- 规模化问题的解题策略 徐串- 论程序的调试技巧 徐静- 图论模型的建立与转化 杨江明- 论数学策略在信息学问题中的应用 杨培- 非最优化算法初探 张辰- 动态规划的特点及其应用 张力- 类比思想在解题中的应用 张一飞- 冗繁削尽留清瘦——浅谈信息的充分利用 2001年 高寒蕊- 从圆桌问题谈数据结构的综合运用 符文杰- Pólya原理及其应用 高岳- 中等硬度解题报告 江鹏- 从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法 刘汝佳- 搬运工问题的启示 李益明- 计算几何的相关问题 李源- 树的枚举 骆骥- 由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性毛子青- 动态规划算法的优化技巧 俞玮- 基本动态规划问题的扩展 张一飞- 求N!的高精度算法 2002年 戴德承- 退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用

国家旅游局关于放宽旅行社设立服务网点政策有关事项的通知

国家旅游局关于放宽旅行社设立服务网点政策有关事项的通知 (旅发〔2015〕211号) 各省、自治区、直辖市旅游委、局，新疆生产建设兵团旅游局： 为贯彻落实《关于促进旅游业改革发展的若干意见》(国发〔2014〕31号)精神，现就放宽旅行社设立服务网点政策有关事项通知如下： 一、放宽设立服务网点区域范围 允许设立社在所在地的省(市、区)行政区划内及其分社所在地的设区的市的行政区划内设立服务网点，不受数量限制。 在设立社所在地的省(市、区)行政区划内设立服务网点的，设立社向服务网点所在地工商行政管理部门办理服务网点设立登记后，应当在3个工作日内，持设立社营业执照副本、设立社旅行社业务经营许可证副本、服务网点的营业执照、服务网点经理的履历表和身份证明向服务网点所在地与工商登记同级的旅游主管部门备案。 旅行社在其分社所在地的设区的市的行政区划内设立服务网点的，设立社向服务网点所在地工商行政管理部门办理服务网点设立登记后，应当在3个工作日内，持设立社营业执照副本、设立社旅行社业务经营许可证副本、分社的营业执照、旅行社分社备案登记证明、服务网点的营业执照、服务网点经理的履历表和身份证明向服务网点所在地与工商登记同级的旅游主管部门备案。 二、落实分社和服务网点设立政策 各地要认真学习贯彻《国务院关于促进旅游业改革发展的若干意见》(国发〔2014〕31号)，切实按照《旅行社条例》及本通知要求，依法依规做好分社和服务网点的备案工作，不得增设或变相增设旅行社设立分社、服务网点的政策障碍。

各省级旅游主管部门要积极开展针对市、县级旅游主管部门的培训指导和监督检查，发现不依法依规开展分社和服务网点备案工作的，要及时予以纠正。 三、加强对旅行社分社和服务网点的服务监管 各地要进一步引导旅行社增强风险管控意识，审慎确定分支机构设立的数量和规模;督促设立社切实加强对分社和服务网点的管理和人员培训，依法承担经营活动的责任和后果;要加强旅游质监执法人员的培训，建立健全对旅行社分社、服务网点的事中事后监管机制，改进服务监管手段，提升服务监管水平，对发现的违法违规行为，要主动协同设立社所在地旅游主管部门进行依法查处。 国家旅游局此前发布的相关规定与本通知不一致的，依照本通知执行。 国家旅游局 2015年9月22日

NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)

NOI国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自C博客 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰：《Polya原理及其应用》 2003 -许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007 -周冬：《生成树的计数及其应用》 2008 - 陈瑜希《Polya计数法的应用》 数位问题 2009 -高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 -刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004 -薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007 -余江伟：《如何解决动态统计问题》 博弈 2002 -张一飞：《由感性认识到理性认识一一透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 -王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 -曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 -方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 -贾志豪《组合游戏略述一一浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数 2009 -毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007 -刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 -李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划一一简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005 -潘震皓：《置换群快速幕运算研究与探讨》 问答交互 2003 -高正宇：《答案只有一个一一浅谈问答式交互问题》 猜数问题 2003 -张宁：《猜数问题的研究：< 聪明的学生> 一题的推广》

2006 -龙凡：《一类猜数问题的研究》 数据结构 数据结构 2005 -何林：《数据关系的简化》 2006 -朱辰光:《基本数据结构在信息学竞赛中的应 用》 2007 -何森：《浅谈数据的合理组织》 2008 -曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001 -高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005 -黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005 -蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008 -苏煜《对块状链表的一点研究》 动态树 2006 -陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 -袁昕颢：《动态树及其应用》 左偏树 2005 -黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005 -魏冉：《让算法的效率跳起来”——浅谈跳跃表”的相关操作及其应用》2009 -李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Bala nee Tree 》 线段树 2004 -林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006 -汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》 哈希表 2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》 2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004 -杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》

国家集训队2005论文集 潘震皓

置换群快速幂运算 研究与探讨 江苏省苏州中学 潘震皓 [关键词] 置换 循环 分裂 合并 [摘要] 群是一个古老的数学分支，近几年来在程序设计中置换群得到了一定的应用。本文针对置换群的特点提出了线性时间的幂运算算法，并举例说明了优化后算法的效果。 [正文] 一、引言 置换群是一种优秀的结构，在程序设计中，它的大部分基本操作，时间和空间复杂度都是线性的，甚至有的还是常数的。所以一个问题如果能够抽象归结为一个置换群模型的话，往往能够在程序设计中轻松地解决。但是对于整幂运算来说，似乎只能通过反复做乘法来获得O(k*乘法)或是O(logk*乘法)的算法；而对于分数幂运算，则找不到较好的方法实现。 二、置换群的整幂运算 2.1 整幂运算的一个转化 在置换群中有一个定理：设e T k =， （T 为一置换，e 为单位置换（映射函数为x x f =)(的置换）），那么k 的最小正整数解是T 的拆分的所有循环长度的最小公倍数。 或者有个更一般的结论：设e T k =， （T 为一循环，e 为单位置换），那么k 的最小正整数解为T 的长度。 我们知道，单位置换就是若干个只含单个元素的循环．．．．．．．．．的并。也就是说，长度为l 的循环，l 次的幂，把所有元素都完全分裂了。这是为什么呢？ 我们来做一个试验：(下面的置换均以循环的连接表示) 设n=6，那么3 26 )(T T =。任取一T=(1 3 5 2 4 6)，来做一遍乘法： ()() 36 2 45 1 34 126565432134 1 2 6 51265431265436543211265436543211265436543212 =???? ??=???? ?????? ??=???? ?????? ??=T 分裂成了2份！而且这2份恰好是T 的奇数项和偶数项！（注意可以写成(1 5 4)(3 2 6)）

国家旅游局《旅行社公告暂行规定》文档

旅行社公告暂行规定 第一条为规范有关旅行社的公告发布行为，加强对企业经营和旅游行政管理的指导服务，根据《旅行社条例》和《旅行社条例实施细则》，制订本暂行规定。 第二条旅行社公告事项如下： （一）旅行社业务经营许可证的颁发、变更、注销、吊销； （二）许可或暂停、停止旅行社经营出境、边境旅游业务； （三）旅行社经营或暂停、停止经营赴台旅游业务； （四）旅行社分社、服务网点设立与撤销备案； （五）旅行社委托代理招徕旅游者业务备案； （六）旅行社的违法经营行为； （七）旅行社的诚信记录； （八）旅游者对旅行社投诉信息； （九）旅行社质量保证金交存、增存、补存、降低交存比例和被执行赔偿等情况； （十）旅行社统计调查情况； （十一）全国和地区旅行社经营发展情况； （十二）旅游行政管理部门认为需要公开发布的其他有关旅行社的事项和情况信息。 第三条旅行社业务经营许可证颁发、变更公告，由颁发旅行社业务经营许可证和办理旅行社业务经营许可证变更事项的旅游行政管理部门发布。 旅行社业务经营许可证颁发公告，项目内容应该包括旅行社名称、

许可证编号、出资人、法定代表人、经营场所、许可经营业务、许可文号（附件1）。 旅行社业务经营许可证变更公告，项目内容应该包括旅行社许可证编号和变更前与变更后的名称、出资人、法定代表人、经营场所（附件2）。 第四条旅行社业务经营许可证注销、吊销公告，由办理注销旅行社业务经营许可证备案手续和作出吊销旅行社业务经营许可证决定的旅游行政管理部门发布。 旅行社业务经营许可证注销公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所（附件3）。 旅行社业务经营许可证吊销公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、主要负责人(附件4)。 第五条暂停旅行社业务公告，由作出暂停决定的旅游行政管理部门发布。 暂停旅行社业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所、暂停时间期限(附件5)。 第六条许可或暂停、取消旅行社经营出境旅游业务公告，由国家旅游局或其委托出境旅游业务许可的省、自治区、直辖市旅游行政管理部门发布。 许可旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、原许可证编号、新许可证编号、出资人、法定代表人、经营场所、许可文号（附件6）。 暂停旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所、暂停时间期限（附件7）。 取消旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名

国家集训队2009论文集浅谈数位类统计问题

浅谈数位类统计问题 山东省青岛第二中学刘聪 【摘要】 在信息学竞赛中，有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道，无法暴力求解，需要在数位上进行递推等操作。本文通过几个例子，简要介绍了解决此类问题的基本思想和方法。 【关键字】 数位区间统计递推树二进制 【正文】 在信息学竞赛中，有这样一类问题：求给定区间中，满足给定条件的某个D进制数或此类数的数量。所求的限定条件往往与数位有关，例如数位之和、指定数码个数、数的大小顺序分组等等。题目给定的区间往往很大，无法采用朴素的方法求解。此时，我们就需要利用数位的性质，设计log(n)级别复杂度的算法。解决这类问题最基本的思想就是“逐位确定”的方法。下面就让我们通过几道例题来具体了解一下这类问题及其思考方法。 【例题1】Amount of degrees (ural 1057) 题目大意： 求给定区间[X,Y]中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于K个互不相等的B的整数次幂之和。例如，设X=15，Y=20，K=2，B=2，则有且仅有下列三个数满足题意： 17 = 24+20， 18 = 24+21， 20 = 24+22。 输入：第一行包含两个整数X和Y。接下来两行包含整数K和B。 输出：只包含一个整数，表示满足条件的数的个数。 数据规模：1 ≤ X ≤ Y ≤ 231?1，1 ≤ K ≤ 20，2 ≤ B ≤ 10。 分析： 所求的数为互不相等的幂之和，亦即其B进制表示的各位数字都只能是0和1。因此，我们只需讨论二进制的情况，其他进制都可以转化为二进制求解。 很显然，数据范围较大，不可能采用枚举法，算法复杂度必须是log(n)级别，因此我们要从数位上下手。

国家旅游局公告2017年第21号――许可旅行社经营出境旅游业务公告

国家旅游局公告2017年第21号――许可旅行社经营出境旅 游业务公告 【法规类别】旅游综合规定 【发文字号】国家旅游局公告2017年第21号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2017.09.12 【实施日期】2017.09.12 【时效性】现行有效 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局公告 （2017年第21号） 许可旅行社经营出境旅游业务公告 按照《旅行社条例》和《中国公民出国旅游管理办法》，许可以下70家旅行社经营出境旅游业务： 旧许可证编号新许可证 编号 出资人 法 定 代 表 经营场所许可文号

人 L-FJ50023 L-FJ-CJ00127 福建中旅旅 行社有限公 司 王丽美 南平市滨江大道商联大 厦一楼（府前路1号） 旅发 ﹝2017﹞86 号 2 武夷山中旅旅行社有限 公司 L-FJ50001 L-FJ-CJ00128 福建省中国 旅行社 陈萍 福建省武夷山市度假区 武夷宫 旅发 ﹝2017﹞86 号 3 厦门友客国际旅行社有 限公司 L-FJ20202 L-FJ-CJ00129 厦门欣欣信 息有限公司 赖 润 星 厦门市海沧区海景东路 2号9C5楼 旅发 ﹝2017﹞86 号 4 厦门青普国际旅行社有 限公司 L-FJ20216 L-FJ-CJ00124 北京青普旅 游文化发展 有限公司 杨雪山 中国（福建）自由贸易 试验区厦门片区湖里大 道24号海山商务中心 1202-E 单元 旅发 ﹝2017﹞76 号 5 山西大唐航 空国际旅行 社有限公司 L-SX00983 L-SX-CJ117 唐中诗 唐中诗 晋中市太谷县西环中路 53号 旅发 ﹝2017﹞ 105号 6 温州市教育旅游有限公 司 L-ZJ00726 L-ZJ-CJ00236 董滨/叶芬 董滨 温州市鹿城区惠民路上陡门教育新村综合楼121-123号 旅发﹝2017﹞76号 7 北京奥阿希斯旅游有限 公司 L-BJ01192 L-BJ-CJ00861 姚强、魏红日、刘亚杰 姚 强 北京市朝阳区阜通东大街6号院5号楼10层1108 旅发 ﹝2017﹞82号 8 北京四海之旅国际旅行社有限责任公司 L-BJ01052 L-BJ-CJ00862 金峦、肖季 红、任亚全 肖 季 红 北京市朝阳区霞光里66 号院1号楼3层09号 旅发﹝2017﹞82 号 9 凯撒（北京）国际会议展览有限责任公司 L-BJ01717 L-BJ-CJ00863 北京凯撒国 际旅行社有 限责任公司 魏 灵 北京市朝阳区东三环中 路25号16层1616室 旅发 ﹝2017﹞82 号 10 神州假期国际旅行社（北京）有限公司 L-BJ01779 L-BJ-CJ00864 赵林、曲超 赵 林 北京市朝阳区石门村路二院（库区）24幢4层430室 旅发 ﹝2017﹞82号 11 北京鑫路国 际商务旅行社有限公司 L-BJ01433 L-BJ-CJ00865 王庆波 王 庆波 北京市东城区东兴隆街 58号6层609 旅发﹝2017﹞82 号 12 联盟平台L-L-BJ-赵洋、王怀 赵 北京市朝阳区左家庄15旅发

国家集训队2004论文集_林涛

线段树的应用 广西柳铁一中林涛 【摘要】 在竞赛解题中，常遇到与区间有关的操作，比如统计若干矩形并的面积，记录一个区间的最值、总量，并在区间的插入、删除和修改中维护这些最值、总量。 线段树拥有良好的树形二分结构，能够高效的完成这些操作，本文将介绍线段树的各种操作以及一些推广。 本文通过3个例子：《蛇》、《空心长方体》、《战场统计系统》，讲述线段树中基本的插入、删除、查找操作，和不规则的修改和删除操作，以及到二维的推广。 关键字：线段树二分子树收缩叶子释放面积树 【正文】 1. 线段树的定义及特征 定义1：线段树 一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该节点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]： 若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为T的左儿子 [(a+b) div 2,b]为T的右儿子。 若L=1 ：T为一个叶子节点。 表示区间[1, 10]的线段树表示如下： (以下取对数后均向上取整) 定理1：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log L条线段 证明：(1)在区间(a，b)中，对于线段(c，d)，如果(c<=a) 或(d>=b)，那么线段在(a，b)中被分为不超过log(b-a)。 用归纳法证明，如果是单位区间，最多被分为一段，成立。 如果区间(a，b)的左儿子与右儿子成立，那么如果当c<=a时， 1．若d<=(a+b)div2那么相当与其左儿子分该线段，所分该线段数树不超过log((a+b)div 2-a)，即不超过log(b-a),成立。

2．若d>(a+b) div 2那么相当于该线段被分为它左儿子表示的线段，加上右儿子分该线段，线段数不超过1+log(b-(a+b) div 2),也不超过 log(b-a)，成立。 对于d>=b的情况证明类似，不再赘述。 (2)在区间(a,b)中，对于任意线段也用归纳法证明。 对于单位区间，最多分为一段，成立。 若(a，b)的左儿子与右儿子均成立，则对于线段(c，d) 1．若d<=(a+b)div 2 则该区间所分该线段等于其左儿子区间所分该线段，线段数小于log((a+b) div 2-a)<2log(b-a)，成立。 2．若c>(a+b) div 2 则该区间所分该线段等于其右儿子区间所分该线段，线段数小于log(b-(a+b) div 2)<2log(b-a)，成立。 3．若1、2均不成立，则此线段在左儿子区间分该线段满足d>V.Lson.b,分该线段数不超过log(b-(a+b) div 2)，而在右儿子区间分该线段满 足c<=V.Rson.a,分该线段不超过log((a+b) div 2-1)，所以在该区间 分该线段不超过2log(b-a)，成立。 这个结论为线段树能在O(log L)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。 【例题一】蛇1 在平面上有N个点，现在要求一些线段，使其满足以下要求： a．这些线段必须闭合 b．线段的端点只能是这N个点 c．交于一点的两条线段成90度角 d．线段都必须平行于坐标轴 e．所有线段除在这N个点外不自交 f．所有线段的长度之和必须最短 如果存在这样的线段，则输出最小长度，否则输出0。 【问题分析】 从该题的要求入手，先构出符合要求的图，再解决线段长度之和最小的问题。1．题目显然要求一个以给定的N个点为顶点的N多边形。所有线段都要和坐标轴平行，所以每个点只能与上下左右四个点相连。由于与一个点相连的两条线段成90度，每个顶点必须与一条平行于X轴和一条平行于Y轴的线段相连。 2．将所有点排序后发现，在同一水平线上的点中，设这些点为P1，P2，P3，P4……Pn，P1要有一条平行于X轴的线段与其相连，就必须连它右边的点——P2，而P3如果再连P2，P2就有两条平行于X轴的线段和它相连，所以P3只能连P4，P5只能连P6……，同一垂直线上的点也是如此，所以线段的构造是唯一的，那么最小长度的问题就解决了。 3．由于解是唯一的，而是否相连只要广度扩展就可以判断了，所以关键在于判断由上述方法所构出线段是否合法——满足线段不在N个点之外自交： 1Saratov State University Problem Archive, 1028, Snake. 本题考查了基本的插入、删除和查找

NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)

NOI 国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自 C 博客 组合数学 计数与统计 2001- 符文杰：《Pólya 原理及其应用》 2003- 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007- 周冬：《生成树的计数及其应用》 2008- 陈瑜希《Pólya 计数法的应用》 数位问题 2009- 高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004- 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007- 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈 2002- 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》 2007- 王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG 游戏的若干拓展及变形》母函数 2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007- 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005- 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》 问答交互 2003- 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》 猜数问题

2003- 张宁：《猜数问题的研究:< 聪明的学生> 一题的推广》2006 - 龙《一类猜数问题的研究》 数据结 构 数据结 构 2005 - 何 林：《数据关系的简化》 2006 - 朱晨 光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 2007 - 何 森：《浅谈数据的合理组织》 2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001- 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005- 黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005- 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008- 苏煜《对块状链表的一点研究》动态树 2006- 陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007- 袁昕颢：《动态树及其应用》左偏树 2005- 黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005- 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》 2009- 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree 》线段树 2004- 林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006- 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》哈希表2005- 李羽修：《Hash 函数的设计优化》 2007- 杨弋：《Hash 在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004- 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》 图论 图论 2005- 任恺：《图论的基本思想及方法》

国家集训队2004论文集 杨思雨

伸展树的基本操作与应用 安徽省芜湖一中杨思雨 目录 【关键字】 (2) 【摘要】 (2) 【引言】 (2) 【伸展树的基本操作】 (2) 伸展操作Splay(x,S) (3) 伸展树的基本操作 (4) 时间复杂度分析 (5) 【伸展树的应用】 (7) 【总结】 (8) 【参考书目】 (9) 【附录】 (9)

【关键字】 伸展树基本操作应用 【摘要】 本文主要介绍了伸展树的基本操作以及其在解题中的应用。全文可以分为以下四个部分。 第一部分引言，主要说明了二叉查找树在信息学竞赛中的重要地位，并且指出二叉查找树在某些情况下时间复杂度较高，进而引出了在时间复杂度上更为优秀的伸展树。 第二部分介绍了伸展树的基本操作。并给出了对伸展树时间复杂度的分析和证明，指出伸展树的各种基本操作的平摊复杂度均为O(log n)，说明伸展树是一种较平衡的二叉查找树。 第三部分通过一个例子介绍了伸展树在解题中的应用，并将它与其它树状数据结构进行了对比。 第四部分指出了伸展树的优点，总结全文。 【引言】 二叉查找树（Binary Search Tree）能够支持多种动态集合操作。因此，在信息学竞赛中，二叉排序树起着非常重要的作用，它可以被用来表示有序集合、建立索引或优先队列等。 作用于二叉查找树上的基本操作的时间是与树的高度成正比的。对一个含n 各节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为O(log n)。但如果树是含n个节点的线性链，则这些操作的最坏情况运行时间为O(n)。而有些二叉查找树的变形，其基本操作在最坏情况下性能依然很好，比如红黑树、A VL树等等。 本文将要介绍的伸展树（Splay Tree），也是对二叉查找树的一种改进，虽然它并不能保证树一直是“平衡”的，但对于伸展树的一系列操作，我们可以证明其每一步操作的平摊复杂度都是O(log n)。所以从某种意义上说，伸展树也是一种平衡的二叉查找树。而在各种树状数据结构中，伸展树的空间要求与编程复杂度也都是很优秀的。 【伸展树的基本操作】 伸展树是二叉查找树的一种改进，与二叉查找树一样，伸展树也具有有序性。即伸展树中的每一个节点x都满足：该节点左子树中的每一个元素都小于x，而其右子树中的每一个元素都大于x。与普通二叉查找树不同的是，伸展树可以自我调整，这就要依靠伸展操作Splay(x,S)。