“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用 天津市南开中学肖天 【摘要】本文通过对几道信息学竞赛题的解决，提出了一种解决问题的建模思想——分层图思想。该思想通过挖掘问题性质，将原问题抽象得出的图复 制为若干层并连接形成更大的图，使本来难以用数学语言表达得图论模 型变得简明严谨，为进一步解决问题打下了良好的基础。 【关键字】分层图思想图论数学模型最短路信息学竞赛 【正文】 1 引论 人们在借助计算机解决一个实际问题时，无非就是详细地告诉计算机应该怎么做，使它能通过人们给定的输入得到人们想要的输出。由于一般的计算机只能处理数字信号，所以只有把实际问题转化为数学问题，计算机才能帮助我们。这一步就是建立数学模型。 数学模型的建立在通过计算机解决问题的过程中非常重要。它把计算机无法理解的问题加以转化，使一切事物量化，最终变为只含数学过程的问题。它是人脑与计算机沟通的桥梁。不仅如此，数学模型的好坏直接影响着人与计算机之间的信息交流，影响着计算机对问题的“理解”。好的数学模型能够抓住问题的本质，表述简捷明了，易于人们找到有效的解决方法，并通过编制程序的方式将解决方法告诉计算机；相反，对于同一个问题，如果数学模型不能抓住问题本质，人们就可能无法解决问题，或者找不到有效的方法，更不用提告诉计算机如何做了。 由于建立数学模型是为了解决问题，所以人们在做这项工作时往往希望把问题归结为已经很好解决的经典问题或若干这样问题的有机结合。这样，只要应用前人的研究成果就可以了。比如，排序、求图的单源最短路、网络流等等都是经典问题，前人不仅给出一般解法，而且对各种特殊情况和变形作了深入的研究。但事情并不总像人们希望的那样，有的问题即使可以归结为已有问题，在其中加入一些干扰因素后，原有性质就会发生改变，原来建立起的数学模型难以再用严谨的数学语言表达。这样问题中的部分图论问题可以用本文提出的“分层图思想”解决。 该思想注重对原问题性质的挖掘，通过对原问题数学模型的扩展，将干扰因素融入新的数学模型之中，恢复了模型的严谨性，进而与已解决问题产生联系，得到有效算法。
摘抄自C博客 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》 2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》 2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》 数位问题 2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》 博弈 2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》 母函数 2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》 问答交互 2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》 猜数问题 2003 - 张宁：《猜数问题的研究:<聪明的学生>一题的推广》
2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》 数据结构 数据结构 2005 - 何林：《数据关系的简化》 2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》 2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005 - 黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》 动态树 2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》 左偏树 2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》 2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》 线段树 2004 - 林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》 哈希表 2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》 2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》
宽容 名人名言： 1、海纳百川有容乃大，山高万仞无欲则刚。——林则徐 4、世界上最宽阔的是海洋，比海洋更宽阔的是天空，比天空更宽阔的是人的胸怀。——法.雨果 俗语谚语： 1、生活像一片汪洋，宽容是扁舟，泛舟于汪洋之上，才知海的宽阔。 2、生活像一座山峰，宽容是小径，循径而上，才知山的高大和巍峨。 3、生活像一杯咖啡，宽容是奶糖，二者的融合，才知道苦中芳香与甜美。 4、人心不是靠武力征服的，而是靠爱和宽容大度征服。 5、宽容别人，就是解放自己，还心灵一份纯净。 6、宽容是一种非凡的气度、宽广的胸怀，是对人对事的包容和接纳。 7、宽容是一种仁爱的光芒、无上的福分，是对别人的释怀，也即是对自已善待。 名人事例： 1、林肯总统对政敌素以宽容著称,后来终于引起一议员的不满,议员说:"你不应该试图和那些人交朋友,而应该消灭他们."林肯微笑着回答:"当他们变成我的朋友,难道我不正是在消灭我的敌人吗?"一语中的,多一些宽容,公开的对手或许就是我们潜在的朋友。 2、孔子的学生子贡曾问孔子：“老师，有没有一个字，可以作为终身奉行的原则呢？”孔子说：“那大概就是‘恕’吧。”“恕”，用今天的话来讲，就是宽容。 3、宰相肚里能撑船。三国时期的蜀国，在诸葛亮去世后任用蒋琬主持朝政。他的属下有个叫杨戏的，性格孤僻，讷于言语。蒋琬与他说话，他也是只应不答。有人看不惯，在蒋琬面前说杨戏的不是，蒋琬坦然一笑，说：“人嘛，都有各自的脾气秉性，不必强求。”后来，有人赞蒋琬“宰相肚里能撑船”。 现代时事： 1、三峡工程大江截流成功,谁对三峡工程的贡献最大?著名的水利工程学家潘家铮这样回答外国记者的提问:"那些反对三峡过程的人对三峡工程的贡献最大."反对者的存在,可让保持清醒理智的头脑,做 事更周全;可激发你接受挑战的勇气,迸发出生命的潜能.这不是简单的宽容,这宽容可以磨砺着你意志,磨亮了你生命的锋芒. 挫折 名人名言： 2、故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行弗乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 ----- 《孟子》 3、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。 ----- 贝多芬 5、一个人在科学探索的道路上，走过弯路，犯过错误，并不是坏事，更不是什么耻辱，要在实践中勇于承认和改正错误。----- 爱因斯坦 6、千磨万击还坚韧，任尔东南西北风。----- 郑板桥 7、对待挫折，著名的数学家华罗庚曾经说过：“在科学的道路上没有平坦的大道可走，只有一条条弯曲的小径。只有不谓攀登的人，才有可能登上科学的顶峰。”强者在挫折面前会愈挫愈勇，而弱者面对挫折会贸然不前。我们要正视挫折，正确对待挫折，只有这样才能让挫折成为我们走向成功的阶梯。 俗语谚语： 1、胜不骄，败不馁
动态规划算法的优化技巧 福州第三中学毛子青 [关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态 [摘要] 动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文。 [正文] 一、引言 动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。 使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。 本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。 二、动态规划时间复杂度的分析 使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。 但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。 下面给出动态规划时间复杂度的决定因素： 时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1] 下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。 三、动态规划时间效率的优化 3.1 减少状态总数 我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。
左偏树的特点及其应用 广东省中山市第一中学黄源河 【摘要】 本文较详细地介绍了左偏树的特点以及它的各种操作。 第一部分提出可并堆的概念，指出二叉堆的不足，并引出左偏树。第二部分主要介绍了左偏树的定义和性质。第三部分详细地介绍了左偏树的各种操作，并给出时间复杂度分析。第四部分通过一道例题，说明左偏树在当今信息学竞赛中的应用。第五部分对各种可并堆作了一番比较。最后总结出左偏树的特点以及应用前景。 【关键字】左偏树可并堆优先队列 【目录】 一、引言 (2) 二、左偏树的定义和性质 (2) 2.1 优先队列，可并堆 (2) 2.1.1 优先队列的定义 (2) 2.1.2 可并堆的定义 (2) 2.2 左偏树的定义 (3) 2.3 左偏树的性质 (4) 三、左偏树的操作 (5) 3.1 左偏树的合并 (5) 3.2 插入新节点 (7) 3.3 删除最小节点 (8) 3.4 左偏树的构建 (8) 3.5 删除任意已知节点 (9) 3.6 小结 (12) 四、左偏树的应用 (13) 4.1 例——数字序列（Baltic 2004） (13) 五、左偏树与各种可并堆的比较 (15) 5.1 左偏树的变种——斜堆 (15) 5.2 左偏树与二叉堆的比较 (16) 5.3 左偏树与其他可并堆的比较 (16) 六、总结 (18)
【正文】 一、引言 优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队列都有着广泛的应用。二叉堆是一种常用的优先队列，它编程简单，效率高，但如果问题需要对两个优先队列进行合并，二叉堆的效率就无法令人满意了。本文介绍的左偏树，可以很好地解决这类问题。 二、左偏树的定义和性质 在介绍左偏树之前，我们先来明确一下优先队列和可并堆的概念。 2.1优先队列，可并堆 2.1.1优先队列的定义 优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。优先队列的节点至少要包含一种性质：有序性，也就是说任意两个节点可以比较大小。为了具体起见我们假设这些节点中都包含一个键值(key)，节点的大小通过比较它们的键值而定。优先队列有三个基本的操作：插入节点(Insert)，取得最小节点(Minimum) 和删除最小节点(Delete-Min)。 2.1.2可并堆的定义 可并堆(Mergeable Heap)也是一种抽象数据类型，它除了支持优先队列的三个基本操作(Insert, Minimum, Delete-Min)，还支持一个额外的操作——合并操作： H ← Merge(H1,H2) Merge( ) 构造并返回一个包含H1和H2所有元素的新堆H。 前面已经说过，如果我们不需要合并操作，则二叉堆是理想的选择。可惜合并二叉堆的时间复杂度为O(n)，用它来实现可并堆，则合并操作必然成为算法的瓶颈。左偏树(Leftist Tree)、二项堆(Binomial Heap) 和Fibonacci堆(Fibonacci Heap) 都是十分优秀的可并堆。本文讨论的是左偏树，在后面我们将看到各种可并堆的比较。
[作文素材分类整理]作文素材分类整理 1 一、正面素材 2 (一)古代 3 1.鲍叔牙：认清自己的能力，荐管仲为相。 4 2.皇太极：认清形势，不急于大举进攻明王朝。 5 3.刘邦：攻进成阳后，能认清实力和形势，虽爱财而秋毫无犯，并约法三章收6 服民心。 7 4.庄子：充分认识自己的本性，在楚国相位诱惑面前持竿不顾。 8 (二)现代 9 1.史铁生：认清现实，从事文学创作。 10 2.可持续发展战略：中央认清中国是人均GDP耗能最高的国家所提出的经济发11 展战。 12 3.丁俊晖：认清自己兴趣所在，小小年纪成为台球名将。 13 4：周杰伦：认清自己，坚持走自己的音乐之路，不跟风。 14 5.张越：央视《半边天》主持人，认清自我，不盲从，形成自己独特的主持风15 格。 16 6.李素丽：认清自己的工作岗位，虽然平凡但能作出不平凡的贡献。 17 7.刘翔：原来从事跳高，后来认清自己的优势，改练田径110米跨栏，终成世18 界冠军他还拒绝剧组邀请出演。 19
8.马连良：能认清自己嗓音沙哑的特点.创造低回婉转、回味悠长的马派唱腔。 20 9.陈省身：认清自己不善交际，埋首数学研究，终成大师。 21 (三)外国 22 1.赖斯：认清自己，从学习钢琴转向从政，成为国际政坛风云人物。 23 2.德国：正视耻辱历史，认清自己所应承担的历史责任。 24 3.新加坡：弹丸小国能认清自己独特的旅游优势--阳光。 25 4.马克?吐温：开始热衷发明，后来经商，都不成功，逐步认清自己能力所在，26 从事写作成名家。 27 5.爱因斯坦：认清自己兴趣和能力在物理领域.拒绝出任以色列总统。 28 6.梵高：即使生前没卖出一幅画，但能认清自己的理想追求永不放弃，终被后29 世认可。 30 7.卓别林：认清自己，把容貌不佳转化成喜剧优势。 31 8.比尔·盖茨：上大学时中途辍学，从事软件开发，找准了人生定位，终成世32 界首富。 33 9.霍金：身体虽残，但能认清自己在理论物理方面的优势和潜力，写成《时间34 简史》等畅销世界的科普著作。 35 (四)文学作品及其他 36 电影《霍元甲》：霍元甲经过一番磨难，认清了武术的精神，终成一代宗师。 37 鹰击长空，鱼翔浅底，驼走大漠，虎啸深山：它们都找到各自生命的位置。38 象棋：每个棋子都有它的位置和作用。 39
有关作文素材的积累和运用 很开心可以为大家写关于语文作文的心得，作为一名作文高一高二一直一般的文学素养颇低的普通人，在高三开窍之后，在一两个月的时间里，作文狂飙并且稳定在52+的分数，我想告诉大家，语文作文不是什么难题，是有章可循有法可依的大块。 大家可能普遍觉得语文作文只要一个平均分数45分左右就可以了，反正大家也拉不开差距，有这个时间还不如去写数学题可能提高的更快。其实这也是一个误区，因为凡事存在一个极限，你花一年去学数学就可以满分了吗？真的不一定。 应试教育要的就是你不能有短板，而作文对大部分人而言，还有大幅度的提升空间，花这个时间去提高作文在效率上，是绝对划算的买卖。 接下来我会分享一些素材积累和文采提升的窍门，干货满满哦，希望对大家有帮助。但是我更想强调的是一种方法和思路，面对一个未知的领域，我们应该拿出怎么样的态度来应对才是最佳方案，这是我们在接下来人生需要面对的课题，所以我更希望吸收的是这种思路，而不是材料本身。 一，素材积累方法 关于素材的积累，很多人觉得拿个小本本抄起来没事读读背背就可以了，可你会不会有这种感觉，背了好多，可是一到要用，脑子里一片空白，这是因为素材在脑子里混乱不堪，杂乱无章，导致要使用时没有一条线索让我们找到合适的素材，所以接下来介绍的方法，可以帮助大家很大程度的挖掘运用已经有的素材，做到信手拈来。 （ 1）.简单化 这个点包含两层意思：第一是记忆简单的素材，第二是人为简化素材。 简单的素材，最大的有点是好记！！只有记忆下来才会运用是吧！接下来给出一些字数极少可是用起来得心应手的好素材。 1.我想去相信某个人，非常想。——七堇年（信任） 2.孩子，这是你的罪孽，亦是你的福祉。——史铁生《我与地坛》（事物都有两面性，我们要看见好的一面，也要看见坏的一面） 3.林中似有几只狼在嚎叫，听真些，不过是松涛。——张碧华《诱僧》（很有感触的道理，有时候我们觉得前行万般艰苦，但真正走上去了，不过云淡风轻。我们习惯把困难看的太重，把努力看的太轻，其实当我们迈出第一步才发现，我早就离成功那么近。努力，困难，迈出第一步，过程） 4.这是一个欲望大的惊人的掘金时代。——王开玲（欲望）
1999年 陈宏- 数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起 来煜坤- 把握本质，灵活运用——动态规划的深入探讨 齐鑫- 搜索方法中的剪枝优化 邵铮- 数学模型的建立、比较和应用 石润婷- 隐蔽化、多维化、开放化──论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性睢》?- 准确性、全面性、美观性——测试数据设计中的三要素 周咏基- 论随机化算法的原理与设计 2000年 陈彧- 信息学竞赛中的思维方法 方奇- 动态规划 高寒蕊- 递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用 郭一- 数学模型及其在信息学竞赛中的应用 江鹏- 探索构造法解题模式 李刚- 动态规划的深入讨论 龙翀- 解决空间规模问题的几种常用的存储结构 骆骥- 数学模型的建立和选择 施遥- 人工智能在围棋程序中的应用 肖洲- 数据结构的在程序设计中的应用 谢婧- 规模化问题的解题策略 徐串- 论程序的调试技巧 徐静- 图论模型的建立与转化 杨江明- 论数学策略在信息学问题中的应用 杨培- 非最优化算法初探 张辰- 动态规划的特点及其应用 张力- 类比思想在解题中的应用 张一飞- 冗繁削尽留清瘦——浅谈信息的充分利用 2001年 高寒蕊- 从圆桌问题谈数据结构的综合运用 符文杰- Pólya原理及其应用 高岳- 中等硬度解题报告 江鹏- 从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法 刘汝佳- 搬运工问题的启示 李益明- 计算几何的相关问题 李源- 树的枚举 骆骥- 由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性毛子青- 动态规划算法的优化技巧 俞玮- 基本动态规划问题的扩展 张一飞- 求N!的高精度算法 2002年 戴德承- 退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用
NOI国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自C博客 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰：《Polya原理及其应用》 2003 -许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007 -周冬：《生成树的计数及其应用》 2008 - 陈瑜希《Polya计数法的应用》 数位问题 2009 -高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 -刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004 -薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007 -余江伟：《如何解决动态统计问题》 博弈 2002 -张一飞：《由感性认识到理性认识一一透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 -王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 -曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 -方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 -贾志豪《组合游戏略述一一浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数 2009 -毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007 -刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 -李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划一一简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005 -潘震皓：《置换群快速幕运算研究与探讨》 问答交互 2003 -高正宇：《答案只有一个一一浅谈问答式交互问题》 猜数问题 2003 -张宁：《猜数问题的研究：< 聪明的学生> 一题的推广》
2006 -龙凡：《一类猜数问题的研究》 数据结构 数据结构 2005 -何林：《数据关系的简化》 2006 -朱辰光:《基本数据结构在信息学竞赛中的应 用》 2007 -何森：《浅谈数据的合理组织》 2008 -曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001 -高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005 -黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005 -蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008 -苏煜《对块状链表的一点研究》 动态树 2006 -陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 -袁昕颢：《动态树及其应用》 左偏树 2005 -黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005 -魏冉：《让算法的效率跳起来”——浅谈跳跃表”的相关操作及其应用》2009 -李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Bala nee Tree 》 线段树 2004 -林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006 -汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》 哈希表 2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》 2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004 -杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》
置换群快速幂运算 研究与探讨 江苏省苏州中学 潘震皓 [关键词] 置换 循环 分裂 合并 [摘要] 群是一个古老的数学分支，近几年来在程序设计中置换群得到了一定的应用。本文针对置换群的特点提出了线性时间的幂运算算法，并举例说明了优化后算法的效果。 [正文] 一、引言 置换群是一种优秀的结构，在程序设计中，它的大部分基本操作，时间和空间复杂度都是线性的，甚至有的还是常数的。所以一个问题如果能够抽象归结为一个置换群模型的话，往往能够在程序设计中轻松地解决。但是对于整幂运算来说，似乎只能通过反复做乘法来获得O(k*乘法)或是O(logk*乘法)的算法；而对于分数幂运算，则找不到较好的方法实现。 二、置换群的整幂运算 2.1 整幂运算的一个转化 在置换群中有一个定理：设e T k =， （T 为一置换，e 为单位置换（映射函数为x x f =)(的置换）），那么k 的最小正整数解是T 的拆分的所有循环长度的最小公倍数。 或者有个更一般的结论：设e T k =， （T 为一循环，e 为单位置换），那么k 的最小正整数解为T 的长度。 我们知道，单位置换就是若干个只含单个元素的循环．．．．．．．．．的并。也就是说，长度为l 的循环，l 次的幂，把所有元素都完全分裂了。这是为什么呢？ 我们来做一个试验：(下面的置换均以循环的连接表示) 设n=6，那么3 26 )(T T =。任取一T=(1 3 5 2 4 6)，来做一遍乘法： ()() 36 2 45 1 34 126565432134 1 2 6 51265431265436543211265436543211265436543212 =???? ??=???? ?????? ??=???? ?????? ??=T 分裂成了2份！而且这2份恰好是T 的奇数项和偶数项！（注意可以写成(1 5 4)(3 2 6)）
作文素材分类整理[认清自己] 一、正面素材 (一)古代 1．鲍叔牙：认清自己的能力，荐管仲为相。 2．皇太极：认清形势，不急于大举进攻明王朝。 3．刘邦：攻进成阳后，能认清实力和形势，虽爱财而秋毫无犯，并约法三章收服民心。 4．庄子：充分认识自己的本性，在楚国相位诱惑面前持竿不顾。 (二)现代 1．史铁生：认清现实，从事文学创作。 2．可持续发展战略：中央认清中国是人均GDP耗能最高的国家所提出的经济发展战。 3．丁俊晖：认清自己兴趣所在，小小年纪成为台球名将。 4：周杰伦：认清自己，坚持走自己的音乐之路，不跟风。 5．张越：央视《半边天》主持人，认清自我，不盲从，形成自己独特的主持风格。 6．李素丽：认清自己的工作岗位，虽然平凡但能作出不平凡的贡献。 7．刘翔：原来从事跳高，后来认清自己的优势，改练田径110米跨栏，终成世界冠军他还拒绝剧组邀请出演。 8．马连良：能认清自己嗓音沙哑的特点．创造低回婉转、回味悠长的马派唱腔。 9．陈省身：认清自己不善交际，埋首数学研究，终成大师。 (三)外国 1．赖斯：认清自己，从学习钢琴转向从政，成为国际政坛风云人物。 2．德国：正视耻辱历史，认清自己所应承担的历史责任。3．新加坡：弹丸小国能认清自己独特的旅游优势——阳光。 4．马克?吐温：开始热衷发明，后来经商，都不成功，逐步认清自己能力所在，从事写作成名家。 5．爱因斯坦：认清自己兴趣和能力在物理领域．拒绝出任以色列总统。 6．梵高：即使生前没卖出一幅画，但能认清自己的理想追求永不放弃，终被后世认可。 7．卓别林：认清自己，把容貌不佳转化成喜剧优势。 8．比尔·盖茨：上大学时中途辍学，从事软件开发，找准了人生定位，终成世界首富。 9．霍金：身体虽残，但能认清自己在理论物理方面的优势和潜力，写成《时间简史》等畅销世界的科普著作。 (四)文学作品及其他 电影《霍元甲》：霍元甲经过一番磨难，认清了武术的精神，终成一代宗师。 鹰击长空，鱼翔浅底，驼走大漠，虎啸深山：它们都找到各自生命的位置。 象棋：每个棋子都有它的位置和作用。 二、反面素材 (一)古代 1．杨修：恃才放旷，认不清自己的位置，终被诛杀。 2．六国：面对强秦，认不清形势，反而争相赂秦，国力日弱。 3．赵括：认不清实战状况，盲目自信；终致失败。 4．项羽：乌江自刎之时，尚不能认清自己的过失．以为“天亡我也”。 5．李煜：认不清自己的职责，终成亡国之囚。 6．诸葛亮：认不清天下大势。六出祁山．病死在五丈原。 7．韩信：认不清自己的位置，终被贬杀。
2018年高考语文作文经典素材积累（分类整理）关于目标、信念 名言：1、每条河都有自己的方向。——拉丁美洲谚语 2、如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么，任何风都不会是顺风。——塞涅卡（要明确目标） 3、人生有两出悲剧：一是万念俱灰，一是踌躇满志。——萧伯纳 唐僧取经：1000多年前，也就是公元627年，为了弘扬佛教文化，为了普渡苍生，唐朝和尚玄奘走上了去印度取经的道路。一路上餐风宿露，饥寒交迫，历尽磨难，于公元643年春，回到长安。16年的艰难跋涉，玄奘带来了佛经74部，又用19年的时间，翻译出经卷1300多卷。同时，他还为我们留下了一部伟大的地理著作《大唐西域记》。 唐僧对信念的追求感动了一代又一代人，其中有一个就是吴承恩。他据此写下了我国著名的神魔小说《西游记》。为求取真经普渡众生，唐僧、孙悟空师徒四人，一路上降妖伏魔，克服了九九八十一难，最终修成正果。（也可用在“读经典”、“克服困难”、“毅力”、“脚印”：在大漠、在沙滩、在藻泽，在泥泞的小路，在人迹罕至的地方??一行行、深深浅浅、迂回曲折，伸向远方） 韩愈：欲为圣明除弊事，肯将衰朽计（惜）残年 林则徐：苟利国家生死以，岂因祸福避趋之 谭嗣同：我自横刀向天笑，去留肝胆两昆仑
精卫填海：有一个美丽的传说，远古时代，炎帝神农有一个女儿叫女娲，有一次，她到东海去游玩，不幸被海浪吞没。女娲死后变成了一只小鸟，叫“精卫”。“精卫”为了不让后人有和自己一样惨痛的经历，于是每天从发鸠山上衔来小石子、树枝，发誓要填平东海。（正面理解：人要有信念。虽然这是一则神话传说，但是它的精神鼓舞着一代又一代有志者为实现目标、信念而不懈努力。反面理解：理想、信念、目标的确立要符合实际。） 鉴真东渡：唐代高僧鉴真，为了到日本传扬佛法，56岁时带弟子、工匠百余人从扬州东渡，一连四次都没有成功。60岁时，他第5次出海，不幸遇到风浪，无淡水，无粮食，又迷失方向漂到海南岛。鉴真本人因病双目失明，几经周折又回到扬州。5年后，鉴真毅然再次东渡，终于到达日本，在奈良精心整理版2018年高考作文题目预测10篇[转载]精心整理版2018年高考作文题目预测10篇修建了著名的唐招提寺，弘扬佛教文化，传播中日友谊。（理想、意志、毅力、克服困难） 愚公移山：愚公的家门前有两座大山，挡住了他家的出路。愚公率领全家子孙每天挖山不止，相信终有一天，会搬走挡在门前的大山的：毛泽东以此激励中国人民要有这样的精神来推翻压在我们民族身上的三座大山，我们真的做到了。（反过来，也可以用在要学会“变通”上。你想，是搬山容易呢还是搬家容易呢？打破常规，开拓思路，事情就变得容易起来。牛顿说：科学是在不断改变思维角度的探索中前进的。）
高考作文实用素材集锦（分类整理） 目标、信念： 名言：1、每条河都有自己的方向。——拉丁美洲谚语 2、如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么，任何风都不会是顺风。——塞涅卡（要 明确目标） 3、人生有两出悲剧：一是万念俱灰，一是踌躇满志。——萧伯纳 精卫填海：有一个美丽的传说，远古时代，炎帝神农有一个女儿叫女娲，有一次，她到东海去游玩，不幸被海浪吞没。女娲死后变成了一只小鸟，叫“精卫”。“精卫”为了不让后人有和自己一样惨痛的经历，于是每天从发鸠山上衔来小石子、树枝，发誓要填平东海。（正面理解：人要有信念。虽然这是一则神话传说，但是它的精神鼓舞着一代又一代有志者为实现目标、信念而不懈努力。反面理解：理想、信念、目标的确立要符合实际。） 鉴真东渡：唐代高僧鉴真，为了到日本传扬佛法，56岁时带弟子、工匠百余人从扬州东渡，一连四次都没有成功。60岁时，他第5次出海，不幸遇到风浪，无淡水，无粮食，又迷失方向漂到海南岛。鉴真本人因病双目失明，几经周折又回到扬州。5年后，鉴真毅然再次东渡，终于到达日本，在奈良修建了著名的唐招提寺，弘扬佛教文化，传播中日友谊。（理想、意志、毅力、克服困难） 愚公移山：愚公的家门前有两座大山，挡住了他家的出路。愚公率领全家子孙每天挖山不止，相信终有一天，会搬走挡在门前的大山的：毛泽东以此激励中国人民要有这样的精神来 推翻压在我们民族身上的三座大山，我们真的做到了。（反过来，也可以用在要学会“变 通”上。你想，是搬山容易呢还是搬家容易呢？打破常规，开拓思路，事情就变得容 易起来。牛顿说：科学是在不断改变思维角度的探索中前进的。） 勇气： 名言：1、懦夫未死之前，已死过数次；勇士一生只死一次。——莎士比亚 2、没有比害怕更值得害怕的了。——培根 3、真的猛士，敢于直面惨淡的人生，敢于正视淋漓的鲜血。——鲁迅 廉颇蔺相如：蔺相如在秦王面前，怒发冲冠，警告秦王将“以颈血溅大王矣”，这无疑是一种勇气，是一种在强权面前不屈服、不弯腰的勇气；廉颇肉袒负荆，到蔺相如门前谢罪， 这也是一种勇气，是一种勇于承认错误、知错即改的勇气；列宁打碎了姑妈家的花 瓶，不敢声张，后来写信承认是自己打碎了花瓶，这同样是一种勇气，是诚实带来 的勇气。新航路的开辟是面对不可预测结局的勇气；科学探索是人类战胜未来的勇
浅谈数位类统计问题 山东省青岛第二中学刘聪 【摘要】 在信息学竞赛中，有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道，无法暴力求解，需要在数位上进行递推等操作。本文通过几个例子，简要介绍了解决此类问题的基本思想和方法。 【关键字】 数位区间统计递推树二进制 【正文】 在信息学竞赛中，有这样一类问题：求给定区间中，满足给定条件的某个D进制数或此类数的数量。所求的限定条件往往与数位有关，例如数位之和、指定数码个数、数的大小顺序分组等等。题目给定的区间往往很大，无法采用朴素的方法求解。此时，我们就需要利用数位的性质，设计log(n)级别复杂度的算法。解决这类问题最基本的思想就是“逐位确定”的方法。下面就让我们通过几道例题来具体了解一下这类问题及其思考方法。 【例题1】Amount of degrees (ural 1057) 题目大意： 求给定区间[X,Y]中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于K个互不相等的B的整数次幂之和。例如，设X=15，Y=20，K=2，B=2，则有且仅有下列三个数满足题意： 17 = 24+20， 18 = 24+21， 20 = 24+22。 输入：第一行包含两个整数X和Y。接下来两行包含整数K和B。 输出：只包含一个整数，表示满足条件的数的个数。 数据规模：1 ≤ X ≤ Y ≤ 231?1，1 ≤ K ≤ 20，2 ≤ B ≤ 10。 分析： 所求的数为互不相等的幂之和，亦即其B进制表示的各位数字都只能是0和1。因此，我们只需讨论二进制的情况，其他进制都可以转化为二进制求解。 很显然，数据范围较大，不可能采用枚举法，算法复杂度必须是log(n)级别，因此我们要从数位上下手。
教材作文素材的整理与使用 兴隆中学语文组 一、我校学生作文现状分析 1、作文常常无话可写，内容空洞，生搬硬造。 2、表达粗糙，语言贫乏，结构混乱，很多同学作文无法入格。 3、逻辑混乱，无韵味，无底蕴，无思辨。 二、充分利用教材梳理素材，引领作文教学的几个原因 1、阅读时间有限，复习任务重，写作复习急需找到短平快的方法和途径，以期有效解决写什么，如何写的问题。 2、考场作文有他的特殊性，教材素材客观上大量存在，虽然有他陈旧和重复的一面，但对于我们学校学生来说，绝大部分是获取保险分。十分必要。大量考场优秀作文也说明教材相关素材可以使用，使用得当，是可以斩获高分的。 3、四川语文作文这几年出题都相对保守，与现实关联不大，回归传统和教材比较明显。 4、学生对教材比较熟悉，在整理和运用过程中能节约时间，做到高效，提升复习效率和效果。 5、在对教材相关内容进行归纳整理的同时，又最大限度的增加了对教材内容的熟悉程度，也符合复习要回归教材的思路。 三、整理素材的策略和方法 1、备课组通力合作，分解任务，每个老师负责一个版块，力争归纳全面、细致。 2、学生课下的自我归纳和教师课堂上的补充结合起来，完善内容。 3、除了两周一次的作文专项训练之外，尽量把作文表达训练贯穿在教材梳理过程中去，化整为零，逐步推进。 4、印发相关素材，每周利用一个早读，指导学生阅读和积累。对经典素材要求背诵，努力解决学生写作脑中无货的问题。 5、在作文技巧专项训练中，教师有意识的加强对教材素材的借鉴学习，指导学生回归教材，从教材里去寻找源头活水。 四、具体实施过程介绍 （一）教材素材归纳整理 比如，我们把如必修第一册“阅读鉴赏”分为“忧与爱”（现代诗歌）“英雄悲歌”（文言文）“个人与时代”（散文）“忘记与铭记”（新闻）；把文言文专题回顾按“文言——文学——文化”）进行整理为： 必修一走进文学，品评英雄 《烛之武退秦师》——永纾国难的爱国精神 《荆轲刺秦王》——知其不可而为之的悲壮情怀 《鸿门宴》——“情义”当头的悲剧英雄 必修二寄情山水，感悟生命 《兰亭集序》——了解魏晋时期的“文学生命” 《赤壁赋》——感悟苏轼散文的“哲理”情怀 《游褒禅山记》——走进古代士人的生命情怀 必修三品读经典，追访儒学——感受儒家文化的博大精深 《劝学》《师说》——学问之道、修养之道 《寡人之于国也》《过秦论》——仁者爱人、为政之道 必修四倾慕先贤，感悟人格 《廉颇蔺相如列传》——坦率与宽容 《苏武传》——执着与坚韧 《张衡传》——从容与淡静 必修五感受至情，妙合自然 《归去来兮辞》——归隐之乐 《滕王阁序》——才士之悲 《逍遥游》——自由之志 《陈情表》——忠孝之难
线段树的应用 广西柳铁一中林涛 【摘要】 在竞赛解题中，常遇到与区间有关的操作，比如统计若干矩形并的面积，记录一个区间的最值、总量，并在区间的插入、删除和修改中维护这些最值、总量。 线段树拥有良好的树形二分结构，能够高效的完成这些操作，本文将介绍线段树的各种操作以及一些推广。 本文通过3个例子：《蛇》、《空心长方体》、《战场统计系统》，讲述线段树中基本的插入、删除、查找操作，和不规则的修改和删除操作，以及到二维的推广。 关键字：线段树二分子树收缩叶子释放面积树 【正文】 1. 线段树的定义及特征 定义1：线段树 一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该节点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]： 若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为T的左儿子 [(a+b) div 2,b]为T的右儿子。 若L=1 ：T为一个叶子节点。 表示区间[1, 10]的线段树表示如下： (以下取对数后均向上取整) 定理1：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log L条线段 证明：(1)在区间(a，b)中，对于线段(c，d)，如果(c<=a) 或(d>=b)，那么线段在(a，b)中被分为不超过log(b-a)。 用归纳法证明，如果是单位区间，最多被分为一段，成立。 如果区间(a，b)的左儿子与右儿子成立，那么如果当c<=a时， 1．若d<=(a+b)div2那么相当与其左儿子分该线段，所分该线段数树不超过log((a+b)div 2-a)，即不超过log(b-a),成立。
2．若d>(a+b) div 2那么相当于该线段被分为它左儿子表示的线段，加上右儿子分该线段，线段数不超过1+log(b-(a+b) div 2),也不超过 log(b-a)，成立。 对于d>=b的情况证明类似，不再赘述。 (2)在区间(a,b)中，对于任意线段也用归纳法证明。 对于单位区间，最多分为一段，成立。 若(a，b)的左儿子与右儿子均成立，则对于线段(c，d) 1．若d<=(a+b)div 2 则该区间所分该线段等于其左儿子区间所分该线段，线段数小于log((a+b) div 2-a)<2log(b-a)，成立。 2．若c>(a+b) div 2 则该区间所分该线段等于其右儿子区间所分该线段，线段数小于log(b-(a+b) div 2)<2log(b-a)，成立。 3．若1、2均不成立，则此线段在左儿子区间分该线段满足d>V.Lson.b,分该线段数不超过log(b-(a+b) div 2)，而在右儿子区间分该线段满 足c<=V.Rson.a,分该线段不超过log((a+b) div 2-1)，所以在该区间 分该线段不超过2log(b-a)，成立。 这个结论为线段树能在O(log L)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。 【例题一】蛇1 在平面上有N个点，现在要求一些线段，使其满足以下要求： a．这些线段必须闭合 b．线段的端点只能是这N个点 c．交于一点的两条线段成90度角 d．线段都必须平行于坐标轴 e．所有线段除在这N个点外不自交 f．所有线段的长度之和必须最短 如果存在这样的线段，则输出最小长度，否则输出0。 【问题分析】 从该题的要求入手，先构出符合要求的图，再解决线段长度之和最小的问题。1．题目显然要求一个以给定的N个点为顶点的N多边形。所有线段都要和坐标轴平行，所以每个点只能与上下左右四个点相连。由于与一个点相连的两条线段成90度，每个顶点必须与一条平行于X轴和一条平行于Y轴的线段相连。 2．将所有点排序后发现，在同一水平线上的点中，设这些点为P1，P2，P3，P4……Pn，P1要有一条平行于X轴的线段与其相连，就必须连它右边的点——P2，而P3如果再连P2，P2就有两条平行于X轴的线段和它相连，所以P3只能连P4，P5只能连P6……，同一垂直线上的点也是如此，所以线段的构造是唯一的，那么最小长度的问题就解决了。 3．由于解是唯一的，而是否相连只要广度扩展就可以判断了，所以关键在于判断由上述方法所构出线段是否合法——满足线段不在N个点之外自交： 1Saratov State University Problem Archive, 1028, Snake. 本题考查了基本的插入、删除和查找
NOI 国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自 C 博客 组合数学 计数与统计 2001- 符文杰：《Pólya 原理及其应用》 2003- 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007- 周冬：《生成树的计数及其应用》 2008- 陈瑜希《Pólya 计数法的应用》 数位问题 2009- 高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004- 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007- 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈 2002- 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》 2007- 王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG 游戏的若干拓展及变形》母函数 2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007- 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005- 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》 问答交互 2003- 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》 猜数问题
2003- 张宁：《猜数问题的研究:< 聪明的学生> 一题的推广》2006 - 龙《一类猜数问题的研究》 数据结 构 数据结 构 2005 - 何 林：《数据关系的简化》 2006 - 朱晨 光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 2007 - 何 森：《浅谈数据的合理组织》 2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001- 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005- 黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005- 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008- 苏煜《对块状链表的一点研究》动态树 2006- 陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007- 袁昕颢：《动态树及其应用》左偏树 2005- 黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005- 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》 2009- 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree 》线段树 2004- 林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006- 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》哈希表2005- 李羽修：《Hash 函数的设计优化》 2007- 杨弋：《Hash 在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004- 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》 图论 图论 2005- 任恺：《图论的基本思想及方法》