国家集训队2004论文集 肖天

“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用

天津市南开中学肖天

【摘要】本文通过对几道信息学竞赛题的解决，提出了一种解决问题的建模思想——分层图思想。该思想通过挖掘问题性质，将原问题抽象得出的图复

制为若干层并连接形成更大的图，使本来难以用数学语言表达得图论模

型变得简明严谨，为进一步解决问题打下了良好的基础。

【关键字】分层图思想图论数学模型最短路信息学竞赛

【正文】

1 引论

人们在借助计算机解决一个实际问题时，无非就是详细地告诉计算机应该怎么做，使它能通过人们给定的输入得到人们想要的输出。由于一般的计算机只能处理数字信号，所以只有把实际问题转化为数学问题，计算机才能帮助我们。这一步就是建立数学模型。

数学模型的建立在通过计算机解决问题的过程中非常重要。它把计算机无法理解的问题加以转化，使一切事物量化，最终变为只含数学过程的问题。它是人脑与计算机沟通的桥梁。不仅如此，数学模型的好坏直接影响着人与计算机之间的信息交流，影响着计算机对问题的“理解”。好的数学模型能够抓住问题的本质，表述简捷明了，易于人们找到有效的解决方法，并通过编制程序的方式将解决方法告诉计算机；相反，对于同一个问题，如果数学模型不能抓住问题本质，人们就可能无法解决问题，或者找不到有效的方法，更不用提告诉计算机如何做了。

由于建立数学模型是为了解决问题，所以人们在做这项工作时往往希望把问题归结为已经很好解决的经典问题或若干这样问题的有机结合。这样，只要应用前人的研究成果就可以了。比如，排序、求图的单源最短路、网络流等等都是经典问题，前人不仅给出一般解法，而且对各种特殊情况和变形作了深入的研究。但事情并不总像人们希望的那样，有的问题即使可以归结为已有问题，在其中加入一些干扰因素后，原有性质就会发生改变，原来建立起的数学模型难以再用严谨的数学语言表达。这样问题中的部分图论问题可以用本文提出的“分层图思想”解决。

该思想注重对原问题性质的挖掘，通过对原问题数学模型的扩展，将干扰因素融入新的数学模型之中，恢复了模型的严谨性，进而与已解决问题产生联系，得到有效算法。

2 提出“分层图思想”

2.1 一个问题的解决

例题1：拯救大兵瑞恩1

问题简述：有一个长方形的迷宫，被分成了N

行M列，共N*M个单元。两个相邻（有公共边）的

单元之间可以互通，或有一扇锁着的门，或者存在一

堵不可逾越的墙。迷宫中一些单元存放着钥匙，且所

有的门被分为P类，打开同类门的钥匙相同，打开

不同类门的钥匙不同。（如右图）

要求从迷宫左上角走到右下角营救大兵瑞恩，每

从一个单元移动到相邻单元记为一步。只有拿到钥

匙，才能打开相应的门。试求最少步数。

此题的标准解法是动态规划：以拿到的钥匙种类划分阶段，时间复杂度为O(2P N2)。（详见[1]）

其实此算法可以用“分层图思想”做出更简明的解释。

首先忽略钥匙和门，那么问题就是在一个给定隐

式图中求一条最短路，数学模型很简单：已知图G，

其中顶点与地图中的单元一一对应。当且仅当两格相

邻且之间无墙时，他们对应的顶点间有一条边（如右

图）。求从左上角对应顶点到右下角对应顶点最短路

长度。

加入钥匙和门的因素，则所求最短路有了一个限

制因素，即只有先到存在钥匙的格子，才能通过相应

的门。换句话说，通过图中某些边是有条件的。所以

不能再简单地求最短路了，而是要考虑何时那些边能通过，何时不能通过。这就要记录拿到了哪些钥匙。

此时，我们需对原模型进行改造：将原图G复制2P个，记为G(s1,s2,…,s P)，其中s i=0表示未拿到第i类钥匙，s i=1表示已拿到第i类钥匙，i=1,2,…,P。对每个图G(s1,s2,…,s P)，若s i=0，则将所有i类门对应的边去掉，因为没有此类钥匙不能通过此类门。再将其余所有边改为双向弧，权为1。对所有顶点对(u, v)及整数i，若它满足

l u、v分别在G(s1,s2,… , s i-1,0, s i+1,…,s P)、G(s1,s2,… , s i-1,1, s i+1,…,s P)中，且均对应(x, y)单元

l(x, y)格中有i类钥匙

则添加有向弧uv，权为0，表示走到(x, y)单元就可以由未拿到第i类钥匙转变为已拿到第i类钥匙，而不需要消耗额外的步数。

这样，这2P个图被连成了一个2P“层”的有向图（如下图）。问题转化为求由该图G(0,0,…,0)层表示左上角的顶点到每一层表示右下角的顶点的最短路长度的最小值。注意，这里需要求的不是到G(1,1,…,1) 层表示右下角的顶点的最

1选自1999年国际信息学奥林匹克中国国家队组队选拔赛，题目全文见参考文献[1]

短路长度，因为要成功营救大兵瑞恩很可能并不需要拿全所有的钥匙。

2.2 小结

可见，用此思想可以建立起更简洁、严谨的数学模型，进而很容易得到有效算法。重要的是，新建立的图有一些很好的性质：

由于层是由复制得到的，所以所有层都非常相似，以至于我们只要在逻辑上分出层的概念即可，根本不用在程序中进行新层的存储，甚至几乎不需要花时间去处理。

由于层之间的相似性，很多计算结果都是相同的。所以我们只需对这些计算进行一次，把结果存起来，而不需要反复计算。如此看来，虽然看起来图变大了，但实际上问题的规模并没有变大。

层之间是拓扑有序的。这也就意味着在层之间可以很容易实现递推等处理，为发现有效算法打下了良好的基础。

上述特点在例1的解决中体现得并不明显，所以本文给出的算法并不比标准算法更好。但这些特点说明这个分层图思想还是很有潜力的，尤其是各层有很多公共计算结果这一点，有可能大大消除冗余计算，进而降低算法时间复杂度。我们可以在下一个例子中看到这些。

3 分层图思想的应用

例题2：迷宫改造2

题目简述：

有一个长方形迷宫，其在南北方向被划分为N行，在东

西方向被划分为M列，于是整个迷宫被划分为N*M个单元。

我们用一个有序对（单元的行号，单元的列号）来表示单元

位置。南北或东西方向相邻的两个单元之间可能存在一堵墙，

也可能没有，墙是不可逾越的。

假定有P个人，他们分别从P个指定的起点出发，要求

2选自1999年全国青少年信息学奥林匹克冬令营比赛，文中引用的是此题第二问的一部分，题目全文见附录

他们只能向南或向东移动，分别到达P 个指定的终点。

问至少拆掉多少堵墙使得这是可行的（墙拆掉后可以任意通行），即所有的人可以从各自的起点出发依照游戏规则到达各自的终点。

参数限定：

3≤N ，M ≤20；1≤P ≤3

为说明方便，下面我们只讨论M =N ，P =3的情况。（P <3时，可以添加起点终点重合的人而使P 达到3）

解法1：仿照《方格取数》3一题进行动态规划。

以平行于副对角线的斜线划分阶段，令S (i ,x 1,x 2,x 3)表示三个人分别走到第i 条斜线上第x 1,x 2,x 3行需要拆掉的最少墙数。对于每一个状态，每个人有向南和向东两种走法，共23=8中决策。则有状态转移方程

+?+??+??+???+??+???+???+????=?),,,1(?

)1,,,1(?),1,,1(?)1,1,,1(?),,1,1(?)1,,1,1(?),1,1,1(?)1,1,1,1(min ),,,(3

213213

2132132

13213

21321321x x x i S x x x i S x x x i S x x x i S x x x i S x x x i S x x

x i S x x x i S x x x i S

其中，？表示相应决策需要拆的墙数，显然它只能在{0,1,2,3}中取值。由于

情况较多，这里不再赘述。

另外，由于每个人的起点并不一定在地图左上角，终点也不一定在地图右下角，所以递推时还要处理一些细节。详见附录中的程序。

此算法的时间复杂度为O(N 4)。

解法2：应用分层图思想建立数学模型，将问题转化为最短路问题 我们先来分析一下本题的特点。 首先，每个人移动路线的可行性是不受其他成员影响的，而在计算代价时不同人之间仅当他们经过同一堵墙时才有关系。如果忽略这种关系，那么每个人的路线应是他起点终点之间的一条最短路。换句话说，有的人可能会迁就其他人而导致其路线不是最短路，但他们不在公共路线上时每个成员的路线都是最短路。我们定义：

定义1：纯路段是某一可行解的一部分，他与每个家庭成员路线的交集要么是空集，要么是它本身（即它是该成员路线的一部分）。直观的说，某一可行解的纯路段不分岔。

定义2：极大纯路段是某个可行解的纯路段，但不是该解中任何其它纯路段的子路段。

这样，我们刚才得到的性质就可以表述为：最优解中的每个纯路段都是连接其两端点的最短路。所以，一个最优解可以由其中所有极大纯路段端点的集合唯一确定。于是我们就有了一个最朴素的算法：枚举这些端点。虽然这个算法的时

3

全国青少年信息学奥林匹克分区联赛复赛高中组第4题，原文及解法见参考文献[2]

间复杂度令人难以忍受，但他给了我们一个思路，即充分利用纯路段的最短路性质。

让我们进一步挖掘此题特点。此题与普通求最短路的问题最大的区别在于其中有多个人，他们有公共路段时，该路段的权只被计算一次。因此抓住公共路段是解决问题的关键。

经分析可以发现公共路段有以下特点：

定理1：存在一最优解，其中任两个人的公共路段不会多于一条，即任两个人的路线不会在会合、分离之后再次会合。

证明：假设某一最优解T中存在两个人A、B，他们在P点分离后又在Q点会合，设他们在P、Q之间的路线的权分别为W A、W B。则他们在P、Q之间的总代价为W=W A+W B。那么必然存在另一可行解T’，它与T的唯一差别是B在P、Q之间的路线改为与A相同。则T’中A、B在P、Q之间的总代价为W’=W A。由于W’≤W，所以T’也是最优解。因此可以通过有限次像上面的变换去掉某一最优解中的所有“会合——分离——再会合”的情况而保持其最优解的性质。证毕。

定理2：当P≤3时，存在一最优解，其中所有人的路线之并集无环。（路线看作是无向路径）

证明：这实际是对定理1的简单推广。假设某一最优解T中有环，

且应用定理1去掉两人产生的环之后仍存在环。那么该环必然由三人

产生，且只有右图一种情况。类似于定理1的证明，C人的PS段路

线显然可以由PQRS代替，而省去PS段的费用，新得到的解必是最

优解。如此总能得到无环的最优解。证毕。

定理3：当P≤3时，对一个无环的最优解T，其中的所有公共路

段可以用一条从左上角到右下角的路线覆盖。

证明：假设T中有两条公共路段不能被一条从左上角到右下角的

假想路线覆盖，那么显然他们不能属于同一个人的路线（否则此人的

路线即满足要求）。又因每条公共路段至少属于两人，所以P≥4。与P≤3矛盾。证毕。

定义：对于一个最优解T，如果一条从左上角到右下角的路线可以覆盖T中的所有公共路段，则称该路线为T的主路线。

这样，一个最优解可以这样描述：它是由一条主路线和一些从主路线伸向各成员起点和终点的支路线组成的。在这个最优解中，每个成员从他的起点出发，要么先通过支路进入主路线，经过一段路后再走上支路到达终点，要么不经过主路线直接走到终点。由于主路线覆盖了所有的公共路段，所以所有的支路都是纯路段，他们都有最短路的性质。应用这个性质，我们可以通过预处理求得所有支路的长度，就像对待P=1的情况一样进行动态规划，时间复杂度为O(N2)。

接下来，只有如何确定主路线的问题我们尚未解决。容易看出，这个问题与P=1的情况十分类似，只不过同时要确定支路与主路线会合点和分离点。可以把支路与主路线的会合与分离看作主路线状态的改变。这样，就可以用“图的分层思想”解决这个问题了。

由于每个成员由起点到终点的过程可以分为三部分：支路——主路线——支路，所以每个成员对主路线有三种状态：未进入——已进入——已离开。于是，对于每个成员，我们把地图复制为三层。一共复制为3P层，用G(s1, s2, s3)表示三个人状态为(s1, s2, s3)的层。未进入、已进入、已离开三种状态分别用0、1、2表示。针对成员1，我们从G(0, s2, s3)中每个点向G(1, s2, s3)中相应点引一条有向

弧，权为该成员起点到该点的最短距离（即已经在预处理中求得的支路长度），如果无法从该成员起点到达该点，则权为∞。同样，从G(1, s2, s3)中每个点向G(2, s2, s3)中相应点引一条有向弧，权为该点到该成员终点的最短距离，如果无法从该点到达该成员终点，则权为∞。然后，我们求从G(0, 0, 0)左上角的顶点到其他点的单源最短路径。这里需要注意一点，答案并不一定是从G(0, 0, 0)左上角的顶点到G(2, 2, 2)右下角的顶点最短路长度。因为此时我们忽略了一点，即前面提过的有的成员可能“不经过主路线直接走到终点”。所以我们应该考虑每个成员是否进入主路线，共8种情况。

至此，我们已经圆满解决了这个问题。解法2中预处理时间复杂度为O(N2)，之后求最短路的时间复杂度为O(N2)，所以总时间复杂度是O(N2)，这大大低于解法1。

但是，解法1可以将P推广到更大的数，而解法2只能解决P≤3的问题。实际上，解法1中提到的《方格取数》一题应用网络流模型可以有更好的算法，可是作者依照这个思路并没有建立起此题的网络流模型。但这仍是一个很有价值的问题，有待解决。

4 总结

挖掘问题性质是该思想的关键，针对我们不能用严谨的数学语言表达的因素，进行图的分层，即相当于分类讨论，将未知变为已知。这样做实际是强化了原有问题的性质。通过这样的处理，新得到的图论模型特点更突出，更易于找到解决方法。

【参考文献】

[1]江涛，王颖寒，骆静辰编，信息学奥林匹克竞赛题解精编，南京大学出版社，2000.6

[2]章维铣编著，全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛试题解析（中学），南京大学出版社，2001.6

【附录】

1.《迷宫改造》题目原文：

问题描述：

XX娱乐公司最近获得了一些古希腊迷宫的拥有权，为了使这些古典式的迷宫能够吸引更多的游客，XX公司对这些迷宫进行了合理的改造。你的任务是根据所给的一个迷宫，针对公司的要求，在原有的迷宫的基础上设计出一个最佳的新式迷宫。

迷宫的外型是一个长方形，其在南北方向被划分为N行，

在东西方向被划分为M列，于是整个迷宫被划分为N*M个单

元。我们用一个有序对（单元的行号，单元的列号）来表示单

元位置。南北或东西方向相邻的两个单元之间存在一堵墙或者

一扇门，墙是不可逾越的，门是双向的且可以任意通过。出于

保护文物的目的，XX公司决定只适当地将墙改置为门，而不

进行其他改造，并且要求新迷宫是最佳的，即新置的门的总数要最少。

公司首先需要你设计出一个最佳迷宫，使游客可以在改造后的新式迷宫中的任一单元出发，到达其他任何单元。这样的最佳迷宫称为第一类最佳迷宫。（占每个测试点分值的30%）

另外，公司计划推出一个面向家庭的迷宫游戏，游戏规则如下：

假定有P个家庭成员，他们分别从P个指定的起点出发，要求他们只能向南或向东移动，分别到达P个指定的终点。

公司需要你针对上述游戏规则，设计一个最佳的迷宫，使得这样的游戏是可行的，即所有的家庭成员可以从各自的起点出发依照游戏规则到达各自的终点。这样的最佳迷宫称为第二类最佳迷宫。（占每个测试点分值的70%）

输入输出要求

输入要求

输入文件

第一行是两个整数，依次表示N，M的值；

第二行是一个整数K，表示原迷宫中门的总个数；

第i+2行（1≤i≤K〉，有四个整数，依次为X i1,Y i1,X i2,Y i2,表示第X i1行第Y i1列的单元与第X i2行Y i2列的单元之间有一扇门。（其中|X i1-X i2|+|Y i1-Y i2|=1）第K+3行是一个整数，表示P的值；

第K+3+j行（1≤j≤P），有四个整数：X j1,Y j1,X j2,Y j2,分别表示第j个家庭成员出发的起点位置（X j1,Y j1）和他要到达的终点位置（X j2,Y j2）。（其中X j1≤X j2,Y j1≤Y j2,(X j1,Y j1)≠(X j2,Y j2)）

注意：输入数据同一行各相邻整数之间用一个空格分隔。

输出要求

输出文件

共P+2行

第一行是一个整数，表示你所设计的第一类最佳迷宫中，新置的门的个数；

第二行是一个整数，表示你所设计的第二类最佳迷宫总的起点到终点的一条可行路径，其中

第i+2行（1≤i≤P）表示第i个家庭成员的一条可行路径（包括起点），该行只有一个由大写字母S和大写字母E组成的字符串，第j位字符表示他在路径上

的第j个单元的移动方向：大写字母S表示向南，大写字母E表示向东。

样本数据

样本输入文件

4 4

5

1 1 1 2

1 4

2 4

2 1

3 1

2 2

3 2

4 2 4 3

3

2 1 4 3

1 2 4 2

3 1

4 4

样本输出文件

10

4

SESE

SSS

ESEE

评分标准

每个测试点规定时间限制，如果在规定时间限制内，选手程序不能够正常退出，即判超时，该测试点计0分，而不考虑输出文件的正误。如在规定时间限制内，选手程序能够正常退出，则考虑输出文件：

第1行独立评分，即若第一行的输出正确，得测试点分值的30%；

第2~2+P行联合评分，即：

若第2行的输出正确，而第3~2+P行的输出错误，得测试点分值的40%

若第2~2+P行的输出都正确，得测试点分值的70%

参数限定

3≤N，M≤20；1≤P≤3

备注

源程序的文件名：Maze.pas/Maze.c/Maze.cpp/Maze.bas

可执行文件的文件名：Maze.exe

输入文件的文件名键盘输入

输出文件的文件名键盘输入

2.《迷宫改造》解法1的程序：

{written by Xiao Tian}

{Algorithm : dynamic programming}

Program Maze;

Const

Ofs:Array[0..3,1..2] Of Integer{^<>v}

=((-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0));

cUp=0; cLeft=1; cRight=2; cDown=3;

InName='Maze.in0';

OutName='Maze.out';

MM=60;

Type

qType=Array[0..8] Of LongInt;

Var

InFile,OutFile:Text;

Map:Array[1..MM,1..MM,0..3] Of ShortInt;

N,M,DoorC,ManC:LongInt;

Data:Array[1..3,1..4] Of Integer;

i,j,k,Int1,Int2,Int3,Int4:LongInt;

x:Array[1..3] Of Integer;

Top,Bottom:Array[0..3] Of LongInt;

S:Array[1..MM*2-1,0..MM,0..MM,0..MM] Of Integer;

IsInWay:Array[1..3,1..MM,1..MM] Of ShortInt;

{-1=not in his way; 0=just at the start point; 1=in his way} IsCanMoveUp,IsCanMoveLeft:Array[1..3,1..MM,1..MM] Of Boolean; wUp,wLeft:Array[1..3] Of Integer;

q,qInit:qType;

Function MinOfArr(q:qType;MaxIndex:Integer):Integer;

{find the smallest element in q[]}

Var

i,P:Integer;

Begin

q[0]:=MaxInt;

P:=0;

For i:=1 To MaxIndex Do

If q[i]

P:=i;

MinOfArr:=q[P];

End;

Function Max(Int1,Int2:Integer):Integer;

Begin

If Int1>Int2 Then Max:=Int1 Else Max:=Int2;

End;

Function Min(Int1,Int2:Integer):Integer;

Begin

If Int1

End;

Begin

Assign(InFile,InName);

Reset(InFile);

Assign(OutFile,OutName);

Rewrite(OutFile);

ReadLn(InFile,N,M);

ReadLn(InFile,DoorC);

FillChar(Map,SizeOf(Map),1);

For i:=1 To DoorC Do

Begin

ReadLn(InFile,Int1,Int2,Int3,Int4);

For j:=0 To 3 Do

If (Int1+Ofs[j,1]=Int3) And (Int2+Ofs[j,2]=Int4) Then

Begin

Map[Int1,Int2,j]:=0;

Map[Int3,Int4,3-j]:=0;

Break;

End;

End;

ReadLn(InFile,ManC);

For i:=1 To ManC Do

ReadLn(InFile,Data[i,1],Data[i,2],Data[i,3],Data[i,4]); Close(InFile);

For i:=ManC+1 To 3 Do

Begin

Data[i,1]:=N;

Data[i,2]:=M;

Data[i,3]:=N;

Data[i,4]:=M;

End;

{Problem 2}

{preprocessing}

For i:=1 To 8 Do qInit[i]:=MaxInt;

FillChar(IsCanMoveUp,SizeOf(IsCanMoveUp),False);

FillChar(IsCanMoveLeft,SizeOf(IsCanMoveLeft),False);

For i:=1 To 3 Do

Begin

For j:=Data[i,1]+1 To Data[i,3] Do

For k:=Data[i,2] To Data[i,4] Do

IsCanMoveUp[i,j,k]:=True;

For j:=Data[i,1] To Data[i,3] Do

For k:=Data[i,2]+1 To Data[i,4] Do

IsCanMoveLeft[i][j][k]:=True;

End;

{dp}

FillWord(S,SizeOf(S) Div 2,9999);

S[1,1,1,1]:=0;

For i:=2 To N+M-1 Do

Begin

Top[0]:=Max(1,i-M+1);

Bottom[0]:=Min(i,N);

For j:=1 To 3 Do

If Data[j,1]+Data[j,2]-1=i Then

Begin Top[j]:=Data[j,1]; Bottom[j]:=Data[j,1] End

Else If Data[j,3]+Data[j,4]-1=i Then

Begin Top[j]:=Data[j,3]; Bottom[j]:=Data[j,3] End

Else Begin Top[j]:=Top[0]; Bottom[j]:=Bottom[0] End;

For x[1]:=Top[1] To Bottom[1] Do

For x[2]:=Top[2] To Bottom[2] Do

For x[3]:=Top[3] To Bottom[3] Do

Begin

q:=qInit;

For j:=1 To 3 Do

Begin

If IsCanMoveUp[j,x[j],i-x[j]+1] Then

wUp[j]:=Map[x[j],i-x[j]+1,cUp]

Else wUp[j]:=0;

If IsCanMoveLeft[j,x[j],i-x[j]+1] Then

wLeft[j]:=Map[x[j],i-x[j]+1,cLeft]

Else wLeft[j]:=0;

End;

If (x[1]>1) And (x[2]>1) And (x[3]>1) Then

Begin

q[1]:=

S[i-1,x[1]-1,x[2]-1,x[3]-1]+wUp[1]+wUp[2]+wUp[3];

If x[1]=x[2] Then Dec(q[1],wUp[1] And wUp[2]);

If x[2]=x[3] Then Dec(q[1],wUp[2] And wUp[3]);

If x[3]=x[1] Then Dec(q[1],wUp[3] And wUp[1]);

If (x[1]=x[2]) And (x[2]=x[3]) Then Inc(q[1],wUp[1] And wUp[2] And wUp[3]);

End;

If (x[1]1) And (x[3]>1) Then

Begin

q[2]:=

S[i-1,x[1],x[2]-1,x[3]-1]+wLeft[1]+wUp[2]+wUp[3];

If x[2]=x[3] Then Dec(q[2],wUp[2] And wUp[3]);

End;

If (x[1]>1) And (x[2]1) Then

Begin

q[3]:=

S[i-1,x[1]-1,x[2],x[3]-1]+wUp[1]+wLeft[2]+wUp[3];

If x[3]=x[1] Then Dec(q[3],wUp[3] And wUp[1]);

End;

If (x[1]1) Then

Begin

q[4]:=

S[i-1,x[1],x[2],x[3]-1]+wLeft[1]+wLeft[2]+wUp[3];

If x[1]=x[2] Then Dec(q[4],wLeft[1] And wLeft[2]);

End;

If (x[1]>1) And (x[2]>1) And (x[3]

Begin

q[5]:=

S[i-1,x[1]-1,x[2]-1,x[3]]+wUp[1]+wUp[2]+wLeft[3];

If x[1]=x[2] Then Dec(q[5],wUp[1] And wUp[2]);

End;

If (x[1]1) And (x[3]

Begin

q[6]:=

S[i-1,x[1],x[2]-1,x[3]]+wLeft[1]+wUp[2]+wLeft[3];

If x[1]=x[3] Then Dec(q[6],wLeft[1] And wLeft[3]);

End;

If (x[1]>1) And (x[2]

Begin

q[7]:=

S[i-1,x[1]-1,x[2],x[3]]+wUp[1]+wLeft[2]+wLeft[3];

If x[2]=x[3] Then Dec(q[7],wLeft[2] And wLeft[3]);

End;

If (x[1]

Begin

q[8]:=

S[i-1,x[1],x[2],x[3]]+wLeft[1]+wLeft[2]+wLeft[3];

If x[1]=x[2] Then Dec(q[8],wLeft[1] And wLeft[2]);

If x[2]=x[3] Then Dec(q[8],wLeft[2] And wLeft[3]);

If x[3]=x[1] Then Dec(q[8],wLeft[3] And wLeft[1]);

If (x[1]=x[2]) And (x[2]=x[3]) Then Inc(q[8],wLeft[1] And wLeft[2] And wLeft[3]);

End;

S[i,x[1],x[2],x[3]]:=MinOfArr(q,8);

End;

End;

WriteLn(OutFile,S[M+N-1,N,N,N]);

Close(OutFile);

End.

3.《迷宫改造》解法2的程序（打印路径部分尚有一些bug）：

{written by Xiao Tian}

Program Maze;

Const

Ofs:Array[0..3,1..2] Of Integer{^<>v}

=((-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0));

InName='Maze.in0';

OutName='Maze.out';

MM=400;

Type

qType=Array[0..8] Of LongInt;

Var

InFile,OutFile:Text;

Map:Array[1..MM,1..MM,0..3] Of ShortInt;

N,M,DoorC,ManC:LongInt;

Data:Array[1..3,1..4] Of Integer;

Flag:Array[1..MM,1..MM] Of Boolean;

i,j,k,Int1,Int2,Int3,Int4,Ans:LongInt;

st1,st2,st3,Delta,X,Y:Integer;

q,qInit:qType;

SP:Array[1..3,1..2,1..MM,1..MM] Of Integer;

SP_Path:Array[1..3,1..2,1..MM,1..MM] Of Char;

{len of Shortest Path}

{index : which man, which end, x, y}

Directly:Array[1..3] Of Integer;

S:Array[1..MM,1..MM,0..2,0..2,0..2] Of Integer;

S_Path:Array[1..MM,1..MM,0..2,0..2,0..2] Of ShortInt;

{index : x, y, states of the 3 men(0=not joined yet, 1=together, 2=left already)}

AnsMode:ShortInt;

Path:Array[1..3] Of String;

CommonStep:Char;

Procedure DFS(X,Y:Integer);

Var

i:Integer;

Begin

Flag[X,Y]:=True;

For i:=0 To 3 Do

If Map[X,Y,i]=0 Then

If Not Flag[X+Ofs[i,1],Y+Ofs[i,2]] Then

DFS(X+Ofs[i,1],Y+Ofs[i,2]);

End;

Function MinOfArr(q:qType;MaxIndex:Integer;Var P:ShortInt):Integer;

{find the smallest element in q[], P is the index of it} Var

i:Integer;

Begin

q[0]:=MaxInt;

P:=0;

For i:=1 To MaxIndex Do

If q[i]

P:=i;

MinOfArr:=q[P];

End;

Function BuildPath(ManID,EndID,X,Y:Integer):String;

Var

CurStr:String;

Begin

CurStr:='';

While SP_Path[ManID,EndID,X,Y]<>'x' Do

Begin

If SP_Path[ManID,EndID,X,Y]='S' Then

Begin

If EndID=1 Then

Begin

CurStr:='S'+CurStr;

Dec(X);

End

Else Begin

CurStr:=CurStr+'S';

Inc(X);

End;

End

Else Begin

If EndID=1 Then

Begin

CurStr:='E'+CurStr;

Dec(Y);

End

Else Begin

CurStr:=CurStr+'E';

Inc(Y);

End;

End;

End;

BuildPath:=CurStr;

End;

Begin

Assign(InFile,InName);

Reset(InFile);

Assign(OutFile,OutName);

Rewrite(OutFile);

ReadLn(InFile,N,M);

ReadLn(InFile,DoorC);

FillChar(Map,SizeOf(Map),1);

For i:=1 To DoorC Do

Begin

ReadLn(InFile,Int1,Int2,Int3,Int4);

For j:=0 To 3 Do

If (Int1+Ofs[j,1]=Int3) And (Int2+Ofs[j,2]=Int4) Then

Begin

Map[Int1,Int2,j]:=0;

Map[Int3,Int4,3-j]:=0;

Break;

End;

End;

ReadLn(InFile,ManC);

For i:=1 To ManC Do

ReadLn(InFile,Data[i,1],Data[i,2],Data[i,3],Data[i,4]);

Close(InFile);

For i:=ManC+1 To 3 Do

Begin

Data[i,1]:=N;

Data[i,2]:=M;

Data[i,3]:=N;

Data[i,4]:=M;

End;

For i:=1 To 8 Do qInit[i]:=MaxInt;

{Problem 2}

{calculate the shortest paths from(to) the 6 ends of the 3 men to(from) everywhere}

FillWord(SP,SizeOf(SP) Div 2,MaxInt);

For i:=1 To 3 Do

Begin

{about beginning point}

SP[i,1,Data[i,1],Data[i,2]]:=0;

SP_Path[i,1,Data[i,1],Data[i,2]]:='x';

For j:=Data[i,1]+1 To N Do

Begin

SP[i,1,j,Data[i,2]]:=

SP[i,1,j-1,Data[i,2]]+Map[j,Data[i,2],0];

SP_Path[i,1,j,Data[i,2]]:='S';

End;

For k:=Data[i,2]+1 To M Do

Begin

SP[i,1,Data[i,1],k]:=

SP[i,1,Data[i,1],k-1]+Map[Data[i,1],k,1];

SP_Path[i,1,Data[i,1],k]:='E';

End;

For j:=Data[i,1]+1 To N Do

For k:=Data[i,2]+1 To M Do

Begin

If SP[i,1,j,k]>SP[i,1,j-1,k]+Map[j,k,0] Then

Begin

SP[i,1,j,k]:=SP[i,1,j-1,k]+Map[j,k,0];

SP_Path[i,1,j,k]:='S';

End;

If SP[i,1,j,k]>SP[i,1,j,k-1]+Map[j,k,1] Then

Begin

SP[i,1,j,k]:=SP[i,1,j,k-1]+Map[j,k,1];

SP_Path[i,1,j,k]:='E';

End;

End;

{about finishing point}

SP[i,2,Data[i,3],Data[i,4]]:=0;

SP_Path[i,2,Data[i,3],Data[i,4]]:='x';

For j:=Data[i,3]-1 DownTo 1 Do

Begin

SP[i,2,j,Data[i,4]]:=

SP[i,2,j+1,Data[i,4]]+Map[j+1,Data[i,4],0];

SP_Path[i,2,j,Data[i,4]]:='S';

End;

For k:=Data[i,4]-1 DownTo 1 Do

Begin

SP[i,2,Data[i,3],k]:=

SP[i,2,Data[i,3],k+1]+Map[Data[i,3],k+1,1];

SP_Path[i,2,Data[i,3],k]:='E';

End;

For j:=Data[i,3]-1 DownTo 1 Do

For k:=Data[i,4]-1 DownTo 1 Do

Begin

If SP[i,2,j,k]>SP[i,2,j+1,k]+Map[j+1,k,0] Then

Begin

SP[i,2,j,k]:=SP[i,2,j+1,k]+Map[j+1,k,0];

SP_Path[i,2,j,k]:='S';

End;

If SP[i,2,j,k]>SP[i,2,j,k+1]+Map[j,k+1,1] Then

Begin

SP[i,2,j,k]:=SP[i,2,j,k+1]+Map[j,k+1,1];

SP_Path[i,2,j,k]:='E';

End;

End;

End;

For i:=1 To 3 Do

Directly[i]:=SP[i,1,Data[i,3],Data[i,4]];

{dynamic}

FillWord(S,SizeOf(S) Div 2,MaxInt);

S[1,1,0,0,0]:=0;

S_Path[1,1,0,0,0]:=-1;

For i:=1 To N Do

For j:=1 To M Do

For st1:=0 To 2 Do

For st2:=0 To 2 Do

For st3:=0 To 2 Do

Begin

If (i=1) And (j=1) And (st1=0) And (st2=0) And (st3=0) Then Continue;

q:=qInit;

If i>1 Then

Begin

If (st1<>1) And (st2<>1) And (st3<>1) Then

Delta:=0

Else Delta:=Map[i,j,0];

q[1]:=S[i-1,j,st1,st2,st3]+Delta;

End;

If j>1 Then

Begin

If (st1<>1) And (st2<>1) And (st3<>1) Then

Delta:=0

Else Delta:=Map[i,j,1];

q[2]:=S[i,j-1,st1,st2,st3]+Delta;

End;

If st1=1 Then q[3]:=S[i,j,0,st2,st3]+SP[1,1,i,j];

If st1=2 Then q[4]:=S[i,j,1,st2,st3]+SP[1,2,i,j];

If st2=1 Then q[5]:=S[i,j,st1,0,st3]+SP[2,1,i,j];

If st2=2 Then q[6]:=S[i,j,st1,1,st3]+SP[2,2,i,j];

If st3=1 Then q[7]:=S[i,j,st1,st2,0]+SP[3,1,i,j];

If st3=2 Then q[8]:=S[i,j,st1,st2,1]+SP[3,2,i,j];

S[i,j,st1,st2,st3]:=MinOfArr(q,8,S_Path[i,j,st1,st2,st3]); End;

{get the answer}

q[1]:=S[N,M,2,2,2];

q[2]:=S[N,M,0,2,2]+Directly[1];

q[3]:=S[N,M,2,0,2]+Directly[2];

q[4]:=S[N,M,2,2,0]+Directly[3];

q[5]:=S[N,M,0,0,2]+Directly[1]+Directly[2];

q[6]:=S[N,M,2,0,0]+Directly[2]+Directly[3];

q[7]:=S[N,M,0,2,0]+Directly[3]+Directly[1];

q[8]:=S[N,M,0,0,0]+Directly[1]+Directly[2]+Directly[3];

Ans:=MinOfArr(q,8,AnsMode);

WriteLn(OutFile,Ans);

(* there is some bug in this period of code

{build the path of the 3}

For i:=1 To 3 Do Path[i]:='';

X:=N; Y:=M;

Case AnsMode Of

1:Begin st1:=2; st2:=2; st3:=2; End;

2:Begin st1:=0; st2:=2; st3:=2; End;

3:Begin st1:=2; st2:=0; st3:=2; End;

4:Begin st1:=2; st2:=2; st3:=0; End;

5:Begin st1:=0; st2:=0; st3:=2; End;

6:Begin st1:=2; st2:=0; st3:=0; End;

7:Begin st1:=0; st2:=2; st3:=0; End;

8:Begin st1:=0; st2:=0; st3:=0; End;

End;

Repeat

CommonStep:='x';

Case S_Path[X,Y,st1,st2,st3] Of

1:Begin CommonStep:='S'; Dec(X); End;

2:Begin CommonStep:='E'; Dec(Y); End;

3:Begin Path[1]:=BuildPath(1,1,X,Y)+Path[1]; Dec(st1); End;

4:Begin Path[1]:=BuildPath(1,2,X,Y)+Path[1]; Dec(st1); End;

5:Begin Path[2]:=BuildPath(2,1,X,Y)+Path[2]; Dec(st2); End;

6:Begin Path[2]:=BuildPath(2,2,X,Y)+Path[2]; Dec(st2); End;

7:Begin Path[3]:=BuildPath(3,1,X,Y)+Path[3]; Dec(st3); End;

8:Begin Path[3]:=BuildPath(3,2,X,Y)+Path[3]; Dec(st3); End;

-1:Break;

End;

If CommonStep<>'x' Then

Begin

If st1=1 Then Path[1]:=CommonStep+Path[1];

If st2=1 Then Path[2]:=CommonStep+Path[2];

If st3=1 Then Path[3]:=CommonStep+Path[3];

End;

Until False;

For i:=1 To ManC Do WriteLn(OutFile,Path[i]);*)

Close(OutFile);

End.

国家集训队2004论文集 肖天

“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用 天津市南开中学肖天 【摘要】本文通过对几道信息学竞赛题的解决，提出了一种解决问题的建模思想——分层图思想。该思想通过挖掘问题性质，将原问题抽象得出的图复 制为若干层并连接形成更大的图，使本来难以用数学语言表达得图论模 型变得简明严谨，为进一步解决问题打下了良好的基础。 【关键字】分层图思想图论数学模型最短路信息学竞赛 【正文】 1 引论 人们在借助计算机解决一个实际问题时，无非就是详细地告诉计算机应该怎么做，使它能通过人们给定的输入得到人们想要的输出。由于一般的计算机只能处理数字信号，所以只有把实际问题转化为数学问题，计算机才能帮助我们。这一步就是建立数学模型。 数学模型的建立在通过计算机解决问题的过程中非常重要。它把计算机无法理解的问题加以转化，使一切事物量化，最终变为只含数学过程的问题。它是人脑与计算机沟通的桥梁。不仅如此，数学模型的好坏直接影响着人与计算机之间的信息交流，影响着计算机对问题的“理解”。好的数学模型能够抓住问题的本质，表述简捷明了，易于人们找到有效的解决方法，并通过编制程序的方式将解决方法告诉计算机；相反，对于同一个问题，如果数学模型不能抓住问题本质，人们就可能无法解决问题，或者找不到有效的方法，更不用提告诉计算机如何做了。 由于建立数学模型是为了解决问题，所以人们在做这项工作时往往希望把问题归结为已经很好解决的经典问题或若干这样问题的有机结合。这样，只要应用前人的研究成果就可以了。比如，排序、求图的单源最短路、网络流等等都是经典问题，前人不仅给出一般解法，而且对各种特殊情况和变形作了深入的研究。但事情并不总像人们希望的那样，有的问题即使可以归结为已有问题，在其中加入一些干扰因素后，原有性质就会发生改变，原来建立起的数学模型难以再用严谨的数学语言表达。这样问题中的部分图论问题可以用本文提出的“分层图思想”解决。 该思想注重对原问题性质的挖掘，通过对原问题数学模型的扩展，将干扰因素融入新的数学模型之中，恢复了模型的严谨性，进而与已解决问题产生联系，得到有效算法。

国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营

国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》换发及变更的通知 【法规类别】旅游综合规定 【发文字号】旅管理函[2008]16号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2008.02.02 【实施日期】2008.02.02 【时效性】现行有效 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》换发及变 更的通知 （旅管理函〔2008〕16号） 各省、自治区、直辖市旅游局（委）： 为了进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》的换发和变更，现根据《旅行社管理条例》及实施细则，就有关事项通知如下： 一、《国际旅行社业务经营许可证》有效期为三年，国际旅行社应当在《国际旅行社业务经营许可证》到期之日前的三个月内，持许可证到原颁证机关（国家旅游局）换发。 二、《国际旅行社业务经营许可证》在有效期内需要变更许可证载明事项内容的，应当在完成工商部门的变更登记之日起的相关规定期限内，持相关材料和许可证到原颁证机

关申请换发。 三、《国际旅行社业务经营许可证》损坏的，应当在相关规定期限内将损坏《国际旅行社业务经营许可证》正、副本上交颁证机关申请换发。 四、《国际旅行社业务经营许可证》遗失的，应当在遗失之日起的相关规定期限内在当地公开发行的报纸上刊登启事，并提供报纸原件向颁证机关申请换发。 五、《国际旅行社业务经营许可证》涉及变更事项的，各省（自治区、直辖市）旅游局须认真审验相关材料，并在《国际旅行社变更事项备案登记表》内签章。 附件：1、《国际旅行社业务经营许可证》变更事项所需提供材料的具体规定 2、国际旅行社变更事项备案登记表 国家旅游局质量规范与管理司 2008年2月2日附件1： 《国际旅行社业务经营许可证》变更事项 所需提供材料的具体规定

NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)

摘抄自C博客 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》 2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》 2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》 数位问题 2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》 博弈 2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》 母函数 2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》 问答交互 2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》 猜数问题 2003 - 张宁：《猜数问题的研究:<聪明的学生>一题的推广》

2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》 数据结构 数据结构 2005 - 何林：《数据关系的简化》 2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》 2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005 - 黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》 动态树 2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》 左偏树 2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》 2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》 线段树 2004 - 林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》 哈希表 2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》 2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》

国家集训队2001论文集 毛子青

动态规划算法的优化技巧 福州第三中学毛子青 [关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态 [摘要] 动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文。 [正文] 一、引言 动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。 使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。 本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。 二、动态规划时间复杂度的分析 使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。 但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。 下面给出动态规划时间复杂度的决定因素： 时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1] 下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。 三、动态规划时间效率的优化 3.1 减少状态总数 我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。

国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法(试行)》的通知

国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法(试行)》的通 知 【法规类别】旅游服务机构导游人员管理 【发文字号】旅办发[2010]198号 【修改依据】国家旅游局办公室关于修订《导游IC卡发放管理办法(试行)》等事项的通知 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2010.12.28 【实施日期】2010.12.28 【时效性】已被修改 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法（试行）》的通知 （旅办发（2010）198号） 各省、自治区、直辖市旅游局（委）： 为规范和加强导游IC卡发放管理工作，健全导游IC卡使用管理制度，现将《导游IC卡发放管理办法（试行）》，印发给你们，并就有关事项通知如下： 一、自2011年1月1日起，由各省、自治区、直辖市和新疆生产建设兵团旅游局（委）（以下简称“省级旅游局”）负责本地区（系统）导游IC卡的制作、颁发和监督检查工作；原有A版制版系统城市不再发放和制作导游IC卡，继续承担IC卡年审职责，系统

保留年审功能；原有B版系统的城市职责和系统功能不变。 二、请各省级旅游局通知并督促使用A版系统城市旅游局立即停止制作发放IC卡，协调配合系统开发维护单位完成对系统软硬件的调整和剩余导游IC卡的清理回收工作，于2010年12月31日前将清理情况书面报告我局。 三、自本通知发出之日起，我局只向各省级旅游局发放导游IC卡，请各省级旅游局在开展导游IC卡系统调整和IC卡清理回收工作的同时，研究制订相关管理办法，与清理工作一并报我局备案。 四、换卡、补卡收取成本费的标准为30元/张（含卡、卡套和加工制作、邮寄等全部费用），汇付账户和具体方式另行通知。 五、我局将对各省导游IC卡发放管理工作进行不定期抽查和调研工作。 《导游IC卡发放管理办法（试行）》和此通知执行中有重要情况和意见，请及时报告我局。 特此通知。 联系人：卓超美 联系电话：（010）65201338 国家旅游局办公室 二Ｏ一Ｏ年十二月二十八日 导游IC卡发放管理办法（试行） 第一条依据《导游人员管理条例》，为规范导游IC卡的发放管理，制定本办法。

国家集训队2005论文集 黄源河

左偏树的特点及其应用 广东省中山市第一中学黄源河 【摘要】 本文较详细地介绍了左偏树的特点以及它的各种操作。 第一部分提出可并堆的概念，指出二叉堆的不足，并引出左偏树。第二部分主要介绍了左偏树的定义和性质。第三部分详细地介绍了左偏树的各种操作，并给出时间复杂度分析。第四部分通过一道例题，说明左偏树在当今信息学竞赛中的应用。第五部分对各种可并堆作了一番比较。最后总结出左偏树的特点以及应用前景。 【关键字】左偏树可并堆优先队列 【目录】 一、引言 (2) 二、左偏树的定义和性质 (2) 2.1 优先队列，可并堆 (2) 2.1.1 优先队列的定义 (2) 2.1.2 可并堆的定义 (2) 2.2 左偏树的定义 (3) 2.3 左偏树的性质 (4) 三、左偏树的操作 (5) 3.1 左偏树的合并 (5) 3.2 插入新节点 (7) 3.3 删除最小节点 (8) 3.4 左偏树的构建 (8) 3.5 删除任意已知节点 (9) 3.6 小结 (12) 四、左偏树的应用 (13) 4.1 例——数字序列（Baltic 2004） (13) 五、左偏树与各种可并堆的比较 (15) 5.1 左偏树的变种——斜堆 (15) 5.2 左偏树与二叉堆的比较 (16) 5.3 左偏树与其他可并堆的比较 (16) 六、总结 (18)

【正文】 一、引言 优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队列都有着广泛的应用。二叉堆是一种常用的优先队列，它编程简单，效率高，但如果问题需要对两个优先队列进行合并，二叉堆的效率就无法令人满意了。本文介绍的左偏树，可以很好地解决这类问题。 二、左偏树的定义和性质 在介绍左偏树之前，我们先来明确一下优先队列和可并堆的概念。 2.1优先队列，可并堆 2.1.1优先队列的定义 优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。优先队列的节点至少要包含一种性质：有序性，也就是说任意两个节点可以比较大小。为了具体起见我们假设这些节点中都包含一个键值(key)，节点的大小通过比较它们的键值而定。优先队列有三个基本的操作：插入节点(Insert)，取得最小节点(Minimum) 和删除最小节点(Delete-Min)。 2.1.2可并堆的定义 可并堆(Mergeable Heap)也是一种抽象数据类型，它除了支持优先队列的三个基本操作(Insert, Minimum, Delete-Min)，还支持一个额外的操作——合并操作： H ← Merge(H1,H2) Merge( ) 构造并返回一个包含H1和H2所有元素的新堆H。 前面已经说过，如果我们不需要合并操作，则二叉堆是理想的选择。可惜合并二叉堆的时间复杂度为O(n)，用它来实现可并堆，则合并操作必然成为算法的瓶颈。左偏树(Leftist Tree)、二项堆(Binomial Heap) 和Fibonacci堆(Fibonacci Heap) 都是十分优秀的可并堆。本文讨论的是左偏树，在后面我们将看到各种可并堆的比较。

国家旅游局公告2006年第1号——欠缴质保金的旅行社名单

国家旅游局公告2006年第1号——欠缴质保金的旅行社名单 【法规类别】旅游服务机构导游人员管理 【发文字号】国家旅游局公告2006年第1号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2006.01.04 【实施日期】2006.01.04 【时效性】现行有效 【效力级别】XE0303 国家旅游局公告 （2006年第1号） 根据我局《关于进一步做好旅行社质量保证金回收工作的通知》（[2005]105号）的要求，各地旅行社补缴质量保证金的工作基本结束。目前，全国仍有74家旅行社未能按时补齐质保金，其中组团社有16家，国际社有58家。现将74家旅行社的名单公示如下。请上述旅行社在2006年2月28日前补齐质保金，逾期将按有关规定给予降类或注销处理。 特此公告。 附：欠缴质保金的旅行社名单 国家旅游局

二00六年一月四日 附： 一、组团社名称及许可证编号（16家） 1 珠海经济特区环球国际旅行社L-GD-GJ00024 2 台山中国旅行社L-GD-GJ00139 3 湛江市旅游总公司L-GD-GJ00017 4 黑龙江省中国青年旅行社L-HLJ-GJ00009 5 伊春中国国际旅行社L-HLJ-GJ00011 6 海南港澳国际旅行社有限公司L-HAN-GJ00006 7 包头中国国际旅行社L-NMG-GJ00008 8 喀什国际旅行社有限责任公司L-XJ-GJ00006 9 开封中国国际旅行社L-HEN-GJ00006 10 广西玉林国际旅行社有限公司L-GX-GJ00024 11 北海中国国际旅行社有限公司L-GX-GJ00005 12 青海省中国青年旅行社有限责任公司L-QH-GJ00003 13 甘肃海外旅游总公司L-GS-GJ0

国家旅游局32号令

国家旅游局32号令：《旅游投诉处理办法》自2010年7月1日起施行2010-5-19 15:12:43国家旅游局政策法规司字号：[大中小]选择背景色： 国家旅游局令 第32号 《旅游投诉处理办法》已经2010年1月4日国家旅游局第1次局长办公会议审议通过。现予公布，自2010年7月1日起施行。 国家旅游局局长：邵琪伟 二○一○年五月五日 旅游投诉处理办法 第一章总则 第一条为了维护旅游者和旅游经营者的合法权益，依法公正处理旅游投诉，依据《中华人民共和国消费者权益保护法》、《旅行社条例》、《导游人员管理条例》和《中国公民出国旅游管理办法》等法律、法规，制定本办法。 第二条本办法所称旅游投诉，是指旅游者认为旅游经营者损害其合法权益，请求旅游行政管理部门、旅游质量监督管理机构或者旅游执法机构（以下统称“旅游投诉处理机构”），对双方发生的民事争议进行处理的行为。 第三条旅游投诉处理机构应当在其职责范围内处理旅游投诉。 地方各级旅游行政主管部门应当在本级人民政府的领导下，建立、健全相关行政管理部门共同处理旅游投诉的工作机制。 第四条旅游投诉处理机构在处理旅游投诉中，发现被投诉人或者其从业人员有违法或犯罪行为的，应当按照法律、法规和规章的规定，作出行政处罚、向有关行政管理部门提出行政处罚建议或者移送司法机关。 第二章管辖 第五条旅游投诉由旅游合同签订地或者被投诉人所在地县级以上地方旅游投诉处理机构管辖。 需要立即制止、纠正被投诉人的损害行为的，应当由损害行为发生地旅游投诉处理机构管辖。 第六条上级旅游投诉处理机构有权处理下级旅游投诉处理机构管辖的投诉案件。 第七条发生管辖争议的，旅游投诉处理机构可以协商确定，或者报请共同的上级旅游投诉处理机构指定管辖。 第三章受理

历年国家集训队论文题目

1999年 陈宏- 数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起 来煜坤- 把握本质，灵活运用——动态规划的深入探讨 齐鑫- 搜索方法中的剪枝优化 邵铮- 数学模型的建立、比较和应用 石润婷- 隐蔽化、多维化、开放化──论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性睢》?- 准确性、全面性、美观性——测试数据设计中的三要素 周咏基- 论随机化算法的原理与设计 2000年 陈彧- 信息学竞赛中的思维方法 方奇- 动态规划 高寒蕊- 递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用 郭一- 数学模型及其在信息学竞赛中的应用 江鹏- 探索构造法解题模式 李刚- 动态规划的深入讨论 龙翀- 解决空间规模问题的几种常用的存储结构 骆骥- 数学模型的建立和选择 施遥- 人工智能在围棋程序中的应用 肖洲- 数据结构的在程序设计中的应用 谢婧- 规模化问题的解题策略 徐串- 论程序的调试技巧 徐静- 图论模型的建立与转化 杨江明- 论数学策略在信息学问题中的应用 杨培- 非最优化算法初探 张辰- 动态规划的特点及其应用 张力- 类比思想在解题中的应用 张一飞- 冗繁削尽留清瘦——浅谈信息的充分利用 2001年 高寒蕊- 从圆桌问题谈数据结构的综合运用 符文杰- Pólya原理及其应用 高岳- 中等硬度解题报告 江鹏- 从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法 刘汝佳- 搬运工问题的启示 李益明- 计算几何的相关问题 李源- 树的枚举 骆骥- 由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性毛子青- 动态规划算法的优化技巧 俞玮- 基本动态规划问题的扩展 张一飞- 求N!的高精度算法 2002年 戴德承- 退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用

国家旅游局关于放宽旅行社设立服务网点政策有关事项的通知

国家旅游局关于放宽旅行社设立服务网点政策有关事项的通知 (旅发〔2015〕211号) 各省、自治区、直辖市旅游委、局，新疆生产建设兵团旅游局： 为贯彻落实《关于促进旅游业改革发展的若干意见》(国发〔2014〕31号)精神，现就放宽旅行社设立服务网点政策有关事项通知如下： 一、放宽设立服务网点区域范围 允许设立社在所在地的省(市、区)行政区划内及其分社所在地的设区的市的行政区划内设立服务网点，不受数量限制。 在设立社所在地的省(市、区)行政区划内设立服务网点的，设立社向服务网点所在地工商行政管理部门办理服务网点设立登记后，应当在3个工作日内，持设立社营业执照副本、设立社旅行社业务经营许可证副本、服务网点的营业执照、服务网点经理的履历表和身份证明向服务网点所在地与工商登记同级的旅游主管部门备案。 旅行社在其分社所在地的设区的市的行政区划内设立服务网点的，设立社向服务网点所在地工商行政管理部门办理服务网点设立登记后，应当在3个工作日内，持设立社营业执照副本、设立社旅行社业务经营许可证副本、分社的营业执照、旅行社分社备案登记证明、服务网点的营业执照、服务网点经理的履历表和身份证明向服务网点所在地与工商登记同级的旅游主管部门备案。 二、落实分社和服务网点设立政策 各地要认真学习贯彻《国务院关于促进旅游业改革发展的若干意见》(国发〔2014〕31号)，切实按照《旅行社条例》及本通知要求，依法依规做好分社和服务网点的备案工作，不得增设或变相增设旅行社设立分社、服务网点的政策障碍。

各省级旅游主管部门要积极开展针对市、县级旅游主管部门的培训指导和监督检查，发现不依法依规开展分社和服务网点备案工作的，要及时予以纠正。 三、加强对旅行社分社和服务网点的服务监管 各地要进一步引导旅行社增强风险管控意识，审慎确定分支机构设立的数量和规模;督促设立社切实加强对分社和服务网点的管理和人员培训，依法承担经营活动的责任和后果;要加强旅游质监执法人员的培训，建立健全对旅行社分社、服务网点的事中事后监管机制，改进服务监管手段，提升服务监管水平，对发现的违法违规行为，要主动协同设立社所在地旅游主管部门进行依法查处。 国家旅游局此前发布的相关规定与本通知不一致的，依照本通知执行。 国家旅游局 2015年9月22日

NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)

NOI国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自C博客 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰：《Polya原理及其应用》 2003 -许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007 -周冬：《生成树的计数及其应用》 2008 - 陈瑜希《Polya计数法的应用》 数位问题 2009 -高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 -刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004 -薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007 -余江伟：《如何解决动态统计问题》 博弈 2002 -张一飞：《由感性认识到理性认识一一透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 -王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 -曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 -方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 -贾志豪《组合游戏略述一一浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数 2009 -毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007 -刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 -李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划一一简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005 -潘震皓：《置换群快速幕运算研究与探讨》 问答交互 2003 -高正宇：《答案只有一个一一浅谈问答式交互问题》 猜数问题 2003 -张宁：《猜数问题的研究：< 聪明的学生> 一题的推广》

2006 -龙凡：《一类猜数问题的研究》 数据结构 数据结构 2005 -何林：《数据关系的简化》 2006 -朱辰光:《基本数据结构在信息学竞赛中的应 用》 2007 -何森：《浅谈数据的合理组织》 2008 -曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001 -高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005 -黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005 -蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008 -苏煜《对块状链表的一点研究》 动态树 2006 -陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 -袁昕颢：《动态树及其应用》 左偏树 2005 -黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005 -魏冉：《让算法的效率跳起来”——浅谈跳跃表”的相关操作及其应用》2009 -李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Bala nee Tree 》 线段树 2004 -林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006 -汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》 哈希表 2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》 2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004 -杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》

国家集训队2005论文集 潘震皓

置换群快速幂运算 研究与探讨 江苏省苏州中学 潘震皓 [关键词] 置换 循环 分裂 合并 [摘要] 群是一个古老的数学分支，近几年来在程序设计中置换群得到了一定的应用。本文针对置换群的特点提出了线性时间的幂运算算法，并举例说明了优化后算法的效果。 [正文] 一、引言 置换群是一种优秀的结构，在程序设计中，它的大部分基本操作，时间和空间复杂度都是线性的，甚至有的还是常数的。所以一个问题如果能够抽象归结为一个置换群模型的话，往往能够在程序设计中轻松地解决。但是对于整幂运算来说，似乎只能通过反复做乘法来获得O(k*乘法)或是O(logk*乘法)的算法；而对于分数幂运算，则找不到较好的方法实现。 二、置换群的整幂运算 2.1 整幂运算的一个转化 在置换群中有一个定理：设e T k =， （T 为一置换，e 为单位置换（映射函数为x x f =)(的置换）），那么k 的最小正整数解是T 的拆分的所有循环长度的最小公倍数。 或者有个更一般的结论：设e T k =， （T 为一循环，e 为单位置换），那么k 的最小正整数解为T 的长度。 我们知道，单位置换就是若干个只含单个元素的循环．．．．．．．．．的并。也就是说，长度为l 的循环，l 次的幂，把所有元素都完全分裂了。这是为什么呢？ 我们来做一个试验：(下面的置换均以循环的连接表示) 设n=6，那么3 26 )(T T =。任取一T=(1 3 5 2 4 6)，来做一遍乘法： ()() 36 2 45 1 34 126565432134 1 2 6 51265431265436543211265436543211265436543212 =???? ??=???? ?????? ??=???? ?????? ??=T 分裂成了2份！而且这2份恰好是T 的奇数项和偶数项！（注意可以写成(1 5 4)(3 2 6)）

国家旅游局《旅行社公告暂行规定》文档

旅行社公告暂行规定 第一条为规范有关旅行社的公告发布行为，加强对企业经营和旅游行政管理的指导服务，根据《旅行社条例》和《旅行社条例实施细则》，制订本暂行规定。 第二条旅行社公告事项如下： （一）旅行社业务经营许可证的颁发、变更、注销、吊销； （二）许可或暂停、停止旅行社经营出境、边境旅游业务； （三）旅行社经营或暂停、停止经营赴台旅游业务； （四）旅行社分社、服务网点设立与撤销备案； （五）旅行社委托代理招徕旅游者业务备案； （六）旅行社的违法经营行为； （七）旅行社的诚信记录； （八）旅游者对旅行社投诉信息； （九）旅行社质量保证金交存、增存、补存、降低交存比例和被执行赔偿等情况； （十）旅行社统计调查情况； （十一）全国和地区旅行社经营发展情况； （十二）旅游行政管理部门认为需要公开发布的其他有关旅行社的事项和情况信息。 第三条旅行社业务经营许可证颁发、变更公告，由颁发旅行社业务经营许可证和办理旅行社业务经营许可证变更事项的旅游行政管理部门发布。 旅行社业务经营许可证颁发公告，项目内容应该包括旅行社名称、

许可证编号、出资人、法定代表人、经营场所、许可经营业务、许可文号（附件1）。 旅行社业务经营许可证变更公告，项目内容应该包括旅行社许可证编号和变更前与变更后的名称、出资人、法定代表人、经营场所（附件2）。 第四条旅行社业务经营许可证注销、吊销公告，由办理注销旅行社业务经营许可证备案手续和作出吊销旅行社业务经营许可证决定的旅游行政管理部门发布。 旅行社业务经营许可证注销公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所（附件3）。 旅行社业务经营许可证吊销公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、主要负责人(附件4)。 第五条暂停旅行社业务公告，由作出暂停决定的旅游行政管理部门发布。 暂停旅行社业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所、暂停时间期限(附件5)。 第六条许可或暂停、取消旅行社经营出境旅游业务公告，由国家旅游局或其委托出境旅游业务许可的省、自治区、直辖市旅游行政管理部门发布。 许可旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、原许可证编号、新许可证编号、出资人、法定代表人、经营场所、许可文号（附件6）。 暂停旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所、暂停时间期限（附件7）。 取消旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名

国家集训队2009论文集浅谈数位类统计问题

浅谈数位类统计问题 山东省青岛第二中学刘聪 【摘要】 在信息学竞赛中，有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道，无法暴力求解，需要在数位上进行递推等操作。本文通过几个例子，简要介绍了解决此类问题的基本思想和方法。 【关键字】 数位区间统计递推树二进制 【正文】 在信息学竞赛中，有这样一类问题：求给定区间中，满足给定条件的某个D进制数或此类数的数量。所求的限定条件往往与数位有关，例如数位之和、指定数码个数、数的大小顺序分组等等。题目给定的区间往往很大，无法采用朴素的方法求解。此时，我们就需要利用数位的性质，设计log(n)级别复杂度的算法。解决这类问题最基本的思想就是“逐位确定”的方法。下面就让我们通过几道例题来具体了解一下这类问题及其思考方法。 【例题1】Amount of degrees (ural 1057) 题目大意： 求给定区间[X,Y]中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于K个互不相等的B的整数次幂之和。例如，设X=15，Y=20，K=2，B=2，则有且仅有下列三个数满足题意： 17 = 24+20， 18 = 24+21， 20 = 24+22。 输入：第一行包含两个整数X和Y。接下来两行包含整数K和B。 输出：只包含一个整数，表示满足条件的数的个数。 数据规模：1 ≤ X ≤ Y ≤ 231?1，1 ≤ K ≤ 20，2 ≤ B ≤ 10。 分析： 所求的数为互不相等的幂之和，亦即其B进制表示的各位数字都只能是0和1。因此，我们只需讨论二进制的情况，其他进制都可以转化为二进制求解。 很显然，数据范围较大，不可能采用枚举法，算法复杂度必须是log(n)级别，因此我们要从数位上下手。

国家旅游局公告2017年第21号――许可旅行社经营出境旅游业务公告

国家旅游局公告2017年第21号――许可旅行社经营出境旅 游业务公告 【法规类别】旅游综合规定 【发文字号】国家旅游局公告2017年第21号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2017.09.12 【实施日期】2017.09.12 【时效性】现行有效 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局公告 （2017年第21号） 许可旅行社经营出境旅游业务公告 按照《旅行社条例》和《中国公民出国旅游管理办法》，许可以下70家旅行社经营出境旅游业务： 旧许可证编号新许可证 编号 出资人 法 定 代 表 经营场所许可文号

人 L-FJ50023 L-FJ-CJ00127 福建中旅旅 行社有限公 司 王丽美 南平市滨江大道商联大 厦一楼（府前路1号） 旅发 ﹝2017﹞86 号 2 武夷山中旅旅行社有限 公司 L-FJ50001 L-FJ-CJ00128 福建省中国 旅行社 陈萍 福建省武夷山市度假区 武夷宫 旅发 ﹝2017﹞86 号 3 厦门友客国际旅行社有 限公司 L-FJ20202 L-FJ-CJ00129 厦门欣欣信 息有限公司 赖 润 星 厦门市海沧区海景东路 2号9C5楼 旅发 ﹝2017﹞86 号 4 厦门青普国际旅行社有 限公司 L-FJ20216 L-FJ-CJ00124 北京青普旅 游文化发展 有限公司 杨雪山 中国（福建）自由贸易 试验区厦门片区湖里大 道24号海山商务中心 1202-E 单元 旅发 ﹝2017﹞76 号 5 山西大唐航 空国际旅行 社有限公司 L-SX00983 L-SX-CJ117 唐中诗 唐中诗 晋中市太谷县西环中路 53号 旅发 ﹝2017﹞ 105号 6 温州市教育旅游有限公 司 L-ZJ00726 L-ZJ-CJ00236 董滨/叶芬 董滨 温州市鹿城区惠民路上陡门教育新村综合楼121-123号 旅发﹝2017﹞76号 7 北京奥阿希斯旅游有限 公司 L-BJ01192 L-BJ-CJ00861 姚强、魏红日、刘亚杰 姚 强 北京市朝阳区阜通东大街6号院5号楼10层1108 旅发 ﹝2017﹞82号 8 北京四海之旅国际旅行社有限责任公司 L-BJ01052 L-BJ-CJ00862 金峦、肖季 红、任亚全 肖 季 红 北京市朝阳区霞光里66 号院1号楼3层09号 旅发﹝2017﹞82 号 9 凯撒（北京）国际会议展览有限责任公司 L-BJ01717 L-BJ-CJ00863 北京凯撒国 际旅行社有 限责任公司 魏 灵 北京市朝阳区东三环中 路25号16层1616室 旅发 ﹝2017﹞82 号 10 神州假期国际旅行社（北京）有限公司 L-BJ01779 L-BJ-CJ00864 赵林、曲超 赵 林 北京市朝阳区石门村路二院（库区）24幢4层430室 旅发 ﹝2017﹞82号 11 北京鑫路国 际商务旅行社有限公司 L-BJ01433 L-BJ-CJ00865 王庆波 王 庆波 北京市东城区东兴隆街 58号6层609 旅发﹝2017﹞82 号 12 联盟平台L-L-BJ-赵洋、王怀 赵 北京市朝阳区左家庄15旅发

国家集训队2004论文集_林涛

线段树的应用 广西柳铁一中林涛 【摘要】 在竞赛解题中，常遇到与区间有关的操作，比如统计若干矩形并的面积，记录一个区间的最值、总量，并在区间的插入、删除和修改中维护这些最值、总量。 线段树拥有良好的树形二分结构，能够高效的完成这些操作，本文将介绍线段树的各种操作以及一些推广。 本文通过3个例子：《蛇》、《空心长方体》、《战场统计系统》，讲述线段树中基本的插入、删除、查找操作，和不规则的修改和删除操作，以及到二维的推广。 关键字：线段树二分子树收缩叶子释放面积树 【正文】 1. 线段树的定义及特征 定义1：线段树 一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该节点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]： 若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为T的左儿子 [(a+b) div 2,b]为T的右儿子。 若L=1 ：T为一个叶子节点。 表示区间[1, 10]的线段树表示如下： (以下取对数后均向上取整) 定理1：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log L条线段 证明：(1)在区间(a，b)中，对于线段(c，d)，如果(c<=a) 或(d>=b)，那么线段在(a，b)中被分为不超过log(b-a)。 用归纳法证明，如果是单位区间，最多被分为一段，成立。 如果区间(a，b)的左儿子与右儿子成立，那么如果当c<=a时， 1．若d<=(a+b)div2那么相当与其左儿子分该线段，所分该线段数树不超过log((a+b)div 2-a)，即不超过log(b-a),成立。

2．若d>(a+b) div 2那么相当于该线段被分为它左儿子表示的线段，加上右儿子分该线段，线段数不超过1+log(b-(a+b) div 2),也不超过 log(b-a)，成立。 对于d>=b的情况证明类似，不再赘述。 (2)在区间(a,b)中，对于任意线段也用归纳法证明。 对于单位区间，最多分为一段，成立。 若(a，b)的左儿子与右儿子均成立，则对于线段(c，d) 1．若d<=(a+b)div 2 则该区间所分该线段等于其左儿子区间所分该线段，线段数小于log((a+b) div 2-a)<2log(b-a)，成立。 2．若c>(a+b) div 2 则该区间所分该线段等于其右儿子区间所分该线段，线段数小于log(b-(a+b) div 2)<2log(b-a)，成立。 3．若1、2均不成立，则此线段在左儿子区间分该线段满足d>V.Lson.b,分该线段数不超过log(b-(a+b) div 2)，而在右儿子区间分该线段满 足c<=V.Rson.a,分该线段不超过log((a+b) div 2-1)，所以在该区间 分该线段不超过2log(b-a)，成立。 这个结论为线段树能在O(log L)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。 【例题一】蛇1 在平面上有N个点，现在要求一些线段，使其满足以下要求： a．这些线段必须闭合 b．线段的端点只能是这N个点 c．交于一点的两条线段成90度角 d．线段都必须平行于坐标轴 e．所有线段除在这N个点外不自交 f．所有线段的长度之和必须最短 如果存在这样的线段，则输出最小长度，否则输出0。 【问题分析】 从该题的要求入手，先构出符合要求的图，再解决线段长度之和最小的问题。1．题目显然要求一个以给定的N个点为顶点的N多边形。所有线段都要和坐标轴平行，所以每个点只能与上下左右四个点相连。由于与一个点相连的两条线段成90度，每个顶点必须与一条平行于X轴和一条平行于Y轴的线段相连。 2．将所有点排序后发现，在同一水平线上的点中，设这些点为P1，P2，P3，P4……Pn，P1要有一条平行于X轴的线段与其相连，就必须连它右边的点——P2，而P3如果再连P2，P2就有两条平行于X轴的线段和它相连，所以P3只能连P4，P5只能连P6……，同一垂直线上的点也是如此，所以线段的构造是唯一的，那么最小长度的问题就解决了。 3．由于解是唯一的，而是否相连只要广度扩展就可以判断了，所以关键在于判断由上述方法所构出线段是否合法——满足线段不在N个点之外自交： 1Saratov State University Problem Archive, 1028, Snake. 本题考查了基本的插入、删除和查找

NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)

NOI 国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自 C 博客 组合数学 计数与统计 2001- 符文杰：《Pólya 原理及其应用》 2003- 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007- 周冬：《生成树的计数及其应用》 2008- 陈瑜希《Pólya 计数法的应用》 数位问题 2009- 高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004- 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007- 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈 2002- 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》 2007- 王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG 游戏的若干拓展及变形》母函数 2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007- 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005- 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》 问答交互 2003- 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》 猜数问题

2003- 张宁：《猜数问题的研究:< 聪明的学生> 一题的推广》2006 - 龙《一类猜数问题的研究》 数据结 构 数据结 构 2005 - 何 林：《数据关系的简化》 2006 - 朱晨 光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 2007 - 何 森：《浅谈数据的合理组织》 2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001- 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005- 黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005- 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008- 苏煜《对块状链表的一点研究》动态树 2006- 陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007- 袁昕颢：《动态树及其应用》左偏树 2005- 黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005- 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》 2009- 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree 》线段树 2004- 林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006- 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》哈希表2005- 李羽修：《Hash 函数的设计优化》 2007- 杨弋：《Hash 在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004- 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》 图论 图论 2005- 任恺：《图论的基本思想及方法》

国家集训队2004论文集 杨思雨

伸展树的基本操作与应用 安徽省芜湖一中杨思雨 目录 【关键字】 (2) 【摘要】 (2) 【引言】 (2) 【伸展树的基本操作】 (2) 伸展操作Splay(x,S) (3) 伸展树的基本操作 (4) 时间复杂度分析 (5) 【伸展树的应用】 (7) 【总结】 (8) 【参考书目】 (9) 【附录】 (9)

【关键字】 伸展树基本操作应用 【摘要】 本文主要介绍了伸展树的基本操作以及其在解题中的应用。全文可以分为以下四个部分。 第一部分引言，主要说明了二叉查找树在信息学竞赛中的重要地位，并且指出二叉查找树在某些情况下时间复杂度较高，进而引出了在时间复杂度上更为优秀的伸展树。 第二部分介绍了伸展树的基本操作。并给出了对伸展树时间复杂度的分析和证明，指出伸展树的各种基本操作的平摊复杂度均为O(log n)，说明伸展树是一种较平衡的二叉查找树。 第三部分通过一个例子介绍了伸展树在解题中的应用，并将它与其它树状数据结构进行了对比。 第四部分指出了伸展树的优点，总结全文。 【引言】 二叉查找树（Binary Search Tree）能够支持多种动态集合操作。因此，在信息学竞赛中，二叉排序树起着非常重要的作用，它可以被用来表示有序集合、建立索引或优先队列等。 作用于二叉查找树上的基本操作的时间是与树的高度成正比的。对一个含n 各节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为O(log n)。但如果树是含n个节点的线性链，则这些操作的最坏情况运行时间为O(n)。而有些二叉查找树的变形，其基本操作在最坏情况下性能依然很好，比如红黑树、A VL树等等。 本文将要介绍的伸展树（Splay Tree），也是对二叉查找树的一种改进，虽然它并不能保证树一直是“平衡”的，但对于伸展树的一系列操作，我们可以证明其每一步操作的平摊复杂度都是O(log n)。所以从某种意义上说，伸展树也是一种平衡的二叉查找树。而在各种树状数据结构中，伸展树的空间要求与编程复杂度也都是很优秀的。 【伸展树的基本操作】 伸展树是二叉查找树的一种改进，与二叉查找树一样，伸展树也具有有序性。即伸展树中的每一个节点x都满足：该节点左子树中的每一个元素都小于x，而其右子树中的每一个元素都大于x。与普通二叉查找树不同的是，伸展树可以自我调整，这就要依靠伸展操作Splay(x,S)。