【知识要点】
1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意：
（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是
正的，并且注意括号内其它各项要变号。
（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。
（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公
因式，这时要特别注意各项的符号）。
（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。
（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。
2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()2
2
a b a b a b -=+-； ()2
2
2
2a ab b a b ±+=±。
平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；
(3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：
（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。
【典例分析】
例1.分解下列因式：
（1）2
2
3
2
1084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+
（3）323
111248
ab a b a b -
-+ （4）y x y x y x x 322233
1
3231+-+-
（5）23)(2)(m n a n m -+- （6）3
2)(4)(2y z y z y x -+-
练习：因式分解
(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y) (2)6(x+y)-12z(x+y) (3)(2x+1)y 2
+(2x+1)2
y
(4)p(a 2
+b 2
)+q(a 2
+b 2
)-l(a 2
+b 2
) （5）2a(b+c)-3(b+c) （6）6(x-2)+x(2-x)
（7）m(a-b)-n(b-a) （8）2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(z-x-y)；
（9）m(m-n)2
-n(n-m)2
（10）2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c)．
例2. 把下列各式分解因式：
（1）x 2
－4y 2 （2）22
33
1b a +-
（3）2
2
)2()2(y x y x +-- （4）1162
2-b a
练习：把下列各式分解因式： （1）2
24b a -
（2）1162
2-y x
（3）2
24
81916b a +-
（4）2
916a -
例3.运用完全平方公式因式分解：
（1）2
1449x x ++ （2）25102
+-a a
（3）229124b ab a +- （4）4
2242b b a a +-
（5）2
1
222
+
-x x （6）x x x 2718323+-
（7）2()6()9m n m n +-++ （8）2
2224)1(4)1(a a a a ++-+
（9）16
1
)(21)(2
+---y x y x （10）9)(6)(222+-+-x x x x
练习：把下列各式分解因式：
（1）221025x xy y -+ （2）222y xy x -+-
（3）1692+-t t （4）22816y x xy +-
（5）2
4
11x x +
+ （6）xy y x 4422-+
（7）8
1
22
4
-
+-x x （8）ax y ax y ax ++2232
（9） 16
1
)(21)(2+---y x y x （10） )(12)(9422n m m n m m ++++
例4. 把下列各式分解因式：
（1）32231212x x y xy -+ （2）4
42444)(y x y x -+
（3）222)1(4+-a a （4）2
222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-
练习：把下列各式分解因式：
（1）222224)(b a b a -+ （2）2
22)4
1(+-m m
（3）22248)4(3ax x a -+ （4）4
224168b b a a +-
（5）)()(2
x y y x a -+- （6）)()(42
2
m n b n m a -+-
例5.已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222
1
21b ab a ++。 练习：
1.已知7,1-==+xy y x ，利用分解因式，求代数式2
2
2y xy x +-的值。
2.已知013642
2
=+--+b a b a ，求b a +。
B D
C
例6.已知a+2b=5，a －3b=3，求5a 2
－20b 2
的值．
练习：
1. 已知6,22
2=-=-y x y x ，则=x ，=y 。
2.如果=-==+3
3
,2,0xy y x xy y x 则 。
例7.已知8
1
,61==y x ，求代数式22)32()32(y x y x --+的值。 练习：
1. 已知7,5=-=+ab b a ，求b a ab b a --+2
2的值。
2. 已知3,4==+ab b a ，求代数式2
2
2
2
2ab b a b a ++的值。
课堂练习
1.若多项式aby abx ab 24186+--的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是（ ）. A.y x 431+-- B.y x 431-+ C.y x 431--- D.y x 431--
2.下列提取公因式中,正确的是（ ）.
A.)34(391222xy xyz y x xyz -=-
B.)2(36332
2+-=+-a a y y ay y a C.)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D.)5(52
2a a b b ab b a +=-+
3.若16)3(22
+-+x m x 是完全平方式,则m 的值等于（ ）.
或-1 4.分解因式:____________________2732
=-x .
5.用简便方法计算2
22
200720092008-的结果为_____________.
6.已知,2,3==-xy y x 则_________4
3
3
4
=-y x y x . 7.已知3=+y x ，则
222
1
21y xy x ++= ． 8.将下列各式分解因式: （1）c b ab 229
4
278+； （2）.279321222n n n x x x -+-++ （3）249x -；
（4）33xy y x -； （5）2
2)2()2(y x y x --+； （6）
9)1(6)1(2+-+-x x ；
（7）222224)(y x y x -+ （8）4
811x -； （9）2
24
81916b a +-
（10）2
916a - （11）2
2
2y xy x -+-
（12）
22
464
9b ab a ++
（13）9)(6)(2
2
2
+-+-x x x x （14）2
2
)3()2(--+y x
（15）2
2
)2(25)1(16+--x x （16）2
298196202202+?+
（17）2006
2005200520032005220052323-+-?-
1.用简便方法计算:.________10011991141131121122222=??
?
??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ??-
2.在多项式142
+x 中,添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式为____________
3.已知,013642
2
=+-++y y x x 则22y x -的值是
课后巩固
1.下列各式中,不能用公式法分解因式的是（ ）. A.2
2
2b ab a -+ B.4
12
+
-x x C.22y x -- D.162
-m 2.若多项式),2)(1(2
-+=++x x b ax x 则.________=b a
3.若252
++mx x 是一个完全平方式,则._________=m 4.已知,3,22==-ab b a 则3
2
232
122ab b a b a +
-的值是 . 5简便方法计算:.__________1983962022022
2
=+?-
6.若16)3(22
+-+x m x 是完全平方式,则m 的值等于（ ）.
或-5 或-1
7．计算2
25.15315.1845.184+?+= 。
8.把下列各式分解因式:
（1）8144-y x （2）36122
+-x x （3）- m m 3
21912-+
（4）22312123xy y x x ++ （5）14
-x ； （6）
22)()(12m n x n m xy ---
（7）22216)4(x x -+ （8）1)2(2)2(222+-+-x x x x （9）4
224168b b a a +-
（10）9)(24)(162+-+-b a b a
（11）()
222
2
24y x y x -+ （12）16824+-x x
（13）2
2
)(9)(25n m n m +-- （14） 2
22
248
2521000- （15）22198396202202+?-
因式分解---------提公因式法 下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是。 （1）)2(3362 2 3 b a a b a a -=- （2）)1(2 3 2 x x x x --=+- （3）))((2 2 b ab a b a ++-33b a -= （4）)3)(2(--x x 652+-=x x （5）㎡=m ×m （6）㎡+m=m 3（ ） 二、用提公因式法因式分解(一) （1）332168b a ab - （2）22mn n m +- （3）2 515x xy -- （4）3224 1ab b a - （5）ab b a b a -+2233 （6） 3 22316128ay y a y a -+- （7）am m a m a 126323+--（8）xy y x y x ++-2 2 3 2 用提公因式法因式分解(二) （1）2 )()(b a b a +-+ （2）)()(x y y y x x -+- （3）)(2)(62 n m n m +-+（4）)(2)(32 y x x y -+- （5）)()(3y x x y x ----（6）2 2 )()(m n n n m m --- （7）)(4)(6p q q q p p +-+ （8）)(4)(122 x y ab y x b a --- （9）))(())((y x b a y x b a -+-++ 用提公因式法因式分解(三) （1）)(2)(72a b y b a x --- （2） )3()3(52 2x a x --- （3） 23)()(2b a b a +-+ （4）2 22)3()3(a b x b a x --- 5）)(3)(2p q b q p a ---（6）2 2 3 )1(8)1(6x p x p --- （7）2 )1()1(---a a a （8）2 2 )()()(b a b a b a --+- （9）)1()1(2)1(3x c x b x a -+---- （10）)32()23()1(2x x x -+-- 用提公因式法因式分解(四) （1）2 )())((y x x y x y x x +--+
因式分解：提公因式法 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2 3 ()()___()a b b a a b --=- 12、2 4 6 ()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、2 3 2 2 2515x y x y - 6、2 2 129xyz x y - 7、2 336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、3 2 3612ma ma ma -+- 12、3 2 2 22 561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+- 15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+- 19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+-- 21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数
因式分解之套公式法 【知识精读】 1.把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 常用公式有：平方差公式 a b a b a b 2 2 -=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2 2 2 2±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3 3 2 2 ±=±?+()()μ 2. 补充：欧拉公式： a b c abc a b c a b c ab bc ca 3 3 3 2 2 2 3++-=++++---()() = ++-+-+-1 2 222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 【典例精析】 （一）运用公式分解因式 1. 把a a b b 22 22+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2 2 22-- 分析：a a b b a a b b a b 2 2 2 2 2 2 22212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时 要注意分解一定要彻底。 2.因式分解：x xy 3 2 4-=________。 解：x xy x x y x x y x y 3 2 2 2 4422-=-=+-()()()
人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ） A ．± B ． C ．± D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形，3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】 解：∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选：C ． 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式
4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）
课题：因式分解之提取公因式法和公式法 知识精要： 一、因式分解的概念 1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解 因式分解 多项式（和差形式） 整式的积（积的形式） 整式乘法 二、提取公因式法 1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++ （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数； （2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数． 2、步骤： （1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式． 3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法： （1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积． （2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式． 4、提取公因式法应注意的事项： （1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题． 二、公式法 1、平方差公式： 22 ()()a b a b a b -=+- 2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± 3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：
运用公式法因式分解 一、教学目标 1. 认知目标：分解因式的意义. 2. 能力目标：掌握公式法分解因式的步骤，灵活运用公式法分解因式. 二、教学重难点 1. 重点：观察各项多项式是否含有公因式. 2. 难点：提取公因式要提“全”提“净”;合理选用公式进行因式分解. 三、教学过程 （一）温故 1. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2. 乘法公式： 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方式：(a-b)2＝a2-2ab＋b2 (a+b)2＝a2+2ab＋b2 3. 练一练 （二）知新 例1. 把下列各式分解因式： (1) (a+b)2 -1 (2) x4-1 (1) (a+b)2 -1
解析：应先观察多因式的特征，后利用公式法分解. 解： (a+b)2 -1=(a+b)2 -12=(a+b+1)(a+b-1) (2) x4-1 解析：发现两项均可写成平方的形式，并且两项符号相反，故可用平方差公式分解，且注意一定要分解彻底. x4-1= x4-12=(x2+1)(x2-1)= (x2+1)(x+1)(x-1) 小练手1: (1) (x-3y)2-4x2 (2) 9(a+2b)2-4(a-b)2 例 2. x3-xy2 分析：观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，根据其特点，首先采取提公因式法，之后利用公式法分解。 x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y) 小小总结： 分解因式步骤：提取公因式法---公式法---直到各个因式能化简到不能化简为止. 小练手2 (x-3y)2-4x2 9(a+2b)2-4(a-b)2 例 3.把下列各式分解因式： (1) m2-12m+36 (2) –a2+2ab-b2 (1) m2-12m+36 解析：直接利用完全平方差公式
因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+
题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--
1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+?
提公因式法： 一、填空题 1．因式分解是把一个______化为______的形式． 2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______． 二、选择题 4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)11(22222x x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ） A ．m ＝1，n ＝2 B ．m ＝－1，n ＝2 C ．m ＝1，n ＝－2 D ．m ＝－1，n ＝－2 6．（－2）10＋（－2）11等于（ ） A ．－210 B ．－211 C ．210 D ．－2 三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b 9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ） 11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2 13．y （x －y ）2－（y －x ）3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ） 15．－2x 2n －4x n 16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 四、解答题 17．应用简便方法计算： （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 思考：说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除． 平方差公式法 一、填空题 1．在括号内写出适当的式子： （1）0.25m 4＝（ ）2；（2） =n y 29 4（ ）2；（3）121a 2b 6＝（ ）2． 2．因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）； （3）49a 2－4＝（ ）（ ）;（4）2b 2－2＝______（ ）（ ）． 二、选择题 3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．y 2－49x 2 B ．449 1x - C ．－m 4－n 2 D ．9)(4 12-+q p 4．a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（ ） A ．a －b －c B ．a ＋b ＋c C ．a ＋b －c D ．a －b ＋c
14.3因式分解(公式法) 知识点一：因式分解的概念 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算， 识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 3. 4. 5. 6. 知识点二：基本公式 1、(a+b)(a-b) = a2-b2 2、(a±b)2 = a2±2ab+b2——— 3、(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 4、(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 5、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 6、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c 知识点三：方法及典型例题 一、直接用公式: 分解因式。 例1、分解因式： （1）x2-9； 二、提公因式后用公式: 再看是否能利用公式法。 例2、分解因式： （1）x5y3-x3y5；（2）4x3y+4x2y2+xy3。 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、分解因式： (1)4x2-25y2; (2)4x2-12xy2+9y4. . (2)16x4-72x2y2+81y4. (2)(x+y)2+4-4(x+y). 1、多项式22 44 x xy y -+-分解因式的结果是（） (A)2 (2) x y -(B)2 (2) x y --(C)2 (2) x y --(D)2 () x y + 2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（）
(A)2 2 x y + (B)2 2 2x xy y -+ (C)2 2 2x xy y +- (D)2 2 x xy y ++ 3、 4 1x -的结果为（ ） Ａ．2 (x 4Ａ．x -5、25a Ａ．40 678、 24a -9、（12800-（2） 11、把下列各式分解因式． （1）249x -； （2）22 4169x y -； （3）2125a -+； （4）220.01625m n -． 12、把下列各式分解因式． 2 （2）2 (2)6(2)9a b a b ++++；（3） ）2 2 44mn m n ---． 33 ab a b ++的值． 2025x +； （3）22 2 816a b abc c -+；5）2()4()4a b a b +-++． （2）22222()4x y x y +-． 16、把 ） A 、x +3 B 、（x +3）2 C 、x －3 D 、x 2+9 2、若9x 2－m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m=（ ） A 、12 B 、24 C 、±12 D 、±24 3、若－ b ax x -+221分解成)7)(4(2 1 +--x x ，则a 、b 的值为（ ）
因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。
1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式______________。 2. 在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( )(2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)2 1a 2-a=2 1a( ) 3. 在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立。 (1)a-b=______(b-a) (2)a+b=______(b+a) (3)(a-b)2=______(b-a)2 (4)(a+b)2=______(b+a)2 (5)(a-b)3=______(b-a)3 (6)(-a-b)3=______(a+b)3 1.把下列各式分解因式 (1)x 2-5xy (2)-3m 2+12mn (3)12b 3-8b 2+4b (4)-4a 3b 2-12ab 3 (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy (1)9m 2n-3m 2n 2 (2)4x 2-4xy+8xz (4)6x 4-4x 3+2x 2 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 1、221x x ++ 2、2441a a ++ 3、 2169y y -+ 4、2 14 m m ++ 5、 221x x -+ 6、2816a a -+ 7、2144t t -+ 8、21449m m -+ 9、222121b b -+ 10、214 y y ++ 11、2258064m m -+ 12、243681a a ++ 13、2 2 42025p pq q -+ 14、2 24 x xy y ++ 15、2244x y xy +- 1、221222 x xy y ++ 2、42232510x x y x y ++ 3、2232ax a x a ++ （1）232x x ++ （2）276x x -+ （3）2421x x -- （4）2215x x -- （ 5）298x x ++ （6）2712x x -+ （7）2421a a --+ （8）2328b b -- 2215x x --
第 1 单元（章）第课时编制人纪丽娜审核人吕翠珍审批人于忠翠 课题：公式法 使用人备注课型：新授课第 2 课时 【教学目标】： 知识与技能： 使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接 用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地 知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差 公式或完全平方公式进行分解因式． 过程与方法： 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分 解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力. 情感态度价值观： 培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体 会因式分解在数学学科中的地位和价值。 【学情分析】:学生在七年级下册第一章中已经学习过完 全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式 逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历 过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。 【教学重点难点】：会用公式法分解因式. 【教法与学法】：自主探究、合作归纳 【教具】：多媒体 【板书设计】： 公式法（2） 复习回顾例1．把下列各式因式分解
形如2 22b ab a+ ±的多项式 称为完全平方式例2．把下列各式因式分解：完全平方式可以进行因式分解 a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2 【教学活动过程】： 第一环节复习回顾 活动内容： 活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法． 注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容． 第二环节学习新知 活动内容： 49 14 )1(2+ +x x 2 23 6 3)1(ay axy ax+ +
14.3.2公式法 第1课时运用平方差公式分解因式 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 灵活运用平方差公式进行因式分解. 【过程与方法】 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义. 【情感、态度与价值观】 培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 理解平方差公式因式分解,并学会应用. 【教学难点】 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性. ◇教学过程◇ 一、情境导入 计算①252-242;②352-342;③982-972. 看谁算的最快最准,把你的方法给大家分享. 二、合作探究 探究点1平方差公式因式分解 典例1下列各式中,能运用平方差公式分解的多项式是() A.x2+y2 B.1-x2 C.-x2-y2 D.x2-xy
[解析]x2+y2不能运用平方差公式分解,故A错误;1-x2能运用平方差公式分解,故B正确;-x2-y2不能运用平方差公式分解,故C错误;x2-xy不能运用平方差公式分解,故D错误. [答案] B 因式分解:(a+b)2-4b2=. [答案](a+3b)(a-b) 探究点2先提公因式再用公式 典例2把多项式ax2-4ay2分解因式的结果是. [解析]原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.原式=a(x2-4y2)=a(x+2y)(x-2y). [答案]a(x+2y)(x-2y) 探究点3熟练运用平方差公式 典例3因式分解:4(m+n)2-9(m-n)2. [解析]4(m+n)2-9(m-n)2 =[2(m+n)]2-[3(m-n)]2 =[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)] =(2m+2n+3m-3n)(2m+2n-3m+3n) =(5m-n)(5n-m). 因式分解:(p-4)(p+1)+3p. [解析](p-4)(p+1)+3p =p2-3p-4+3p =(p+2)(p-2).
《15．4．1因式分解——提公因式法》教案 广西桂平市社步一中黄郁贞 一、教学目标 ㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 ㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观 察能力，进一步发展学生的类比思想。 （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。 （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。 ㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。 难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
-1)= 个整式的
五、学生学习活动评价设计 在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。例如： 1.个人回答问题次数：正确次数：改正人： 2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误； （在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。 活动…… 3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 六、教学反思 ㈠、教材分析 本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。
因式分解(一) —-提取公因式与运用公式法 【学习目标】(１)让学生了解什么就是因式分解; (２)因式分解与整式得区别; (3)提公因式与公式法得技巧、 【知识要点】 1、提取公因式:型如,把多项式中得公共部分提取出来、 ☆提公因式分解因式要特别注意: (1)如果多项式得首项系数就是负得,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项得系数就是正得, 并且注意括号内其它各项要变号、 (２)如果公因式就是多项式时,只要把这个多项式整体瞧成一个字母,按照提字母公因式得办法提出。 (3)有时要对多项式得项进行适当得恒等变形之后(如将ａ+b-c变成-(c—a－ｂ)才能提公因式,这 时要特别注意各项得符号)。 (4)提公因式后,剩下得另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式得还应继续提、 (5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式得前面、 2、运用公式法:把我们学过得几个乘法公式反过来写就变成了因式分解得形式: ; 。 平方差公式得特点就是:(1) 左侧为两项;(２) 两项都就是平方项;(3) 两项得符号相反。 完全平方公式特点就是: (１) 左侧为三项;(2) 首、末两项就是平方项,并且首末两项得符号相同; (3) 中间项就是首末两项得底数得积得２倍、 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领: (1)我们学过得三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中得字母可以就是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑就是否可提公因式,有公因式得要先提公因式再运用公式、 (４)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中得公因式: (1) aｂ,5ａb,９b得公因式。 (2) -５ａ２,10ab,15aｃ得公因式。 (3) x2y(ｘ-y),2ｘy(y-x) 得公因式、 (4) ,,得公因式就是、 例2、分解下列因式: (1) (２)
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班 45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （ 2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
八年级下数学周测小练习 共4页 第1页 八年级下数学周测小练习 共4页 第2页 陕西师范大学奥林匹克花园学校2013—2014学年第二学期 八年级五一假数学小练习（限制时间：90分钟 ）命题人：杨萍 自评等级______ 家长签字 （亲，在前段时间里，你学到了什么？还有什么知识小漏洞？做做小练习看看吧！希望你大的收获哦！ 相信自己一定行！！！！） 【知识要点】 1、分解因式的定义是什么？ 2、公式回顾 （1）=+ac ab （2）=-2 2 b a （公式特征：①整体是两项式或可以看作两项式。 ②两项式的项应为完全平方的形式。 ③两项的符号相反。） 3、注意：a 、b 可表示任意的整式。（可为单项式，可为多项式，也可为单与多的积） 【典型例析】 例1：用提取公因式法分解因式： （1）8a b 2-16a 3b 3； （2）-15xy-5x 2； 解：原式= 解：原式= （3）a 3b 3+a 2b 2-ab ； （4）-3a 3m -6a 2m +12am ． 解：原式= 解：原式= （5）（a+b ）-（a+b ）2； （6）x （x-y ）+y （y-x ）； 解：原式= 解：原式= 例2：下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么? （1）x 2+y 2; （2）x 2-y 2 （3）-x 2+y 2 （4）-x 2-y 2 （5）x 4-y 4； （6）4x 2+y 2 （7）a 2-4 （8）a 2 +3 （9）-4x 2 +y 2 （10）-4x 2-y 2 （11）4x 2-（-y ）2 可以应用平方差公式分解因式的有 例3：把下列各式分解因式： （1）、221625b a - （2）、x x 333 - 解：原式= 解：原式= （3）125 422-y x （4）22)(9)(16b a b a --+ 解：原式= 解：原式= 【基础训练】 1．多项式8x 3y 2-12xy 3z 的公因式是_________． 2．多项式-6ab 2+18a 2b 2-12a 3b 2c 的公因式是（ ） A ．-6a b 2c B ．-ab 2 C ．-6a b 2 D ．-6a 3b 2c 3．下列用提公因式法因式分解正确的是（ ） A ．12abc-9a 2b 2=3abc （4-3ab ） B ．3x 2y-3xy+6y=3y （x 2-x+2y ） C ．-a 2+ab-ac=-a （a-b+c ） D ．x 2y+5xy-y=y （x 2+5x ） 4．下列因式分解不正确的是（ ） A ．-2a b 2+4a 2b=2ab （-b+2a ） B ．3m （a-b ）-9n （b-a ）=3（a-b ）（m+3n ） C ．-5ab+15a 2b x+25a b 3y=-5ab （-3ax-5b 2y ）; D ．3ay 2-6ay-3a=3a （y 2-2y-1） 5．填空题： （1）ma+mb+mc=m （________）； （2）多项式32p 2q 3-8p q 4m 的公因式是_________； （3）3a 2-6ab+a=_________（3a-6b+1）；（4）因式分解：km+kn=_________； （5）-15a 2+5a=________（3a-1）； （6）计算：21×3.14-31×3.14=_________． 6．多项式m （n-2）-m 2（2-n ）因式分解等于（ ） A ．（n-2）（m+m 2） B ．（n-2）（m-m 2） C ．m （n-2）（m+1） D ．m （n-2）（m-1） 7．将多项式a （x-y ）+2by-2bx 分解因式，正确的结果是（ ） A ．（x-y ）（-a+2b ） B ．（x-y ）（a+2b ） C ．（x-y ）（a-2b ） D ．-（x-y ）（a+2b ） 8. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） A 、4X2+y2 B. 4 x - (-y)2 C. -4 X2-y3 D. - X2+ y2 9. -4a2 +1分解因式的结果应是 （ ） A 、-(4a+1)(4a-1) B 、-( 2a –1)(2a –1) C 、-(2a +1)(2a+1) D 、-(2a+1) (2a-1)