选修1-1参考答案
第一章 常用逻辑用语 第一节 针对训练
答案：
1．必要不充分 2. 32,10x x x ?∈-+>R 3 若1
2,m m
+
≥则m>0 4 _存在矩形对角线不相等 5 ②③④ ①正确, ②中B ≤0时不成立, ③中的定义域为φ, ④中应是随机抽样. 6 ②④ 7 必要不充分 8充分而不必要条件 9 ② ③ 10
,11a b a b ≤-≤-若则 11充分不必要 12充分非必要 13 （3）14 C 15A 16 2，2
17A 18C 19 A 20 逆命题：若
有两个不等实根则（假） 否命题：若则没有两个不等实根（假） 逆否命题：若没有两个不相等实根则（真）
21D 22A 23 A 24B 25A 26D 27C 28. D 29. A 30 D 31. C . 32. 33. 真命题：或，非；假命题：且，非 第二节 针对训练
1B
2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题
3．A ①，仅仅是充分条件 ② ，仅仅是充分条件；③，仅仅是充分条件
4．B “”为假，则为真，而（且）为假，得为假 5．D 当时，都满足选项，但是不能得出 当时，都满足选项，但是不能得出
6．B 当时，，所以“过不去”；但是在△中， ，即“回得来” 02=++c bx ax 0 =++c bx ax 02 =++c bx ax 0≥ac 20< 0a b a b >>?>0a b >>? b a 1 1<330a b a b >>?>p ?p p q ∧q 1,0a b ==,A B 1a b +>0.5,0.5a b ==C 1a b +>0 170A =001 sin170sin102 =< ABC 0001 sin 30150302 A A A > ?< 7．D 当时，从不能推出，所以假，显然为真 8．解： 而，即。 9B 10B 11A 12B 13D 14A b a >，则122->b a 16B 17A 18C 19B 20D 21C 22． 恒成立，当时，成立；当时， 得； 第三节 针对训练 参考答案 1. C 2．A 3. D 4．C 5．D 6．D 7. B 8. A 9. B 10.B 11.任意一个三角形都有外接圆 1 2. ? x ∈R ，x 2 －x+3≤0 13. ?a ,b,c ∈R+,a 2 +b 2 =c 2 14. 否定形式：至少存在一个末位数是0或5的整数，它不能被5整除； 否命题：所有末位数不是0且不是5的整数，都不能被5整除； 15. （1）?x ∈R ，x 2≥0 （2）? x ∈R ，y ∈R ，2x ＋3y ＋3>0 16．（1）存在性命题，存在量词为“有的” （2）全称命题，全称量词为“任意” 17．（1）对于任意实数x 都是方程5x-12＝0的根； （2）（至少）存在（一个）实数x ，对于任意实数y ，使x ＋y ≤0； 18. （1）?x ∈R ，若2x>4，则x>2； ?x 0∈R ，虽然满足2 x 0>4，但x 0≤2； （2）?m ∈R ，若m ≥0,则x 2 ＋x －m ＝0有实数根； 2,2a b =-=1a b +>1a b +>p q {} :46,10,2,|10,2p x x x A x x x ?->><-=><-或或{} 2 2 :2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或,p q A ??∴B 12110,030a a a a -≥-?? +≤∴<≤??>? [3,0]-2 230ax ax --≤0a =30-≤0a ≠2 4120 a a a ?m 0∈R ，虽然满足m 0≥0，但x 2 ＋x －m ＝0没有实数根； 单元检测 参考答案 1.C 2. D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12. B 13.B 14.B 15.C 16.C 17.B 18.C 19.B 20.必要 21.5 24．必要不充分 25.充分 必要 26.以（1）为列：否命题：若0abc =，则a b c 、 、中都不为零 27．逆命题：若8x =-或1x =，则2780x x +-= 真命题 否命题：若0872≠-+x x ，则8-≠x 且1≠x 真命题 逆否命题：若8-≠x 且1≠x ，则0872≠-+x x 真命题 28．21≤ 第一节 针对训练 13 22186x y +=或223412525y x += 14 22 91520 x y += 15 16 14 17 解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程 是 : 2 2 19x y +=.联立方程组22 19 2 x y y x ?+=???=+?,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y ) 那么: 12185 x x +=-,0x =1 29 25x x += 所以0y =0x +2= 1 5 . 也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15 ). 18 解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e= 4 5 ,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为2, 从而 所以求双曲线方程为: 22 1412 y x -= 第二节 针对训练 一DBCD ACCD C 或54- 12. 22 19x y += 13.22(1)1;168x y += (2) 6 14.2 214 x y += 15.22a b + 16.x+y+5=0 17. 224524x y += 第三节 针对训练 参考答案 一． A A'B B'C' C O x y 11．t>4或t<1 12．y = 59± 13．112 42 2=-y x 14．316 15． [解析]：由椭圆124 492 2=+y x 5=?c ． 设双曲线方程为12222=-b y a x ，则? ? ???=+±=253422b a a b ?????==?1692 2 b a 故所求双曲线方程为116 92 2=-y x 16．[解析]：设双曲线方程为122 22=-b y a x （a >0，b>0）， ∵两准线间距离为2 9，∴c a 2 2?=29，得=2a 49c ，c c b 492 2-= ① ∵双曲线与直线相交，由方程组??? ??? ?-==-)4(31122 2 2x y b y a x 得0)9 16 (98)9(222222 =+-+-a b x a x a b ， 由题意可知0922 ≠-a b ，且32) 9 (2982 22 2 21- =--=+a b a x x 2297b a =? ② 联立①②解得：92=a ，72=b 所以双曲线方程为 17 92 2=-y x ． 17． [解析]：（I ）如图建立直角坐标系xOy ，AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标 原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴． 设双曲线方程为),0,0(122 22 >>=-b a b y a x 则.72 1='=A A a 又设B （11，y 1），C （9，y 2），因为点B 、C 在双曲线上， 所以有,17112 2122 =-b y ① ,17922 2 22=-b y ② 由题意知.2012=-y y ③ 由①、②、③得.27,8,1221==-=b y y 故双曲线方程为.198 492 2=-y x 18． [解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（0，-5）、F 2（0，5）， 由双曲线定义得：621=-MF MF ，联立32 21=?MF MF 得 2 1MF +22MF =100=221F F ， 所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S = 162 1 21=?MF MF 19． [解析]：以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则A （3，0）、B （－3，0） 3,5,26 14||||===∴ 15 422 =-∴y x P 是双曲线右支上的一点 ∵P 在A 的东偏北60°方向，∴ 360tan == AP k ． ∴线段AP 所在的直线方程为)3(3-=x y 解方程组?????????>>-==- 0)3(31542 2y x x y y x ???==358y x 得 ， 即P 点的坐标为（8，35） ∴A 、P 两地的距离为22)350()83(-+-=AP =10（千米）． 20．[解析]：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥Oy ． 由题意可设A （-c ，0），C （ 2c ，h ），B （c ，0），其中c 为双曲线的半焦距， AB c 2 1 =，h 是梯形的高． 由定比分点公式，得点E 的坐标为 c c c x E 19711812118-=+?+-=，h h y E 19811 11180=+?+=． 设双曲线的方程为122 22=-b y a x ，由离心率a c e =． 由点C 、E 在双曲线上，得 ???????=?-?=-?.136********,1412 2222222b h a c b h a c 由①得1412222-?=a c b h ，代入②得922 =a c 所以离心率322 ==a c e 第四节 针对训练 O x y A B E D C ① ② 一、选择题 11．)42 ,8 1(± 12． 2 13．)4 13,(--∞ 14． （2），（5） 三、解答题 15．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线 px y 22=上，有2282?=p ， 解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322 =，焦点F 的坐标为（8，0）. （2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的 定比分点，且 2=FM AF ，设点M 的坐标为),(00y x ，则 02 128,821220 0=++=++y x ，解得4,1100-==y x ， 所以点M 的坐标为（11，－4）． （3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在 的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y 由???=-=+x y x k y 32),11(42 消x 得0)411(32322=+--k y ky ， 所以k y y 3221=+，由（2）的结论得42 21-=+y y ，解得.4-=k 因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x 16．[解析]：设在抛物线y=ax 2－1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y,－x )，则 ，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P 、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0， ∴a 1y ,1-== -x a y x 即， 代入②得a 2x 2－ax －a +1=0，其判别式△=a 2－4a 2(1－a )＞0，解得43 >a ． 17．[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)2 1 , 2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得 x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①， 244 2)(422 1221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点. ∴ 122212222 2222-=+=+=+=k y y y k x x x ? 3 442 -==k y k x ，消去k 得x 2 =4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)( 4>x )． 18． [解析]：（1）由题意设过点M 的切线方程为：m x y +=2，代入C 得0)2 7 (22=-++m x x ， 则2 50)27(44=?=--=? m m ，21252,100=+-=-=∴y x ，即M （－1， 21 ）． （2）当a ＞0时，假设在C 上存在点),(11y x Q 满足条件．设过Q 的切线方程为：n kx y +=，代入 27 42+ +=x x y 0)2 7()4(2=-+-+?n x k x ，则 414)4(02n k -=-?=?， 且,24 1-=k x 4221-= k y ．若0≠k 时，由于a k a k k x a y k k PQ 2412121 1±=?=?-=+-?-=， ?????-=--=1122 ay x ax y ②① ∴ 212 11- =-=a y a x 或 2 1 211- =--=a y a x ；若k=0时，显然)2 1 ,2(--Q 也满足要求． ∴有三个点（－2212a -），（－2212 a -）及（－2，－21） ， 且过这三点的法线过点P （－2，a ），其方程分别为： x ＋＋2－20，x －＋2＋20，x ＝－2. 当a ≤0时，在C 上有一个点（－2，－2 1 ），在这点的法线过点P （－2，a ），其方程为：x ＝－2. 19．[解析]：（1）F （a ,0）,设),(),,(),,(002211y x P y x N y x M ，由 16 )4(42 2 2=+--=y a x ax y 0)8()4(222=++-+?a a x a x ，)4(2,021a x x -=+∴>? ，8)()(21=+++=+a x a x NF MF （2）假设存在a 值，使的NF PF MF ,,成等差数列，即21022x x x NF MF PF +=?+= a x -=?40 ①，∵P 是圆A 上两点M 、N 所在弦的中点，∴MN AP ⊥1 21 2 004x x y y a x y --=--? 由①得0448)(4222200 2 212121212120<-=?-=+-=---=---=a y y a y y a x x y y a a x x y y a y ， 这是不可能的． ∴假设不成立．即不存在a 值，使的NF PF MF ,,成等差数列． 20．[解析]：【解】(1) 解方程组 4 8 121 -== x y x y 得 2411-=-=y x 或 4822==y x 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==2 1,直线AB 的垂直平分线方程 y －1= 2 1(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 8 1x 2 －4).∵点P 到直线OQ 的距离 d=2 481 2-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x . ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4 ∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30． 第五节 针对训练 答案：1D 2C 单元检测 答案：B B C A A B B A B D DA 13. 2e = 14. 15 .221(2)45x y x - =≥ 16.○2○3 17. 22 13 y x - =或22 391y x -= 18. 22166x y -= 19（1）椭圆方程 2214936 x y += 双曲线方程22194x y -= （2）4 arccos 5 20 .224820x y x y --+= 21. （1）21 ()2 y x a = + （2）a =22. （1）2 1:4C y x = 2223: 12 x C y += （2）23[,][,]4334ππππ θ∈? 第三章 导数及其应用 第一节 针对训练 一、选择题 1．A ''()sin ,()sin f x x f αα== 2．A 对称轴'0,0,()22 b b f x x b - ><=+，直线过第一、三、四象限 3．B '2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，24120a a ?=-≤?≤4．C 当1x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'()0f x ≤， ()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有 (0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥ 5．A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4 y x =在某一点的导数为 4，而34y x '=，所以4y x =在(1,1)处导数为4，此点的切线为430x y --= 6．A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→> 二、填空题 1．6 '2 2'2 ()34,(2) 8120,2,6f x x c x c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值 2．(,)-∞+∞ '2c o s 0y x =+>对于任何实数都成立 3． 6 π ''()))f x ???=-++=+ ()())3 f x f x π ?'+=++ 要使()()f x f x '+为奇函数，需且仅需,3 2 k k Z π π ?π+ =+ ∈， 即：,6 k k Z π ?π=+ ∈。又0?π<<，所以k 只能取0，从而6 π ?= 。 4．(7,)+∞ ]2,1[-∈x 时，max ()7f x = 5．1 2 2n +- ()() / 11 2 22,:222(2) n n n x y n y n x --==-++ =- +-切线方程为， 令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以 21 n n a n =+，则数列1n a n ????+?? 的前n 项和() 12122212n n n S +-= =-- 三、解答题 1．解：3236(1cos2)(2cos )8cos y x x x =+== '5'548cos (cos )48cos (sin )y x x x x =?=?- 548sin cos x x =-。 2．解：函数的定义域为[2,)-+∞ ，' y = =当2x ≥-时，'0y >，即[2,)-+∞是函数的递增区间，当2x =-时，min 1y =- 所以值域为[1,)-+∞。 3．解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++ 由' 2124()0393f a b -= -+=，'(1)320f a b =++=得1 ,22 a b =-=- '2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表： 所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2 (,1)3 - ； （2）3 21()2,[1,2]2f x x x x c x =- -+∈-，当23x =-时，222()327 f c -=+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或。 4．解：设2()x ax b g x x ++= ∵()f x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数 ∴()g x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数. ∴?? ?==3)1(0)1('g g ∴???=++=-3101b a b 解得???==1 1b a 经检验，1,1a b ==时，()f x 满足题设的两个条件. 第二节 针对训练 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、A ； 6、B ； 7、A ； 8、-26； 9、)0,1 (e -；10、C 11、A ；12、B ；13、B. 16、解：（I ）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x ,0) (0≤x ≤d)，再乘公交 车去学校，所用的时间为t ，则)0(2)(0 2 2d x x d x a x f t ≤≤-+ += =υυ. 令.3 3,0)(a x x f = ='得 且当,0)(,3 30<'<≤x f a x 时 当,0)(,33>'≤ 当a x 3 3 = 时，所用的时间最短，最短时间为： 0 00 22)231(233)3 3(υυυa a d a a t +=-+ += . 答：当d=2a 时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是0 )231(υa +. （II ）由（I ）的讨论可知，当d=]2,0()(,2a x f t a 为时=上的减函数，所以当2 a x = 时， 即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短 最短的时间为0 02 225)2(υυa a a t =+= 答：当2a d = 时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是0 25υa . 17、解：a x x f +-= 21)(' ，)(x f 在)23 ,0(上是增函数 021>+-∴a x 在∈x )23,0(上恒成立 ，21-->∴x a 恒成立 222 121≥∴<-- e t =则2 ||)()(2a a t x g t h +-== 31,3ln 0≤≤∴≤≤t x 当32<≤a 时，??? ????≤≤+-<≤++-=3,21,2 )(2 2 t a a a t a t a a t t h 2)(,21)1(2 2a a h m a a h M ==+-==∴ 2 5231=∴= -=-∴a a m M 当3≥a 时，2 )(2 a a t t h ++-= 23)3(,21)1(2 2a a h m a a h M +-==+-==∴ 2=-∴m M 不符题意 综上，a 的取值为2 5=a 18、（1）2222(),()x t f x f t x a t a ''= =++则，切线l 的方程：)(2)ln(2 2 t x t t a t y -=+- （2）令x=0，222 2222222 2242() ()ln()(),()()()t t at t t a g t t a t a g t t a t a t a t a -'=+->-=-= ++++ ① 当a>0时, 由2()0,0 t R t a g t t t ∈??>-??? '>> ，0t t <<得 ②当a=0时,由20()0, t a t g t ?>->? '>?得 ③当a<0时 , 20()0,0 t a t t t g t t ??+>> >??'>>???得 综合①②③当0,a >∞时），（） 当a =0时,0+∞增区间为（，） 当a <0时 , +∞） 第三节 针对训练 一、1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．B 11．B 12．D 二、13．2x －y +4=0；14．不为零的常数函数；15．3x －y －11＝0；16．(理) 125 16 (文)arctan 43 三、17．解：⑴设f (x )=ax 2+bx +c ，则f '(x )=2ax +b ． 由题设可得：?????-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(f f f 即?????-=-==+.3,2,02c b b a 解得?? ? ??-=-==.3,2,1c b a 所以f (x )=x 2-2x -3． ⑵g (x )=f (x 2)=x 4－2x 2－3，g '(x )=4x 3－4x =4x (x －1)(x +1)．列表： 由表可得：函数g (x )的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)． 18．解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝ 11x +－1＝－1 x x +。由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）． ⑵证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤． 令1 ()ln(1)11g x x x =++ -+，则211()1(1)g x x x '=-++＝2 (1)x x +． ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0． ∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1 ln(1)11 x x +≥-+． 综上可知，当1x >-时，有1 1ln(1)1 x x x - ≤+≤+． (文)解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数. )(01632R x x ax ∈<-+.30 12360- 所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数； （II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,9 8)31(33 + --x 由函数3x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数； （Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f 所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞- 19．解：a ＝ 32，b ＝－6. 由f(x)min ＝－72+c >1c -12得302c -<<或32 c >。 20．解：.34)(22a ax x x f -+-='令a x a x a ax x x f 3,034)(22===-+-='或得由表 可知：当),(a x -∞∈时，函数)(x f 为减函数，当),3(+∞∈a x 时。函数)(x f 也为减函数； 当)3,(a a x ∈时，函数)(x f 为增函数. 当x =a 时，)(x f 的极小值为a x b a 3;3 43 =+- 当时，)(x f 的极大值为b. ⑵由.34,|)(|22a a ax x a a x f ≤-+-≤-≤'得