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1. 在△ABC中，已知
uuur uuur AB＝4， AC＝3， P 是边 BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ＝
_____________
【答案】解析：7
2
BC AP ( AC AB) (AQ QP) (AC AB) AQ (AC AB)
1
( AB AC)7
22 A
P
B Q C
2.已知OA1, OB3,OA OB 0 ，点C在AOB 内，AOC30o.
B
C
uuur uuur uuur
R) ，则m
等于
O A
设 OC mOA nOB( m,n
n 【答案】 3
[ 解析 ] ：法一：建立坐标系，设 C (x, y)
uuur uuur uuur
R) 得则由 OC mOA nOB (m,n
( x, y) m(1,0)n(0, 3)x m
而 AOC300故 tan 300y m y3n x3n
uuur uuur uuur
R) 两边同乘 OA 或 OB 得法二： OC mOA nOB (m, n
OC OA m
3
m
OC
两式相除得
m 23
OC OB3n OC 1
33n n 2
3. 在△ABC中，若AB ? AC AB?CB 4 ，则边AB的长等于22
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2 8
解析： AB ? AC AB?CB 4AB(AC CB) 8 AB
4. 已知点 G 是
ABC 的重心， 点 P 是 uuur
uuur uuur
GBC 内一点， 若 AP
AB
AC ,则
的取
值范围是 ___________ (
2
,1)
3
A
G
B
P C
Q ’’D
解析：
AP
AG GP
2
AD' t GQ'
3
1
( AB AC) t (mGB nGC) ( 其中 0
t 1, m
n 1)
3
=
1
(AB AC) t[ m 1
( AB CB) n
1
(AC
BC)]
3
3
3
=
1
(1 mt) AB
1
(1 nt) AC ，则
2
1 t (2
,1)
3
3
3
3 3
5. 已知 O 为 ABC 所在平面内一点，满足
uuur
2
uuur 2
uuur 2 uuur 2
OA
BC
OB CA
uuur 2 uuur 2
OC AB ，则点 O 是 ABC 的
心 垂心
uuur 2 uuur 2
uuur 2 uuur 2
(OA OB)(OA
OB)
( BC CA)( BC CA) 0 OA BC
OB CA
BA 2OC
0 ，可知 OC
AB ，其余同理
6. 设点 O 是△ ABC 的外心， AB ＝ c ，AC ＝ b ， b 1 2
c 2
→ →
1则 BC · AO 的取值
范围
- 1
,2
4
A
O
B
C
解析：
b 1 2
c 2 1 c 2 2b b 2
0 0 b 2
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BC AO ( AC
AB) AO
bRcos cRcos
bR
b cR c
1 (b
2 c 2 )
2R
2R
2
b 2 b (b
1) 2 1 - 1
,2
2
4
4
7. 在△ ABC 和△ AEF 中， B 是 EF 的中点， AB =EF =1， BC =6，
CA 33 ，若 AB AE
AC AF
2 ，则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于
2 _____
解析：（2007
38.39
3
全国联赛类似 题）因为
AB AE
AC AF 2
，
所 以 AB (AB BE) AC (AB BF ) 2
，
即
2
AB BE
AC AB AC BF
2
2
1 ，
AB
。因为 AB
AC AB 33 1 33 1 36 1，BE
BF
， 所 以
2
33 1
1 BF (AC
AB) 1
2，即 BF
BC
2。设 EF 与 BC 的夹
角为 θ，则有 | BF | | BC | cos θ 2 ，即 3cos θ=2，所以 cos θ
2
ur ur r
ur
ur ur ur ur r ur
r
3 ur
uur 8. 已知向量
, ,
满足 |
| 1 , | | | |, ( ) (
) 0 . 若对每一确定的
,| |的
最大值和最小值分别为
m, n , 则对任意
ur
m n 的最小值是
1
,
2
C
D
B
A
解析：数形结合 .
AB
, A C , BC , AD
,
CD
, BD
CD BD ，点 D 在以 BC 为直径的圆上运动， m
n 就是 BC ，
而 AC BC,AB 1
2BC
1
BC
1
9题相同.
（ A, B, C 共线时取等号）和
2
9. 已知向量 a ， b ，c 满足 | a | = 1 ， | a - b | = | b | ， ( a - c ) ( b - c ) = 0 ，
若对每一个确定的 ，| c
| 的最大值和最小值分别为 ， ，则对于任意的向量 b ， m +
n 的
b
m n
最小值为 _________ ．
3
2
解析：本题和 8完全相同。数形结合，具体参见
8
10.
设 e 1 ,e 2
是夹角为600 的两个单位向量，已知OM
e 1 , ON e 2 ，
OP xOM yON ，若
PMN 是以 M 为直角顶点的直角三角形， 则实数 x y 取值的集
合为 _____________{1} 解析：画图解即可
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11. 如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A, D 分别在 x 轴， y 轴上正半轴上滑动， 则 OB OC 的最大值为 ________2
y
C
D
B
O
A
x
解析：
(OA AB)(OD DC) sin 2 1
12. 给定两个长度为
1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为 1200
。如图所示， 点 C 在以 O
AB 上变动， 若 OC xOA yOB ，其中 x, y
C
为圆心的圆弧 R ， B
则 x y 的最大值是 ___2 解析：
OC 2
y 2 2xyOA OB
x 2 y 2 xy
( x y) 2
3xy
1
O
A
x 2
( x y)
2
1 3xy
1
3 (
x
y ) 2
2
【研究】如果要得到
x, y 满足的准确条件，则建系，
OA
(1,0), OB ( 1 ,
3
) 则
2 2 OC (x
1
y,
3
y) ， 则 满 足 ( x
1 y)
2 (
3 y) 2
1
x
y 2
xy 1 ， 且
2
2
2
2
x 1 y
1
, y 0
2 2
【变题】 给定两个长度为 1 且互相垂直的平面向量 OA 和 OB ，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB
上运动，若 OC
xOA yOB ，其中 x 、 y R ，则 ( x 1) 2 y 2 的最大值为
2
解析：建系，利用坐标法是可以得到
x, y 最准确的满足条件，如 OA (1,0),OB
(0,1)
OC
(x, y) ，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动，故满足 x 2
y 2 1( x 0, y
0)
13. 在平行四边形 ABCD 中，已知 AB 2, AD
1, DAB
60 ，点 M 为AB 的中点，点
P 在 BC 与 CD 上运动（包括端点） ，则 AP ? DM 的取值范围是
解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当 P 在 BC 上时，
1
[ ,1]
AP AB BP ，则
1
1
AP DM AB DM BP DM 1
BP [
,1]；同理，当 P 在 CD 上时，
AP DM
1 1 [
1 1
2
DM
, ]
2
2 2
uuuur uuur
PMN 中， MN
716，
14. 在周长为 16 的
6，则 PM
PN 的取值范围是
uuuur uuur
2 2
2 2
2
ab cos
ab a
b
ca
b
36 32 ab ，因 a b 10 ，
解析： PM
PN
2ab 2
故 ab
(
a
b ) 2 uuuur uuur 32 ab 7 ，或者用消元的方法
25， PM PN
2
uuuur uuur
ab a(10 a)
( a 5) 2
25
25 ，当 a
b
5 时取等号，故
PM PN
32 ab 7 ；同时 a b 6 10 a 6 a 8 ，当 a
8时 ab 16 ，故 ab 16，
uuuur uuur 32 ab 16
PM PN
另法：本题可以得出 P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设 P 坐标来解决
15. uuur uuur uuur uuur uuur
2 y 1 ， AOB 是钝角，若 已知 |OA|
4,| OB | 6, OC xOA yOB , 且 x f (t)
uuur
uuur
2
uuur
6 111 | OA tOB | 的最小值为 3 ，则 | OC | 的最小值是
37
解析： OC
xOA yOB'
C, A, B' 共线，用几何图形
A
解） f (t )
uuur
uuur
3
根据几何意义即
| OA
tOB | 的最小值为
2
2 3
0 ，要使 uuur
C
AOB
120 为 A 到 OB 的距离， 易得 |OC | 最小，
则 OC AB'
，利用面积法可求得
O B ’ B
16. 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， P 为以 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧上
uuur
uuur uuur 的最小值为 1
的任意一点，设向量 AC
DE
AP ，则
2
(1
, 1), AP
解析：坐标法解，
AC
(1,1),DE (cos ,sin
)
2
uuur
uuur uuur
由
AC
DE
AP
得
1
2sin 2 cos
1
2 cos sin
cos
，
2
3
sin 1
2cos
sin
2 sin
2 cos
3
3
1 sin
1
，
令
2 cos
sin
sin
2cos
1 sin [ 0,
] ， f ' ( 2
2sin
cos
0 ，故 f ( ) 最小值为
f ( )
,
)
sin
) 22cos
sin
2
(2 cos
11
f (0)，最小值为
22
17. 已知P为边长为 1 的等边ABC 所在平面内一点，且满足CP CB 2CA ，则PA PB =________3
P
A
B C
解析：如图CP CB2CA BP 2CA， PA PB=
( PB BA)PB
2
BA PB 4 12cos12003 PB
18.已知向量M={a a =(1,2)+(3,4)R} ， N={ a a =(-2,2)+(4,5)R} ，则
M N=________ (46,62)
1324'
15
解析：
425'
2
19. 等腰直角三角形ABC 中， A90 ，AB 2 ，AD是BC边上的高，P为AD的中
uuuur uuur1点，点 M 、N 分别为 AB 边和 AC 边上的点，且 M 、N 关于直线 AD 对称，当 PM PN
时，AM2 ______3
B
MB
解析： PM PN( PA AM )( PA AN )E
D 20.如图在三角形 ABC中，
E 为斜边 AB的中点， CD⊥ AB，AB＝ 1,
uuur uuur uuur uuur
2C A 则CACD CA CE 的最大值是
27
解析：
uuur uuur uuur uuur
1CD2CA cos A 1
CA 3 sin 2 A cos A
1
sin 2 A cos4 A2
CA CD CA CE
22227
21. 已知 A， B， C 是平面上不共线上三点，动点P 满足错误 ! 未找到引用源。错误! 未找到
引用源。 , 则 P 的轨迹一定通过错误 ! 未找到引用源。的 ______________重心
解析：设重心为G，OP OG(OA OB2OC) GP(CA CB )2
CD
333 CG ，故C,G, P三点共线
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22.已知点 O为ABC 的外心，且AC4, AB2,则AO ?BC6
解析：
AO BC AO( AC AB)4R cos CAO2R cos BAO
2
2R
1
4R6 R R
23. 设D是ABC边BC延长线上一点，记AD AB(1) AC ，若关于x的方程
2sin 2x (1) sin x 1 0在 [0,2 ) 上恰有两解，则实数的取值范围是 ____
4 或221
解析：令 t sin x则 2t 2(1)t 1 0在 (1,1)上恰有一解，数形结合知f ( 1) f (1)0 4 或 2 ，或者02 2 1
又 AD AB(1) AC CD CB0
所以 4 或2 2 1
24. O是锐角ABC所在平面内的一定点
uuur uuur uuur
,动点 P满足: OP OA uuur AB
2
ABC
AB Sin
uuur
uuur
AC,0,, 则动点 P 的轨迹一定通过ABC的 ______心内心2
AC Sin ACB
解析：设高为AD ，则 AP
AB AC1
()显然成立AB AC AD
25.
uuur uuur
a,0已知错误 ! 未找到引用源。为坐标原点，OP x, y 错误!未找到引用源。，OA
uuur uuur uuur uuur
错误 ! 未找到引用源。，错误 ! 未找到引用源。，OC3,4 ，记PA、PB、PC中的最
大值为 M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是 _____ 72 6,
解析：不妨设PA PB ，即y x，此时M max{ PA ,PC } ,当 a 取遍一切实数时，点A 在x轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以 C 为焦点，x轴为准线
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C
A
的抛物线，其方程为(x3) 28( y2), 它交直线
y x 于点 P (726,7 2 6 ) ，显然此时PA PC ，而 A为 PA x 的垂足时 M 最小，即最小是 726
法 2：对于某个固定的a, 到M
的最大值显然可以趋向
M
最小值呢？实际上就是当
P
，
为 ABC 外心时，此时PA PB PC M 的最小值，因为当P 不是外心时，
PA , PB , PC 至少有一个会变大，这样M 就变大.解得外心坐标为P( a 225 , a 225
) ,
2a142a14
要使得 PA PB PC 最小，则圆与坐标轴相切，此时a225
a a726 2a14
26. 已知ABC中，I为内心，AC2, BC3, AB
uur uuur uuur
y 的值4,且 AI xAB yAC ，则x
为 _________ . 2 ,
3
解析：延长 AI 交 BC于点 I',则3
AI AI 'AB
2
BC
1
AB
2
AC 2333
27. 设 G是ABC 的重心，且 ( 56 sin A)GA ( 40 sin B)GB( 35 sin C)GC0 ，则角 B 的大小为 __________60°
解析：由重心性质知56sin A40 sin B35sin C56a40b35c ，下面用余弦定理即可求解
28. 平面内两个非零向量,，满足1，且与的夹角为 1350，则的取值范围是 _________ (0,2]
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解析：数形结合。利用正弦定理得，
1
，
(0,
3
)
sin 450 sin 4
29. 在 ABC 中， AB 1, AC
2，O 为
ABC 外接圆的圆心，则
AO BC ____
3
2
A
D
E
O
B
C
2
解析：
AO ( AC AB) 2( AO AD AO AE)
2( AD
2
3
AE )
2
30. △ ABC 内接于以 O 为圆心的圆，且
uuur uuur uuur r
C
． 135
3OA 4OB 5OC
0 ．则
uuur uuur uuur r 2
2
24OA OB 25OC
2
解析： 3OA 4OB 5OC
9OA 16OB
OA
OB OC r
AOB 90 0
31. 在 △ABC 中， AB ＝ 8， BC ＝ 7， AC =3，以 A 为圆心， r =2 为半径作一个圆，设 PQ 为圆
A
的任意一条直径，记
＝
BP? CQ , 则 T 的最大值为
． 22 T
C
P
A
B
Q
解析：
设 BC, AQ 的夹角为
，注意到由余弦定理知
CAB
600 ，故 BP?CQ
(BA AP)(CA AQ)
BA CA BA AQ AP CA AP AQ
8 3 cos600
AQ (BA
CA) 4 8 AQ BC
8 14 cos
[
6,22]
ABC 中， AD
uuur
3 uuur uuur 32. 如图，在
AB ，BC
BD ， AD 1，
uuur uuur 3
则 AC AD =____________
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→
→
→ →
33. 已知点 O 为△ ABC 内一点，且 OA ＋ 2OB ＋ 3OC ＝ 0 ，则 △AOB 、 △AOC 、 △ BOC 的面积之比
等于 _______________3:2:1
法一：延长 OB,OC 至 B ’,C ’，使得 OB' 2OB , OC'
3OC ，则 O 为 AB'C' 重心，
然后由
面积计算；法二：建立坐标系，设
A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)
，
2a 3c 6x 0
b
3y
S AOC : S ABC 1:3
2b 6y
34. 已知 A.B.C 是△ ABC 的三个顶点， AB 2
AB AC
AB CB BC CA, 则 ABC 为
_________________三角形 . 直角三角形
解：注意到 AB AC
AB CB
2
AB ,故 BC CA
2
2 4，且PA
PB
0 ,
35.平面上的向量PA,PB 满足PA
PB
若 向 量
PC
1
2 PB
PA
3
3
，则 PC 的最大值为 ___________
PC 2
2
16
PC 4 ，即 P, A 重合时 .
解析：两边平方后知
1
(4 3PB )
9
9
1), 3
36.已知在平面直角坐标系中，
O(0,0), M (1, N (0,1), Q ( 2,3), 动点 ( , y ), 满 足
2 P x
0 OPOM 1,0 OP ON 1.则OP OQ 的最大值为
解析：即已知
0 x 2 y 1
0 y 1
求 2x 3 y 最大值问题，线性规划问题 .
37、在△ ABC 中，已知 AB
2 ， BC 3， ABC
60 ， AH
BC 于H ，M 为AH
uuuur
uuur uuur
.
的中点，若 AM
AB BC ，则
解析：
1
AH
AB BC ，两边同数乘 BC 得
3 ；两边同数乘 AB 得 8
6
3
2
1
1
2
解方程组得
,
6
3
2
38. 如图，在
ABC 和 AEF 中， B 是 EF 的中点， AB EF
2， CA CB 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur _ ．
1
若 AB AE AC AF 7 ，则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于
3
解析： 39 题类似， EF BC 2 3 6 ，下面求
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( (AB AF AE AC)7 [AB (AB BF )( AB BE) AC] =
7
2
AB BF AB AC BF AC] 7[ 4BF CB AB AC] [ AB
= 7[41
EF BC2] ，解方程得EF BC2 2
39.
uuur uuur uuur uuur
如图，在△ ABC和△ AEF中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若AB
AE AC AF 2，uuur uuur
则 EF与 BC 的夹角等于；
解析：解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB AE AC AF AB (AB BE)AC (AB BF )
1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB BE AC AB AC BF
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
EF与BC的夹角 EF 与B C 的夹角∵ BE BF ，
uuur uuur uuur uuur
1
uuur uuur uuur uuur uuur
∴ AB AE AC AF( AC AB)BF AC AB
1
uuur uuur uuur uuur
BC BF AC AB 2
而在等腰△ ABC中，作底边的高CD，则在 Rt △ ACD中由已知边长可得cos
CAB
uuur uuur
设 EF 与 BC 的夹角为。
∴ 1
uuur uuur uuur uuur
| BC | | BF | cos| AC | | AB | cos CAB 2 ，
1
，又 0，∴。
从而 cos
23
40. 如图，已知Rt△BCD
的一条直角边BC 与等腰 Rt△ ABC 的斜边 BC 重合，若uuuv uuuv uuuv
CBD 30o， AD mAB nAC ，
1
2
1
，2 4
AB 2，
则m n
＝.-1
uuuv uuuv uuuv
AB, AC 分别得到
解析：AD
mAB
nAC
两边分别同乘
AD AB 4m, AD AC 4n4( m n) AD CB ( AC CD ) CB4 41. 在ABC 中，若 I 是其内一点，满足 a IA b IB c IC 0 ，求证：I为内心
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证明：
a
(
AB
)()0(
a b
)
IA bc
( AB AC ) IA b IA c IA AC c c b
a b c
IA AB
AC
，注意到
AB
,
AC
是单位向量，则I在角平分线上，同理可
bc c b c b
得I是内心.
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
42. 已知向量OA, OB, OC满足条件：OA OB OC0，且OA OB OC =2，点P 是ABC内一动点，则AB AP BC BP CA CP18.
43.如图所示， A，B，C是圆 O上的三点， CO的延长线与线段 BA的延长线交于圆 O 外的点D，若OC mOA nOB ，则m n 的取值范围是（-1,0 ）
解析：设 OD OC (1)
OC mOA nOB OD mOA nOB ，由于 A, B, D 共线
m n1m n 1
1,0)
(
44. 如图，AP m AB n AC ，点P在阴影区域内（不含边界），则
m, n 满足的条件是___________ m n 1 ，m0, n 0C
P
解析：设 AP 与 BC 交与点 P' ， AP AP'(1)
1
(mAB n AC) ， m A B
AP'n1
45.在△ ABC中，
A
πuuur2uuur 2uuur uuur
，D是 BC边上任意一点（ D与 B、C不重合），且|
AB ||AD|BD DC，
6
则B等于5 12
uuur uuur uuur uuur
( AB AD) DB BD DC( AB AC) DC 0
解析： |AB|2 | AD |2BD DC
说明 AD是 BC边中垂线，得 AB=AC
46.在 Rt ABC 中，C90， AC BC2, D是ABC 内切圆圆心，设 P 是⊙ D 外的三角形ABC 区域内的动点，若CPCA CB ，则点(, )所在区域的面积为
1 1
2 4
中考数学填空压轴题大 全 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-
2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4 1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是． 【答案】8555， 【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：21(11)(211)116+?+== ，222(21)(221) 1256 +?++==， 2223(31)(231)123146+?+++== ，……，2222(1)(21) 123146 n n n n ++++++==…． ∴222229(291)(2291) 123296 +?+++++= (8555) 2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210.. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210,① ①×2得 2S ＝2＋22＋23＋…＋211,② ②－①,得 S ＝211－1. 所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32017＝______________. 【答案】201831 2 -， 【解析】设S ＝1＋3＋32＋…＋32017,① ①×3得 3S ＝3＋32＋33＋…＋32018,② ②－①,得 2S ＝32018－1. 所以，1＋3＋32 ＋…＋3 2017 ＝2018312 -.
3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点 P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为． 【答案】（2，0）， 【解析】根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0）， P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），…… 观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）. 4．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数212=?； （2）常数项3131(3)-=-?=?-，验算：“交叉相乘之和”； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=，等于一次项系数－1，即：22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-＝______． 【答案】（x ＋3）（3x －4）. 【解析】如图． 5．（2017湖北黄石）观察下列各式： …… 按以上规律，写出第n 个式子的计算结果n 为正整数）．（写出最简计算结果即可） 【答案】 1 n n +，
1．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，将△BEF 沿EF 折叠，点B 落在B ′ 处．如图1，当B ′ 在AD 上时，B ′ 在AD 上可移动的最大距离为_________；如图2，当B ′ 在矩形ABCD 内部时，AB ′ 的最小值为______________． 2．如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A 、B 两点，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，若AB ＝80cm ， _______________ 则在F 1和F 2围成的封闭图形上，平行于y 轴的线段长度的最大值为_____________． 9．如图，四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝7，CD ＝2，AD ＝x ，则x 的取值范围是（ ）． 10．已知正数a 、b 、c 满足a 2＋c 2＝16，b 2＋c 2＝25，则k ＝a 2＋b 2的取值范围是_________________． 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，BD ＝AB ，则∠A 的取值范围是_________________． 12．函数y ＝2x 2 ＋4|x |－1的最小值是____________． 13．已知抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋4（0＜ a ＜3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物 线上两点，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＝1－a ，则y 1 __________ y 2（填“＞”、“＜”或“＝”） 14．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D 60°，则AD 的长为___________． 15．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝交AC 于E ，DF ⊥AB 交BC 于F ，设AD ＝x y 关于x 的函数解析式为A D B C F B ′ E F F F 图1 A D B C F B ′ E F F F 图2 A x D B C 7 4 2 C
1.在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ?u u u r u u u r ＝_ _ ___________ 【答案】2 7- 解析： 2 7 )(21)()()()(- =+?-=?-=+?-=? 2. 0,31=?==，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =. 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m n 等于 【答案】3 [解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 得 ???==?+=n y m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n m x y 330tan 0== 法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 两边同乘或得 ??? ??? ? =?=?=?=?n n m m 333两式相除得3=n m 3.在△ABC 中，若4=?=?，则边AB 的长等于22 A O A B C P Q
解析：4=?=?CB AB AC AB 88)(2 =?=+?AB CB AC AB 4.已知点G 是ABC ?的重心，点P 是GBC ?内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r 则的取值范 围是___________)1,3 2( 解析： =+= +=''3 2 GP AG GP AG AP λ )()(31 GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+<
A C B H E F P G 2017年中考压轴填空题精编 2301．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF ＝45°，过点E 、F 分别作AC 、BC 的垂线相交于点P ，垂足分别为G 、H ，则PG ·PH 的值为___________． 2302．已知抛物线C 1：y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点为P ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点P 关于 x 轴的对称点为Q ，抛物线C 2的顶点为A ，且过点Q ，对称轴与y 轴平行，若抛物线C 2的解析式为y ＝x 2 ＋2x ＋1，直线y ＝2x ＋m 经过A 、Q 两点，则抛物线C 1的解析式为______________． 2303．有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们 背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程 1－ax x －2 ＋2＝ 1 2－x 有正整数解的概率为____________． 2304．如图，点A 在抛物线y ＝x 2 －3x 的对称轴上，点B 在抛物线上，若AB 的最小值为2，则点A 的坐 标为____________． 2305．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，∠ADC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4，BD 平分∠ABC ，则AD ＝____________． D A C
A B C P D 2306．已知直线y ＝ 1 2 x －1与双曲线y ＝ 2 x 的一个交点坐标为（a ，b ）（a ＜0），则 1 a ＋ 1 2b 的值为____________． 2307．已知直线y ＝kx ＋4与y 轴交于点A ，与双曲线y ＝ 5 x 相交于B 、C 两点，若AB ＝5AC ，则k 的值为_____________． 2308．已知二次函数y ＝－( x －m )2＋m 2 ＋1，当－2≤x ≤1时有最大值4，则m 的值为___________． 2309．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点P 是BC 边上一动点，且∠APD ＝∠B ，射线PD 交AC 于D ．若以A 为圆心，以AD 为半径的圆与BC 相切，则BP 的长是___________． 2310．将一副三角板按如图所示放置，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，∠ABC ＝60°，∠DBC ＝45°，AB ＝2，连接AD ，则AD ＝____________． 2311．已知当0＜x ＜ 7 2 时，二次函数y ＝x 2 －4x ＋3－t 的图象与x 轴有公共点，则t 的取值范围是______________． A D B C
1．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，将△BEF 沿EF 折叠，点B 落在B ′ 处．如图1，当B ′ 在AD 上时，B ′ 在AD 上可移动的最大距离为_________；如图2，当B ′ 在矩形ABCD 内部时，AB ′ 的最小值为______________． 2．如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A 、B 两点，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，若AB ＝80cm ，则AC ＝______________cm ．（结果保留根号） 3．已知抛物线y ＝ax 2－2ax －1＋a （a ＞0）与直线x ＝2，x ＝3，y ＝1，y ＝2围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是___________________． 4．如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为_______________． 5．如图，已知A 1（1，0），A 2（1，－1），A 3（－1，－1），A 4（－1，1）， A 5（2，1），…，则点A 2010的坐标是__________________． 6．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4．若以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是_________________． 7．已知⊙A 和⊙B 相交，⊙A 的半径为5，AB ＝8，那么⊙B 的半径r 的取值范围是_________________． 8．已知抛物线F 1：y ＝x 2－4x －1，抛物线F 2与F 1关于点（1，0）中心对称，则在F 1和F 2围成的封闭图形上，平行于y 轴的线段长度的最大值为_____________． 9．如图，四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝7，CD ＝2，AD ＝x ，则x 的取值范围是（ ）． A D B C B ′ E F 图 1 A D B C B ′ E F 图 2 C B A A 1 A 2 A 6 A 10 A 3 A 7 A 4 A 5 A 9 A 8 x y O A x D B C 7 4 2
高考数学选择题、填空题压轴题高效突破 第一部分 1.(2018届高三湖北省2月七校联考理数试题第12题)对*N n ∈，设n x 是关于x 的方程023=-+n x nx 的实数根，),3,2(],)1[(???=+=n x n a n n （符号][x 表示不超过x 的最大整数）．则= +???++2017 2018 32a a a （ ） A ．1010 B ．1012 C ．2018 D ．2020 解：A ． 2.(江西省K12联盟2018届高三教育质量检测数学(理科)试题第12题)已知函数 2()2e 22e 1x f x ax a =-+--，其中e a R ，∈为自然对数的底数，若函数()f x 在区间(0，1)内有两个 零点，则a 的取值范围是（ ） A ．2(2e 12e 2e 1)---， B ．(2)2e 1-， C. 22(2e 2e 12e )--， D.2(22e )， 解：2()2e 22e-1x f x ax a =-+-，则2()4e 2(01)x f x a x '=-，，∈， ∵2244e 4e x <<，所以 (1)若2 2e a ≥时，则()0f x '<,函数()f x 在(O ，1)内单调递减，故在(O ，1)内至多有一个零点，故舍去； (2)若2a ≤时，则()0f x '>，函数()f x 在(0，1)内单调递增，故在(O ，1)内至多有一个零点；故舍去； (3)若2 22e a <<时，函数()f x 在10ln 2 2a ? ? ?? ?，上递减，在1ln 122a ?? ??? ， 上递增， 所以min 1()ln 2ln 2e 1222a a f x g a a ?? ==--- ??? ． 令()2ln 2e 1=2ln ln 22e 12 x h x x x x x x x =----+--2(2e )x <<，则()ln 1ln 2h x x '=-++，当(22e)x ，∈时，()0()h x h x '>， 为增函数；当2(2e 2e )x ，∈，()0h x '<，()h x 为减函数，所以
1. 已知椭圆),0(122 22>>=+b a b y a x N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任 意一点，且直线PN PM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若21k k +的最小值为1，则椭 圆的离心率为_______ 2 3 解析：设),(),,(),,(222211y x N y x M y x P --，2 12 1221211,x x y y k x x y y k ++=--=，把M,N 代入 方程作差得 22 2122122 212122121010))(())((a b k k b k k a b y y y y a x x x x -=?=+?=-++-+ 121222 2121=?=≥+a b k k k k 2. M 是以B A ,为焦点的双曲线22 2 =-y x 右支上任一点，若点M 到点)1,3(C 与到点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是_______),2226[+∞- 解析：222622-= -≥+-=+a AC MC a MA MC MB 3. 设B A ,为双曲线)0(22 22≠=-λλb y a x 同一条渐近线上的两不同点， )0,1(=m , 6||,=AB 3=，则双曲线的离心率为_______________2或 3 3 2 3=21,cos >=
1.已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，则实数p 的取值范围是________)2 3,3(- 解析：反面考虑，补集思想，?? ?≤≤-0)1(0)1(f f 23,3≥-≤?p p 2. 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数 a 的值为 4 解析：2008年高考题，本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥ - 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ??? 上单调递增，在区间1,12?? ???? 上单调递减，因此()max 142g x g ??== ???，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4 特殊方法：抓住???≥≤??????≥≥-440)2 1(0)1(a a f f 3.函数1)3()(2 +-+=x m mx x f 的 图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为_______1≤m 解析：显然0≤m 成立，当0>m 时，100230≤--≥?m m m 4.设函数)(x f y =在),(+∞-∞内有定义.对于给定的正数K ，定义函数 ???>≤=K x f K K x f x f x f k )(,)(),()(，取函数x e x x f ---=2)(，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =，则K 的取值范围是_______1≥K 解析：2009湖南理，由定义知，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =即为K x f ≤)(
高考压轴题精选 1. 如图为函数()1)f x x = <<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别 交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值围为 ▲ . 解： 2. 已知⊙A ：22 1x y +=，⊙B : 2 2 (3)(4)4x y -+-=，P 是平面一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切 点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ . 解：设)(y x P ，，因为PE PD =，所以22PD PE =，即14)4()3(2222-+=--+-y x y x ，整理得： 01143=-+y x ， 这说明符合题意的点P 在直线01143=-+y x 上，所以点)(y x P ，到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143=-+y x 的距离，为 5 11 3. 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．求n a 与n b ； 解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数， 3(1)n a n d =+-，1n n b q -= 依题意有1363(1)22642(6)64n n nd a d n d a b q q b q S b d q +++-?====? ??=+=? ① 由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1，2，3，6之一， 解①得2,8d q == 故1 32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= 4. 在ABC ? 中，2==?AC AB （1）求2 2 +（2）求ABC ?面积的最大值． ||||2BC AC AB =-=422 2
2017年中考数学填空压轴题 填空题 1 （2017浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，O A的圆心A的坐标为（-1 , 0）,半径 3 为1,点P为直线y x 3上的动点，过点P作O A的切线，切点为Q则切线长PQ的 4 ? PQ= -32-12=2 ,2 . 考点：1.切线的性质；2. 一次函数的性质 2. （2017重庆A卷第18题）如图，正方形ABCD中, AD=4点E是对角线AC上一点，连接DE过点E作EF丄ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G将厶EFG沿EF翻折，得到△ EFM ?/ A的坐标为（- 1, 0), y=- x+3 可化为3x+4y - 12=0, 4 ? AP」—3(1) 4 0 12| =3, 最小值是___________ 【答案】2 2 . 【解 析】 ???当AP丄直线y= - -x+3时，PQ最 小,
连接DM交EF于点N,若点F是AB的中点，则△ EMN勺周长是___________ .学科网D C 【答案】 【解析】 试题解析：如图1,过E作PQL DC,交DC于P,交AB于Q连接BE ??? PQ! AB, ???四边形ABCD是正方形， ???/ ACD=45 , ?△ PEC是等腰直角三角形， ? PE=PC 设PC=x 贝U PE=x, PD=4- x, EQ=4- x, ? PD=EQ ???/ DPE=/ EQF=90，/ PED2 EFQ ???△ DPE^A EQF ? DE=EF 易证明△ DEC^A BEC ? DE=BE ? EF=BE
?/ EQ! FB, 1 /? FQ=BQ= BF , 2 ??? AB=4, F 是AB 的中点, ??? BF=2, ??? FQ=BQ=PE=1 ? CE= 2 , Rt △ DAF 中, DF= 42 22 =2 5 , ?/ DE=EF DEI EF , ? △ DEF 是等腰直角三角形， =10 , ? PD=」DW —PE 2 =3, 图2 ???DC// AB, ???△ DGC^ FGA ? CG DC DG 4 "AG AF FG 2 ? CG=2AG DG=2FG ? FG=- 2 5 2:5 3 3 , ??? AC= 42 42 4.2, ? DE =EF =J 5 如图2, D A F R
1. 等比数列}{n a 首项为正数，8,102432 62===?--k k k a a a a ，若对满足128>t a 的任意 t ， m t k t k ≥-+都成立，则实数m 的取值范围是____________]8,(--∞ 解析：7122262=?=-+?=?-k k k a a a k k ，则22,85 643=?===-q a a a k 12-=n n a ，82212871>?>?>-t a t t ， 1714 --≤?≥-+t m m t k t k 递增，9≥t ，27-≤-t ，817714 -=--≥-∴ t 2. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f )(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则_______)2009(=f 4018 解析：实际上是等差数列问题 3. 2 222222220091200811...413113*********++++++++++++ =S ，则不大于S 的最大整数][S 等于_______2008 解析：11 11)1(1)1()1(1112 2+-+=+++=+++ n n n n n n n n 2008][2009 1 12008=?- +=S S 4. 已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈** N N ，记数列{}n a 的前n 项 和的最大值为()f t ，则()f t = . ???????++) (4 )1()(4222为奇数为偶数t t t t t 解析：关键是(,)t n ∈∈** N N 5. 对任意x ∈R ，函数()f x 满足21)]([)()1(2+-= +x f x f x f ，设2 [()](),n a f n f n =-数列{}n a 的前15项和为31 ,(15)16 f -则= ．43 解析：关键之一：不要误入化简函数式的误区； 关键之二：能否看出]1,2 1 [)(∈x f ；（2 1)1(≥ +x f ） 关键之三：)2 1)(21(]1)()[(11--+-=-=--n n n a a n f n f a 得411- =+-n n a a ，从而16 3 15-=a ，反代可得43)15(=f
2019年中考数学冲刺压轴题 压轴填空题 1．若m ﹣2n=﹣1,则代数式m 2﹣4n 2+4n= ____________． 【答案】1 【解析】 【分析】 先根据平方差公式分解，再代入，最后变形后代入，即可求出答案． 【详解】 解： , 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了平方差公式的应用，能根据公式分解因式是解此题的关键． 2．已知，其中表示当时，代数式的值如，，， 则______． 【答案】2014 【解析】 【分析】 根据代数式求值即可求出答案． 【详解】 解：∵=， ∴f（1）?f（2）?f（3）……f（2013）
＝ ＝2014， 故答案为：2014 【点睛】 本题考查代数式求值，解题的关键是熟练根据题意找出运算规律，本题属于基础题型． 3．已知方程组的解也是方程3x﹣2y=0的解，则k=_____． 【答案】-5 【解析】 由题意可列方程组，解得代入4x-3y+k=0得k=-5 4．关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数a 的最大值是_____________． 【答案】0 【解析】 解：根据题意得：a+1≠0且△=（-2）2-4×（a+1）×3≥0，解得a≤且a≠－1，所以整数a的最大值为－2．故答案为：－2． 5．若关于x的分式方程＝a无解，则a的值为____． 【答案】1或－1 【解析】 根据方程无解，可让x+1=0，求出x=-1，然后再化为整式方程可得到x-a=a（x+1），把x=-1代入即可求得-1-a=（-1+1）×a，解答a=-1；当a=1时，代入可知方程无解. 故答案为：1或-1. 6．如图，P为反比例函数(x＜0)在第三象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=－x+4的图像于点A、B.若AO、BO分别平分∠BAP，∠ABP ，则k的值为___________． 【答案】8
1. 已知四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面的射影恰好是底面菱形ABCD 的两对角线的交点，若3AB =，4PB =，则PA 长度的取值范围为 )5,7( 解析：如图 设x BO =，则216x PO -=， 229x AO -=，)3,0(,25.02∈-=x x PA 2. 一个半径为1的小球在一个棱长为64的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_______372 解析： 如图，当小球贴着底面和三个侧面运动时， 它与底面的切点形成一个三角形，这个三角形和底面三角形之间的部分就是在底面上不能接触的部分，设小球同时与底面和左右两侧面都相切，O 为球心，与底面和右侧面切点分别为M,N ，平面OMN 与底面棱AB 交于点P ，显然OMN AB ⊥，则MPN ∠为二面角的平面角， 3 1 cos = ∠MPN ，则22tan =∠MPN ,由二倍角公式可求得22tan =∠OPM ,而 1==ON OM ，故2=MP ,6=AP ,故四个面不能接触到面积 =672])62()64[(4 3 422=-? 3. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ) 65,61( O M N P A B P O B
解析： 必须比如图的三棱锥体积大，然后小于剩余体积， 否则根据对称性一样液面是三角形 4. 一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A 16, AA =2 1 解析：（单德林双球）设A1A2上切点为T ，AB2与球 O 切点为P 则44442222++=+=+=b T B P B AB 而2 212 2 26B A AB += 22246b ++= 5. 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数 n m ，那么积mn 是______6 解析： 正六面体内切球的球心就是底面正三角形的中心，它到各个侧面的距离就是内切球半径，可以直接求，也可以用体积法求；而正八面体也可以用两种方法求解 6. 三位学友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示．盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半．设剩余饮料的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，则它们的大小关系是 ． B 1 A 2 A 1 B 2