1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ?u u u r u u u r
＝
_____________ 【答案】2
7- 解析：
2
7
)(21)()()()(-
=+?-=?-=+?-=?
2.
0,31=?=
=，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.
设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m
n
等于
【答案】3
[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由
(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 得 ???==?+=n
y m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而0
30=∠AOC 故n m x y 330tan 0==
法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r
两边同乘或得
???
???
?
=??=?=?=?n n m
m OA OC 333两式相除得3=n m 3. 在△ABC 中，若4=?=?，则边AB 的长等于 22
B O A
B
C
P
Q
解析：4=?=?CB AB AC AB 88)(2
=?=+?AB CB AC AB
4. 已知点G 是ABC ?的重心，点P 是GBC ?内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r
则的取
值范围是___________)1,3
2(
解析：
=+=
+=''3
2
GP AG GP AG AP λ )()(31
GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+< )(31[)(31BC AC n CB AB m t AC AB +?++?++ =AC nt AB mt )1(31)1(31+++，则)1,3 2(3132∈+=+t μλ 5. 已知O 为ABC ?所在平面内一点，满足22OA BC +=u u u r u u u r 22 OB CA +=u u u r u u u r 22 OC AB +u u u r u u u r ，则点O 是ABC ?的 心 垂心 解 析 ： 22OA BC +=u u u r u u u r 22 OB CA +=u u u r u u u r 0))(())((=-++-+?CA BC CA BC OB OA OB OA 02=??OC BA ，可知AB OC ⊥，其余同理 6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()112 2=+-c b 则→BC ·→AO 的取值 范围 ?? ? ???2,41- A B C G P G ’ P ’ 解析： ()112 2=+-c b 222b b c -=?200<b )(2 1 22cos cos )(22c b R c cR R b bR cR bR AO AB AC AO BC -=?-? =-=?-=?βα ∈--=-=41)21(22b b b ?? ? ???2,41- 7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于_____ 3 2 解析：（2007全国联赛类似题）因为2=?+?AF AC AE AB ，所 以 2 )()(=+?++?BF AB AC BE AB AB ，即 22 =?+?+?+BF AC AB AC BE AB AB 。因为12 =AB ， 1133236 133133-=??-+??=?AB AC ，BF BE -=，所以 21)(1=--?+AB AC BF ，即2=?BC BF 。设EF 与BC 的夹 角为θ，则有2cos ||||=??θBC BF ，即3cos θ=2，所以32 cos =θ 8. 已知向量αu r ,βu r ,γr 满足||1α=u r ,||||αββ-=u r u r u r ,()()0αγβγ-?-=u r r u r r .若对每一确定的βu r ,||γu u r 的最大 值和最小值分别为,m n ,则对任意βu r ,m n -的最小值是 2 1 解析：数形结合. α=AB ,β=AC ,βα-=BC ,,γ=AD BD CD BD CD ⊥?-=-=αγβγ,， 点D 在以BC 为直径的圆上运动，m n -就是BC ，而2 1 121,≥?≥?==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同. 9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ． 2 3 A B C D A B C O α β B 解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8 10. 设21,e e 是夹角为0 60 的两个单位向量，已知21,e ON e OM ==， y x +=，若PMN ?是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集 合为_____________{1} 解析：画图解即可 11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则?的最大值为________2 12sin ))((+=++θDC OD AB OA 12. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为0 120。如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是___2 解析： 13)(2222222 =-+=-+=?++=xy y x xy y x OB OA xy y x OC 2 2)2 ( 3131)(y x xy y x +?+≤+=+ 【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)2 3,21(),0,1(- ==则 )23,21(y y x - =，则满足11)2 3()21(222=-+?=+-2xy y x y y x ，且0,2 1 21≥-≥- y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、y ∈R ，则2 2 )1(y x +-的最大值为 2 解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(==OB OA ),(y x =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x 13. 在平行四边形中，ABCD 已知?=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点 P 在CD BC 与上运动（包括端点） ，则?的取值范围是 ]1,2 1 [- 解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P 在BC 上时，BP AB AP +=，则 ]1,2 1 [211∈-=?+?=?BP DM BP DM AB DM AP ；同理，当P 在CD 上时， ]2 1 ,21[2121-∈+-=?DM 14. 在周长为16的PMN ?中，6MN =，则PM PN ?u u u u r u u u r 的取值范围是 [)716， 解析：PM PN ?u u u u r u u u r ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+? ==32236 2cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2 (2 =+≤b a ab ，PM PN ?u u u u r u u u r 732≥-=ab ，或者用消元的方法 25)5()10(2 +--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ?u u u u r u u u r 732≥-=ab ；同时86106ab ， PM PN ?u u u u r u u u r 1632<-=ab 另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决 15. 已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且21x y +=，AOB ∠是钝角，若 ()||f t OA tOB =-u u u r u u u r 的最小值为3||OC uuu r 的最小值是 6111解析：',,'B A C y x ?+=共线，用几何图形 解）()||f t OA tOB =-u u u r u u u r 的最小值为3为A 到OB 的距离，易得0 120=∠AOB ，要使||OC uuu r 最小， 则'AB OC ⊥，利用面积法可求得 16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上 的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为 12 解析：坐标法解，)sin ,(cos ),1,2 1 (),1,1(θθ=-== 由AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r 得 ??? ??? ?+=+-=??????=+-=+θθμθθθθλθμλθμλsin cos 23sin cos 2cos 2sin 21sin 1cos 21 ， B B ’ A C 32 1 sin cos 2sin 13sin cos 23cos 2sin 2-++?=++-= +θ θθ θθθθμλ，令 ]2 ,0[,sin cos 2sin 1)(π θθθθθ∈++= f ，0)sin cos 2(cos sin 22)('2>+-+= θθθθθf ，故)(θf 最小值为2 1)0(= f ，μλ+最小值为21 17. 已知P 为边长为1的等边ABC ?所在平面内一点，且满足2+=，则 ?=________3 解析：如图 CA CB CP 2+=CA BP 2=?，PB PA ?= 3120cos 214)(02 =??+=?+=?+ 18. 已知向量M={ =(1,2)+(3,4) R}， N={=(-2,2)+ (4,5) R }，则MN=________{})62,46( 解析：15' 5242' 4231=??? ?+=++-=+λλλλλ 19. 等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=? ，AB = AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中 点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当1 2 PM PN ?=- u u u u r u u u r 时，AM MB =______3 解析：))((++=? 20. 如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1, 则()() CA CD CA CE ??u u u r u u u r u u u r u u u r 的最大值是 227 解析： ( )() CA CD CA CE ??u u u r u u u r u u u r u u u r 27 2cos sin 21cos sin 21cos 214 2232≤ ==?=A A A A CA A CA CD 21. 已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足 ?? ? ???++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ?的 P A C C A D E B ______________重心 解析：设重心为G ，3 2)(3 )2(3 λ λ λ = += ?-+- = λ=，故P G C ,,三点共线 22. 已知点O 为ABC ? 24==,则=? 6 解析：61 224cos 2cos 4)(=?-? =∠-∠=-=?R R R R BAO R CAO R 23. 设D 是ABC ?边BC 延长线上一点，记AC AB AD )1(λλ-+= ，若关于x 的方程 01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____ 4-<λ或122--=λ 解析：令x t sin =则01)1(22 =++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知 0)1()1(λ，或者1220--=?=?λ 又AC AB AD )1(λλ-+=λ=?0 24. O 是锐角?ABC 所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+u u u r u u u r 2AB AB Sin ABC λ? + ∠? u u u r u u u r 2AC AC Sin ACB ? ??? ∠? u u u r u u u r ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过?ABC 的______心 内心 解析：设高为AD ，则AD 1 + =λ显然成立 25. 已知O 为坐标原点，(),OP x y =u u u r ，(),0OA a =，()0,OB a =u u u r ，()3,4OC =u u u r ，记PA u u u r 、PB u u u r 、PC u u u r 中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是 _____) 7?-+∞? ≥，即x y ≥ ，此时max {M =,当a 取遍一切实数时，点 A 在x 轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以C 为焦点，x 轴为准线 的抛物线，其方程为) 2(8)3(2 -=-y x ,它交直线 x y =于点P )627,627(-- =，而A 为x PA ⊥的垂足时M 最 小，即最小是627- 法2：对于某个固定的a ,到M 的最大值显然可以趋向∞+，M 最小值呢实际上就是当P 为 ABC ? ==M =的最小值，因为当P 不是外心时， 至少有一个会变大，这样M 就变大.解得外心坐标为P )14225,14225(22----a a a a , ==最小，则圆与坐标轴相切，此时 a a a =--14225 2627-=?a 26. 已知ABC ?中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB y AC ====+u u r u u u r u u u r 且，则x y +的值 为 _________ . 23 , 解析：延长AI 交BC 于点'I ,则 AI 3 2 3132'23+=+== 27. 设G 是ABC ?的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60° 解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==?==，下面用余弦定理即可求解 28. 平面内两个非零向量, 1=，且α与-的夹角为0 135 的取值 范围是_________]2,0( 45 sin 1 =，)4 3 ,0(πθ∈ 29. 在ABC ?中，2,1==AC AB ，O 为ABC ?外接圆的圆心，则=?BC AO ____ 2 3 解析： 2 (2)(2)(AD AE AO AD AO AB AC AO =?-?=-? 2 3)2 = -AE 30. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=u u u r u u u r u u u r r ．则C ∠= ．135 解析：3450OA OB OC +-=u u u r u u u r u u u r r 2222524169=?++? 090=∠?===AOB r OC OB OA 31. 在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，AC =3，以A 为圆心，r =2为半径作一个圆，设PQ 为圆A 的任意一条直径，记T ＝→ → ?CQ BP ,则T 的最大值为 ．22 解析： 设,的夹角为θ，注意到由余弦定理知 60=∠CAB ，故→ →?CQ BP AQ AP CA AP AQ BA CA BA AQ CA AP BA ?+?+?+?=++=))((A B C P Q A B C O D E θcos 14884)(60cos 380+=?+=--?+??BC AQ CA BA AQ ]22,6[-∈ 32. 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u u r ， 则AC AD ?u u u r u u u r =____________3 33. 已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于_______________3:2:1 法一：延长OB,OC 至B ’,C ’，使得OB OB 2'=,OC OC 3'=，则O 为''C AB ?重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)， ?? ?=-=-+0 620 632y b x c a 3:1:3=?=???ABC AOC S S y b 34.已知是△ABC 的三个顶点，ABC CA BC CB AB AC AB AB ??+?+?=则,2为_________________三角形. 直角三角形 解：注意到2 AB CB AB AC AB =?+?,故0=?CA BC 35.平面上的向量PB PA ,满足42 2 =+PB PA ，且0=?PB PA ,若向量PB PA PC 3 231+= ，则PC 的最大值为___________ 解析：两边平方后知3 4916)34(9122 ≤?≤+=PC PB PC ，即A P ,重合时. 36.已知在平面直角坐标系中，),,(),3,2(),1,0(),2 1 ,1(),0,0(y x P Q N M O 动点满足 0OQ OP ON OP OM OP ?≤?≤≤?≤则.10,1的最大值为 解析：即已知? ? ?≤≤≤+≤101 20y y x 求y x 32+最大值问题，线性规划问题. 37、在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=?，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+= . 解析： BC AB AH μλ+=2 1 ，两边同数乘BC 得μλ3=；两边同数乘AB 得368=-μλ 解方程组得3 2 61,21=+?==μλμλ 38. 如图，在ABC ?和AEF ?中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CA CB ==， C B D 若7AB AE AC AF ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则EF u u u r 与BC u u u r 的夹角的余弦值等于 _．3 1 解析：39题类似，632=?=?BC EF ，下面求 -?+?=-?-=?)()()(AF AC AE AB AB AC AE AF BC EF (])()([7)(AC BE AB BF AB AB AC AE AF AB ?+++?-=?+?= ]4[7][72 AC AB CB BF AC BF AC AB BF AB AB ?+?+-=?-?+?+- =]22 1 4[7+?--BC EF ，解方程得2=?BC EF 39. 如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2AB AE AC AF ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 则EF u u u r 与BC u u u r 的夹角等于 ； 解析： 3 π 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。 ()()AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ?+?=?++?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1AB BE AC AB AC BF =+?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EF u u u r 与 BC u u u r 的夹角EF u u u r 与BC u u u r 的夹角∵BE BF =-u u u r u u u r ， ∴AB AE AC AF ?+?u u u r u u u r u u u r u u u r 1()AC AB BF AC AB =+-?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12BC BF AC AB =+?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r 而在等腰△ABC 中，作底边的高CD ，则在Rt △ACD 中由已知边长可得 1 12cos 24CAB ∠==，设EF u u u r 与BC u u u r 的夹角为α。 ∴ 1||||cos ||||cos 2BC BF AC AB CAB α+?+?∠=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 从而1cos 2α= ，又0απ<<，∴3 π α=。 40. 如图，已知Rt BCD △的一条直角边BC 与等腰Rt ABC △的斜边BC 重合，若 2AB =，30CBD ∠=o ，AD mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v ， 则m n - ＝ .-1 解析：AD mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v 两边分别同乘AC AB ,分别得到 n AC AD m AB AD 4,4=?=?4)()(4-=?+=?=-?CB CD AC CB AD n m 41.在ABC ?中，若I 是其内一点，满足0=?+?+?IC c IB b IA a ，求证：I 为内心 证明：)( )(0)()(b AC c AB bc IA c b a AC IA c AB IA b IA a +=++?=++++? b AC c AB IA bc c b a +=++? ，注意到b AC c AB ,是单位向量，则I 在角平分线上，同理可得I 是内心. 42. 已知向量OC OB OA ,,满足条件：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，且OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r =2，点P 是?ABC 内一动点，则=?+?+?CP CA BP BC AP AB 18 . 43. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的 点D ，若B nO A mO C O ρ ρρ+=，则n m +的取值范围是 （-1,0） 解析：设)1(-<=λλOC OD B nO A mO C O ρ ρρ+=OB n OA m OD λλ+=?，由于D B A ,,共线 )0,1(1 1-∈= +?=+λ λλn m n m 44.如图，AC n AB m AP +=，点P ，则 n m ,满足的条件是___________1>+n m ，0,0>>n m 解析：设AP 与BC 交与点'P ，)1('>=λλAP AP )(1 'AC n AB m AP += λ ，1>=+λn m 45. 在△ABC 中，π 6 A ∠= ，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+?u u u r u u u r u u u r u u u r ，则B ∠等于 12 5π 解析：22||||AB AD BD DC =+?u u u r u u u r u u u r u u u r 0)()(=?+??=?+?DC AC AB DC BD DB AD AB 说明AD 是BC 边中垂线，得AB=AC C P 46. 在ABC Rt ?中，?=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ?内切圆圆心，设P 是⊙D 外 的三角形ABC 区域内的动点，若μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为 π4 121-
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