数学理科选修4-4第一讲《极坐标》习题
一．选择题
1．已知⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--35,5π
2．点()
3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-34,2π
3．极坐标方程⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆
4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,
1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛4,2π
5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ
6、 已知点()0,0,4
3,2,2,2O B A ⎪⎭
⎫
⎝⎛
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
-π
π则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4
≤=
ρπ
θ表示的图形是（ ）
A ．一条射线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．圆
8、直线αθ=与1)cos(
=-αθρ的位置关系是（ ）
A 、平行
B 、垂直
C 、相交不垂直
D 、与
有关，不确定
9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是（ ） A.214
-
π
B.2-π
C.12-π
D.2
π
10.已知点1P 的球坐标是)4
,
,32(1π
ϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P .
A ．2
B ．3
C ．22
D ．2
2
二．填空题
11．极坐标方程52
sin 42
=θ
ρ化为直角坐标方程是
12．圆心为⎪⎭
⎫
⎝⎛6,
3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 13．已知直线的极坐标方程为2
2
)4
sin(=
+π
θρ，则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫
⎝
⎛611,
2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。 15、与曲线01cos =+θρ关于4
π
θ=对称的曲线的极坐标方程是_______________。
三．解答题
16．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程，并求出坐标伸缩变换。
17．已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛π32,5P ，O 为极点，求使'POP ∆是正三角形的'
P 点坐标。
18．棱长为1的正方体'
'
'
'
C B A
D OABC -中，对角线'
OB 与'BD 相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在轴轴y x ,的正半轴上，已知点P 的球坐标()θϕρ,,P ，求
θϕρsin ,tan ,。
19．ABC ∆的底边,2
1
,10B A BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。
20．在平面直角坐标系中已知点A （3，0），P 是圆珠笔(
)
12
2=+y x 上一个运点，且AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。
21、在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎪⎭
⎫
⎝⎛6,3π，半径=1，Q 点在圆C 上运动。 （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）若P 在直线OQ 上运动，且OQ∶QP=2∶3，求动点P 的轨迹方程。
22、建立极坐标系证明：已知半圆直径∣AB∣=2（>0），半圆外一条直线与AB 所在直线垂直相交于点T ，并且∣AT∣=2)2
2(r
a a <
。若半圆上相异两点M 、N 到的距离∣MP∣，∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1，则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。
23．如图，BC AD ⊥，D 是垂足，H 是AD 上任意一点，直线BH 与AC 交于E 点，直线CH 与AB 交于F 点，求证：FDA EDA ∠=∠
选修4-4第一讲《极坐标》答案
11．42552
+=x y ；12．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=6cos 6πθρ；13．22； 14．13+；15． 01sin =+θρ
三．解答题
16．解：x y tan =的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
2
1
，得到x y 2tan =，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线x y 2tan 3=。
设'
'tan 3x y =，变换公式为
⎩⎨⎧>=>=0
,0
,'
'μμλλy y x x 将其代入'
'tan 3x y =得
⎪⎩⎪
⎨⎧==213λμ，⎪⎩⎪⎨⎧==∴y y x x 321''
17.)3,5('
πP 或),5('πP
18.1sin ,2tan ,2
3
===θϕρa 19.解:设()θρ,M 是曲线上任意一点,在ABC ∆
中由正弦定理得:2
sin
10
)23sin(θ
θπρ=
- 得A 的轨迹是:2
sin 40302θρ-= 20.解:以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()θρ,Q ,()θ2,1P OAP OQP OQA S S S ∆∆∆=+
θθρθρ2sin 132
1
sin 21sin 321⋅⋅⋅=+⋅∴
θρcos 2
3=
21．（1）06cos 62
=⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-πθρρ （2）0506cos 152
=+⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-πθρρ 22．证法一：以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为
θρcos 2r =，设()),(,,2211θρθρN M ，则11c o s 2θ
ρr =，22cos 2θρr =，又1211c o s 22c o s 2θθρr a a MP +=+=，2222cos 22cos 2θθρr a a NQ +=+=， 112cos 2cos 22θθr r a MP =+=∴ 222cos 2cos 22θθr r a NQ =+=∴
21cos ,cos θθ∴是方程0cos cos 2=+-a r r θθ的两个根，由韦达定理：
1cos cos 21=+θθ，AB r r r NA MA ==+=+2cos 2cos 221θθ
证法二：以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为
θρcos 2r =，设()),(,,2211θρθρN M 又由题意知，()),(,,2211θρθρN M 在抛物线θρcos 12-=
a 上，θ
θcos 12cos 2-=∴a
r ，
0cos cos 2=+-a r r θθ，21cos ,cos θθ∴是方程0cos cos 2=+-a r r θθ的两个根，
由韦达定理：1cos cos 21=+θθ，AB r r r NA MA ==+=+2cos 2cos 221θθ
23．证明：以BC 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，设),0(a A ，
)0,(b B ，)0,(c C ，),0(t H ，则
1:=+t y
b x l BH ，即0=-+bt by tx
1:=+t y
c x l CH ，即0=-+ct cy tx
1:=+a y
c x l AC ，即0=-+ac cy ax
1:=+a
y
b x l AB ，即0=-+ab by ax
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----∴ct ab t c b ct ab t a bc E ,，()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛----∴bt ac b c at ac bt a t bc F ,
()()()()()()t a bc at c b t a bc ct ab ct ab at c b k DE --=--⋅--=∴ ()()()()()()
t a bc at c b a t bc ac bt bt ac at b c k DF
---=--⋅--=
∴ ,FDB EDC ∠=∠∴FDA EDA ∠=∠
高二数学理科选修4-4第二讲参数方程测试题
班别 姓名 学号
一．选择题（每题5分共60分）
1．设椭圆的参数方程为()πθθθ
≤≤⎩
⎨⎧==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点，
M ，N 对应的参数为21,θθ且21x x <，则( )
A ．21θθ<
B ．21θθ>
C ．21θθ≥
D ．21θθ≤
2.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为
3
π
的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211 D. ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211
4.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧
-=+
=2
1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( )
A.一条射线
B.两条射线
C.一条直线
D.两条直线
5．若动点(x ,y )在曲线
1422
2=+b
y x (b >0)上变化，则x 2y 的最大值为( )
(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)
20(442
b b
b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2
＋2y 2
=6x ，则x 2
＋y 2
的最大值为（ ） A 、
27 B 、4 C 、2
9
D 、5 7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=1
232
2t y t x (t 是参数)，则曲线是( ) A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线
8． 已知动园：),,(0sin 2cos 22
2
是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是( )
A 、直线
B 、圆
C 、抛物线的一部分
D 、椭圆
9． 在参数方程⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的
参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是
( )
10．设0>r ,那么直线()
是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位置
关系是 ( )
A 、相交
B 、相切
C 、相离
D 、视的大小而定
11． 下列参数方程（t 为参数）中与普通方程x 2
-y=0表示同一曲线的是
( )
12．已知过曲线()⎩
⎨⎧≤≤==πθθθθ
0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角
为4
π
，则P 点坐标是( ) A 、（3，4） B 、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22223， C 、(-3，-4) D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛512512， 二．填空题（每题5分共25分） 13．过抛物线y 2
=4x 的焦点作倾斜角为
的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是
____________。
14．直线()为参数t t
y t
x ⎩⎨
⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于
2的点的坐标是
15．圆锥曲线()为参数θθ
θ
⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是
16．直线l 过点()5,10M ，倾斜角是
3
π
，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为
17．曲线⎩⎨
⎧==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线⎩
⎨⎧==ββ
sec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为e 1
和e 2，则e 1＋e 2的最小值为_______________. 三．解答题（共65分）
18．上截得的弦长。为参数）被双曲线（求直线13222=-⎩⎨⎧=+=y x t t
y t
x
19．已知方程
。
（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
（2）θ为何值时，该抛物线在直线x=14上截得的弦最长？并求出此弦长。
20．已知椭圆⎩
⎨⎧==θθ
sin 5cos 4y x 上两个相邻顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上的两个动点，且B 、
D 分别在直线AC 的两旁，求四边形ABCD 面积的最大值。
21.已知过点P(1，-2)，倾斜角为
6
π的直线l 和抛物线x 2
=y+m (1)m 取何值时，直线l 和抛物线交于两点?
(2)m 取何值时，直线l 被抛物线截下的线段长为3
2
34-.
第二讲参数方程测试题答案
18．解：把直线参数方程化为标准参数方程为参数）
（ 23 212t t y t x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=+= 1 23 21212
2
2
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-t t y x ，得：代入 06 4 2
=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t 6 4 2121-=⋅=+t t t t ，
()()10240644 4 22122121==--=
-+=-=t t t t t t AB 从而弦长为
19（1）把原方程化为())cos 4(2sin 32
θθ-=-x y ，知抛物线的顶点为()
θθsin 3,cos 4它是在椭圆19
162
2=+y x 上；（2）当时，弦长最大为12。
20、220
21．(1)m ＞12
3
423+,(2)m=3
高二数学理科选修4-4参数方程单元练习
(一)选择题：
[ ] A．(2，-7) B．(1，0)
A．20°B．70° C．110° D．160°
[ ] A．相切 B．相离 C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
[ ]
C．5 D．6
(二)填空题：
8．设y=tx(t为参数)，则圆x2+y2-4y=0的参数方程是______．
10．当m取一切实数时，双曲线x2-y2-6mx-4my+5m2-1=0的中心的轨迹方程为______．(三)解答题：
时矩形对角线的倾斜角α．
13．直线l经过两点 P(-1，2)和Q(2，-2)，与双曲线(y-2)2-x2=1相交于两点A、B，
(1)根据下问所需写出l的参数方程；
(2)求AB中点M与点P的距离．
14．设椭圆4x2+y2=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹．
15．若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线．现测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6000米，炮弹运行的最大高度为1200米．试求炮弹的发射角α和发射初速度v0(重力加速度g=9.8米/秒2)．
参数方程单元练习答案提示
(一)1．C 2．C 3．D 4．B 5．A
(二)6．(1，0)，(-5，0)
7.4x2-y2=16(x≥2)
9．(-1，5)，(-1，-1)
10．2x+3y=0
(三)11．圆x2+y2-x-y=0．
14．取平行弦中的一条弦AB在y轴上的截距m为参数，并设A(x1，
设弦AB的中点为M(x，y)，则
15．在以A为原点，直线AB的x轴的直角坐标系中，弹道方程是
它经过最高点(3000，1200)和点B(6000，0)的时间分别设为t0和2t0，代入参数方程，得
高二数学理科选修4-4极坐标与参数方程单元考试
一、选择题（每小题5分，共25分）
1、已知点M 的极坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛
⎝ ⎫⎭
⎪π
B. 543，π⎛
⎝ ⎫⎭⎪
C. 523，-⎛
⎝ ⎫⎭
⎪π
D. ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-3
55π，
2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩
⎨⎧==θθ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
3、在参数方程⎩
⎨
⎧+=+=θθ
sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参
数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）
4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=1
2
32
2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2
＋2y 2
=6x ，则x 2
＋y 2
的最大值为（ ）
A 、
27 B 、4 C 、2
9
D 、5
二、填空题（每小题5分，共30分）
1、点()22-，
的极坐标为 。 2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S A O B ∆=___________。（其中O 是极点）
3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3
π
，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的
长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）
1、求圆心为C 36，π⎛
⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。
3、求椭圆14
92
2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。
高二选修4-4极坐标与参数方程单元考试
【试题答案】
一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B
二、填空题：1、⎪⎭⎫
⎝
⎛-422π，
或写成⎪⎭
⎫ ⎝⎛
4722π，。 2、5，6。 3、d =
=3262。 4、()2
2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13
139±=y 。
6、3610+。
三、解答题
1、1、如下图，设圆上任一点为P （ρθ，），则((((2366
OP POA OA π
ρθ=∠=-=⨯=，，
((((cos Rt OAP OP OA POA ∆=⋅∠中，
6cos 6πρθ⎛
⎫∴=- ⎪⎝⎭而点O )32,0(π A )6
,0(π符合2、解：（1）直线的参数方程是
是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++
)2
1
1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42
2=+y x 整理得到 02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。
所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
()()
3cos 2sin 10P P d θθθ设，，则到定点（，）的距离为
3cos )5d θθ=(当时，
P
选修4—4 极坐标与参数方程 一、伸缩变换 设),(y x P 是平面直角坐标系中任意一点，在变换???='='y y x x μλ?: )0()0(>>μλ的作用下，点),(y x P 对应),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。 练习 1．将1422=+y x 的横坐标压缩为原来的2，纵坐标伸长为原来的2 1倍，则曲线的方程变为 。 2．在平面直角坐标系中，方程122=+y x 所对应的图形经过伸缩变换?? ?='='y y x x 32，后的图形所对应的方程是 ． 二、极坐标 （一）极坐标系与极坐标 1、极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox 一个长度单位及计算 角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.O 点称为极点，Ox 称为极轴. 2、极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ 来刻画.这两个数组成的有序数对),(θρ称为点M 的极坐标.ρ称为极径，θ 称为极角. 注：①在通常情况下，总认为0≥ρ，只在事先说明的情况下，才允许取0<ρ； ①极点O 的坐标为：),0(θ)(R ∈θ ①点),(θρ与),(θπρ+关于极点O 对称； 点),(θρ与),(θρ-关于极轴对称 ①点),(θρ，)2,(θπρ+k ，)2.(ππρ+-k （允许ρ小于0时）表示同一点.
（二）极坐标与直角坐标的关系 设M 为平面上的点，它的直角坐标为),(y x ，极坐标为),(θρ，关系如下： ???? ?????=+===x y y x y x θρθρθρtan sin cos 2 22)0(≠x 注：在极坐标系中，αθ=)0(≥ρ表示以极点为起点的一条射线；αθ=)(R ∈ρ表示以极点为起点的一条直线. 练习 1、点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为 . 2、极坐标为（1，π）的点M 的直角坐标为 . 3、将以下极坐标方程化为对应的直角坐标方程 （1）ρ=2cosθ﹣4sinθ （2）ρsin 2θ=4cosθ （3）ρ=4cosθ （4）1)3cos(=- πρx （5）ααρ222cos 3sin 42+= （6）34πθ= )(R ∈ρ （7）2=ρ 4、在直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+ πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,， 与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
数学理科选修4-4第一讲《极坐标》习题 一．选择题 1．已知⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ --35,5π 2．点() 3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4, 1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ 6、 已知点()0,0,4 3,2,2,2O B A ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- -π π则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4 ≤= ρπ θ表示的图形是（ ） A ．一条射线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．圆 8、直线αθ=与1)cos( =-αθρ的位置关系是（ ）
A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与 有关，不确定 9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是（ ） A.214 - π B.2-π C.12-π D.2 π 10.已知点1P 的球坐标是)4 , ,32(1π ϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P . A ．2 B ．3 C ．22 D ．2 2 二．填空题 11．极坐标方程52 sin 42 =θ ρ化为直角坐标方程是 12．圆心为⎪⎭ ⎫ ⎝⎛6, 3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 13．已知直线的极坐标方程为2 2 )4 sin(= +π θρ，则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛611, 2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。 15、与曲线01cos =+θρ关于4 π θ=对称的曲线的极坐标方程是_______________。 三．解答题 16．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程，并求出坐标伸缩变换。 17．已知⎪⎭ ⎫ ⎝⎛π32,5P ，O 为极点，求使'POP ∆是正三角形的' P 点坐标。
二极坐标系 [对应学生用书P5] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). [对应学生用书P5] [例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π 2 的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． [解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)． (2)由P ，Q 关于直线θ＝π 2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |， 点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)． 设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 1．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π 6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝ ⎛⎭⎫2，－7π 6
选修4-4·第一章 极坐标系 一、新学习目标 1. 认识极坐标系，学生能复述极坐标系的定义，能区分并说明极坐标系和平面直角坐标系的异同。 2. 认识极坐标,给定一个点P 的极坐标(,)ρθ能说明其意义；能结合图形写出平面上任意一个点的极坐标。 3. 比较极坐标系和平面直角坐标系：能熟练进行点的两种坐标转换【P (,)ρθ与P （x ，y ）】。 4. 认识圆和直线方程的几种特殊形式：会画出极坐标系和平面直角坐标系下的图形，会从图形分析出极坐标方程。 5. 能够进行圆和直线的标准方程与极坐标方程的转换，能够判断一个极坐标方程表示的是什么曲线。 6. 能说明平面上一个点的多种极坐标表示。能写出极坐标平面上的对称点。 二、知识纲要 1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλϕ μμ'=>⎧⎨ '=>⎩ 的作用下,点P(x,y)对 应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．极坐标系的概念： (1)极坐标系： 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线O x ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标： 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴O x 为始边,射线O M 为终边的角xO M ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 说明： ①一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. ②特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. ③如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
1、已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x t y =-???=??， （t 为参数），在极坐标系（与 直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为24s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 2、已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、 B 、 C 、 D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
3、在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2 ＝4. (Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 4、在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为 ?? ? x ＝3cos α，y ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π 2 )，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题 （时间：120分钟，总分：150分） 姓名： 学号: 一．选择题（每小题5分，共50分） 1.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）。 A.4)2(22=++y x B. 4)2(22=-+y x C. 4)2(22=+-y x D. 4)2(22=++y x 2.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）。 A.1=ρ B. θρcos = C. θρcos 1-= D. θ ρcos 1 = 3.直线12+=x y 的参数方程是（ ）。 A.???+==1 22 2 t y t x B. ???+=-=1412t y t x C. ???-=-=121t y t x D. ?? ?+==1 sin 2sin θθy x 4.方程????? =+=2 1y t t x 表示的曲线是（ ）。 A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分 5.参数方程???+-=+=θ θ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。 A.042=+-y x B. 042=-+y x C. 042=+-y x ]3,2[∈x D. 042=-+y x ]3,2[∈x 6.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23， π43) B. (23-，π45) C. (3，π45) D. (-3，π4 3) 7.直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。 A.43- ≤k B. 4 3 -≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k 8.在极坐标系中，曲线)3 sin(4π θρ-=关于（ ）。 A.直线3 π θ= 对称 B.直线65πθ= 对称 C.点(2，3 π )中心对称 D.极点中心对称
§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化 1．掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)． 2．理解广义极坐标下点的极坐标(ρ，θ)与点之间的多对一的对应关系． 3．已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化． 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立． 如图，在平面内取一个定点O ，叫作____，从点O 引一条射线Ox ，叫作____，选定一个________和__的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________． (2)点的极坐标的规定． ①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的____，θ叫作点M 的____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的______，记作M ______. 当点M 在极点时，它的极径ρ＝__，极角θ可以取______． ②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定： 作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的__________上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图： 【做一做1－1】在极坐标系中，与点π36⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ，重合的点是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，136π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－56π 【做一做1－2】在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( )．
A ．(ρ，θ) B ．(ρ，－θ) C ．(ρ，θ＋π) D ．(ρ，π－θ) 2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件． 如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为____，x 轴的正半轴作为____，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的________． (2)互化公式． 如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除____外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的． ①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ ， y ＝ . ②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ ρ2 ＝ ， tan θ＝ . 【做一做2－1】点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫5，23π，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－2】点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－3】点P 的直角坐标为(6，2)，化成极径是正值，极角在0到2π之间 的极坐标为__________． 1．建立极坐标系的意义 剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置． 有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程． 总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法． 2．极坐标系下点与它的极坐标对应情况 剖析：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个． 答案： 1．(1)极点 极轴 单位长度 角 极坐标系 (2)①极径 极角 极坐标 (ρ，θ) 0 任意值 ②反向延长线
高二数学选修4-4（极坐标）练习题 一．选择题 1．已知⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-3, 5πM ，下列所给出的不能表示此点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ --35,5π 2．点() 3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪ ⎭⎫ ⎝⎛3, 2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪ ⎭⎫ ⎝ ⎛ -3,2π D ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4, 1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ 6、 已知点()0,0,4 3,2,2,2O B A ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ - -π π则ABO ∆为( ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、直线αθ=与1)cos( =-αθρ的位置关系是( ) A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与 有关，不确定 8.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是( ) A.214 - π B.2-π C.12-π D.2 π
9.已知点1P 的球坐标是)4 ,,32(1π ϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,则21P P =( ). A ．2 B ．3 C ．22 D ． 2 2 10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。 A.34k <- B. 4 3 -≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k 二．填空题 11.若A 33，π⎛ ⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-64π，，则|AB|=___________，S A O B ∆=___________。（其中O 是极点） 12.极点到直线()cos sin ρθθ+________ _____。 13.极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。 14.直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 15.极坐标方程52 sin 42 =θ ρ化为直角坐标方程是 16.圆心为⎪⎭ ⎫ ⎝⎛6, 3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 17.已知直线的极坐标方程为2 2 )4 sin(= + π θρ，则极点到直线的距离是 18.在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛611, 2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。 19.与曲线01cos =+θρ关于4 π θ= 对称的曲线的极坐标方程是________________________。 20.在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 。 21.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|= 。 三、解答题：
统考作业题目——4-4 6.2 1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12, (2x t t y t =+⎧⎨=-⎩ 为参数），以原点O 为 极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线C 的极坐标方程为 2 2cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值. 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。直线的极坐标方程为： ，点 ，参数 ． （I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．
1、【详解】 （1）12, 2x t y t =+⎧⎨ =-⎩10x y ∴+-= 因为2 2 2 ,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 所以2 2 2440x y x y ++++=，即2 2 (1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为 222 =， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设 ，则 ，且参数 ， 消参得： 所以点的轨迹方程为 （Ⅱ）因为 所以 所以， 所以直线的直角坐标方程为 法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为 圆心为（0,2），半径为2． ， 点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值 ． 法二：
当时，，即点到直线距离的最大值为． 6.3 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲 线的参数方程为（，t 为参数）. (1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程； (2)设P 为曲线上的动点，求点P 到 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标. 4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y α α =⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 sin 224πρθ⎛ ⎫ + = ⎪⎝ ⎭ （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
_坐_标_系 [对应学生用书P4] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 长度，用θ表示射线Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 2． 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位． (2)互化公式⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；，⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).. [对应学生用书P4]
[例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标． (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π 2的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． [解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z )．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z )． (2)由P 、Q 关于直线θ＝π 2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |， 点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )， 所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z )． 设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 1．在极坐标系中，画出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫3，－π4. 解：如图所示．
直线的极坐标方程 一、选择题 1．在极坐标系中,点)4,2(π到曲线01sin cos =--θρθρ上的点的最小距离等于（ ） A ．22 B ．2 C ．223 D ．2 2．已知点P 的极坐标是（1,π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．1=ρ B ． θρcos = C ． θρcos 1-= D ． θρcos 1= 3．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A. 201y y +==2x 或 B. 1x = C. 201y +==2x 或x D 。 1y = 4．直线 的位置关系是（ ) A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与有关， 不确定 5．在极坐标系中，设圆C ：4cos ρθ=与直线:(R)4 l π θρ=∈交于A ，B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ) A ．2 2)4πρθ=+ B ．2)4πρθ=- C ．2 2cos()4πρθ=+ D ．22)4π ρθ=-
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ) A ．4sin()3πρθ=+ B ．4sin()3 πρθ=- C ．cos 2ρθ= D ．sin 2ρθ= 7．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为( ） A ．极点 B ．极轴 C ．一条直线 D ．两条相交直线 8．．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为2)4sin(,cos 6=+=πθρθρ，求点C 到直线l 的距离是（ ) A ．4 B ． 2 C ． 2 D ．2 2 二、填空题 9．已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2 πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ________． 10．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C ：2cos = θρ与曲线12cos :22=θρC 相交于A ，B 两点，则|AB ｜＝ 三、解答题 11．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆2cos ρθ=与圆sin ρθ=交于,O A 两点. （Ⅰ）求直线OA 的斜率； （Ⅱ）过O 点作OA 的垂线分别交两圆于点,B C ,求||BC 。
．直线的极坐标方程 ．直线的极坐标方程ρ ， ( () θ 若直线经过点 ) θ － ρ ( ，则直线的极坐标方程为 α ，且极轴到此直线的角为 ＝ α ( ) ρ θ ． ) α － ρ 当直线过极点，即 ＝时，的方程为 () θ α . ＝ 当直线过点 () 且垂直于极轴时，的方程为 () ρθ . ＝ 当直线过点 () 且平行于极轴时，的方程为 ＝ . ρθ ．图形的对称性 ( ) ＝ ρ 若 对称． () ρ θ ，则相应图形关 于 ) θ － 极轴 ( ()若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在直线对称． ) ＝ θ ( 若 ρ () (π ρ 对称． ，则图形关于 极点 ＋ θ ) 将射线用集合表示出来，进而用坐标表示． 设(ρ，θ)为射线上任意一点(如图)， 则射线就是集合＝. 将已知条件用坐标表示，得θ＝(ρ≥)． 这就是所求的射线的极坐标方程． 方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ无论取任何正值，θ的对应值都是. 求直线的极坐标方程，首先应明确过点(ρ，θ)，且极轴到此直线的角为α的直线的 极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程． ．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为( )
．ρθ＝ ．ρ＝θ．ρθ＝ ．ρ＝θ 解析：选由于点的直角坐标为， 则过此点垂直于轴的直线方程为＝， 化为极坐标方程为ρθ＝， 所以选. ．设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程． 解：设(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)． 则α＝－＝，β＝π－＝＋θ， 在△中，有＝，即ρ＝. 将极坐标问题转化为直角坐标问题． 点的直角坐标为(，－)． 直线：ρ＝可化为ρθ·－ρθ·＝， 即直线的直角坐标方程为－＋＝. ∴点(，－)到直线－＋＝的距离为 ＝＝＋. 故点到直线ρ＝的距离为＋. 对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在 直角坐标系下研究． ．在极坐标系(ρ，θ)(≤θ<π)中，曲线ρ＝θ与ρθ＝－的交点的极坐标为． 解析：由ρ＝θ，得ρ＝ρθ， 其直角坐标方程为＋＝， ρθ＝－的直角坐标方程为＝－， 联立(\\(＋＝，＝－.)) 解得(\\(＝－，＝.))点(－)的极坐标为. 答案：
高中数学选修4-4单元测试题--极坐标与参数方程 班级: 姓名: 座号: 评分: 一.选择题:(每小题5分，共40分) 1.已知点M 的极坐标为)3, 5(π，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是 ( ) A.)3,5(π - B.)34,5(π C.)32,5(π- D.)3 5,5(π- 2.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θ θsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是 ( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.在极坐标系中，点),(θρP 关于极轴对称的点的一个坐标是 ( ) A.),(θρ-- B.),(θρ- C.),(θπρ- D.),(θπρ+ 4.极坐标方程52sin 42=θ ρ表示的曲线是 ( ) A.圆 B.椭圆 C. 双曲线的一支圆 D.抛物线 5.实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为 ( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 6.直线⎩⎨⎧-=+=0020 cos 120sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是 ( ) A.200 B.700 C.1100 D.1600 7.曲线⎩⎨⎧==θ θsin 4cos 5y x (θ为参数)的焦距是 ( ) A.3 B.6 C.10 D.8 8.当t ∈R 时，参数方程⎪⎪⎨⎧+-=2248t t x （t 为参数），表示的图形是 ( )
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 二.填空题:(每小题5分，共30分) 9.点(2,-2)的极坐标为:_____________. 10.若A )3,3(π,B )4,4(π -，则（其中O 是极点） 11.:____________ . 12.)(4321为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=--=与曲线(y-2)2-x 2=1相交于A,B 两点,则点M(-1,2)到弦AB 的距离 是:_____________ ,线段AB 的中点坐标是: _______ _____. 13.圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==tan 3sec 4y x 的准线方程是: _______ . 14.直线l 过点)5,1(0M ,倾斜角是 3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为: __ _. 三.解答题: 15.(12分)求圆心为C )6,3(π,半径为3的圆的极坐标方程. 16.(14分)已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6π α=，(1)写出直线l 的参数方程. (2)设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B,求点P 到A 、B 两点的距离之积.
选修4-4、4-5测试题 一、选择题 ,{||2|2},)().{|04}.{|01}.{|14} D.{|14} R R M x x N A x x B x x C x x x x =-≤⋂=≤<≤≤<≤≤≤1.已知实数集集合集合则M (C 2．函数2 8(0)2x y x x =-->的最大值是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．18 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．2 3 B ．2 3- C ．3 2 D ．3 2- 4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2 4()4 x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数上，则||PF 等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3π ρθ=- 7 ．直线112()2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)- B ．( C ．3)- D ．(3, 8 ．圆5cos ρθθ=-的圆心是（ ） A ．4(5,)3π -- B ．(5,)3π - C ．(5,)3π D ．5(5,)3π - 9.若曲线22=ρ上有n 个点到曲线2)4cos(=+π θρ的距离等于2，则n =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．直线2()1x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）． A B ．1 404 C D
1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C 1的参数方程为 45cos , 55sin , x t y t =+⎧⎨ =+⎩ （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=. （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 【解析】将⎩⎨ ⎧+=+=t y t x sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x , 即1C ：01610822=+--+y x y x . 将⎩⎨ ⎧==θ ρθ ρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得 016sin 10cos 82=+--θρθρρ. （Ⅰ）2C 的普通方程为0222=-+y y x . 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+0 20161082222y y x y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==20y x . 所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4 ,2(π，)2 ,2(π 2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x t t y t =⎧⎨ =⎩为参数 上，对应参数分别为t=α 与t =2α（0＜α＜2π）,M 为PQ 的中点. （1）求M 的轨迹的参数方程.
（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数α表示出点M 的坐标，可得参数方程. (2)利用距离公式表示出点M 到原点的距离d,判断d 能否为0,可得M 的轨迹是否过原点. 【解析】（1）依题意有()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2,P Q αααα因此 ()cos cos2,sin sin 2M αααα++. M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα αα=+⎧⎨ =+⎩ ()2ααπ<<为参数，0 （2）M 点到坐标原点的距离 () 02d απ==<<. 当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点. 11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高考理科· Ｔ23）相同 已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ ⎩⎨ ⎧==，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，正方形
x t 3, 1、已知在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为_ （t为参数），在极坐标系（与 y v3t 直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0. ①求直线I普通方程和曲线C的直角坐标方程； ②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的取值范围. x = 2cos 0 , 一 2、已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴 y = 3sin 0 , 为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD勺顶点都在C2上，且A n B C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2 ,—）. 3 （I ）求点A B C、D的直角坐标； （n ）设P为C上任意一点，求|PA2+ |PB2+ |PC2+ |PD2的取值范围.
. . 2 2 . - 2 2 3、在直角坐标系xOy中，圆C ：x + y = 4,圆C2：(x—2) + y = 4. (I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程, 并求出圆C，C2的交点坐标(用极坐标表示)； (n)求圆C与C2的公共弦的参数方程. 4、在直角坐标系xOy中，直线I的方程为x —y + 4 = 0，曲线C的参数方程为 x= ：：：］3cos a , (a为参数). y= sin a (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x n 轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4 ,―)，判断点P与直线I的位置关系； (2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.
最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案 第一章 测试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)． 1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫4，π3 B ．⎝⎛⎭⎫4，4π 3 C ．⎝ ⎛⎭⎫－4，－2π3 D ．⎝ ⎛⎭⎫4，2π3 解析： 由直角坐标与极坐标互化公式： ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)． 把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3， 因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π 3. 答案： B 2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π 4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在 这三个结论中正确的是( ) A ．①③ B ．① C ．②③ D ．③ 解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的； tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π 4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－ 3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确． 答案： D 3．可以将椭圆x 210＋y 2 8 ＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( ) A ．⎩⎨⎧ 5x ′＝2x 2y ′＝y B ．⎩⎨⎧ 2x ′＝5x y ′＝2y C ．⎩⎨ ⎧ 2x ′＝x 5y ′＝2x D ．⎩⎨ ⎧ 5x ′＝2x 2y ′＝y
一、解答题 1. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα （α 为参数），以坐标原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π 4）=2√2． （1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =1+asint x=acost （t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 3. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线C 1的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |•|OP |=16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为（2，π 3），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 4. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{y =kt x=2+t ，（t 为参数），直线l 2的参数 方程为{x =−2+m y =m k ，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨 迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cosθ+sinθ）-√2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 5. 已知曲线C ：x 24 +y 2 9=1，直线l ：{y =2−2t x=2+t （t 为参数） （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程． （Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．