二极坐标系
[对应学生用书P5]
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
(3)极坐标与直角坐标的区别与联系
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件：
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合；
③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y
x (x ≠0).
[对应学生用书P5]
[例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π
2
的对称点．
[思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．
[解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)．
(2)由P ，Q 关于直线θ＝π
2对称，
得它们的极径|OP |＝|OQ |，
点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为
(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)．
设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
1．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π
6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝
⎛⎭⎫2，－7π
6
C.⎝⎛⎭⎫－2，－11π
6 D.⎝
⎛⎭⎫
－2，13π6
解析：选B 根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)，(－ρ，2k π＋π＋θ)(k ∈Z)在极坐标系中表示同一个点，可知只有⎝⎛⎭⎫2，－7π6与⎝⎛⎭⎫－2，π
6表示的不是同一个点的极坐标．另外，也可画出点⎝
⎛⎭⎫－2，π
6在极坐标系中的位置，如图所示，对照各选项进行检验． 2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π
2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．
解：作出图形，可知A ⎝⎛⎭⎫3，π6关于直线θ＝π
2的对称点是⎝⎛⎭⎫3，5π6.
[例2] (1)把点A 的极坐标⎝
⎭⎫2，7π
6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题． [解] (1)设A (x ，y )，则x ＝2cos 7π
6＝－3，
y ＝2sin 7π
6
＝－1，
故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝
－3
1
＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π
3.
因此点P 的极坐标是⎝
⎛⎭⎫2，5π3.
(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．
(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．
3．分别把下列点的极坐标化为直角坐标．
(1)⎝⎛⎭⎫2，π6；(2)⎝⎛⎭⎫3，π2；(3)⎝⎛⎭⎫4，2π
3；(4)(π，π)；(5)(6,2)． 解：(1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π
6＝1，
∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫2，π
6化为直角坐标为(3，1)． (2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π
2＝3，
∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫3，π
2化为直角坐标为(0,3)． (3)∵x ＝ρcos θ＝4cos 2π
3
＝－2， y ＝ρsin θ＝4sin
2π
3
＝23， ∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫4，2π
3化为直角坐标为(－2,23)． (4)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)． (5)∵x ＝ρcos θ＝6cos 2，y ＝ρsin θ＝6sin 2， ∴点的极坐标(6,2)化为直角坐标为(6cos 2,6sin 2)． 4．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标⎝
⎛⎭⎫4，5π
3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，θ∈[0,2π))． 解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π
3＝2.
y ＝ρsin θ＝4sin 5π
3＝－2 3.
∴点A 的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝
－2
2
＝－1，且点B 位于第四象限内，
∴θ＝
7π
4
，∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0，∴ρ＝15，θ＝3π
2
. ∴点C 的极坐标为⎝
⎛⎭⎫15，3π2.
一、选择题
1．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π
2的对称点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，11π6 B.⎝⎛⎭⎫－2，7π
6 C.⎝
⎛⎭⎫2，－π6 D.⎝
⎛⎭⎫－2，－11π
6 解析：选B 在极坐标系中，描点⎝⎛⎭⎫－2，－π6时，先找到角－π
6的终边，再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点，即为点⎝⎛⎭⎫－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π
2的那些点的集合．故M ⎝⎛⎭⎫－2，－π6关于直线θ＝π
2对称的点为⎝⎛⎭⎫2，π6，但选项中没有此点，⎝⎛⎭⎫2，π6还可以写成⎝
⎛⎭⎫－2，7π
6，故选B. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，化为极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，5π6 B.⎝⎛⎭⎫2，7π6 C.⎝
⎛⎭⎫2，11π6 D.⎝⎛⎭
⎫2，π
6 解析：选B ∵点M 的直角坐标为(－3，－1)，∴ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2，又点M 位于第三象限，且tan θ＝－1－3＝33
，∴可取θ＝7π
6，故选B.
3．极坐标系中的点A ⎝⎛⎭⎫2，π
3到圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心的距离为( ) A ．2 B ．1 C ．3
D. 3
解析：选D 点A 的极坐标⎝⎛⎭
⎫2，π
3化为直角坐标为(1，3)，圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心
为(1,0)，由两点间的距离公式得所求距离为 3.
4．在复平面内，设点P 对应的复数为1＋i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫2，π4
B.⎝⎛⎭⎫－2，3π
4 C.⎝⎛⎭
⎫1，34π D.⎝
⎛⎭⎫－1，π4 解析：选A 设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)， ∵点P 的直角坐标为(1,1)， ∴ρ＝|OP |＝2，θ＝π
4，故选A.
二、填空题
5．极点的极坐标为________．
解析：因为极点对应的极径为0，极角为任意角，所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R)． 答案：(0，θ)(θ∈R)
6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π
4两点，则|AB |＝________. 解析： |AB |＝ 12＋22－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝ 5.
答案： 5
7．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭
⎫3，π
6，则直线l 与极轴夹角的大小为________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．
因为|AO |＝|BO |＝3，
∠AOB ＝π3－π6＝π
6，所以∠OAB ＝π－
π
62＝5π12，
所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π
4.
答案：π
4
三、解答题
8．在极轴上求与点A ⎝
⎛⎭⎫42，π
4的距离为5的点M 的坐标．
解：设M (r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4， 所以
(42)2＋r 2－82r ·cos π
4
＝5，
即r 2－8r ＋7＝0. 解得r ＝1或r ＝7.
所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，4π3， C
⎝⎛⎭
⎫32，3π2，D ⎝⎛⎭⎫6，7π4，求它们的直角坐标．
(2)已知点的直角坐标分别为A (6，2)，B ⎝
⎛
⎭
⎫0，－
63， C ()－6，－2，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得A
⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝
⎛⎭⎫0，－32，
D (32，－32)．
(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y
x
，
得A ⎝⎛⎭⎫22，π6，B ⎝⎛⎭⎫63，3π
2，C ⎝
⎛⎭⎫22，7π6. 10．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．
解：(1)如图，由A ⎝⎛⎭
⎫2，π
3， B ()2，π，C ⎝⎛⎭⎫2，5π3，得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. 所以△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， 所以|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 为等边三角形． (2)由上述可知，
|AC|＝2|OA|sin π
3＝2×2×
3
2＝2 3.
所以S△ABC＝1
2×23×23×
3
2＝3 3.
庖丁巧解牛 知识·巧学 一、极坐标系的概念 1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标. 极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点.引一条射线Ox ，叫做极轴.再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系. 2.如图1-2-3，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标 . 图1-2-3 深化升华 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值. 2.平面上一点的极坐标是不唯一的，有无数种表示方法.坐标不唯一是由极角引起的.不同的极坐标可以写出统一表达式. 二、极坐标和直角坐标的互化 1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位. 2.互化公式?? ???≠=+=???==.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进行两种坐标间的互化时,应注意以下几点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在主值范围内求值;③由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;④由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形. 问题·探究 问题1 平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的唯一方法，为什么要使用极坐标? 探究:确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚至更贴近生活的如人听声音，不但有高低之分,还有方向之分.描述一个人所走的方向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°方向行走……描述某飞机的位置：飞行高度1 200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′……这种位置的刻画能够给人一个很直观的形象. 生活中除了应用这两种坐标系外,还应用地理坐标系，它实际上能称为真实世界的坐标系了.它能确定物体在地球上的位置.最常用的地理坐标系是经纬度坐标系，这个坐标系可以确定地球上任何一点的位置.
二极坐标系 [对应学生用书P5] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). [对应学生用书P5] [例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π 2 的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． [解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)． (2)由P ，Q 关于直线θ＝π 2对称， 得它们的极径|OP |＝|OQ |， 点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)． 设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 1．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π 6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝ ⎛⎭⎫2，－7π 6
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题) 教学目标 1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程 2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用 教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义 题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)， 则?? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ? ?? ρ2＝x 2＋y 2， tan θ＝y x x ≠0 . 2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． （1）．直线的参数方程 过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为?? ? x ＝x 0＋tcos α， y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)． （2）．圆的参数方程 圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为?? ? x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为 参数)．
（3）．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的参数方程为?? ? x ＝acos θ，y ＝bsin θ (θ为参数)． (2)抛物线y 2 ＝2px(p>0)的参数方程为?? ? x ＝2pt 2 ，y ＝2pt (t 为参数)． （4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便； (2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍． 例1、（1）方程表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解析：注意到 t 与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方， 再相减，即可消去含的项， 即有，又注意到 ，可见与以上 参数方程等价的普通方程为 .显然它表示焦点在 轴上，以原 点为中心的双曲线的上支，选B. 点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性. （2）、设P 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值 是 ，最小值为 . 分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可 转化为几何问题.若设 ，则方程 表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然 既满足 ，又满足
第2课时极坐标和直角坐标的互化 学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用． 知识点极坐标和直角坐标的互化 思考1 平面内的一个点M的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？ 答案可以． 思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？ 答案①直角坐标的原点为极点；②x轴的正半轴为极轴；③单位长度相同． 梳理互化的条件及互化公式 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式 ①极坐标化直角坐标：??? ? ? x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ. ②直角坐标化极坐标：? ??? ? ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tanθ＝y x (x ≠0). 类型一 点的极坐标化直角坐标 例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ? ????2，7π6；(2)B ? ????3，－π4；(3)M ? ????6，5π6. 解 由公式? ?? ?? x ＝ρcosθ， y ＝ρsinθ，得 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π 6＝－1， ∴点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)x ＝3cos ? ????－π4＝322，y ＝3sin ? ?? ??－π4＝－322， ∴点B 的直角坐标为? ????32 2 ，－322. (3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π 6＝3， ∴点M 的直角坐标为(－33，3)． 反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式??? ? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 惟一确定．
简单曲线的极坐标方程 第一课时 课题：常用曲线的极坐标方程（1） 教学目的： 知识目标：了解掌握极坐标系中直线和圆的方程 能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：求直线与圆的极坐标方程 教学难点：寻找关于ρ，θ的等式 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 情境1：3cos =θρ , 5=ρ, 2sin =θρ, πθ4 3=分别表示什么曲线？ 情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？ 二、讲解新课： 1、若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的极坐标方程。 变式训练：直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4 π，求此直线l 的极坐标方程。 把前面所讲特殊直线用此通式来验证。 2、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。 3、例题讲解
在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。 变式训练 在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6 ,3(πC ，半径3=r ， （1）求圆C 的极坐标方程。 （2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。 三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ，θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y ； 2．求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。 五、课后作业： 六、课后反思：部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。
2014届高三数学总复习 坐标系教案 新人教A 版选修4-4 1. (选修44P 17习题第7题改编)已知点M 的直角坐标是(－1，3)，求点M 的极坐标． 解：? ????2，2k π＋2π3(k∈Z )都是极坐标． 2. (选修44P 32习题第4题改编)求直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程． 解：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝π 2. 3. (选修44P 32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2 cos θ－ρ＝0为直角坐标方程． 解：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2 ＋y 2 ＝0，或ρcos θ＝x ＝1.∴ 直角坐标系方程为x 2＋y 2 ＝0或x ＝1. 4. 求极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线． 解：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，即ρ2 ＝4ρsin θ，则θ＝k π＋π2 ，或x 2＋y 2 ＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆． 5. (选修44P 33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝ cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距． 解：圆心分别为? ????12，0和? ?? ??0，12，故圆心距为22. 1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来． 2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M(ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2n π)(n∈Z )． 3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(n∈Z )． 4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角． 5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得． 6. 常用曲线的极坐标方程 (1) 经过点A(a ，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2) 经过点A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. (3) 圆心在A(a ，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.
1.2.1极坐标系的的概念 学习目标 1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 学习过程 一、学前准备 情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 二、新课导学 ◆探究新知（预习教材P 8～P 10，找出疑惑之处） 1、如右图，在平面内取一个 O ，叫做 ； 自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通 常取 方向），这样就建立了一个 。 2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ；以 极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点 M 的 ， 记为 。有序数对 叫做点M 的 ，记作 。 3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ ___________________________________________. ◆应用示例 例题1：(1)写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>. （2）：思考下列问题，给出解答。 ①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ⑤本题点G 的极坐标统一表达式。 答：
极坐标系（第一课时） 一、基本说明 1教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修4-4》 2年级：高二 3所用教材出版单位：人民教育出版社(A版) 4所属的章节：第一讲《坐标系》二、极坐标系 5学时数：45分钟 二、教学设计 1、教学目标： 知识与技能目标： （1）认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置； （2）体会极坐标系和平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。 过程与方法目标： （1）通过学生独立思考、相互交流探究出极坐标系在实际生活中的应用，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力； （2）在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行类比推理的能力和化归思想的运用。 情感态度与价值观目标： （1）通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值； （2）通过学生主动探究、合作学习，感受探究的乐趣和成功的喜悦，增强学生的求知欲和信心。 2、内容分析： 极坐标系是高中数学选修部分内容，并且是新课程教材中新增内容，在解析几何的某些问题上用极坐标系的定位思想要方便得多，因此《极坐标系》这一章非常重要。我认为本堂课的教学重点、难点如下： 教学重点：
认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。 教学难点： 理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系。 3、学情分析： 学生通过对《选修4-4》第一讲《坐标系》一、平面直角坐标系的学习，经历用坐标法思想解决问题的基本过程，对平面直角坐标系下中点集合与坐标集合的对应关系有了较深刻的了解；学生经过近两年的高中数学学习，已经具备了一定的观察、归纳、类比、概括、运算能力。这些为这节课的学习打下了良好的基础。 4、设计思路： 根据建构主义认识论，本节课主要采用“引导发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，让学生通过类比方法主动建构出用极坐标系的思想来刻画点的位置。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 三、教学过程设计 教学环节教师 活动 学生 活动 设计 意图 一、 问题情境—揭示课题 （4分钟）1、提出问题： 大家有没有见 过这种图 片？！台风的 卫星云图。众 所周知台风危害很大，所以我们非常关注 台风中心的 位置。 气象台 会把它和平 面地图组合 起来从而得 到一张台风的路径图。根据路径图，及 时播报台风中心的位置。从小到大我们 听过很多次台风预报。今天也请大家来 当一回主播，根据这张图你来描述一下 台风中心位置。（学生参与描述） 看一下气象台是怎么播报的： 1、一位学生回答： 东经123.8度，北 纬22.3度。温州 东南偏南方向大 约800公里的海 面上。 2、其他学生补 充 引入学习极坐标 系概念的必要性， 形成用角和距离 刻画点的位置的 直觉。
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定 点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3)4π B ．5()4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
2019-2020学年高中数学《4.1.1 直角坐标系》教案 新人教A 版选修4-4 教学目标： （1）学会用坐标法来解决几何问题． （2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系，知道图形之间是可以类与类变换的． 教学重点：应用坐标法的思想解决集合问题. 教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用. 教学过程： 一．问题情境： 通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序实数对）．曲线与方程建立了联系，从而实现了数形结合．根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法． 下面我们先回顾直角坐标系中解决问题的过程，体会坐标法在实际问题中的应用． 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全．准确的返回地 球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹． 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐 的人群不断翻动手中的一本画布构成的．要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置． 二．建构数学： 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？ 问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？ 练习： 1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？ 2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6AC BC -=，求顶点C 的轨迹方程． 3．相距1400m 的A ．B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s.已知声速为340m/s ，问炮弹爆炸点在怎 样的曲线上？ 4．已知⊿ABC 的三边,,a b c 满足2225b c a +=，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直 角坐标系探究BE 与CF 的位置关系． 三．数学应用： 例1．选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点． 答案见书本P2 例2．已知Q （a ,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标 （1）P 是点Q 关于点M （m ,n ）的对称点； （2）P 是点Q 关于直线l :x -y +4=0的对称点（Q 不在直线l 上）． 答案：⑴（2m-a ，2n-b ）；⑵（b-4，a+4） 例3．求证：三角形的外心．重心．垂心在一条直线上．
2019-2020年高中数学极坐标系的概念教案新课标人教版选修4-4(A) 一、教学目标 1．理解极坐标的概念，了解极坐标平面上的点与极坐标间的对应关系． 2．会根据极坐标描点和根据点写极坐标，能认识同一点的各种极坐标． 二、教材分析 1．重点：极坐标系概念及其四要素． 2．难点：点与极坐标的对应关系，一点对应的极坐标的通式． 3．疑点：ρ＜0时点与极坐标的关系，广义极坐标与狭义极坐标． 三、教学过程 (一)复习引入 数学研究的对象是数量关系和空间形状．对空间形状的研究，最先是欧几里德所建立的一套公理定理逻辑体系，后来笛卡尔创立了解析几何学．在平面解析几何里，直角坐标系的建立，成功地把点与数联系起来了，这样就可以用数对来确定点在平面上的位置．请大家回忆，直角坐标系与直角坐标的概念和直角坐标平面上点与点的直角坐标之间的关系． 学生1答： 直角坐标系是两条互相垂直且相交于原点的数轴，要素是原点、单位、方向、横纵轴． 点与坐标的对应关系是点的横坐标与纵坐标、点与有序实数对集合中的元素成一对一关系． (二)新课讲解 P9思考引入 1．定义 上面的一个“距离”和一个“角度”就可以确定一个点P在平面上的位置，但这是有基础和背景作前提的，请讨论，有哪些前提？ (1)基点：O； (2)方向：东； (3)长度单位； (4)角的始边和方向(东偏北)单位(度)． 把上述前提条件抽象成数学语言，就是： 在平面内取一个定点O叫极点，引一条射线Ox叫极轴，规定长度单位、角的单位和正方向(逆时针方向为正)，就构成一个极坐标系(图3-14)． 极坐标系的四要素： (1)极点；(2)极轴；(3)长度单位； (4)角的单位和正方向． 对于平面上任一点P，用ρ表示OM的长度，叫极径，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角(有方向有正负)，叫极角，则有序实数对(ρ，θ)叫点P的极坐标，记作P(ρ，θ)． 2．例题讲解 例1
极坐标系的概念教案 前言：《数学新课标》对于极坐标的要求是： （1）能用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 （2）能在极坐标系中给出简单图形的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形是选择适当坐标系的意义。 教学目标 1．知识与技能 ①理解极坐标系的有关概念； ②掌握极坐标平面内点的极坐标的表示。a）会在极坐标系内描出已知极坐标的点；b）会写出极坐标平面内点的极坐标。 ③掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化。 2．过程与方法 进一步提高学生的观察、归纳、分析和概括能力；学会分类讨论及类比的数学思想方法。 3．情感、态度与价值观 通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值。通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦。 教学重点、难点： 1．重点：平面内点的极坐标。 2．难点：极坐标的作用及其意义的理解。 教学过程设计 （一）极坐标系的引入 问题1：以前我们建立的平面坐标系是直角坐标系。它是常用的坐标系。那么它是唯一的坐标系吗？比如说，衡东一中在衡东汽车站的正东方向200米处。我们用数学语言可以怎样描述。
O x 60m A E 在生活中我们经常用距离和方向来表示一点的位置。用距离和方向表示平面内一点的位置，这就是今天我们要学习的极坐标系的问题。（出示课题：“极坐标系”） （二）极坐标系的建立 问题2：什么是极坐标系和极坐标平面？什么叫点的M 极坐标？ ①如图，在平面内取一个定点O ，叫极点；自极点O 引一条射线Ox 叫极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。 ②设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的叫xOM 叫做点的极角，记为θ。有序实数对()θρ,叫做点 M 的极坐标，记为),(θρM 一般地，不作特别说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数 （三）极坐标的应用 例题1：写出A ，B ，C 三点的极坐标。 例题2：建立直角坐标系和极坐标，分别表示A ，B ，C ，D ，E 点的坐标。
极坐标系 一、教学设计导引 本节教材是人民教育出版社出版的高中数学课程选修系列4中的第4个专题，坐标系与参数方程中第一讲第二节的内容，它是继学生学习了在直角坐标系中研究平面内点的坐标，使曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合，在此基础上由于现实问题的复杂性，有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便，为便于用代数方法研究几何图形，需要建立不同的坐标系，进而引入极坐标系等不同的坐标系，为进一步学习曲线方程、解析几何打下基础。 二、教学设计 教学目标：使学生掌握极坐标系的建立，极坐标系下点与极坐标的对应关系 教学重.难点：极坐标系下点与极坐标的对应关系 教学准备：多媒体课件 教学过程设计： （一）复习旧知识 教学内容：问题：怎样在平面直角坐标系下确定平面内点的位置？ 学生活动：相互交流，思考并回答问题 教师活动：归纳总结学生的回答，并指出建立直角坐标系时应注意的相关内容。 设计意图：通过复习平面直角坐标的相关内容，为极坐标系概念的引入作铺垫，同时为下一节直角坐标与极坐标互化打下基础。 （二）提出问题，创设情境 教学内容：教科书第9页图1—9是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北60度方向走120厘米后到达什么位置？该位置唯一确定吗？ (2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ (3)思考：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点 的位置的坐标系。
学生活动：分组讨论，交流结论 教师活动：以恰当的问题引导学生经历观察、归纳、概括、交流反思的思维过程和知识发生 发展的过程，通过鼓励和旁白等方式让学生积极参与这个过程。 设计意图：通过问题的思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角 度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础。同时通过问题诱发学 生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望。 （三） 呈现新知识 教学内容：1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点。引一条射线OX ，叫 做极轴。再选定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向）。这样 就建立了一个极坐标系。 2、对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到 OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就 叫做M 的极坐标。 X O M ρ θ
极坐标高考题的几种常见题型 . 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：⎩⎨⎧==θρθ ρsin cos y x 或 ⎪ ⎩ ⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 2 22x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=， θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρc o s 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+． 即0422=-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程． 同理0422=++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程． (II)解法一:由⎩⎨⎧=++=-+0 4042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0011y x ，⎩⎨⎧-==22 22y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 解法二: 由⎩⎨⎧=++=-+0 40 42222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线 的直角坐标方程为y=－x ． 评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(1998年上海)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴
第一讲 测试题① 一、选择题 1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，3 2π ) B ．(－4，3 2π ) C ．(－4，3 π ) D ．(4， 3 π ) 2．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线 或一个圆 C ．两条直线 D ．一条射线 或一个圆 3．极坐标方程θ ρcos ＋12 ＝ 化为普通方程是( )． A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x ) C ．y 2＝2(x －1) D ．y 2＝2(1－x ) 4．点P 在曲线 ρcos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4 π ，ρ＞0，则点P 的轨 迹是( )． A ．直线x ＋2y －3＝0 B ．以(3，0)为端点 的射线 C ． 圆(x －2)2＋y ＝1 D ．以(1，1)，(3， 0)为端点的线段 5．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为 A ．2 B ．1 C ．3 D ．0 6．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θ θρ2 2 2sin 4＋ cos 312＝ 经 过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨ ⎧''y ＝y x ＝ x 3 321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆 7．在极坐标系中，直线2＝ 4 π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )． A ．22 B ．2 C ．52 D ．32 8．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )． A ．(－1，4π3) B ．(1， 4 π 7) C ．(2， 4 π ) D ．(1， 4 π5) 9．极坐标方程为lg ρ＝1＋lg cos θ，则曲线上的点(ρ，θ)的轨迹是( )． A ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆 B ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点 C ．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆 D ．以点(5，0)为圆心，5为半径的右 半圆 10．方程θ θρsin ＋ cos 11 ＝ －表示的曲线是( )． A ． 圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 抛物线 二、填空题 11．在极坐标系中，以(a ，2 π )为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为 ．
1.2.2 极坐标和直角坐标的互化 （检测教师版） 时间:50分钟 总分：80分 班级： 姓名： 一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分） 1、将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化为直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5) D ．(－5，－5) 【答案】 A 【解析】 x ＝ρcos θ＝10 cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π 3 ＝5 3. 2、点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π 2 ，－π2 【答案】 C 【解析】 ∵ρ＝x 2 ＋y 2 ＝ π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2，π2. 3、将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0) D ．(－2π，0) 【答案】 A 【解析】 x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0，所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．故选A 。 4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称 D ．两点重合 【答案】 A 【解析】 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．
5、极坐标系中，与点5π53⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，的距离为1且与极点距离最近的点的直角坐标为( ) A.( 2 B.(2-， C.(2--， D.( 2- 【答案】B 【解析】依题意，所求的点与极点、点5π53⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ，三点共线，且该点的极径为4，故该点的极 坐标可以表示为5π43⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， ，化为直角坐标为(2-， .故选B 。 6、在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－4π3 【答案】 A 【解析】 极径ρ＝12 ＋－3 2 ＝2，极角θ满足tan θ＝－3 1 ＝－3，∵点 (1，－3)在第四象限，∴θ＝－π 3.故选A 。 二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分） 7．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P 的极坐标π2, 4⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 化成直角坐标 . 【答案】 【解析】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化,由点P 的极坐标为π2,4⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ ,设点P 的直 角坐标为(x,y),所以ππ 2cos 2sin 44 x y ====故填 8、平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极
2016-2017学年高中数学第1讲坐标系1 平面直角坐标系学案新人教A 版选修4-4 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1讲坐标系1 平面直角坐标系学案新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第1讲坐标系1 平面直角坐标系学案新人教A版选修4-4的全部内容。
一平面直角坐标系 1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用． 2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点） 3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题． [基础·初探］ 教材整理1 平面直角坐标系 阅读教材P2～P4“探究"及以上部分，完成下列问题． 1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合． 2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系,建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系． 3．坐标法解决几何问题的“三步曲"：第一步：建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论． 点P（－1，2）关于点A(1，－2)的对称点坐标为( ） A．（3,6) B．（3，－6) C．(2，－4) D．(－2,4） 【解析】设对称点的坐标为（x，y)， 则x－1＝2,且y＋2＝－4， ∴x＝3，且y＝－6。 【答案】B
二极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ )(θ∈R)． 如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的． 图1－2－1 3．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1－2－1所示． (2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 【提示】 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题． 2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标惟一吗？ 【提示】 平面上点的极坐标不是惟一的．如果限定ρ>0，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系． 3．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？ 【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带． 事实上，若ρ>0，则sin θ＝y ρ，cos θ＝x ρ， 所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ 2 ＝x 2＋y 2 ，tan θ＝ y x (x ≠0). 确定极坐标系中点的坐标 设点A (2，3 )，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴， 直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)． 【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值． 【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B (2，－π 3 )． 关于直线l 的对称点为C (2，2 3π)． 关于极点O 的对称点为D (2，－2 3 π)． 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上． 1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的． 2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序． (2013·漯河质检)在极坐标系中与点A (3，－π 3 )关于极轴所在的直线对称的点的极 坐标是( ) A ．(3，23π) B ．(3，π 3 )