章节训练函数
一、选择题（共10小题）
1．（2015?黄冈模拟）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y 与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．快车的速度为km/h
D．慢车的速度为125km/h
%
2．（2015?肥城市三模）已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）
A．B．C．
D．
3．（2013?滕州市校级模拟）如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（）
A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④
4．（2014?临邑县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（）
【
A．B．C．
D．
5．（2013?黄石）如图，已知某容器都是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．C．
D．
6．（2014?济宁）函数y=中的自变量x的取值范围是（）
A．x≥0B．x≠﹣1 C．x＞0 D．x≥0且x≠﹣1
>
7．（2013?西藏模拟）小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家、下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离学校的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系（）
A．B．
C．D．
8．（2013?平塘县二模）如图，是一个下底小而上口大的圆台形容器，将水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，则h与t的函数图象只可能是（）
A．B．C．D．
9．（2014?河南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）
A．B．C．
D．
、
10．（2013?北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．
D．
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2011?昆山市模拟）若函数，则当函数值y=10时，自变量x的值
是
．
12．（2011?阿坝州）如图，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间
满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），给出以下四个结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3．其中正确结论的序号是．
^
13．（2013?湘潭）如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为．
14．（2013?武汉模拟）如图，甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地，在B地停留1小时后，沿原路以另一个速度匀速返回，若干时间后与乙车相遇，乙车的速度为每小时60千米．如图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间
函数的图象，则甲车返回的速度是每小时千米．
15．（2012?荆州）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B 出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系
图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；
③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（填序号）．
@
16．（2012?苏州）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD 的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）．
17．（2011?莆田）已知函数f（x）=1+，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，如f（1）=1+，f（2）=1+，f（a）=1+，则f（1）?f（2）?f（3）…f（100）=．
18．（2012?湖北模拟）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是分钟．
…
19．（2013?咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．
其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）
20．（2011?朝阳）亮亮骑自行车到距家9千米的体育馆看一场球赛，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出故障，他只好停下来修车．车修好后，他加速继续匀速赶往体育馆，其速
度为原正常速度的倍，结果正好按预计时间（如果自行车不出故障，以正常速度匀速行驶
到达体育馆的时间）到达．亮亮行驶的路程s（千米）与时间t（分）之间的函数关系如图所示，那么他修车占用的时间为分．
;
三、解答题（共3小题）（选答题，不自动判卷）
21．（2012?永州）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．
（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；
（2）求∠B的度数；
（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．
22．（2012?吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b
两个情境：
·
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
（1）情境a，b所对应的函数图象分别是、（填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
23．（2012?徐州）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm．动点E、F 分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F
出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2．已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是；
（2）d=，m=，n=；
（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2
）
【章节训练】函数-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2015?黄冈模拟）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y
与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（）
A．B点表示此时快车到达乙地
\
B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．快车的速度为km/h
D．慢车的速度为125km/h
【考点】函数的图象．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】A、根据B点的纵坐标的意义回答问题；
B、B﹣C﹣D段表示两车的车距与时间的关系；
C、快车的速度=﹣；
D、慢车的速度=．
【解答】解：A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项错误；
。
B、B﹣C﹣D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地故本选项错误；
C、快车的速度=﹣=（km/h）；故本选项正确；
D、慢车的速度==（km/h）；故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
2．（2015?肥城市三模）已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，
最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
;
【专题】压轴题；图表型．
【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．【解答】解：设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，
∴y关于x的函数关系式为：y=x2，
①当x＜a时，重合部分的面积的y随x的增大而增大，
②当a＜x＜b时，重合部分的面积等于直角三角形的面积，且保持不变，
③第三部分函数关系式为y=﹣+当x＞b时，重合部分的面积随x的增大而
减小．
故选B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．
、
3．（2013?滕州市校级模拟）如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（）
A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】根据实际情况来分情况判断函数图象．
【解答】解：点P顺时针旋转时，AP长度慢慢增大；当A，O，P在一条直线上时，AP为圆O的直径，此时最大；
继续旋转，当P，0，B在一条直线上时，AP和一开始的位置相同；
当和点A重合时，距离为0；
继续旋转，回到点B，AP长也回到原来的长度．①对；同理，逆时针旋转时，有3次AP 长是相等的，最后回到原来的位置，③对．
￥
故选B．
【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
4．（2014?临邑县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】连接PC，作PD⊥BC于D，构造直角三角形后利用相似三角形用t表示出PD、CD 的长，利用勾股定理表示出y，即可确定其图象．
【解答】解：①连接PC，作PD⊥BC于D，
、
∵∠ACB=90°，
∴△BPD∽△BAC，
∴，
∵AP=t，AB=5cm，BC=3cm，
∴BP=5﹣t，AC=4cm，
∴，
解得：PD=4﹣，BD=3﹣，
∴DC=，
∵y=PC2=PD2+DC2=（4﹣）2+（）2=t2﹣+16（t＜5），
②当5≤t≤8时，
】
PC2=（8﹣t）2=t2﹣16t+64．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是正确的构造直角三角形并利用相似三角形的知识表示出PC的平方．
5．（2013?黄石）如图，已知某容器都是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】压轴题．
￥
【分析】分三个阶段，根据圆锥和圆柱的特点分析出上升的高度与水量的增长的关系，从而得解．
【解答】解：如图，①水在下边的圆锥体内时，水面的半径为xtanα，
水的体积y=π（xtanα）2?x=πtan2α?x3，
所以，y与x成立方关系变化，即小于直线增长；
②水面在圆柱体内时，y是x的一次函数；
③水在上边的圆锥体时，水的高度增长的速度与①中相反，即直线变缓了，
纵观各选项，只有A选项符合．
故选A．
【点评】本题考查了函数图象，主要利用了圆锥、圆柱的体积，分析出水在三个阶段的高度与水的体积的关系是解题的关键，需要有一定的空间想象能力．．
<
6．（2014?济宁）函数y=中的自变量x的取值范围是（）
A．x≥0B．x≠﹣1 C．x＞0 D．x≥0且x≠﹣1
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x≥0且x+1≠0，
解得x≥0，
故选：A．
【点评】本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
！
7．（2013?西藏模拟）小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家、下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离学校的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】根据题意分析可得：他回家过程中离学校的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系有3个阶段；（1）、行使了5分钟，位移增加；（2）、因故停留10分钟，位移不变；（3）、继续骑了5分钟到家，位移增加；
【解答】解：因为小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，所以图象应分为三段，根据最后离学校的距离．
故选C．
【点评】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
：
8．（2013?平塘县二模）如图，是一个下底小而上口大的圆台形容器，将水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，则h与t的函数图象只可能是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】本题需先根据容器下底小而上口大的特点得出容器内对应的水高度h随时间t的增加而增加，但增加的速度越来越慢即可得出正确答案．
【解答】解：∵容器下底小而上口大，
∴将水以恒速注入，
则容器内对应的水高度h随时间t的增加而增加，但增加的速度越来越慢
∴h与t的函数图象只可能是D
…
故选D
【点评】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要结合题意找出正确的函数图象是本题的关键．
9．（2014?河南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题．
【分析】这是分段函数：①点P在AC边上时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；
②点P在边BC上时，利用勾股定理求得y与x的函数关系式，根据关系式选择图象；
—
③点P在边AB上时，利用线段间的和差关系求得y与x的函数关系式，由关系式选择图象．【解答】解：①当点P在AC边上，即0≤x≤1时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；
②点P在边BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得AP=，即y=，
则其函数图象是y随x的增大而增大，且不是一次函数．故B、C、D错误；
③点P在边AB上，即3＜x≤3+时，y=+3﹣x=﹣x+3+，其函数图象是直线的一部分．综上所述，A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数y=的图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进行解题．
10．（2013?北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
-
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题．
【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=，
然后根据三角形面积公式得到y=x?（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．
【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，
在Rt△AOC中，OA=1，OC===，
所以y=OC?AP=x?（0≤x≤2），
所以y与x的函数关系的图象为A选项．
故选：A．
！
排除法：
很显然，并非二次函数，排除B选项；
采用特殊位置法；
当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；
当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；
当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；
排除B、C、D选项，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
?
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2011?昆山市模拟）若函数，则当函数值y=10时，自变量x的值
是
﹣2或5．
【考点】函数值．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】因为不确定x的范围，所以解答本题只需将y值代入两个方程即可．
【解答】解：①当x≤1时，x2+6=10，
解得：x=﹣2；
②当x＞1时，2x=10，
解得：x=5．
(
故答案为：﹣2或5．
【点评】本题考查函数值的知识，比较简单，解答本题的关键是讨论x的范围，避免漏解．
12．（2011?阿坝州）如图，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间
满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），给出以下四个结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3．其
中正确结论的序号是①②③．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】一次函数与正比例函数动点函数图象的问题．
【解答】解：此题由解析式求点的坐标，再求线段长，是数形结合的典范．当x=5时，d=2=AF，故①正确；
当x=0时，d=5=BF，故②正确；
&
OA=OF+FA=5，故③正确．
当x=0时，BF=5，OF=3，OB=4，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题是今年出现的一种新题型，以多选题的形式出现，从考生所填的项中，能看出学生思维层次上的差异，弥补了填空题的不足．答题时，不少学生选择④，有的考生甚至填入⑤，说明学生对这类新题型的缺乏答题策略，对没有把握的结论宁可少选，也不可乱选；即宁缺勿滥．
13．（2013?湘潭）如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为2．
【考点】函数值；估算无理数的大小．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】根据＞1选择左边的函数关系式进行计算即可得解．
》
【解答】解：∵x=＞1，
∴y=2﹣1=3﹣1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数值的计算，比较简单，准确选择函数关系式是解题的关键．
14．（2013?武汉模拟）如图，甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地，在B地停留1小时后，沿原路以另一个速度匀速返回，若干时间后与乙车相遇，乙车的速度为每小时60千米．如图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间
函数的图象，则甲车返回的速度是每小时90千米．
【考点】函数的图象；一次函数的应用．
【专题】压轴题；数形结合．
·
【分析】根据返回相遇时两车走的路程和为120，甲车走了小时，乙车走了小时可得甲车返回时的速度．
【解答】解：甲车返回时的路程为120﹣×60=36千米，
∴甲车返回时的速度为36÷=90千米/时．
故答案为90．
【点评】考查根据函数图象得到相关信息；判断出甲车返回时走的路程是解决本题的难点，判断出甲车返回时用的时间是解决本题的易错点．
15．（2012?荆州）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B 出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系
图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；
③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是①③④（填序号）．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题；动点型．
、
【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
二次函数 易错清单 1.二次函数与方程、不等式的联系. 【例1】(2014·湖北孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数为(). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称 轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线 的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 【答案】∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,所以①错误. ∵顶点为D(-1,2), ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. ∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间, ∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间. ∴当x=1时,y<0. ∴a+b+c<0,所以②正确.
∵抛物线的顶点为D(-1,2), ∴a-b+c=2. ∵抛物线的对称轴为直线=1, ∴b=2a. ∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确. ∵当x=-1时,二次函数有最大值为2, 即只有x=1时,ax2+bx+c=2, ∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确. 故选C. 【误区纠错】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点. 2.用二次函数解决实际问题. 【例2】(2014·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A,B两组材料的温度分别为y A℃,y B℃,y A,y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b, (部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同. (1)分别求y A,y B关于x的函数关系式; (2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少? (3)在0 中考数学复习 二次函数中矩形的存在性 所谓二次函数与矩形存在性问题，即在二次函数中确定动点位置，使其与其他点等构成矩形，本文将 对题型构造及解决方法作简单介绍．首先关于矩形本身，我们已经知道：矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形． 第一步：先画草图。因为题目已经明确四边形顶点的顺序，所以可以得知A，M为矩形相对的两个顶点。第二步：求点坐标，可以直接通过对角线相等计算长度。 解题模型探究 1.铺垫知识 铺垫1：直角三角形存在类问题的几何作图方法 已知点C为直线上一动点，请问是否存在点C使得△ABC为直角三角形，如果存在，请画出示意图. 图1是指以点A为直角顶点时对应的C点；图2是指以点B为直角顶点时对应的C点；图3是指以AB 为直径和直线相交时对应的C点.上述作图方法我们简称为“一圆两垂直” 铺垫2：直角三角形存在类问题的解题策略详情请参考“二次函数与直角三角形存在类问题” 铺垫3：平行四边形顶点坐标公式 根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC和线段BD的中点。 在平面直角坐标系背景下的矩形存在类问题其本质就是“直角三角形存在类问题”和“平行四边形存在类问题”的结合. 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： （AC为对角线时） 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 2.题型分类： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点． 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“２定+1半动+1全动”尤其适用． 引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)时间：2021.03.02 创作：欧阳数 一．选择题（共9小题） 1．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（） A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜10 2．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 3．函数的自变量x的取值范围是（） A．x≤2B．x≥2且x≠3 C．x≥2D．x≤2且x≠3 4．关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法： ①图象过点（0，﹣2） ②图象与x轴的交点是（﹣2，0） ③由图象可知y随x的增大而增大 ④图象不经过第一象限 ⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线， 其中正确说法有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 5．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（） A． B．C． D． 6．下列语句不正确的是（） A．所有的正比例函数肯定是一次函数 B．一次函数的一般形式是y=kx+b C．正比例函数和一次函数的图象都是直线 D．正比例函数的图象是一条过原点的直线 7．已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n ﹣m|﹣可化简（） A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m 8．如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则 二次函数证明题（难度一般） 11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++的 对称轴是直线3x =，且抛物线与直线AB 交于A 、B 两点，其中A （1，3），B （6，n ）. （1）求抛物线的表达式和点B 的坐标； （2）设抛物线与y 轴交于点C ，在抛物线上是否存在一点M ，满足 2BCM AC S S ??=， 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说 明理由. 12．如图，已知二次函数的图象与x 轴交于点 A 、点 B ，交 y 轴于点 C ． （1）求直线 BC 的函数表达式； （2）如图，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于 点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点M 使△CPM 的周长最 小，若存直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由. 13．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ， 交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个 最大值；若不存在，请说明理由； （3）求?PAC 为直角三角形时点P 的坐标． 14．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=++y x bx c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点()03C -，，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP C '.是否存 在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积. 15．如图，抛物线2y ax bx c =++经过A(－1,0)、B(3, 0)、C (0 ,3)三 点。 （1）求抛物线的函数关系式； （2）在抛物线上存在一点P ，使△ABP 的面积为8，请求出点P 的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得QC+QA 最短？若Q 点存在， 求出Q 点的坐标；Q 点不存在，请说明理由． 16．如图，二次函数212 y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积． （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在， 求出P 的坐标，若不存在，说明理由. 教 学 内 容 【基础知识】 常考知识点总结： 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 3、()2 y a x h k =-+的性质： 4、二次函数2y ax bx c =++的性质： （1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ??，；当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 244ac b a -． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，；当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 244ac b a -。 5、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一 般来说，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 6、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系（0a >时）： 常考题型： 题型一：根据图像，判断a 、b 、c 的关系问题。 1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 图1 图2 图3 2、小强从如图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>；你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图3．则下列5个代数式： ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4、二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图4所示，则abc ，ac b 42-，c b a ++这3个式子中， 0?> 抛物线与x 轴 有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0?= 抛物线与x 轴 只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0?< 抛物线与x 轴 无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 1211O 1 x y 19.2 一次函数 一、单选题（共18题；共36分） 1.下面各点在函数y= 1 2 x+1的图象上的是（） A. （2，1） B. （﹣2，1） C. （2，0） D. （﹣2，0） 2.在同一直角坐标系中，函数y=-a x 与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（） A. B. C. D. 3.已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.一辆汽车以平均速度60千米/时的速度在公路上行驶，则它所走的路程 s（千米）与所用的时间 t（时）的关系表达式为 ( ) A. s=60+t B. s=60 t C. s=t 60 D. s=60t 5.已知函数y=?2x+1与函数y=?2x，下列说法错误的是（） A. 函数y=?2x+1的图象过点(0,1) B. 两个函数都满足y随x的增大而增大 C. 函数y=?2x的图象经过坐标原点 D. 函数y=?2x+1的图象向下平移1个单位得到函数y=?2x的图象 6.已知一次函数y=(m?2)x+n的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（）． A. B. C. D. 7.直线y=x-1不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8.函数y=?4x+3的图象经过（） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 9.若函数y=kx(k≠0)的图象过点P(?1,3)，则该图象必过点（） A. (1,3) B. (1,-3) C. (-3,1) D. (3,-1) 10.将一次函数y＝2x－3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（） A. y＝2x－5 B. y＝2x＋5 C. y＝2x＋8 D. y＝2x－8 11.如图，函数y=2x和y=ax+5的图象交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集是（） A. x＜3 2B. x＜3 C. x＞3 2 D. x＞3 12.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点 C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=7时，点E应运动到（） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 13.某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系.下列说法错误的是( ) 二次函数知识点 12. 二次函数的性质 函 数二次函数y ax bx c =++ 2 a、b、c为常数，a≠0 y a x h k =-+ ()2（a、h、k为常 数，a≠0） a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向 下无限延伸 (1)抛物线开口向 上，并向上无限 延伸 (1)抛物线开口向 下，并向下无限 延伸 性 (2)对称轴是x＝- b a2， 顶点是 （- - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ - b a2， 顶点是 （ - - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） 质 (3)当x b a <- 2时，y随x 的增大而减小；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而增大(3)当 x b a <- 2时，y随x 的增大而增大；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而减小 (3)当x h <时，y 随x的增大而减 小；当x＞h时， y随x的增大而增 大。 (3)当x＜h时，y 随x的增大而增 大；当x＞h时， y随x的增大而 减小 (4)抛物线有最低点，当 x b a =- 2时，y有最小 值，y ac b a 最小值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最高点，当 x b a =- 2时，y有最大 值， y ac b a 最大值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最低 点，当x＝h时， y有最小值 y k 最小值 = (4)抛物线有最高 点，当x＝h时， y有最大值 y k 最大值 = 二次函数练习 一、选择题 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() 1 一次函数 题型一、点的坐标 方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0； 若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数； 若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、 若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、 若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________; 若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第 ______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -； 若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 1、 点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 到原点的距离是____________； 2、 点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原 点的距离是____________； 3、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ????- ? ????? ,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 4、 两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 5、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°， 则C 点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0 时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数； 2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数； 题型四、函数图像及其性质 ☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k≠0） 的倾斜程度； b （称为截距）表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。 ☆同一平面内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系： 当 时，两直线平行。 当 时，两直线相交。 ☆特殊直线方程： X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 二次函数与几何综合 专题11 一次函数 1．一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。 2．一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。 3．一次函数的性质： （1）当k>0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图象主要经过第二、四象限，此时，y 随x 的增大而减小； （3）当b>0时，直线交y 轴于正半轴； （4）当b<0时，直线交y 轴于负半轴。 4. 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 5．一正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 6.正比例函数的图像：是经过原点的一条直线。 7．正比例函数的性质 （1）当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 8．正比例函数与一次函数之间的关系 一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 专题知识回顾 【例题1】（2019贵州省毕节市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（） A．kb＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k+b＜0 【答案】B． 【解析】y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0；故选：B． 【例题2】（2019?江苏无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为． 【答案】x＜2． 【解析】直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案． ∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b， 则b＝6k， 故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0， ∵k＜0， ∵x﹣2＜0， 解得：x＜2． 【例题3】（2019?上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标． 九年级数学二次函数常考题型 常考知识点总结： 1、二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c =++ （ a b c ，， 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2、二次函数 2 y ax bx c =++ 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 3、() 2 y a x h k =-+的性质： 4、二次函数 2 y ax bx c =++ 的性质： （1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，；当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 244ac b a -． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，；当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 244ac b a -。 5、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用 待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一 般来说，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）； 6、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系（0a >时）： 题型（一）：根据图像，判断a 、b 、c 的关系问题。 1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，?则下列结论：①a 、b 同号； ②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0. 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息： （1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>；你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式： ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 三乐教育名师点拔中心 学生姓名： 家长签名 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其 对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1 x (4)y =21－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y B ．y C ．y D ．y 函数y = x 的取值范围是___________. 已知函数22 1 +-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A .2325≤<-y B .2523< —4 — 3 — 2 — 1 F 列说确的是（ ） A .抛物线的开口向下 二次函数常考题型与解析 ?选择题（共12小题） 若二次函数y=x 2+mx 的对称轴是X =3，则关于X 的方程x 2 +mx=7的解为 X 1=0 , X 2=6 B . X 1=1 , X 2=7 C . X 1 =1 , X 2= — 7 D . X 1= — 1 , X 2=7 点 P 1 (— 1 , y 1), P 2 (3 , y 2), P 3 (5 , y )均在二次函数 y= — X 2+2X +C 的图象上，贝U y 1, y 2, y 3的大小关系是（ ） A . y 3 >y 2>y 1 B . y >y 1=y 2 C . y 1>y 2 >y 3 D . y 1=y 2 >y 3 .抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 4 .二次函数 y=ax 2+bx+c y=—在同一平面直角坐标系的图象大致为 C ,自变量X 与函数y 的对应值如表: B. 当x > - 3时，y 随x 的增大而增大 C. 二次函数的最小值是-2 D .抛物线的对称轴是x=-二 5 .已知函数y=ax 2 - 2ax - 1 （a 是常数，a^O ）,下列结论正确的是（ ） A. 当a=1时，函数图象过点（-1 , 1） B. 当a= - 2时，函数图象与x 轴没有交点 C. 若a >0，则当x >1时，y 随x 的增大而减小 D .若a v 0，则当x <1时，y 随x 的增大而增大 6.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a^O ）的图象与x 轴交于点A （- 1，0）， 与y 轴的交点B 在（0，- 2）和（0，- 1）之间（不包括这两点），对称轴为直 线x=1 .下列结论： ① abc > 0 ② 4a+2b+c >0 ③ 4ac - b 2v 8a ④ 菲a v t ⑤ b > c . 其中含所有正确结论的选项是（ 7 ?抛物线y=x 2+bx+c （其中b , c 是常数）过点A （2, 6）,且抛物线的对称 C .②④⑤ D .①③④⑤ 章节训练函数 一、选择题（共10小题） 1．（2015?黄冈模拟）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y 与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（） A．B点表示此时快车到达乙地 B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 C．快车的速度为km/h D．慢车的速度为125km/h % 2．（2015?肥城市三模）已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（） A．B．C． D． 3．（2013?滕州市校级模拟）如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（） A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④ 4．（2014?临邑县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（） 【 A．B．C． D． 5．（2013?黄石）如图，已知某容器都是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图象大致是（） A．B．C． D． 6．（2014?济宁）函数y=中的自变量x的取值范围是（） A．x≥0B．x≠﹣1 C．x＞0 D．x≥0且x≠﹣1 > 7．（2013?西藏模拟）小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家、下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离学校的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系（） A．B． C．D． 二次函数的考试常见题型 题型一、二次函数图象的对称轴和顶点的求法- 1.已知二次函数y=x2+4x． (1)用配方法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式， 并指出函数图象的对称轴和顶点坐标 (2)求函数图象与x轴的交点坐标． 2.二次函数y= 1 2 (x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是？ 3.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 题型二、抛物线的平移 1.(甘肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的 解析式是？ 2.(上海中考题)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且 过点B(3，0) (1)求该二次函数的解析式． (2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过 坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标． 3.抛物线y= 1 2 x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所 得的抛物线表达式是？ 4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移 _____个单位长度，再向____平移_____个单位长度而得到. 5.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中, 它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动方向的描述中， 正确的是( ) A.先往左上方移动，再往左下方移动 B.先往左下方移动，再往左 上方移动 C.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右 上方移动 题型三、二次函数图象的画法 1.(广东梅州中考题)已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0， 3 2 ） (1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象； (2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这 个二次函数的图象上． 2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点， (1)求出m的值并画出这条抛物线．。 (2)求它与x轴的交点和顶点的坐标 (3)x取什么值时，抛物线在x轴上方? (4)x取什么值时，y随x的增大而增大? 3.(江苏南通中考题)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点，当x≥0时， (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象； (3)利用抛物线y=ax2+bx+c的图象，写出x为何值时，y>0 题型四、二次函数的图象和性质 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)， (1，0)．下列结论正确的是（） A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大、’ B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小 C.存在一个负数x0，使得当x< x0时，函数值y随x的增大而减小；当 x>x0时，函数值y随x的增大而增大 D.存在一个正数x0，使得当x < x0时，函数值y随x的增大而减小；当 x> x0时，函数值y随x的增大而增大 2.已知二次函数y=- 1 2 x2-3x- 5 2 ，设自变量的值分别x1，x2，x3， 且-3中考数学复习：二次函数中矩形存在性
二次函数压轴题题型归纳
数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)
常考二次函数证明题
二次函数常考题型
19.2 《一次函数》测试题练习题常考题试卷及答案
初三数学九上二次函数所有知识点总结和常考题型练习题
一次函数经典题型+习题(精华,含答案)
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C2020年中考数学必考专题11 一次函数(解析版)
二次函数常考题型
一次函数知识点总结与常见题型
九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)
一次函数常考题含答案
二次函数的考试常见题型
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