一次函数考察重点与常见题型
一、一次函数知识要点 1.一次函数的概念：函数（，为常数
）叫做的一次函数。学习这个
定义应明确下面几点：
（1）作为一次函数自变量的最高次数是1，且其系数，这两个条件缺一不可。 （2）函数（
）中可以为任意常数，当时，一次函数
就成
（为常数，且），这时
叫做的正比例函数，也可以说
与成正比
例，常数叫做因变量与自变量的比例系数．因此正比例函数是一次函数的特例，但一
次函数不一定是正比例函数。
2.一次函数的图像：
一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是一条与坐标轴斜交的直线。因此，只需求出直线y ＝kx ＋b 上的两点，就可得到它。一般，作正比例函数y ＝kx 的图像常取点（0，0）和（1，
k ）；作一次函数)0(≠+=b b kx y 的图像常取（b ,0）和（0,k
b -）两点，这两点是直线与
坐标轴的交点。
直线
（b ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为b 2
/2︱k ︳
3.一次函数的性质：
（1）参数k 、b 的意义和对一次函数y ＝kx ＋b 的图像与性质的影响。当时，y 随
x 的增大而增大，这时函数的图像从左到右呈上升趋势；当时，y 随x 的增大而减小，
这时函数的图像从左到右呈下降趋势；因此，k 的符号与直线的方向、函数的增减性是相互
决定的。
（2）b 是一次函数y ＝kx ＋b 中，当x ＝0时所对应的函数值，因此直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点（0，b ），b 是直线y ＝kx ＋b 与y 轴上的交点的纵坐标，所以，b 的符号和直线与y 轴交点位置是相互对应的．
（3）k 、b 的符号对直线位置的影响：
图像过一、二、三象限 图像过一、三、四象限 图像过一、二、四象限 图像过二、三、四象限
讨论k 、b 符号与直线y ＝kx ＋b 在坐标系中的位置要注意用k 、b 的意义去解决，不必死记对应的结论。
4.解析式的确定：确定一次函数解析式的常用方法是待定系数法，它的一般步骤如下：
（1）写出函数解析式的一般形式：（
），其中k ，b 是待定系数。
（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数k ，b 的方程或方
程组。
（3）解方程或方程组求出待定系数k ，b 的值，从而写出一次函数的解析式。 注：已知两直线：)0(1
11≠+=k b x k y 和)0(222≠+=k b x k y ，且21b b ≠，则
2121//l l k k ?=
5.一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）和二元一次方程Ax ＋By ＝C 之间在A ≠0且B ≠0的条件下是可以互相转化的。
即：0=++C By Ax （0,0≠≠B A ）)0,0(≠≠--=?B A B
C x B A y
由此可知，在直角坐标系中，一次函数的图像所对应的是直线，同时也对应于一个二元一次方程。因此两直线)0(111≠+=k b x k y 和)0(222≠+=k b x k y 的交点坐标也就是相应的二元一次方程组??
?+=+=2
21
1b x k y b x k y 的解。
一、考察二次函数定义
1、若函数
()2
13m
y m x =-+是一次函数，求m 的值，并写出解析式。 2、要使y=(m-2)x
n-1
+n 是关于x 的一次函数,n,m 应满
足 , .
二、考查图像性质
1、已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m 的取值范围是________．
2、若一次函数y=（2-m ）x+m 的图像经过第一、?二、?四象限，?则m?的取值范围是______
3、已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图象不过第二象限，则m 为 .
4、直线y kx b =+经过一、二、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图4中的（ ）
5、直线0px qy r ++=(0)pq ≠如图5，则下列条件正确的是（ ）
.,1A p q r == .,0B p q r == .,1C p q r =-= .,0D p q r =-=
6、如果0ab >，
0a c <，则直线a c
y x b b
=-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
7、如图6，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
8、如
果0ab >，
0a
c
<，则直线
a c
y x b b
=-+不通过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9、b 为 时，直线2y x b =+与直线34y x =-的交点在x 轴上. 10、要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-3
2
x （ ）． （A ）向左平移4个单位 （B ）向右平移4个单位 （C ）向上平移4个单位 （D ）向下平移4个单位
11、已知一次函数y=-kx+5，如果点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）都在函数的图像上，且当x 1 12、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 1 2 x+2上，则y 1 、y 2大小关系是( ) （A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1 三、交点问题 1、若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）． （A ）k<13 （B ）13 3 2、若直线y x a =-+和直线y x b =+的交点坐标为(,8)m ，则a b += . 3、一次函数y kx b =+的图象过点(,1)m 和(1,)m 两点，且1m >，则k = ， b 的取值范围是 . 4、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << 5、如图所示，已知正比例函数x y 2 1-=和一次函数 b x y +=，它们的图像都经过点P （a ，1） ，且一次函数图像与y 轴交于Q 点。 （1）求a 、b 的值；（2）求△PQO 的面积。 四、面积问题 1、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S ，则S 等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．3 D ．24 2、若一次函数y=2x+b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=_______． 3、已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -，且与y 轴分别交于点B ，c ，则ABC ?的面积为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4、已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点（－1，－5），且与正比例函数1 y=x 2 的 图像相交于点（2，a ），求（1）a 的值；（2）k 、b 的值；（3）这两个函数图像与x 轴所围成的三角形面积。 四、解析式的求法 1、有两条直线b ax y +=1，c cx y 52+=，学生甲解出它们的交点坐标为（3，－ 2），学生乙因把c 抄错了而解出它们的交点坐标为)4 1 ,43(，求这两条直线解析式 2、已知正比例函数x k y 1=的图象与一次函数92-=x k y 的图象交于点P （3，－ 6） （1）求21,k k 的值。（2）如果一次函数92-=x k y 与x 轴交于点A ，求A 点坐标 3、某种拖拉机的油箱可储油40L ，加满油并开始工作后，?油箱中的余油量y （L ）与工作时间x （h ）之间为一次函数关系，如图所示． （1）求y 与x 的函数解析式． （2）一箱油可供拖位机工作几小时？ 五、分段函数 1、（05年中山）某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费y （元）与用水量x （吨）的函数关系如图所示。 （1）写出 y 与x 的函数关系式； （2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？ 2、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出 了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完， 卖出的菠萝的吨数x 和他收入的钱数y （万元） 0 y x 15 20 27 39.5 8 2 1.92 ()y 万元 ()x 吨 的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？ （2）若降价后每千克菠萝的价格是1.6元，他这次卖菠萝的总收入是2万元，问他一共卖了多少吨菠萝？ 3、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费. （1）设用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x＞100时，分别写出y关 于x的函数关系式. （2）小王家第一季度交纳电费情况如下： 月份一月份二月份三月份合计交费金额76元63元45元6角184元6角问小王家第一季度共用电多少度？ 4、某校需要刻录一批电脑光盘，若电脑公司刻录，每张需要8元（含空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外每张还需成本费4元（含空白光盘费），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用少？还是自刻费用少？说明你的理由 六、一次函数应用 1、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB 上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a 米/分，下山的速度是b 米/分，（a 1 2 a 米/分，下山的速度是2 b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，时间为t （分），离开点A 的路程为S （米），?那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A 出发后的时间t （分）与离开点A 的路程S （米）?之间的函数关系的是（ ） 2、如图7，A 、B 两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由A 站经P 处去B 站，上午8时，甲位于距A 站18千米处的P 处，若再向前行驶15分钟，使可到达距A 站22千米处.设甲从P 处出发x 小时，距A 站y 千米，则y 与x 之间的关系可用图象表示为（ ） 3、汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系用图象表示为( ) 2 4 200 400 t/h S /km 2 4 200 400 t/h S /km 2 4 200 400 t/h S /km 2 4 200 0 400 t/h S /km A B C D 4、某油库有一大型储油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）后将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭进油管，只开出油管，直到将油罐内的油放完，假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变. （1）试分别写出这一段时间内油的储油量Q（吨）与进出油的时间t(分)的函数关系式. （2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图象. 5、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币） 路程/千米运费（元/吨、千米） 甲库乙库甲库乙库 A地20 15 12 12 B地25 20 10 8 （1）设甲库运往A地水泥x吨，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系 式，画出它的图象（草图）. （2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？ 6、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，?现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B?市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元． （1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值． （2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值． 7、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。 （1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果质量x（千 克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 （2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。 8、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表： A B 成本（万元/套）25 28 售价（万元/套）30 34 注：利润=售价－成本 （1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？ （2）该公司如何建房获得利润最大？ （3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？ 求一次函数解析式常见题型解析 一次函数解析式的求法在初中数学教学内容中占有举足轻重的作用，如何把这一部分内容学的扎实有效呢，整理了一下材料，给大家提供一些题型及解题方法，期望对同学门有所帮助。 一：定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点（2，－1） ，即 这个一次函数的解析式为变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型 例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线：；：。当，时， 直线与直线平行，。 又直线在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线 与直线平行 直线在y轴上的截距为，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得，即 故所求函数的解析式为（） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． a a t 精心整理 一次函数题型总结 函数定义 1、判断下列变化过程存在函数关系的是() A.是变量， B.人的身高与年龄 C.三角形的底边长与面积 y x ,x y 2±=A 、1B 、2C 、3D 、42、若函数y=(3－m)x m-9是正比例函数，则m=。 3、当m 、n 为何值时，函数y=(5m －3)x 2-n +(m+n)（1）是一次函数（2）是正比 例函数 一次函数与坐标系 1.一次函数y=－2x+4的图象经过第象限，y 的值随x 的值增大而（增大或减少） 2.已知y+4与x 成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y= ． 3.已知k ＞0，b ＞0，则直线y=kx+b 不经过第 象限． 4、若函数y=－x+m 与y=4x －1的图象交于y 轴上一点，则m 的值是( )A. B. C. D. 1-14 1-4 1（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度 是多少？ 4、东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地 出发以 另一速度向A 地而行，如图所示，图中的线段、B 地的 1y 距离（千米）与所用时间（小时）的关系。 2 a t s ⑵试求出A 、B 两地之间的距离。 函数图像的平移 1.把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为 ．13 2+=x y 2、（2007浙江湖州）将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）。 A 、y ＝2x ＋2 B 、y ＝2x －2 C 、y ＝2(x －2) D 、y ＝2(x ＋2) 的增大而，当. 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积 1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是与y 轴的交点是与两坐标轴围成的三角形面积是。 2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为___。3、已知：在直角坐标系中，一次函数y=的图象分别与x 轴、y 轴相交于23 初中数学一次函数知识点总结 基本概念： 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k ≠0）。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 图像性质 1．作法与图形： （1）列表. （2）描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 一次函数的图象特征和性质： y =kx+b b>0 b<0 b=0 y=kx k >0 经过第一、二、 三象限 经过第一、三、 四象限 经过第一、 三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k <0 经过第一、二、 四象限 经过第二、三、 四象限 经过第二、 四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小 二次函数的考试常见题型 题型一、二次函数图象的对称轴和顶点的求法- 1.已知二次函数y=x2+4x． (1)用配方法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式， 并指出函数图象的对称轴和顶点坐标 (2)求函数图象与x轴的交点坐标． 2.二次函数y= 1 2 (x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是？ 3.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 题型二、抛物线的平移 1.(甘肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的 解析式是？ 2.(上海中考题)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且 过点B(3，0) (1)求该二次函数的解析式． (2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过 坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标． 3.抛物线y= 1 2 x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所 得的抛物线表达式是？ 4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移 _____个单位长度，再向____平移_____个单位长度而得到. 5.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中, 它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动方向的描述中， 正确的是( ) A.先往左上方移动，再往左下方移动 B.先往左下方移动，再往左 上方移动 C.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右 上方移动 题型三、二次函数图象的画法 1.(广东梅州中考题)已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0， 3 2 ） (1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象； (2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这 个二次函数的图象上． 2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点， (1)求出m的值并画出这条抛物线．。 (2)求它与x轴的交点和顶点的坐标 (3)x取什么值时，抛物线在x轴上方? (4)x取什么值时，y随x的增大而增大? 3.(江苏南通中考题)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点，当x≥0时， (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象； (3)利用抛物线y=ax2+bx+c的图象，写出x为何值时，y>0 题型四、二次函数的图象和性质 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)， (1，0)．下列结论正确的是（） A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大、’ B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小 C.存在一个负数x0，使得当x< x0时，函数值y随x的增大而减小；当 x>x0时，函数值y随x的增大而增大 D.存在一个正数x0，使得当x < x0时，函数值y随x的增大而减小；当 x> x0时，函数值y随x的增大而增大 2.已知二次函数y=- 1 2 x2-3x- 5 2 ，设自变量的值分别x1，x2，x3， 且-3 指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1．下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，则函数的图象一定在（） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．已知，当其值域为时，的取值范围是（）A． B． C． D． 4．若，，下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 5．已知且，，则是（） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 6．函数（）的图象是（） 7．函数与的图象大致是( ). 8．当时，函数与的图象只可能是（） 9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 10．计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元 二、填空题 1．比较大小： （1）；（2） ______ 1；（3） ______ 2．若，则的取值范围为_________． 3．求函数的单调减区间为__________． 4．的反函数的定义域是__________． 5．函数的值域是__________ ． 6．已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7．当时, ,则的取值范围是__________. 8．时，的图象过定点________ ． 9．若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10．已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11．函数的最小值为____________. 12．函数的单调递增区间是____________. 13．已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14．若函数（且）在区间上的最大值是14，那么等于 _________． 三、解答题 1．按从小到大排列下列各数： ，，，，，，， 2．设有两个函数与，要使（1）；（2），求、的取值范围． 3．已知 ,试比较的大小. 4．若函数是奇函数，求的值． 5．已知，求函数的值域． 6．解方程： 一次函数知识点总结与常见题型 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1x (4)y =2 1－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x 的取值围是x ≥2的是（ ） A ．y B ．y C ．y D ．y 函数y =x 的取值围是___________. 已知函数22 1+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值围是 （ ） A .2325≤<-y B .2523< 二次函数常见题型及解题策略 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物 线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 本节知识点 1、 (一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.) ◆ 55n n n ?=??=-??正数的次方根是正数当是奇数时，负数的次方根是负数 ◆ 20,n a n n ?>????正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根 ◆ 0的任何次方根都是0 2 ◆ n a =当 ◆ ,0,0a a n a a a ≥?==?-≤?当 3、 分数指数幂 ◆ **0,,,1)1(0,,,1)m n m n m n a a m n N n a a a m n N n a -?=>∈>???=>∈>??? 正分数指数幂的意义且当为正数时，负分数指数幂的意义且 ◆ 0 0???0的正分数指数幂等于当a 为时，0的负分数指数幂无意义 4、 有理指数幂运算性质 ① (0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 5、 指数函数的概念 一般的，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域是R ． 6、指数函数x y a =在底数及这两种情况下的图象和性质: 1a > 01a << 图 象 性 质 (１）定义域: R （2)值域： (0)+∞， （３）过点 ,即0x =时1y = (4）单调递增 (4) 指数与指数函数试题归纳精编 (一）指数 1、化简[32)5(-]4 3的结果为 ( ) Ａ.5 B ．5 Ｃ．-5? D.－5 ２、将322-化为分数指数幂的形式为( ) A.212- B ．312- Ｃ.212 -- D ．6 52- 3、化简 4 216132332)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是( ) A ．a b ??? Ｂ.ａb ? Ｃ．b a D ．a 2b 4、化简1111132168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????,结果是（ ） Ａ、11321122--??- ??? Ｂ、1 13212--??- ??? Ｃ、13212-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1(027.0143 231 +-+-----=__＿_______. 一次函数题型归纳解析 1.判断k 、b 的符号 在不作出函数图象的情况下，根据函数图象经过的象限，可判断出k 、b 的符号，反之亦然. 例1 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，则k 、b 的符号 （ ） A 、k ＜0，b ＞0. B 、k ＞0，b ＞0. C 、k ＜0，b ＜0. D 、k ＞0，b ＜0. 【评析】 注意到图象自左向右上升，函数值y 随着x 的增大而增大，图象自左向右下降，函数值y 随着x 的增大而减小；直线与y 轴正方向相交，k 为正，直线与y 轴的负方向 相交，k 为负.反之亦然. 2.判断直线经过的象限 例2下列图象中，表示直线y=x-1的是 ( ) (A)11O y x (B)-11 O y x (C)-1-1O y x (D)1-1O y x 3.确定函数的解析式 此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力． 例3 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下： 印数x （册） 5000 8000 10000 15000 …… 成本y （元） 28500 36000 41000 53500 …… （1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x 的取值范围）； （2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？分析（1）设所求一次函数的解析式为y＝kx＋b， 则 500028500, 800036000. k b k b += ? ? += ? 解得k＝5 2 ，b＝16000。 ∴所求的函数关系式为y＝5 2 x＋16000。 （2）∵48000＝5 2 x＋16000。 ∴x＝12800。 答：能印该读物12800册. 评析此题主要考查待定系数法以及解方程(组)的运算能力．解题时应根据函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系列出方程或方程组，然后再求解． 4.图表信息 例4某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如右下图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线。 （1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式； （2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？ （3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？ 分析：观察图象，求出函数解析式，确定函数的值。 解：（1）当x≥30时,设函数关系式为y=kx+b 则 3060 4090 k b k b += ? ? +=? 解得 3 30 k b = ? ? =- ? 所以y=3x-30。 (2)4月份上网20小时,应付上网费60元。 (3) 由75=3x-30解得x=35,所以5月份上网35个小时。 A C B 60 90 30 40 X小时 Y（元） 一次函数解析式练习题 一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。 例1. 已知函数y m x m =-+-()3328是一次函数，求其解析式。 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 例3. 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），求这个函数的解析式。 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，求函数的解析式。 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 例6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________。 例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求此直线的解析式。 练习题： 1. 已知直线y=3x －2, 当x=1时，y= 2. 已知直线经过点A （2,3），B （-1，-3），则直线解析式为________________ 3. 点（-1，2）在直线y=2x ＋4上吗？ （填在或不在） 4. 当m 时，函数y=(m-2) +5是一次函数，此时函数解析式为 。 5. 已知直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为 . 6. 已知变量y 和x 成正比例，且x=2时，y=－2 1,则y 和x 的函数关系式为 。 7. 直线y=kx ＋2与x 轴交于点（－1，0），则k= 。 8. 若直线y=kx ＋b 平行直线y=3x ＋4，且过点（1，-2），则k= . 9. 已知A(-1,2), B(1,-1), C(5,1), D(2,4), E(2,2),其中在直线y=-x+6上的点有_________,在直 线y=3x-4上的点有_______ 10. 某人用充值50元的IC 卡从A 地向B 地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元， 以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t 分钟（3≤t ≤45），则IC 卡上所余的费用y （元）与t （分）之间的关系式是 . 11. 某商店出售一种瓜子，其售价y （元）与瓜子质量x （千克）之间的关系如下表 由上表得y 与x 之间的关系式是 12. 已知:一次函数的图象与正比例函数y=-3 2x 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式. (2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n 的值 13. 已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= 12 x 的图象相交于点(2,a),求 (1)a 、k 、b 的值 (2)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积. 32 m x 中考二次函数常见题型 考点1：二次函数的数学应用题 1. （2011，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m－i，n－j]，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当m+n 取最小值时，m·n的最大值为。 【答案】36 2.（2011，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. （1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值； （2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； （3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， ①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式. ∴所求抛物线解析式为248 133 y x x =- ++；……4分 （3）①当n =3时，OC=1，BC =3， 设所求抛物线解析式为2 y ax bx =+， 过C 作CD ⊥OB 于点D ，则Rt △OCD ∽Rt △CBD ， ∴13 OD OC CD BC ==, 设OD =t ，则CD =3t ， ∵222 OD CD OC +=， ∴222 (3)1t t +=， ∴1101010 t = =, ∴C （ 1010，31010 ）, 又 B （10，0）， ∴把B 、C 坐标代入抛物线解析式，得 010********.10 1010a b a b ?=+? ?=+? ?， 解得:a =103-； ……2分 ②21 n a n +=-. ……2分 3. （2011日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y = x k 相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； x y O A B C D 一次函数知识点及常见类型 1、变量：在一个变化过程中不断发生变化的量；常量：在一个变化过程中保持不变的量。 例：在匀速运动公式vt s=中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是________. 2、函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，（y称为因变量，）称y是x的函数，如果x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 判断x是否为y的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应 例：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1 x(4)y=2 -1-3x (5)y=x2-1中是一次函 数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个3、自变量的取范围：确定自变量的取范的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，自变量的取范围还要和实际情况相符合，使之有意义。 例：1、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（） A． B． y=C． D． 2 、函数y=中的自变量x的取值范围是. 4、函数的图象 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 5、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 6、描点法画函数图象的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 注意：根据“两点确定一条直线”的道理（也叫 两点法）。 一般的，一次函数y=kx+b(k≠0） 的图象过（0，b ）和（-k b ，0）两点画直线即可；正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k ）两点。 7、函数的表示方法 1.列表法 2.图象法 3.解析式法 例：1、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是______________． 2、平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是__________． 3、小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函 数关系. 下列说法错误．． 的是 ( ) A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 8、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数 叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） （第3题图）八年级数学上册 一次函数解析式常见题型分析 人教新课标版
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