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单纯形法在经济管理中的应用

[摘要]发展生产力,提高经济效益是人类发展不可或缺的要求，是合理利用现有的人力，物力资源,使经济效益达到最好的重要途径，而这些正是线性规划所研究的主要内容。本篇论文主要探讨单纯形法在经济管理中的应用，即应用单纯形法及其改进的方法来求解经济管理中的线性规划问题。详细介绍线性规划问题的基本思想和数学模型，深入研究单纯形法的原理和解法，将方法运用到生产计划模型和投资模型中。分析模型的求解结果，比较各种算法之间的优劣性，进一步说明单纯形法的实用性。

[关键字]线性规划单纯形法生产计划模型投资计划模型

The application of simplex method in economic management

[Abstract]Development of productivity and economic efficiency are indispensable requirement of human development. Rational use of human and material resources is an important way to achieve the best economic benefits, which is the main contents the linear programming studies. This paper mainly discusses the application of the simplex method in economic management, namely Simplex method and the improved methods are applied to solving the economic management of the linear programming problem. The basic ideas and mathematical models of linear programming problems will be introduced in detail the research on the theory and solution of the simplex method is studied, and apply these methods to the production planning model and investment model . The results of the model will be analyzed. By comparing the advantages and disadvantages between various algorithms, the practicality of the simplex method is further illustrated.

[Key words]Linear Programming Simplex Method Production planning model Investment Planning Model

引言 (1)

1.线性规划问题 (2)

1.1线性规划问题的提出 (2)

1.2 线性规划问题的数学模型 (2)

1.3线性规划问题的求解思路 (3)

2.单纯形法 (4)

2.1 单纯形法的基本原理 (4)

2.2单纯形法的一般解法 (6)

3.单纯形法在经济管理中的应用 (7)

3.1生产计划模型 (7)

3.1.1 建模步骤 (8)

3.1.2模型求解 (8)

3.2投资模型[3] (11)

3.2.1建模步骤 (11)

3.2.2模型求解 (12)

4. 改进单纯形法在经济管理中的应用 (14)

4.1二阶段法 (14)

4.2扰动法和Bland法 (14)

4.3改进单纯形法 (15)

5.结论 (19)

致谢语 (20)

参考文献 (21)

线性规划是数学规划的一个重要分支，也是最早形成的一个分支。线性规划的理论与算法均非常成熟，在实际问题和生产生活中的应用非常广泛；其理论与方法被应用到经济、金融、军事等各个领域。并且数学规划领域内的其他重要分支的很多问题是在线性规划理论与算法的基础上建立起来的。它在整个数学规划和应用数学领域中占有重要地位。

线性规划的研究与应用工作，在我国开始于20世纪50年代初期，最早应用在物资调运等方面。生产单位如何根据生产设备能力安排各类生产计划；一笔可用于投资的基金，在有数种不同的投资方案时，如何选择获利最多的方案；一种需要数种原料合成的产品，在保证质量要求的前提下，如何使成本最低；来自不同产地的资源的调运，如何能使总运费最少。这些看似不同的实际问题，本质上都是线性规划问题。

在本篇论文中，我们将研究经济管理中的生产计划模型和投资模型，建立相应的线性规划问题，应用单纯形法及其改进的方法进行求解。

1.线性规划问题

1.1线性规划问题的提出

生产和经营管理中经常会提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的规划问题。用一块边长a的正方形铁皮做一个容器，应该如何裁剪，使做成的容器的容积为最大。类似的例子还可以举出很多。如物资的调运：已知某些地区生产一种物资，另一些地区需要该种物资，在已知各地区间调运单位该种物资的运价的情况下，应如何制定调运方案，使其满足供需要求并使总运费为最少，等等。问题的提法可以各种各样，但归结起来不外乎：一是给定一定数量的人物、物力等资源，研究如何成分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。

比较上述的几个例子，从数学角度讲，都是求极值的问题，但有些例子中除变量取值要求非负外无其他更多限制，这类问题可以用微积分中已学过的求极值的古典问题解决；已经学过的而另外一些变量的取值要受一系列条件的限制，求解这类附加限制条件的极值问题是运筹学中规划论部分研究的内容。

1.2 线性规划问题的数学模型

线性规划研究的是线性目标函数在现行约束条件下取得最大值或最小值的问题。线性规划的数学模型就是描述实际问题的数学形式，它反映了实际问题数量间的本质规律。由于实际问题往往比较复杂，建立线性规划的数学模型时，对某一个问题要认真分析，抓住最本质的因素，用最简单的数学式子将其描述出来，使建立的数学模型既简单又能正确地反映问题的本质。从实际问题中建立数学模型的三大要素分别是决策变量，约束条件，目标函数。（1）决策变量，指决策者为实现规划目标采取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；（2）目标函数，指问题要达到的目的要求，表示为决策变量的函数；（3）约束条件，指决策变量取值时受到的各种可用资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等式。如果在规划问题的数学模型中，决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是限行的，这类模型称为线性规划问题的数学模型。

线性规划问题的标准形式为：

1) max()

j j n i

f X C X

=∑

使得

1,2,....,n

ij j

i a x

b i m ===∑

0,1,2,...,j x j n ≥= 2) max ()max f X CX = 使得

AX b = 0X ≥

1.3线性规划问题的求解思路

首先介绍线性规划问题中两个基本概念：

凸集如果集合C 中任意两个点1X 、2X ，其连线上的所有点也都是集合C 中的点，称C 为凸集。由于1X 、2X 的连线可表示为12(1)(01)aX a X a +-<<。因此凸集定义用数学语言可表为：对任何1X C ∈，2X C ∈，有12(1)(01)aX a X C a +-∈<<。顶点凸集C 中满足下述条件的点X 称为顶点：如果C 中不存在任何两个不同的1X 、

2X ，使X 称为这两个点连线上的一个点。或者可以这样叙述：对任何12,X C X C ∈∈，不存在12(1)X aX a X =+-（0

在求解线性规划问题时，一般解的情况有下面四种：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解；当线性规划问题的可行域存在，可行域是一个凸集；如果线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一（如果有无穷多的话）一定能够在可行域（凸集）的某个定点找到；整理一下解题思路，先找到凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标函数值。比较相邻定点的目标函数值是否比这个值更优，如果为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值更优的另一顶点，重复上述过程，直到找出使目标函数达到最优的顶点为止。

2.单纯形法

单纯形法是1947年由George Bernard Dantzig （1914--2005）创建的，单纯形法的创建标志着线性规划问题的诞生【1】。线性规划问题是研究在现行约束条件下，求线性函数的极值问题。然而，对这类极值问题，经典的极值理论是无能为力的。只有单纯形法才能有效解决这类极值问题的求解。

2.1 单纯形法的基本原理

单纯形法是从一个初始解开始，不断改进现有的解，直到所要求的目标函数值达到最大或最小时为止。即是进行反复的迭代，直到得到最优解，这就是单纯形法的基本思想。

我们通过一个例子来说明它的主要步骤。例1：12max 52z x x =+

s.t. 123,4x x ≤≤

1228x x +≤

120,0x x ≥≥

解：（1）先将线性规划问题化为标准形式。须在约束方程中加入松弛变量3x ，4x ， 5x 得到标准形式如下：

12345max 52000z x x x x x =++++ s.t. 133x x +=

244x x += 12528x x x ++=

125,,...,0x x x ≥

(2) 选择一个初始可行解。由约束方程的系数矩阵可知，选择3x 、4x 、5x 为基变量，1x 、

2x 为非基变量。将基变量由非基变量表示，同时令非基变量1x 、2x 为0，便得到一个基本可行解()00348，此时的目标函数值为0z =。

(3) 检验是否是最优解。检验的方法是非基变量在目标函数中的系数是否有正值。本例求出的基本可行解()00348不是最优解。因为从目标函数的表达式1252x x +可以看出，当可行解中非基变量120x x ==，目标函数值为0，但只要1x 或2x 其中之一取得正值，则目标函数值应增加，从而它不是最优解。一般情况而言，当目标函数表达式中还存在正系数的非基变量时，就表示目标函数值还有可能增加，此时将非基变量与基变量进行置换，就可以使目标函数值继续增加，直到达到最优解。对于本例，就是将3x ，

4x 或5x 之一置换成0，而在1x 或2x 的其中之一可以取为大于0, 目标函数值不再是0。

要变成0的基变量被称为离基变量。而进基变量则是目标函数中系数变成大于0的非基变量。那我们怎样确定进基变量和离基变量呢？

(4) 进基变量的选择。进基变量是目标函数方程中正系数最大的非基变量。

在目标函数方程中选取正系数最大的非基变量作为进基变量。非基变量的正系数意味着相应变量的增加，这种增加将使目标函数值的增加，因此，只有使具有正系数的非基变量进基才有可能使目标函数值增加。本例的目标函数方程中的1x 的系数具有最大值5，所以，进入基本可行解的下一个基是1x 。

(5) 离基变量的选择。求出每个约束方程中的右端常数与进基变量在约束方程中的系数的比值，最小非负比值所在的方程中的基变量应是离基变量。

在本例中考虑每一个约束方程右边的常数与该方程中进基变量1x 的系数的比值，找

出最小非负比值，把这个方程中的基作为离基变量。本例记38

min{,,}12

θ=-，其中“-”

表示进基变量约束条件的系数为0或为负数。下面求以1x 、4x 、5x 为进基变量是的基本可行解。

(6) 转轴计算。先选主元，令进基变量所在列为主元列，离基变量所在的行为主元行，主元行与主元列交叉位置的元素为主元。然后用高斯消元法进行消元运算，即将主元位置的数变为1，主元列中其余元素变为0。

在本例中，1x 进基，4x 离基，所以第1行为主元行，第1列为主元列，其主元为第1行与第1列交叉的元素，将该位置的数进行运算使其等于1，该列的其余系数变成0。可得到

132********

x x x x x x x +=+=-+=

从而新的目标函数为232515z x x =-+

(7) 确定新的基本可行解。由上面得到的等价约束条件方程组和等价的目标函数，则得到本例的另一个基本可行解()30042T

。此时的目标函数值为15z =。 (8) 求最优解。经过一系列的计算，我们从基本可行解()00348T

到达另一个基本可行解，目标函数值也从0增加到15。所以第二个基本可行解是改进的基本可行解。重复(4)----(7)步骤，我们可以得出最优解：目标函数值为19z =。

2.2单纯形法的一般解法

单纯形法的计算步骤可以归结为： (1) 先找出一个初始可行解。

(2) 进行最优性检验。就是进行迭代运算，首先建立一个判别准则。如最优解判别定理：

若(0)'''12(,,,.0,...,0)T m x b b b =为对应于基矩阵B 的基本可行解，且对于一切

1,2,...,j m m n =++，有0σ≤，则(0)x 为最优解。

(3) 进基变量（主元列）的确定。为使目标函数增加得更快，一般选j σ大于0的非基变量的最大者为进基变量。即max{|0}k j j σσσ=≥，所对应的k σ为进基变量。

(4) 离基变量（主元行）的确定。按最小比值原则或θ原则取月数防护才呢过组的右端项和进基变量的对应约束条件的比值的最小值所在行的基变量j x 作为离基变量。 (5) 转轴计算。假设约束方程组有12,,...,m x x x 个基变量，其系数列向量构成一个m 阶单位矩阵式可行基，令非基变量1,...,,...,m k n x x x +为0，便可得到一个基本可行解。若它不是最优解，则要找另一个基本可行解。可假定k x 为进基变量，j x 为离基变量，对主元k α作转轴运算，即以k α为主元的增广矩阵Gauss- Jordan 消元法。 (6) 重复上述5个过程，直到找到最优解为止。

3.单纯形法在经济管理中的应用

自从1947年G.B.Dantzig 提出求解线性规划的单纯形法以来，线性规划在理论上趋向成熟，实用中日益广泛与深入【2】。特别是在计算机能处理上千万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已经成为现代管理中的一种有效的数学方法。发展生产力，提高经济效益是人类发展不可或缺的要求。而提高经济效益一般有两种途径：一是技术的改进：比如新能源，开发新工艺等；二是生产计划和生产组织的改进。线性规划恰恰研究的就是在一定条件下，合理安排人力物力资源，使经济效益达到最好。

3.1生产计划模型

将经济管理领域的实际问题抽象为数学模型，是一项技巧性很强的工作，它要求对研究对象的本质有深刻的理解，并能熟练地掌握有关线性规划模型的结构特点，运用数学技巧。因此，在研究一些复杂问题的数学模型时，需要各方面专业人员的通力协作配合。

一般来讲，一个经济、管理问题要满足下列条件，才能归结为线性规划的模型：（1）要求解的问题的目标能用某种效益指标度量大小程度，并能用线性函数描述目标的要求；（2）为达到这个目标存在多种方案；（3）要达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些条件可用限行等式或不等式描述。

下面通过一些例子来说明如何将一些实际问题归结为线性规划的数学模型。案例1 某工厂在计划内安排生产12,x x 两种产品，这些产品分别在A,B,C,D 四种不同设备上加工，产品12,x x 在各设备所需的加工台时数如下表。

表1.不同产品在不同设备上加工台时数

设备

产品 A B C D

1x 2x

2 1 4 0

2 2 0 4

已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12。该加工场每生产一件产品1x 可获利2万元，每生产一件产品2x 可获利3万元，如何安排生产才能让利润最多？ 3.1.1 建模步骤

（1）问题的决策变量，12,x x

（2）问题的目标函数：设Z 为最大利润。12max 23Z x x =+ （3）确定约束条件：

121212221228416412

x x x x x x +≤+≤≤≤

3.1.2模型求解

12121212max 232212284164120,0

Z x x x x x x x x x x =++≤+≤≤≤≥≥

需引入松弛变量：

3456x A x B x C x D ------------设备闲置台时数设备闲置台时数设备闲置台时数设备闲置台时数

首先将线性规划模型转换成标准型

1234561231241526123456max 230000..221228416412

0,0,0,0,0,0

Z x x x x x x s t

x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++=++=+=+=≥≥≥≥≥≥

我们可以得到一个基可行解为(001281612)T X =，并以此列出单纯形表（见表2）。

表2

j c →

2 3 0 0 0 0

B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 0 3x 12 0 4x 8

0 5x 16 0 6x 12 2 2 1 0 0 0

1 2 0 1 0 0

4 0 0 0 1 0

0 [4] 0 0 0 1

j j c z -

2 3 0 0 0 0

表中存在检验数大于零，故表2中的基可行解不是最优解。又21σσ>，故确定2x 为进基变量。将b 列数字除以2x 列的同行数字可得

1281212

min(,,,)32244

θ=-=

= 由此确定6x 为离基变量，4为主元素。作为标志对主元素4加上方括号[]。

用2x 替换基变量中的6x 后得到新的基变量是3x 、4x 、5x 和2x ，画出新的单纯形表（见表3）。

表3

j c →

2 3 0 0 0 0

B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 0 3x 6 0 4x 2

0 5x 16 3 2x 3 2 0 1 0 0 -0.5

[1] 0 0 1 0 -0.5

4 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0.25

j j c z -

2 0 0 0 0 -0.75

表中还存在检验数10σ>，说明目标函数值还能进行进一步增大。重复上述计算步骤得表4。

表 4

j c →

2 3 0 0 0 0

B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 0 3x 2 2 1x 2

0 5x 8 3 2x 3 2 0 1 -2 0 0.5

1 0 0 1 0 -0.5

0 0 0 -4 1 [2]

0 1 0 0 0 0.25

j j c z -

0 0 0 -2 0 0.25

0 3x 0 2 1x 4

0 6x 4 3 2x 2 0 0 1 -1 -0.25 0

1 0 0 0 0.25 0

0 0 0 -2 0.5 1

0 1 0 0.5 -0.125 0

j j c z -

0 0 0 -1.5 -0.125 0

上表中由于所有0j σ≤，表明已求得问题的最优解

1234564,2,0,0,0,4,

x x x x x x z =======。加工4件1x 产品，2件2x 产品，A ，B ，C 设备都不闲置，D 设备闲置4小时，得到最大利润14万元。

因此我们可以得出生产计划模型的一般表述：计划生产m 种产品，生产一种产品的利润分别是a ，b 。有n 台设备，设备有一定的使用台时数，如何安排生产计划才能使利润最大。

3.2投资模型[3]

案例2 设有下面4个投资机会：

项目a ：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；

项目b ：从第三年年初需要投资，到第五年末回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；

项目c ：第二年初需要投资，到第五年末才能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；

项目d ：五年内每年初可买公债，于当年末归还，并加利息6%。

该部门现有资金10万元，问它该如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额最大？ 3.2.1建模步骤

（1）问题的决策变量，,,,ia ib ic id x x x x 分别为第i 年投向a ，b ，c ，d 项目的投资额

（1,2,3,4,5i =）。

（2）问题的目标函数：设Z 为第五年末拥有资金的本利息总额，通过下面分析来找Z

的表达式。

由题意将一切可能的投资机会列于表5

表5投资机会表

年份项目 1 2 3 4 5 投资限额 a b c d

1a x 2a x 3a x 4a x

3b x 40000 2c x 30000 1d x 2d x 3d x 4d x 5d x

（3）资金流转分析：确立约束条件。

原则1：每年年初将手头全部资金投出去，因此第一年年初应将10万元全部投给a ，d 两项目，所以11100000a d x x +=。

原则2：第一年年底回收各项投资的本利息后又全部投入第二年年初可能有的投资机会，所以2221106%a c d d x x x x ++=。

以此类推，每年年初投资额=头年末返还本利总额，于是有：

333124423534115%106%115%106%115%106%a b d a d

a d a d d a d

x x x x x x x x x x x x ++=++=+=+

以上资金流转分析，再加上各种投资金额的限制，即为问题的约束条件。目标函数

应该是四项投资在第五年年末回收的本利之和，即为以下四项之和：115%4a x ，140%2c x ，125%3b x ，106%5d x 。 3.2.2模型求解

423511122213323243434523max 1.15 1.40 1.25 1.06..100000

1.0601.15 1.0601.15 1.0601.15 1.0603000040000,,,01,2,3,4,5

a c

b d a d d a

d a a b d d a a d d a d d c b ia ib ic id Z x x x x s t

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i =++++=-+++=-++-+=-+-+=--+=≤≤≥=

与例1一样，写出基可行解，并列出初始单纯形表，进行逐步迭代，所有0j σ≤，得到最优解。

下列为最优投资方案：

1122233344534782.60939130.43939130.4393000000400000450000

a d a c d a

b d a d d x x x x x x x x x x x ===========第一年：第二年：第三年：第四年：第五年：

到第五年末期拥有总金额为143750元，即盈利43.75%。

所以我们可以得出投资模型的一般表述：一般地，投资问题可描述如下：在投资金额一定的前提下，如何合理地分配n 个投资项目，才能使收益最高。

以上两个例子可以看出，线性规划在经济管理中可以从整体统筹规划，尽量达到用最少的人力物力资源去完成任务，或在人力物力资源一定的前提下，合理规划统筹，

以达到最高的经济效益。【4-5】

随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力。把线性规划运用到企业中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，及时、准确、科学的制定投资计划、生产计划、对资源进行合理配置。通过建立模型，运用严格的数学方法，并配合计算机进行测算，很快就可以得出最优方案。目前，线性规划已经帮助相当多的企业、银行还有政府机构解决生产及投资规划上的各种问题，并已取得可观的经济效益。

4. 改进单纯形法在经济管理中的应用

虽然单纯形法是求解线性规划问题的最有效的方法，消除了拉格朗日算法只能解决单一约束条件的最优化问题的弊端【6】，使得很多约束条件的最优化问题得到解决，而且单纯形法思想比较简单，一倍大多人所接受。但是在很多情况下不能直接用或效率不高，操作起来比较繁琐，对于退化解的情况，单纯形法无所适从。因此，人们开始寻找更有效解决问题的方法。从而对单纯形法进行了改进的发展。

4.1二阶段法

对于如下形式的线性规划问题，是不能用单纯形法来求解的。

min ()min ,

..,

f X CX s t AX b X =≤≥

为此，Dantzig 引进松弛变量12(,,...,)m Y y y y =来把线性规划问题化为一下形式【7-8】

12min ()min (...),

..,

0,0

m f X CX M y y y s t AX Y b X Y =+++++=≥≥ 其中M 是足够大的数。然后，利用单纯形法求出原问题的一个基本可行解，再利用单纯形法求出原问题的最优解。这样两次应用单纯形法求解线性规划问题叫做二阶段法。

4.2扰动法和Bland 法

前面讨论的利用的利用单纯形法求解线性规划问题是约束线性函数非退化的情况下得到。约束线性函数退化的情况下，可能出现循环现象，如文献【9】中例9的情况。即虽得到新的基本解1x ，但是10()()f x f x =的情况。在这种情况下，产生了扰动法和Bland 法。

如果出现循环现象，可以用扰动法。扰动法的主要思想是如果对常数项b 做一个扰动，使b 变动以后得到的线性规划问题是非退化的，则可以单纯形法求解经过有限次的迭代可得到新问题的解。再把b 重新变回来，从而得到原问题的解扰动就相当于增加松弛变量，故可以用类似于二阶段法来求解。

R.G.Bland 于1976年提出一个避免循环的方法此方法的思想是: 利用单纯形法求

解线性规划问题中查看检验数时，如果几个检验数是正的，则选择下标最小的非基变量

作进基变量同时基变量中选择下标最小的做离基变量Bland 的理论价值很高，但计算效率低。

4.3改进单纯形法

利用单纯形法求解线性规划问题时，经过每次换基，整个单纯形表都要重新制作，导致计算效率低故为了提高效率，只关注检验数进基向量和离基向量这样，虽然关注的数据少了，但关注的内容不变，因此大大提高了计算的有效性而确保找到最优解到现在为止，有很多改进的单纯形法出现，其主要思想就是采取更简捷方法来观察检验数进

基向量和离基向量，从而提高计算效率改进的单纯形法是Dantzig 于1954年提出的【10】

。

下面我们对改进单纯形法进行讨论，并对生产计划模型和投资模型进行计算。在单纯形法的迭代计算中计算了很多与迭代过程无关的数字。我们只用计算并找到最大正检验数确定进基变量，依据最小比值原则确定θ得到离基变量。因此，在前面的计算中实际用到的数字为各非基变量的检验数，新单纯性表中非基变量的系数向量及该表中基本可行解。对非基变量中不属于换入变量的各列数字迭代中没有用到，因此可以不必计算出来，从而节省每次迭代的计算工作量。当单纯形表中非基变量的个数越多时，用上述方法进行计算可以节省的计算工作量也越大。由于这种方法的基本原理同单纯形法一样，只不过在计算步骤上做了一点改进，故称改进单纯形法。

下面用改进单纯形法对例1进行计算其标准形式为

1234561231241526123456max 230000..221228416412

0,0,0,0,0,0

Z x x x x x x s t

x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++=++=+=+=≥≥≥≥≥≥

由此

21212840160412N b ?????????

???==????????????

（1）确定初始解

找出约束条件中的单位矩阵I 作为基，初始解

128(000)1612B B X b C ????

===??????

初始单纯形表中非基变量检验数

(23)N N B C C N σ=-=

其中最大数字为3，故对应的变量2x 是进基变量，又2x 列系数22204P ????

??=??????

1281212

min{

}32244θ=== 即6x 为出基变量。（2）第一次迭代

新的基变量为 34

52x x x x ??

??????????

1000.51

0001

000.50100.501000100.500100

01000100

00.250

00.25B ---????????????--?

???==??????

???

??????

34521000.51260100.582001016160000.25123B x x X x x -????????

????????-???

?????===????????

????????

??????

?? (0003)B

C =

非基变量检验数

'1111000.520

100.512(0003)20

01040

00.250N B c C B P σ--????

????-????=-=-=????

????

10.50.53(0003)044B x Y C B --????

-????-=-=-=-????????

最大正检验数为2，即1x 为进入变量，又1x 列的系数

21000.5220100.5110010440

00.2500P -??????

??????-?

?????==??????

??????

6216min{}2214θ==

即4x 为离基变量。 (3)第二次迭代

新的基变量为31

52x x x x ????????????

112001000.512

00.501000100.50100.50410001004

1200

00.250000.25B ----????????????--?

????

?==??????

--?

????

??????

3152120

0.51220100.58204121680000.25123B x x X x x -????????

????????-???

?????===????????

-???

?????

??????

?? (0203)B

C =

非基变量检验数

661200.5001

00.5010(0203)041204

0000.251N B c C B P σ--????

????-?

???=-=-=????-?

???

????

120.510.51(0203)(2)42400.25B x Y C B --????

-????-=-=-=????-????

最大的正检验数为1

，即6x 为进基变量，又6x 列的系数

单纯形法的综述及其应用-文献综述

毕业论文文献综述数学与应用数学单纯形法的综述及其应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 1.写作目的本文主要在于介绍单纯形法的历史背景，基本计算方法，改进的计算方法，以及单纯形法的应用．目的在于对单纯形法的历史背景，计算方法等进行综述，并总结单纯形法在生活各个领域的应用，单纯形法是求解线性规划问题很有效的方法，通过对单纯形法的进一步了解，最后提出一实际问题利用单纯法进行分析求解． 2.有关概念 LP 问题的一般形式[1] ()1122. Max min n n ob Z c x c x c x =+++L ()()()11112211 211222221122 12..: ,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x +++≤≥?? +++≤≥?? ??+++≤≥??≥? L L L L L 线性规划问题的标准型为[2] ()()()11221111221121122222 m1122 12min a a s.t.a 01,2,,,,,n n n n n n m mn n m j n S c x c x c x S x a x a x b x a x a x b x a x a x b x j n x x x =+++?+++=? +++=?? ??+++=??≥=? L L L L L L 为目标函数（1）为决策变量其矩阵形式为 min s.t.0 S CX AX b X ==?? ≥?（2）

其中，()12,,,n C c c c =L ，决策向量()()1212,,,,,,,T T n m X x x x b b b b ==L L ． A 为约束条件中的系数矩阵, 即 1112121 22212 n n m m mm a a a a a a A a a a ??????=??????L L M M M M L 本文除了介绍线性规划问题的一般形式、标准形式和矩阵形式以外还列举了一些定义. 定义1[3]：设矩阵A 的秩为m ，矩阵B 是A 中的一个m 阶满秩子方阵，则B 为一个基矩阵．矩阵A 中剩余元素组成的子阵为N ,即[]A BN =.把x 的分量相应地分成两部分，记成B x 和N x ，B x 的分量与B 的列对应，称为基变量；N x 的分量与N 中的列对应，称为非基变量．在约束Ax b =中令所有的非基变量取值为零时，得到解10B N x B b x x -?? ??==???????? ，称为相应于B 的基本解．定义2[3]：基本解得基变量都取非负值时，即满足1 0B x B b -=≥的基本解为基本可行解．定义3[4]：满足式（1）各约束条件的解()12,,,T n X x x x =L 称为可行解.全部可行解的集合称为可行域.目标函数1 min n j j j Z c x == ∑达到最大值的可行解称为最优解. 定义4[4]：设 A 为约束方程组1 (1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑的m n ?阶系数矩阵，设(n m >),其秩为m ，B 为矩阵A 中的一个m m ?阶的满秩子矩阵，称B 为线性规划问题的一个基.不失一般性，设 11111...(,...,)...m m m mm a a B a a αα?? ??==?? ???? M M B 中每一个向量(1,..,)j j m α=称为基向量；与基向量j α对应的变量j x 称为基变量. 基变量以外的的变量称为非基变量. 定义5[4] ：在约束方程组 1 (1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑中，令所有非基变量

单纯形法步骤例题详解

单纯形法演算 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 无穷 0 4x 24 6 2 0 1 0 4 0 5x 5 1 1 0 0 1 5 j j z c -（检验数） 2 1 首先列出表格，先确定正检验数最大值所在列为主列，然后用b 除以主列上对应的同行数字。除出来所得值最小的那一行为主行，根据主行和主列可以确定主元（交点）。接着把主元化为1并把X4换成X1. ??? ??? ?≥=++=++=+++++=0,,524261550002max 5152 14213 25 4321x x x x x x x x x x x x x x x z ??????? ≥≤+≤+≤+=0 ,5 24261552max 21212122 1x x x x x x x x x z

j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5 1 1 0 0 1 j j z c - 2 1 这时进行初等行列变换，把主列换单位向量，主元为1。也就是X5所在行减去X1所在行。并且重新计算检验数。 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5-4 1-1=0 1-2/6 =4/6 0-1/6=-1/6 1 j j z c - 2-2*1-0*0-0*1=0 1-0*5-2*2/6-0*4/6=1/3 0-0*0-2*1/6-0*-1/6=-1/3 再次确定主元。为4/6。然后把X5换成X2。并且把主元化成1。

使用单纯形法解线性规划问题

使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =-- 约束条件为： 123123 1312321142321,,0 x x x x x x x x x x x -+≤??-++≥?? -+=??≥? 用单纯形法列表求解，写出计算过程。解： 1）将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++ s.t.： 123412356 1371234567211 42321,,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-+=??-++=??≥? 2）找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表变量基变量 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 1 -2 1 1 0 0 0 11 x 6 -4 1 2 0 -1 1 0 3 x 7 -2 0 1 0 0 0 1 1 -f -3 1 1 3）换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表变量基变量 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 -7 5 1 -2 2 3

x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3 由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表变量基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x43-20100-110 x60100-11-21 x3-20100011 -f-110000-1-1 4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表变量基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x43001-22-512 x20100-11-21 x3-20100011 -f-10001-11-2 5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表变量基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x4-7051-22017 x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划是否是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)

(完整word版)单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表. ）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. ，并确定所在列的非基变量为进基变量. （1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号. 主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止. 例3 求.

解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8

（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，, 代入目标函数 , 经整理后，目标函数非基化了. 作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）. 最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变出基，非基变量进基. 换，基变量

单纯形法求最优解问题及一些知识点整理

单纯形法求最优解问题题目（老师布置的那道作业题）：2153m ax x x f +=，其中 ??? ??? ?=≥=++=+=+5,4,3,2,1,0182312245214 231j x x x x x x x x j ，求2153m ax x x f +=的最大值。这张表是根据题目画的，Cj （行向量）为5432100053m ax x x x x x f ++++=中各个变量的系数，Ci （列向量）为与X B （列向量）相对应的各项的系数，X B 称为基变量（3列，由题目中的方程个数决定），起初的基变量由构造的变量x3、x4、x5组成，b 为对应三个方程等式右边的常数，z j 为Ci 各列与xj 各列乘积的和，如z1=0*1+0*0+0*3=0。i θ为判别将哪个基变量换出的依据，根据c j -z j 为正，要先将x2换入XB 中，关键是判断x3、x4、x5哪个跟x2换，这就要根据各列各列除以2x B i X =θ，与所得的最小的i θ对应的XB 换，如上表可知x2跟x4换，换完之后注意原来x4所对应的列向量为[0 1 0]T ,故要将x2所对应的列向量变换为为[0 1 0]T ，注意b 也要跟着变化，于是得下表.

由上表知c 1-z 1=3>0，故仍需将x1换入XB 中，用各列各列除以2x B i X =θ，与所得的最小的i θ对应的XB 换，结合i θ可知，x1跟x5换，于是得下表。由上表可知c j -z j 均非正，故5432100053m ax x x x x x f ++++=取最大值时，????? ?? ?????????=00662x ，对应的最大值36max =f . 系统工程导论知识点整理：系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分(要素)结合的具有特定功能的有机整体。系统的特征：整体性、相关性、目的性、环境适应性。系统的功能是指系统与外部环境相互作用所反映的能力。结构是功能的内在根据，功能是结构的外在表现。系统功能的特性：易变性、相关性。系统工程就是用科学的方法规划和组织人力、物力、财力，通过最优途径的选择，使人们的工作在一定期限内收到最合理、最经济、最有效的效果。科学的方法：从整体观念出发，通盘筹划，合理安排整体中的每一个局部，以求得整体的最优规划、最优管理和最优控制，使每个局部都服从一个整体目标，力求避免资源的损失和浪费。

改进单纯形法matlab程序

clear clc X=[1 2 3 4 5]; A=[ 1 2 1 0 0; 4 0 0 1 0; 0 4 0 0 1]; C=[2 3 0 0 0 ]; b=[8;16;12]; t=[3 4 5]; B0=A(:,t); while 1 CB0=C(:,t); XN01=X; for i=1:length(t); for j=1:length(X); if XN01(j)==t(i) XN01(j)=0; end end end j=1; for i=1:length(X); if XN01(i)~=0 XN0(j)=XN01(i); j=j+1; end end for j=1:length(XN0); CN0(j)=C(XN0(j)); end N0=[]; for i=1:length(XN0); N0=[N0,A(:,XN0(i))]; end xiN0=CN0-CB0*B0*N0; j=1; z=[]; for i=1:length(xiN0) if xiN0(i)>0 z(j)=i; j=j+1; end end if length(z)+1==1; break; end n=1; for i=1:length(z) if z(i)>z(n) n=i; end end k=XN0(z(n));%换入变量 B=B0*b; P=B0*A(:,k); j=1; for i=1:length(P)

if P(i)>0 x(j)=i; j=j+1; end end y=1; for i=1:length(x) if B(x(y))/P(x(y))>B(x(i))/P(x(i)) y=i; end end y1=x(y); y=t(y1);%换出变量 for i=1:length(t) if t(i)==y m=i; break; end end t(m)=k; P2=B0*A(:,k); q=P2(y1); P2(y1)=-1; P2=-P2./q; E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; E(:,m)=P2; B0=E*B0; end CB0*B0*b

单纯形法求解原理过程

单纯形法需要解决的问题：如何确定初始基本可行解；如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降；如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为初始基本可行解中的一部分基本变量。例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵中可以看出其中有个标准基，即与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中，得：

F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为两步进行：第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量；第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。在目标函数表达式中，非基变量x1,x2的系数是负值可知，若x1,x2不取零而取正值时，则目标函数还可以下降。因此，只要目标函数式中还存在负系数的非基变量，就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的（即绝对值最大的负系数）非基变量x2换入基本变量，然后从x3，x4，x5中换出一个基本变量，并保证经变换后得到的基本变量均为非负。当x1=0，约束表达式为： X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出，只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时，原基本变量x4=0，其余x3和x5都满足非负要求。因此，可以将x2，x4互换。于是原约束方程式可得到：4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下： -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10

单纯形法及其应用

单纯形法及其应用摘要单纯形法是一种主要的解决线性规划问题的方法，它在生活的成本问题、交通选择或规划学术问题等方面得到广泛应用.本文系统的研究了单纯形法的相关概念以及原理.并阐述了用单纯形法解决线性规划问题的步骤与方法及不同方法的特殊性.正确的应用单纯形法解决问题能够提高准确率，从而进行合理的规划安排，使得效果或收益达到期待化或最优化. 关键词：单纯形法；单纯形表；最优性

The Simplex Method and its Application Abstract:Simplex method is a main to solve linear programming problems, it in life cost, the choice of traffic or academic planning problems are widely used. This paper study the simplex method of the related concepts and principles. It describes the steps and methods to use simplex method to solve linear programming problems, and the different method. Correct application of the simplex method problem solving is able to improve the accuracy, in order to carry out reasonable planning arrangements, makes the effect or income reached expectations or optimization. Keywords:simplex method;simplex tableau;optimality

单纯形法在经济管理中的应用

单纯形法在经济管理中的应用 [摘要]发展生产力,提高经济效益是人类发展不可或缺的要求，是合理利用现有的人力，物力资源,使经济效益达到最好的重要途径，而这些正是线性规划所研究的主要内容。本篇论文主要探讨单纯形法在经济管理中的应用，即应用单纯形法及其改进的方法来求解经济管理中的线性规划问题。详细介绍线性规划问题的基本思想和数学模型，深入研究单纯形法的原理和解法，将方法运用到生产计划模型和投资模型中。分析模型的求解结果，比较各种算法之间的优劣性，进一步说明单纯形法的实用性。 [关键字]线性规划单纯形法生产计划模型投资计划模型

The application of simplex method in economic management [Abstract]Development of productivity and economic efficiency are indispensable requirement of human development. Rational use of human and material resources is an important way to achieve the best economic benefits, which is the main contents the linear programming studies. This paper mainly discusses the application of the simplex method in economic management, namely Simplex method and the improved methods are applied to solving the economic management of the linear programming problem. The basic ideas and mathematical models of linear programming problems will be introduced in detail the research on the theory and solution of the simplex method is studied, and apply these methods to the production planning model and investment model . The results of the model will be analyzed. By comparing the advantages and disadvantages between various algorithms, the practicality of the simplex method is further illustrated. [Key words]Linear Programming Simplex Method Production planning model Investment Planning Model

图解法和单纯形法求解线性规划问题

图解法和单纯形法求解以下线性规划问题 1.1 图解法解线性规划问题只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大。 1.2 单纯形法解线性规划问题它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 1.3 线性规划问题的标准化使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式

使用单纯形法解线性规划问题

使用单纯形法解线性规划问题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =-- 约束条件为： 123123 1312321142321,,0 x x x x x x x x x x x -+≤??-++≥?? -+=??≥? 用单纯形法列表求解，写出计算过程。解： 1）将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++ .： 1234123561371234567211 42321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-+=??-++=??≥? 2）找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表 3）换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表

由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表 4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表 5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表

使用单纯形法解线性规划问题

使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =-- 约束条件为： 123123 1312321142321,,0 x x x x x x x x x x x -+≤??-++≥?? -+=??≥? 用单纯形法列表求解，写出计算过程。解： 1）将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++ s.t.： 123412356 1371234567211 42321,,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-+=??-++=??≥? 2）找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表 3）换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表

单纯形法的简述及应用

单纯形法的简述及应用摘要自1947年G.B.Dantzig提出单纯形法以来，他一直是求线性规划的最有效的计算方法。但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量。针对这一问题，本文提出了改进单纯形法（一），在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。本文针对线性规划问题在变量和约束的个数较多时，传统单纯形法占据较大的内存空间，且有不少多余计算的情况提出改进单纯形法（二），能以较少的计算量及较小的占用存储空间方法从基的逆矩阵计算出新基的逆矩阵。从而既能使迭代过程持续进行下去，又能克服上述单纯形法的不足，是解决这些问题的一种实用且较有效的方法。关键词：线性规划、单纯形法、基本可行解、初等变换。绪论引言运筹学是近六十年发展起来的一门学科。运筹学在生产管理、工程技术、军事作战、科学实验。财政经济。社会科学以及自然科学和其他学科都应经取得了很多令人瞩目的成果。线性规划是运筹学的一个重要分支，是运筹学中最重要的一种数量方法，其应用范围非常广泛。主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有力的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。从数学的角度来说，也就是在对决策变量施加一组线性等式、不等式以及等号的约束下，求决策变量的线性目标函数的最大化和最小化。与其他的数学学科相比，线性规划是一个相当年轻又非常活跃的应用数学分支。自从一般线性规划问题求解的方法——单纯形法被提出之后，线性规划在理论上趋向成熟，在使用中日益广发与深入。线性规划的广泛应用以及涉及到的数学理论和计算方法，都引起了专业人员和学者们的很大兴趣。线性规划基础及单纯形法线性规划问题及数学模型凡是同时满足以下三个条件的问题，就叫做线性规划问题：（1）可用一些变量表示问题的待定方案，这些变量的一组定值就代表一个具体的方案。因此，可将这些变量称为决策变量，并往往要求它们为非负的。（2）存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于决策变量的线性等式或线性不等式来表示。（3）有一个期望达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示，根据具体问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。线性规划就是研究并解决上述问题的一种理论和方法。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学期望，简称线性规划模型。期一般形式如下：

单纯形法例题讲解

例1 max z=2x1+3x2 （标准形式即所有的变量均为负、所有约束条件为等式、所有的右端项系数非负） a=(2,3) b1=(80,160,120) A2=NULL b2=NULL A3=NULL b3=NULL n.iter=n+2*m maxi=TRUE ● simplex(a=a,A1=A1,b1=b1,maxi=TRUE)： m1=3,m2=0,m3=0 m=3,n=2 a.o=a=(2,3) if(maxi) a=-a(-2,-3) if(m2+m3==0) a=(-2,-3,0,0,0) b=(80,160,120) init=(0,0,0,80,160,120) basic=(3,4,5) eps=1e -10 out1<-simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps) ? simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps): N=5,M=3 nonbasic=(1,2) if(stage==2) obfun=(-2,-3) it=1 ◆ while(!all(obfun > -eps) && (it <= n.iter))循环 pcol=3 if(stage==2) neg=(1,3) x1+2x2<=80 4x1<=160 4x2<=120 x1，x2>=0 A1= 1 2 4 0 0 4 A= 1 2 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1 tableau= 80 -1 -2 160 -4 0 120 0 -4 tableau= 80 -1 -2 160 -4 0 120 0 -4 0 -2 -3 转化为标准形式 x1+2x2+x3=80 4x1+x4=160 4x2+x5=120 x1,x2,x3,x4,x5>=0

单纯形法在线性规划中的应用

单纯形法在线性规划中的应用摘要求解线性规划问题，就是在各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期的目标达到最优。本文重点介绍了求解线性规划问题目前最常见的两种方法，图解法和单纯形法。图解法适合于只含两个变量的线性规划问题，文中只做了简单的描述。而单纯形法是求解线性规划问题的通用方法，适合于求解大规模的线性规划问题，本文作了重点描述，对单纯形法中的基本概念如基变量、非基变量、基向量、非基向量、可行基以及基本可行解等概念作了详细的陈述，在此基础上，介绍了线性规划问题的标准化、单纯形法的基本原理、确定初始可行解、最优性检验、解的判别、基本可行解的改进、换入变量的确定-最大增加原则、换出变量的确定-最小比值原则、表格单纯形法、大M法、两阶段法等。关键词：线性规划图解法单纯形法基变量基向量可行基基本可行解

正文引言在生产管理和经济活动中，经常遇到这些问题，如生产计划问题，即如何合理利用有限的人、财、物等资源，以便得到最好的经济效果；材料利用问题，即如何下料使用材最少；配料问题，即在原料供应量的限制下如何获取最大利润；劳动力安排问题，即如何用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题，即如何制定调运方案，使总运费最小；投资问题，即从投资项目中选取方案，使投资回报最大等等。对于这些问题，都能建立相应的线性规划模型。事实上，线性规划就是利用数学为工具，来研究在一定条件下，如何实现目标最优化。解线性规划问题目前最常见的方法有两种，图解法和单纯形法。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。 1 线性规划问题的求解方法 1.1 图解法解线性规划问题只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x 1为横坐标轴，x 2 为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。然而，图解法虽然直观、简便，但当变量数多于三个以上时，其实用意义不大。

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive();其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行 void PrintAnswer();数不合法"<

线性规划单纯形法例题

《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》 ??? ??≥=++=+++++=?? ? ??≥≤+≤++=0,,,24 261553).(002max ,,0,24 261553).(2max 14.1843214213 214 321432121212 1x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x )1000(00)0010(01 )2050(12)6030(24321=?+?-==?+?-==?+?-==?+?-=σσσσ 为出基变量。为进基变量，所以选择41x x

3 /1)6/122/10(00 )0210(03 /1)3/1240(10)1200(24321-=?+-?-== ?+?-==?+?-==?+?-=σσσσ 为出基变量。为进基变量，所以选择32x x 24 /724/528/11012/112/124/1100 021110120124321-=?+-?-=-=-?+?-==?+?-==?+?-=）（）（）（）（σσσσ 433 4341522max ,)4 3,415( ),(2112= +?=+===x x z x x X T T 故有：所以，最优解为

??? ??? ?≥=+ +=+=+ ++++=?????? ?≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0 ,182312212 ).(52max 24.185432152142315 43215432121212 1x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。分别用图解法和单纯形）】（页【 )000010(00001000000000100520200052300010254321=?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-=σσσσσ）（）（）（）（为出基变量。为进基变量，所以选择42x x

用单纯形法求解线性规划问题

目录一．摘要 (2) 二．实验目的 (2) 三．实验内容 (2) 四．建立数学模型 (3) 五．实验原理 (5) 六．MALTAB程序代码及注释 (7) 七．结果运行测试 (13) 八．心得与感悟 (15)

一．摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法,英文缩写LP。自1946年G.B.Dantizig提出单纯形法以来，它一直是求解线性规划问题的最有效的数学方法之一。单纯形法的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n 维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。通过引入普通单纯形法，依次迭代并判断，逐步逼近，最后得到最优解。若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。关键字：线性规划，单纯形法，最优值，最优解二．实验目的： 1.加强学生分析问题能力，锻炼数学建模能力。 2.了解并掌握MATLAB软件中的线性规划问题的编程、求解和分析。 3.利用所学的MALTAB语言，完成对单纯形法问题的编程设计。三．实验内容：某商场决定，营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息，据统计，商场每天需要营业员如下：星期一：300，二：300；三：350，四：400，五：480，六：600；日：500；（1）商场人力资源部应如何安排每天上班的人数才能使商场总的营业员最少（2）若商场可以雇佣临时工，上班时间同正式工，若正式工每天工资80，临时工每天100，问商场是否应雇佣临时工及雇佣多少名？