摘要：通过分析整体变分模型的去噪原理和效果，提出一个新的四阶偏微分方程去噪模型，用于克服二阶偏微分方程去噪后使图像分块的缺点，同时保持去噪后图像的高保真性，并发展一个基于四邻域系统的对称离散化算法用于求解新模型，应用中值滤波去除四阶偏微分方程去噪所引起的亮点。实验结果表明，与传统方法相比，以该算法去噪后的图像具有更好的质量和视觉效果。关键词：图像去噪；整体变分模型；四阶偏微分方程模型Symmetric Fourth-order Partial Differential Equations De-noising Algorithm CHEN Bo1, ZHANG Li-wei2 (1. College of Mathematical and Computational Science, Shenzhen University, Shenzhen 518060; 2. Shenzhen Institute of Advanced Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenzhen 518067) 【Abstract】This paper analyses the theory and effects of Total Variation(TV) model for noise removal and proposes a new fourth-order Partial Differential Equations(PDE) de-nosing model to avoid the blocky effects of second-order PDE model, while preserving edges.
A symmetric discrete algorithm based on four-neighbor system is developed to solve the new model. Median filtering is applied to alleviate the speckle effects in the processed image at last. Experimental results show that the new algorithm is better, compared with traditional methods. 【Key words】image de-noising; Total Variation(TV) model; fourth-order Partial Differential Equations(PDE) model
1 图像去噪是图像处理中的基本问题，是很多机器视觉任务(如物体检测和识别)重要的预处理阶段，目标是从退化图像中尽可能地估计出原始图像。给定一个退化图像u0 ∈ Rn ，不妨考虑加性噪声，即u = u true + n ，其中，utrue是真实图像；n是噪声。图像去噪的0 概述目标是尽可能准确地恢复出真实图像utrue，同时在近似图像u 中，保持原始图像重要的特征信息。也就是说，去噪过程的难点之一是保持和加强原图像的重要特征。对图像而言，图中物体的边界是最普遍和重要的特征之一。通过线性滤波去噪通常效果不佳，这是因为噪声和边缘都有高频的特性。因此，非线性滤波方法是必要的。中值滤波[1]是典型的非线性滤波，基于小波分析的滤波器[2-3]也发展迅速。同时，基于偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE)的非线性散射滤波模型[4-8] 也在图像去噪领域取得了巨大的成功。其中，比较著名的如整体变分(Total Variation, TV) 模型[9-10] ，在图像恢复问题中有很多成功的应用，不仅能解决基本的图像去噪难题，而且能用于图像去模糊、图像修补等。变分框架将这些图像处理问题转变为最小化一个特定的能量泛函，然后应用变分方法使其转化为求解一个有一定边界条件的偏微分方程问题。如图 1 所示，传统去噪方法(如维纳滤波、中值滤波)在去除噪声的同时会模糊图像，而TV 模型在去噪的视觉效果和边缘等细节的保持上优于传统滤波。去噪模型本质上是TV 一个针对图像本身的二阶偏微分方程处理模型，但二阶偏微分方程模型在进行图像去噪时会产生分块效应，如图1(e)、图1(f)所示。—188— (a)均值为0、方差为0.01 的高斯噪声图像(b)0.04 的乘积噪声图像(c)对图1(a)的维纳滤波图像(d)对图1(b)的维纳滤波图像(e)TV 模型对图1(a)的滤波图像(f)TV 模型对图1(b)的滤波图像图 1 去噪效果比较为了解决这一问题，可以考虑使用四阶偏微分方程[11]。基金项目：深圳大学科研启动基金资助项目(200863) 作者简介：陈波(1979－)，男，讲师、博士，主研方向：图像处理，模式识别；张立伟，博士研究生对于灰度渐变的区域，四阶PDE并不会像二阶PDE那样把图像变成几个灰度值不同的色块，而是将它平滑成一个灰度渐变的区域，在这块区域内梯度恒定。虽然与真实图像的灰度变化不一定相同，但它一般不会产生额外的边缘，与二阶PDE 相比，四阶PDE具有更好的视觉效果。行了实验。通过信噪比(PSNR)比较图像质量。对于上文的Lena 图像，分别加入方差为0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05 的高斯白噪声，然后分别应用文献[11]的算法和本文算法进行恢复。在实验中，
2 种算法都取λ = 0.01, ?t = 2 。图
3 给出了比较结果，可以看出，本文的算法是有效的。26.0 25.5 2 一种新的四阶PDE 去噪模
型考虑如下能量函数：E ( u ) = ∫∫? ( f ? u + 2 信噪比/dB ( ) λ 2 | u ? u | )dxdy 0 2 (1) 25.0 24.5 24.0 23.5 23.0 22.5 22.0 0.01 本文方法其中，?是图像区域；调节参数λ(>0)是一个Lagrange 乘数，且是一个预先给定的常数，定义了能量函数中 2 项所占的权重；u0为带噪图像；?
2 表示拉普拉斯算子；f必须是非负函数且严格单调递增。最小化这样一个能量函数相当于找一个最小的? u ，即平滑图像u，且保持u与u 接近。其对应的2 文献[11]方法0 Euler-Lagrange方程为? 2 ( f ' ( ? 2u ) sign ( ? 2u )) +λ (u ? u 0 ) = 0 ，其中，sign 为符号函数，从而得到? (f ' ? u 2 2 0.02 0.0
3 噪声方差0.0
4 0.0
5 图3 与传统算法去噪效果的比较( ) ? u ) +λ (u ? u ) = 0 0 2 ? 2u 令c(s) = f '( s ) ? 2 (c ? 2u ? 2u ) +λ (u ? u 0 ) = 0 ( s ，则上面方程化为对加入方差为0.01 高斯白噪声的Peppers 图进行恢复，如图 4 所示。分别用文献[11]方法和本文算法去噪，其中的参数均取λ = 0.01, ?t = 2, k = 5 ，经过30 次迭代。通过实验知(2) ) 引入时间t ，应用梯度下降法求解上述Euler-Lagrange 方程，得?u = ??
2 (c ? 2u ? 2u ) ? λ (u ? u 0 ) ?t 道，本文算法的视觉效果优于传统方法。最后用简单的中值滤波去除恢复后图像中的亮点，如图4(d)所示。( ) (3) 最后离散化迭代求解上述方程即可。
3 在保证离散化的正确性的同时，应使离散化结果尽量简单对称。这里应用一个基于四邻域结构(如图 2 所示)的简单对称差分程序进行离散化迭代求解。(i-1, j) 新模型的对称离散化(a)均值为0、方差为0.01 的高斯噪声图像(b)以文献[11]的方法恢复后的效果(i, j-1) (i, j) (i, j+1) (i+1, j) 图2 2 四邻域图像结构(c)用本文方法恢复后的效果(d)对图4(c)中值滤波后的效果在中心点，离散化? u 为?u 2 i, j 图
4 Peppers 去噪效果= ui+1, j + ui?1, j + ui , j +1 + ui , j ?1 ? 4ui , j h2 (4) 其中，h 为离散化空间步长。将式(3)离散化后，迭代公式为u n+1 = u n ? ?t (? 2 (c ? 2u n ? 2u n ) +λ (u n ? u 0 )) ( ) (5) 表1 显示了在对Peppers 图像去噪时，时间步长t 与参数k 对算法效果的影响(均应用30 次迭代，效果通过信噪比体现)。由表1 可知，当t=1, k=7 时，去噪效果较好。表1 t k=
5 25.483 0 26.035 4 25.172 8 其中，?t 为离散化时间步长。类似于文献[11]，可以令c (s) = 1 1+ ( s / k ) 2 参数对去噪效果的影响信噪比/dB k=
6 k=
7 26.237 4 26.45
8 2 25.555 4 25.051
9 24.499 3 23.923 1 k=8 26.382 8 24.623 1 23.467 3 (6) 1 2 3 其中，k 为参数。因此，对称四阶PDE 去噪算法可以归结为：(1)给定参数λ, k、离散化空间步长h、时间步长△t，初始化u；(2)应用式(4)计算? 2u 及? 2u ；(3)应用式(6)计算c ? 2u n ；(4)应用式(5)进行迭代计算；重复步骤(2)~步骤(4)，直到收敛。5 ( ) 4 实验结果和分析本文应用Matlab 对不同的图像，不同高斯白噪声强度进图像恢复通常是图像分割、压缩等后续处理中必要的预处理步骤，除非能为驱动方程选择恰当的参数并用合适的数值算法进行离散化，否则基于变分框架的图像处理效果不佳。为了保持去噪后图像的高保真性、解决去噪后图像分块的问（下转第209 页）—189—结束语
偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)
北京科技大学计算机与通信工程学院 实验报告 实验名称：《数字图像处理》课程实验 学生姓名：徐松松 专业：计算机科学与技术 班级：计1304 学号：41345053 指导教师：王志明 实验成绩： 实验时间：2016 年12 月15 日
一、实验目的与实验要求 1、实验目的 1. 熟悉图像高斯、脉冲等噪声的特点,以及其对图像的影响; 2. 理解图像去噪算法原理,并能编程实现基本的图像去噪算法,达到改善图像质量的效果,并能对算法性能进行简单的评价。 3. 理解图像分割算法的原理，并能编程实现基本的灰度图像分割算法，并显示图像分割结果。 2、实验要求 1. 对于给定的两幅噪声图像(test1.jpg, test 2.jpg),设计或选择至少两种图像滤波算法对图像进行去噪。 2.利用给出的参考图像(org1.jpg, org2.jpg),对不同算法进行性能分析比较。 3. 对于给定的两幅数字图像（test.jpg,test 4.jpg），将其转换为灰度图像，设计或选择至少两种图像分割算法对图像进行分割，用适当的方式显示分割结果，并对不同算法进行性能分析比较。 二、实验设备（环境）及要求 1. Mac／Windows计算机 2. Matlab编程环境。 三、实验内容与步骤 1、实验1 （1）实验内容 1. 对于给定的两幅噪声图像(test1.jpg, test 2.jpg), 设计或选择至少两种图像滤波算法对图像进行去噪。 2. 利用给出的参考图像(org1.jpg, org2.jpg), 对不同算法进行性能分析比较。（2）主要步骤 1. 打开Matlab编程环境; 2. 利用’imread’函数读入包含噪声的原始图像数据; 3. 利用’imshow’函数显示所读入的图像数据;
引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，
基于偏微分方程(PDE)的图 像去噪
/ZJ r 目录 Z 7辭微分方程图像处理发展过程 戈石微分方程图像处理数学基础 唇?三、偏微分方程图像处理的优缺点及应用 ■■结构 ? ■、偏微分方程去噪问题的研究 ? 4.1各向同性扩散（热扩散模型） 4?2 P ?M 非线性扩散 ?五、偏微分方程其他方面的简略介绍
在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像 处理研究领域占据着重要地位。 徧微分方程图像处理发展过 程
?使刑偏微分方程处理图像的思想可以追溯Gabor 和Jain。 但是这种方法真正建立起来是Koenderind 丁和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺」度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把】一组图像同时在多个尺度上表述。 ?他们的贡献在很大程度上构成了偏微分方程图像处理理论的基础。在他们的研究工作中，图像的多尺度表示是通过高斯平滑来获得的，这等价于利用经典的热传导方程来演化图像得到一个各向同性扩散流』匸在0）年代末， Hummel提出热传导方程并不厂是唯一可以产
生尺度空间的抛物方程，并 提出构成尺度空间的准则:只要满足最大原则的演化方程就可以定义一个尺度空间。 ? Perona和Malik提出各向异性扩散方程在这个领域最具有影响力。他们提出用一个保持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian 扩散。他们的工作引发了很多理论和实际问题的研究。 ? Osher和他的研究小组提出了几何制约的偏k微分方程，其中最著名的是曲率流。 ,?曲率流是“纯粹的”各向异性扩散模型， '它使图像灰度值的扩散只发生在图像梯度的正交
数字图像处理实验报告
实验一 数字图像的基本操作和灰度变换 一、 实验目的 1. 了解数字图像的基本数据结构 2. 熟悉Matlab 中数字图像处理的基本函数和基本使用方法 3. 掌握图像灰度变换的基本理论和实现方法 4. 掌握直方图均衡化增强的基本理论和实现方法 二、实验原理 1. 图像灰度的线性变换 灰度的线性变换可以突出图像中的重要信息。通常情况下，处理前后的图像灰度级是相同的，即处理前后的图像灰度级都为[0，255]。那么，从原理上讲，我们就只能通过抑制非重要信息的对比度来腾出空间给重要信息进行对比度展宽。 设原图像的灰度为),(j i f ，处理后的图像的灰度为),(j i g ，对比度线性展宽的原理示意图如图1.1所示。假设原图像中我们关心的景物的灰度分布在[a f ， b f ]区间内，处理后的图像中，我们关心的景物的灰度分布在[a g ，b g ]区间内。在这里)(a b g g g -=?()b a f f f >?=-，也就是说我们所关心的景物的灰度级得到了展宽。 根据图中所示的映射关系中分段直线的斜率我们可以得出线性对比度展 b g a g a b )j 图1.1 对比度线性变换关系
宽的计算公式： ),(j i f α， a f j i f <≤),(0 =),(j i g a a g f j i f b +-)),((， b a f j i f f <≤).,( （1-1） b b g f j i f c +-)),((， 255),(<≤j i f f b （m i ,3,2,1 =；n j ,3,2,1 =） 其中，a a f g a = ，a b a b f f g g b --=，b b f g c --=255255，图像的大小为m ×n 。 2. 直方图均衡化 直方图均衡化是将原始图像通过某种变换，得到一幅灰度直方图为均匀分布的新图像的方法。 离散图像均衡化处理可通过变换函数： 来实现。 三、实验步骤 1.图像灰度线性变换的实现 (1)读入一幅灰度图像test1.tif ，显示其灰度直方图。 新建M 文件，Untitled1.m ，编辑代码如下。 得到读入图像test1和它的灰度直方图。
第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,,f t t t t L 上的解，则令tspan 012[,,,]f t t t t =L (要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.
偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)
图像处理实验报告 姓名：陈琼暖 班级：07计科一班 学号：20070810104
目录： 实验一：灰度图像处理 (3) 实验二：灰度图像增强 (5) 实验三：二值图像处理 (8) 实验四：图像变换 (13) 大实验：车牌检测 (15)
实验一：灰度图像处理题目：直方图与灰度均衡 基本要求： （1） BMP灰度图像读取、显示、保存； （2）编程实现得出灰度图像的直方图； （3）实现灰度均衡算法. 实验过程： 1、BMP灰度图像读取、显示、保存； ?图像的读写与显示操作：用imread( )读取图像。 ?图像显示于屏幕：imshow( ) 。 ?
2、编程实现得出灰度图像的直方图； 3、实现灰度均衡算法； ?直方图均衡化可用histeq( )函数实现。 ?imhist(I) 显示直方图。直方图中bin的数目有图像的类型决定。如果I是个灰度图像，imhist将 使用默认值256个bins。如果I是一个二值图像，imhist使用两bins。 实验总结： Matlab 语言是一种简洁，可读性较强的高效率编程软件，通过运用图像处理工具箱中的有关函数,就可以对原图像进行简单的处理。 通过比较灰度原图和经均衡化后的图形可见图像变得清晰，均衡化后的直方图形状比原直方图的形状更理想。
实验二：灰度图像增强 题目：图像平滑与锐化 基本要求： （1）使用邻域平均法实现平滑运算； （2）使用中值滤波实现平滑运算； （3）使用拉普拉斯算子实现锐化运算. 实验过程： 1、 使用邻域平均法实现平滑运算； 步骤：对图像添加噪声，对带噪声的图像数据进行平滑处理； ? 对图像添加噪声 J = imnoise(I,type,parameters)
摘要：通过分析整体变分模型的去噪原理和效果，提出一个新的四阶偏微分方程去噪模型，用于克服二阶偏微分方程去噪后使图像分块的缺点，同时保持去噪后图像的高保真性，并发展一个基于四邻域系统的对称离散化算法用于求解新模型，应用中值滤波去除四阶偏微分方程去噪所引起的亮点。实验结果表明，与传统方法相比，以该算法去噪后的图像具有更好的质量和视觉效果。关键词：图像去噪；整体变分模型；四阶偏微分方程模型Symmetric Fourth-order Partial Differential Equations De-noising Algorithm CHEN Bo1, ZHANG Li-wei2 (1. College of Mathematical and Computational Science, Shenzhen University, Shenzhen 518060; 2. Shenzhen Institute of Advanced Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenzhen 518067) 【Abstract】This paper analyses the theory and effects of Total Variation(TV) model for noise removal and proposes a new fourth-order Partial Differential Equations(PDE) de-nosing model to avoid the blocky effects of second-order PDE model, while preserving edges. A symmetric discrete algorithm based on four-neighbor system is developed to solve the new model. Median filtering is applied to alleviate the speckle effects in the processed image at last. Experimental results show that the new algorithm is better, compared with traditional methods. 【Key words】image de-noising; Total Variation(TV) model; fourth-order Partial Differential Equations(PDE) model 1 图像去噪是图像处理中的基本问题，是很多机器视觉任务(如物体检测和识别)重要的预处理阶段，目标是从退化图像中尽可能地估计出原始图像。给定一个退化图像u0 ∈ Rn ，不妨考虑加性噪声，即u = u true + n ，其中，utrue是真实图像；n是噪声。图像去噪的0 概述目标是尽可能准确地恢复出真实图像utrue，同时在近似图像u 中，保持原始图像重要的特征信息。也就是说，去噪过程的难点之一是保持和加强原图像的重要特征。对图像而言，图中物体的边界是最普遍和重要的特征之一。通过线性滤波去噪通常效果不佳，这是因为噪声和边缘都有高频的特性。因此，非线性滤波方法是必要的。中值滤波[1]是典型的非线性滤波，基于小波分析的滤波器[2-3]也发展迅速。同时，基于偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE)的非线性散射滤波模型[4-8] 也在图像去噪领域取得了巨大的成功。其中，比较著名的如整体变分(Total Variation, TV) 模型[9-10] ，在图像恢复问题中有很多成功的应用，不仅能解决基本的图像去噪难题，而且能用于图像去模糊、图像修补等。变分框架将这些图像处理问题转变为最小化一个特定的能量泛函，然后应用变分方法使其转化为求解一个有一定边界条件的偏微分方程问题。如图 1 所示，传统去噪方法(如维纳滤波、中值滤波)在去除噪声的同时会模糊图像，而TV 模型在去噪的视觉效果和边缘等细节的保持上优于传统滤波。去噪模型本质上是TV 一个针对图像本身的二阶偏微分方程处理模型，但二阶偏微分方程模型在进行图像去噪时会产生分块效应，如图1(e)、图1(f)所示。—188— (a)均值为0、方差为0.01 的高斯噪声图像(b)0.04 的乘积噪声图像(c)对图1(a)的维纳滤波图像(d)对图1(b)的维纳滤波图像(e)TV 模型对图1(a)的滤波图像(f)TV 模型对图1(b)的滤波图像图 1 去噪效果比较为了解决这一问题，可以考虑使用四阶偏微分方程[11]。基金项目：深圳大学科研启动基金资助项目(200863) 作者简介：陈波(1979－)，男，讲师、博士，主研方向：图像处理，模式识别；张立伟，博士研究生对于灰度渐变的区域，四阶PDE并不会像二阶PDE那样把图像变成几个灰度值不同的色块，而是将它平滑成一个灰度渐变的区域，在这块区域内梯度恒定。虽然与真实图像的灰度变化不一定相同，但它一般不会产生额外的边缘，与二阶PDE 相比，四阶PDE具有更好的视觉效果。行了实验。通过信噪比(PSNR)比较图像质量。对于上文的Lena 图像，分别加入方差为0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05 的高斯白噪声，然后分别应用文献[11]的算法和本文算法进行恢复。在实验中， 2 种算法都取λ = 0.01, ?t = 2 。图 3 给出了比较结果，可以看出，本文的算法是有效的。26.0 25.5 2 一种新的四阶PDE 去噪模
课程编号：MTH17178 北京理工大学2016-2017学年第一学期 2014级偏微分方程期终考试（A ） 1.（10分）利用特征线方法求解一阶波动方程初值问题：()22,,0,0,t x x u u u x t u x e x -+=∈>???=∈?? 。 2.（10分）利用Fourier 变换方法求解：()() (),,,0,0,t x u bu cu f x t x t u x x x ?--=∈>???=∈?? 。 3.（10分）利用行波法求解：()()()()0,,,0,,0 tt xx u u t x u x x x x u x x x x ?ψ?-=>?-=?。 给出适当的相容性条件。如果?在(],0a -上给定，ψ在[)0,b 上给定，给出其决定区域。 4.（15分）求解初边值问题：()()()20,01,00,0,1,0,0,0,01 t xx x x u a u u x t u t u t t u x A x ?-+=<<>?==>??=<?==∈??=+=≥? 推导边界条件齐次化的公式（不需要解方程）。 6.（13分）对于有界区域()(],0,T Q a b T =?上的热方程()2 ,0t xx u a u c x t u -+=，其中(),c x t 下有界，证明如果(),u x t 在抛物边界上非正，则(),u x t 在T Q 上非正。 7.（15分）考虑波动方程初边值问题[]()()()()[]()()()20,0,,0,0,,0,0,0,0,,,0,0 tt xx t x x u a u x L t u x x u x x x L u t u L t u L t t ?ψσ?-=∈>?==∈??=+=≥?，其中 0σ>，令t 时刻的能量()()()22222011,22 L t x E t u a u dx a u L t σ=++?，证明()E t 守恒，并由此证明相应的一般非齐次方程非齐次初边值问题的解的唯一性。 8.（20分）设() ()1,02,1T T u C Q C Q ∈ 且满足初边值问题()()()()[]()()[] ,,,,0,0,0,,0,0,t xx T x u u f x t x t Q u x x x L u t u L t t T ??-=∈?=∈??==∈?，证明：[]()()()()22220000000,sup ,,,L T L L T L x t T u x t dx dt u x t dx M x dx dt f x t dx ?∈??+≤+??????????，其中M 仅依赖于T 。 提示：Gronwall 不等式：设(][]1 0,0,G C T C T ∈ ，()00G =，且对于任意的[]0,t T ∈，有()()()G t CG t F t '≤+，其中C>0，F 非负单调递增，则有 ()()()()()11,Ct Ct G t C e F t G t e F t -'≤-≤。
实验报告 课程名称医学图像处理 实验名称图像分割 专业班级 姓名 学号 实验日期 实验地点 2015—2016学年度第 2 学期
050100150200250 图1 原图 3 阈值分割后的二值图像分析：手动阈值分割的阈值是取直方图中双峰的谷底的灰度值作为阈值，若有多个双峰谷底，则取第一个作为阈值。本题的阈值取
%例2 迭代阈值分割 f=imread('cameraman.tif'); %读入图像 subplot(1,2,1);imshow(f); %创建一个一行二列的窗口，在第一个窗口显示图像title('原始图像'); %标注标题 f=double(f); %转换位双精度 T=(min(f(:))+max(f(:)))/2; %设定初始阈值 done=false; %定义开关变量，用于控制循环次数 i=0; %迭代，初始值i=0 while~done %while ~done 是循环条件，~ 是“非”的意思，此 处done = 0; 说明是无限循环，循环体里面应该还 有循环退出条件，否则就循环到死了; r1=find(f<=T); %按前次结果对t进行二次分 r2=find(f>T); %按前次结果重新对t进行二次分 Tnew=(mean(f(r1))+mean(f(r2)))/2; %新阈值两个范围内像素平均值和的一半done=abs(Tnew-T)<1; %设定两次阈值的比较，当满足小于1时，停止循环， 1是自己指定的参数 T=Tnew; %把Tnw的值赋给T i=i+1; %执行循坏，每次都加1 end f(r1)=0; %把小于初始阈值的变成黑的 f(r2)=1; %把大于初始阈值的变成白的 subplot(1,2,2); %创建一个一行二列的窗口，在第二个窗口显示图像imshow(f); %显示图像 title('迭代阈值二值化图像'); %标注标题 图4原始图像图5迭代阈值二值化图像 分析：本题是迭代阈值二值化分割，步骤是：1.选定初始阈值，即原图大小取平均；2.用初阈值进行二值分割；3.目标灰度值平均背景都取平均；4.迭代生成阈值，直到两次阈值的灰 度变化不超过1，则稳定；5.输出迭代结果。
有限差分法求解偏微分方程M A T L A B
南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨 学号： 115104000545 成绩： 有限差分法求解偏微分方程
一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程： 22(,)()u u f x t t x αα??-=??其中为常数 具体求解的偏微分方程如下： 22001 (,0)sin()(0,)(1,)00 u u x t x u x x u t u t t π???-=≤≤?????? =??? ==≥??? 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2 100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下：
《偏微分方程》期末考试复习 一、波动方程(双曲型方程)U tt -a 2U xx 二f (x,t) (一)初值问题(柯西问题) < 2 U tt —a U xx = f(x,t) 1、一维情形 Ut t^a (x) (1) 解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之 和， * 2 * 2 U tt —a U xx =o U tt —a U xx = f (x,t) (i) J U t^=
②决定区域：区间［x1，X2】的决定区域为：{(x,t)|捲? at込x込X2-at}
摘要： 图像处理，用计算机对图像进行分析，以达到所需结果的技术。又称影像处理。基本内容图像处理一般指数字图像处理。数字图像是指用数字摄像机、扫描仪等设备经过采样和数字化得到的一个大的二维数组，该数组的元素称为像素，其值为一整数，称为灰度值。图像处理技术的主要内容包括图像压缩，增强和复原，匹配、描述和识别3个部分。图像处理一般指数字图像处理。 数字图像处理的目的是改善图像的质量，它以人为对象，以改善人的视觉效果为目的。目前，图像处理演示系统应用领域广泛医学、军事、科研、商业等领域。因为数字图像处理技术易于实现非线性处理，处理程序和处理参数可变，故是一项通用性强，精度高，处理方法灵活，信息保存、传送可靠的图像处理技术。本图像处理演示系统以数字图像处理理论为基础，对某些常用功能进行界面化设计，便于初级用户的操作。 设计要求 可视化界面，采用多幅不同形式图像验证系统的正确性； 合理选择不同形式图像，反应各功能模块的效果及验证系统的正确性 对图像进行灰度级映射，对比分析变换前后的直方图变化； 1.课题目的与要求 目的： 基本功能：彩色图像转灰度图像 图像的几何空间变换：平移，旋转，剪切，缩放 图像的算术处理：加、减、乘 图像的灰度拉伸方法（包含参数设置）； 直方图的统计和绘制；直方图均衡化和规定化； 要求： 1、熟悉图像点运算、代数运算、几何运算的基本定
义和常见方法； 2、掌握在MTLAB中对图像进行点运算、代数运算、几何运算的方法 3、掌握在MATLAB中进行插值的方法 4、运用MATLAB语言进行图像的插值缩放和插值旋转等 5、学会运用图像的灰度拉伸方法 6、学会运用图像的直方图设计和绘制；以及均衡化和规定化 7、进一步熟悉了解MATLAB语言的应用，将数字图像处理更好的应用于实际2.课题设计内容描述 1>彩色图像转化灰度图像： 大部分图像都是RGB格式。RGB是指红，绿，蓝三色。通常是每一色都是256个级。相当于过去摄影里提到了8级灰阶。 真彩色图像通常是就是指RGB。通常是三个8位，合起来是24位。不过每一个颜色并不一定是8位。比如有些显卡可以显示16位，或者是32位。所以就有16位真彩和32位真彩。 在一些特殊环境下需要将真彩色转换成灰度图像。 1单独处理每一个颜色分量。 2.处理图像的“灰度“，有时候又称为“高度”。边缘加强，平滑，去噪，加 锐度等。 3.当用黑白打印机打印照片时，通常也需要将彩色转成灰白，处理后再打印 4.摄影里，通过黑白照片体现“型体”与“线条”，“光线”。 2>图像的几何空间变化： 图像平移是将图像进行上下左右的等比例变化，不改变图像的特征，只改变位置。 图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍，在y轴按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。如果fx=fy，即在x轴方向和y轴方向缩放的比率相同，称这样的比例缩放为图像的全比例缩放。如果fx≠fy，图像的比例缩放会改变原始图象的像素间的相对位置，产生几何畸变。 旋转。一般图像的旋转是以图像的中心为原点，旋转一定的角度，也就是将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。旋转后图像的的大小一般会改变，即可以把转出显示区域的图像截去，或者扩大图像范围来显示所有的图像。图像的旋转变换也可以用矩阵变换来表示。
偏微分方程与图像处理 (曲线的演化)
实验名称： 平面曲线的演化 实验内容： 1.用水平集方法对曲线进行演化； 2.用离散中值滤波方法进行演化。 理论分析： 我们已知道：曲线演化方程式（平均曲率运动方程MCM ) c k N t ?=?； 1. 曲线演化水平集方法 平面封闭曲线可以表达为一个二维函数u(x,y)的水平（线）集 (,,){(,,):(,,)}c L x y t x y t u x y t c == 这样就可将曲线演化问题嵌入到函u(x,y,t)的演化问题。即转化为水平集演化问题 曲线演化水平集方法的基本方程式如下： ||u k u t ?=?? 其中，||u ?=() 22 3/2 222xx y x y xy yy x x y u u u u u u u k u u -+= + 进而推得：22 22 2xx y x y xy yy x x y u u u u u u u u t u u -+?=?+；其中x u ,xy u ,xx u 可采用中心差分近似 () () 1,1,1,,1,2 1,11,11,11,1 2 (,)22(,)(,)4i j i j x i j i j i j xx i j i j i j i j xy u u u i j x u u u u i j x u u u u u i j x +-+-++--+--+-=?-+=?+--= ? 对于y u ,yy u 有类似的表达式。x ?表示相邻几个点。 从而完整的演化公式为： 22 1 ,,2 2 2xx y x y xy yy x n n i j i j x y u u u u u u u u u t u u +-+=+?+ （1） 其中，t ?为演化步长，在本程序中取为1。 这样就涉及到两个问题： （1）.嵌入函数的选用 嵌入函数为—令u(x,y)表示平面上(x,y)点到曲线C 的带有符号的距离(见 课本)。 因此研究的曲线总对应于零水平集，这样只要检测过零点条件 ,1,.0i j i j u u +< 或 ,,1.0i j i j u u +<
第29卷第6期2006年12月 鞍山科技大学学报 Journal of Anshan University of Science and Technology Vol.29No.6 Dec.,2006 基于偏微分方程的图像去噪中差分格式的研究 刘晨华1,2,颜 兵2 (1.太原科技大学应用科学学院,山西太原 030024;2.西安电子科技大学理学院,陕西西安 710071) 摘 要:为了提高图像去噪的效果,在对偏微分方程进行离散时使用恰当的差分格式是非常重要的,差分格式的精度越高稳定性越强越好。采用交替方向隐式的差分格式对偏微方程进行离散,并与用一般的显示格式进行离散后的结果进行比较,实验结果表明,使用交替方向隐式的差分格式对偏微方程进行离散,不仅能得到较高精度同时去噪效果明显,使用交替方向隐式的差分格式对偏微分方程进行离散是图像去噪的一种有效的工具. 关键词:偏微分方程;交替方向隐式的差分格式;图像去噪 中图分类号:TN911173:TP391 文献标识码:A 文章编号:167224410(2006)0620596203 图像处理与分析是信息科学与工程中的一个主要研究领域,图像信号在产生、传输和记录过程中,经常受到各种噪声的干扰,严重的影响了图像的视觉效果,因此在进行进一步的边缘检测、图像分割、特征提取等处理前,采取适当的方法尽量减少噪声是一个非常重要的预处理步骤。偏微分方程是近年来兴起的一种图像处理方法,尤其是非线性偏微分方程定义的非线性算子逐渐受到了人们的重视。因为偏微分方程具有各向异性的特点,在图像进行去噪时可以在去除噪声的同时很好地保持边缘。这个方法起源于计算机视觉发展早期。 1 利用偏微分方程去噪 111 Perona2Malik非线性扩散模型 1990年,Perona和Malik[1]提出了非线性各向异性扩散方程 5u 5t=div[g(| u|) u](1) u(x,y,0)=u0(x,y) 其中函数g(s)是非递增单调函数,称为扩散系数。且g(0)=1,lim s→∞ g(s)=0。模型根据图像梯度模实现有选择的扩散平滑,因为边缘部分具有较大的梯度模值,这时g(| u|)取得较小值,模型在此处实行较弱的平滑以保护边缘信息。Perona和Malik给出了两个扩散系数:g(s)=e-(sΠk)2和g(s)= 1 1+(sΠk)2 ,其中常数k是梯度门限。k可以预先设定也可以随着图像每次迭代的结果的变化而改变。 式(1)用与图像相关的切线、法线方向表示为 5u 5t=a(| u|2)u T T+b(| u|2)u NN(2)其中a(s)和b(s)为加权系数也称沿T,N方向的扩散系数。选择函数a(s)满足:(1)a(s):[0,+∞)→[0,+∞)是递减函数;(2)a(0)=1;(3)b(s)=a(s)+2sa′(s)>0。 由此可知,式(2)描述了切线方向上及法线方向上的总扩散。随着| u|增大,沿T,N方向的扩散系数衰减,图像的光滑能力减弱。由于扩散系数a(s)和b(s)的衰减速度不一致,PM方程表现出异性收稿日期:2006207211。 作者简介:刘晨华(1978-),女,山西太原人。
安徽大学20 08 —20 09 学年第 二 学期 《 偏微分方程 》考试试卷（A 卷） （闭卷 时间120分钟） 院/系 年级 专业 姓名 学号 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.对常系数方程x y z u au bu cu du f ?++++=作未知函数的变换 可以将所有一阶微商消失. 2.设:R R Φ→是光滑凸函数，(,)u x t 是热传导放程0t u u -?=的解，则()u Φ是热传导方程 的 (下解;上解；解). 3.上半平面的Green 函数G(x,y)为 ，其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点. 4．设函数u 在以曲面Γ为边界的区域Ω内调和，在ΩΓ 上有连续的一阶偏导数，则u dS n Γ ????= ，其中n 是Γ的外法方向. 5.热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为 ．
二、计算题（每小题10分，共40分） 1．求解初值问题 0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=∈?∞??=∈? 其中，,b c R ∈都是常数. 2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题： 200 0,0,0,|(), |0.t xx t x u a u x t u x u ?==?-=>>? =??=?
3．试求解 2 2 008(), |,|.tt xx yy zz t t t u u u u t u xy u z ==?-++=??==?? 4．写出定解问题： 200 (),0,0,|0,|0, |().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===?-=<<>? ==??=? 解的一般形式.
目录 实验一：数字图像的基本处理操作 (4) ：实验目的 (4) ：实验任务和要求 (4) ：实验步骤和结果 (5) ：结果分析 (8) 实验二：图像的灰度变换和直方图变换 (9) ：实验目的 (9) ：实验任务和要求 (9) ：实验步骤和结果 (9) ：结果分析 (13) 实验三：图像的平滑处理 (14) ：实验目的 (14) ：实验任务和要求 (14) ：实验步骤和结果 (14) ：结果分析 (18) 实验四：图像的锐化处理 (19) ：实验目的 (19) ：实验任务和要求 (19) ：实验步骤和结果 (19) ：结果分析 (21)
实验一：数字图像的基本处理操作 ：实验目的 1、熟悉并掌握MATLAB、PHOTOSHOP等工具的使用； 2、实现图像的读取、显示、代数运算和简单变换。 3、熟悉及掌握图像的傅里叶变换原理及性质，实现图像的傅里叶变换。：实验任务和要求 1.读入一幅RGB图像，变换为灰度图像和二值图像，并在同一个窗口内分 成三个子窗口来分别显示RGB图像和灰度图像，注上文字标题。 2.对两幅不同图像执行加、减、乘、除操作，在同一个窗口内分成五个子窗口来分 别显示，注上文字标题。 3.对一幅图像进行平移，显示原始图像与处理后图像，分别对其进行傅里叶变换， 显示变换后结果，分析原图的傅里叶谱与平移后傅里叶频谱的对应关系。 4.对一幅图像进行旋转，显示原始图像与处理后图像，分别对其进行傅里 叶变换，显示变换后结果，分析原图的傅里叶谱与旋转后傅里叶频谱的 对应关系。 ：实验步骤和结果 1.对实验任务1的实现代码如下： a=imread('d:\'); i=rgb2gray(a); I=im2bw(a,; subplot(1,3,1);imshow(a);title('原图像'); subplot(1,3,2);imshow(i);title('灰度图像'); subplot(1,3,3);imshow(I);title('二值图像'); subplot(1,3,1);imshow(a);title('原图像'); 结果如图所示：