八上第14章勾股定理单元测试题
一、选择题(每题2分，共20分）
1.已知直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为9，则另一条直角边长为（)
A45 B40 C13 D7
2.下列以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）
A a=7 b=24 c =25
B a=1.5 b=2 c =3
C a =0.6 b =0.8 c=1
D a =0.6 b=0.4 c=1
3.以边长为1的正方形的对角线为半径，以原点为圆心，则与x轴的负半轴上的交点P表示的数是（）
C 2D无法确定
A -1.5
B 2
4.星期天，小红和小丽相约来到动物园门口，她们分别想去猴山鱼池，从门口分开后，分别沿东南方向和西南方向前进，若小红和小丽行走的速度都是40米每秒，小红用15分钟到侯山，小丽用20分钟到鱼池，则猴山和鱼池的直线距离为（）
A 600米B800米Ｃ1000米D不能确定
5.一个三角形的三边长分别为6、8、10，则它的面积为（）
A 24 B30 C 40 D48
6.三角形ABC是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将它折叠，使B与A 重合，折痕为ＤＥ,则ＤＥ长为()
Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ１０
７．有一块边长为２４米的正方形ＡＢCＤ绿地，在绿地旁边Ｍ处有健身器材，由于居住在Ａ地的居民走捷径践踏了绿地，小明想在A处树立一块标牌少走几米，踏之何忍，请问标牌处应填的数字为（）
A３B４C５Ｄ６
８．圆柱的底面的周长为24cm高为10cm，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到BC的中点S的最短路程为（）
A 13cm
B 15cm
C 20cm
D 25cm
9 . 一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形
A 、
B 、C、D 的边长分别为3、5、2、3则最大的正方形E的面积是（）
A 13
B 26
C 47
D 94
10、已知△ABC中、AB=12 、AC=10、BC边上的高AD=8，则边长BC的长为（）
A 9 B21 C6或15 D 9或21
二、填空题（每小题3分、共24分）
11、在△ABC中，∠B=90°，BC:AB=3:4,AC=10,则BC= 。
12、已知a、b 、c 是三角形的三边长，如果满足关系式（a-6)2+（b-8)2 +丨c-10丨=10，则该三角形是三角形。
13、如果一个直角三角形的一直角边长为7cm、斜边长为25cm，则此三角形的周长为。
14、李大爷要修育苗大棚，棚宽a=4m ，高b=3cm 长d=15m，请你帮助他计算一下盖在顶上的塑料薄膜需要m2.
15、已知三角形的三边长分别是x+1 、x+1 、x+2、当x= 时，该三角形是一个直角三角形。
16、为了测量湖两岸A 、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，通过测量知BC=160m，AC=128m，∠BAC=90°，则AB之间的距离为。
17、有一长、宽、高分别为5cm、4cm 、3cm 、的木箱，在它的里面放入一根细木条（木条的粗细，形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算能放入的细木条的最大长度是。
18、以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则形外三个三角形的面积之和。
三、计算运用（本大题6小题，共76分）
19、（10分）在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=10cm，求△ABC的面积。
20、（10分）2011年春季，我国多省遭受严重旱灾，方格表示受灾区域，救援队沿折线从A到C行进，连结AC，判断△ABC的形状，说说你的理由。
21、（12分）某经济开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm AD=12cm，CD=13cm，若每种植1平方米草皮需要100无，问总共需要投入多少元？
22、（14）在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，且CF=1/4CD，判断AE和EF的位置关系。
23、（14）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
24、（16分）李叔叔想要检测图中所示雕像底座正面的AD边和BC边是否分别垂直底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？说说你的方法。
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB 边吗？
（3）若小明随身只带了一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法帮李叔叔检验BC是否垂直于AB边吗？
第14章勾股定理单元测试试卷分析：
本次测验试题一共有三大题：选择题（20分）、填空题（24分）、计算运用（76分）。一共24小题，满分120分。
本次测试题的总的难度不大，选择题中，有两小题共4分要综合一些，填空题有两小题共6分要难一点，计算运用中20分的题稍微综合一点，具有灵活性。班上56名学生考试的结果是：满分的有2个，102分以上的共有19个，及格人数41人。
这次测验中，基础题的得分率比较高，综合题的得分率要低些。选择题中，第8、10两小题错的较多，
存在的主要问题是：
选择题中，第8题学生对小虫沿着圆柱侧面爬行，求最短距离，没展开为平面图形，再用勾股定理解决；第10题，在三角形ABC中，ＡＢ＝１７，ＡＣ＝１０，ＢＣ边上的高ＡＤ＝８，求ＢＣ的长，很多学生只考虑到一种情况，没分析到高可以在三角形的内部、外部两种情况。
填空题中，第１７、１８两题错的较多，第１７题，已知木箱的长、宽、高的值分别是５、４、３，在它里面放入一根细木条（细木条不露出木箱），求放入的最大长度，这一个题牵涉立体图形的知识，学生没有准确找出所建立的直角三角形的三边，导致计算出错。
计算运用中，第２２、２４两题错的较多，第２２题，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ的中点，Ｆ为ＣＤ上一点，且ＣＦ＝１／４ＣＤ，判断ＡＥ和ＥＦ的位置关系，有些同学不能正确的添加辅助线，对勾股定理的逆定理用不灵，导致出错；第２４题题目只给了卷尺这一样测量工具，要测量雕塑底部相对的两边是否和地面垂直，前两个小问错的较少，第３小问，当限制卷尺只有２０厘米长时，有的同学就不能灵活运用所学的判定定理来识别直角三角形，从而找到垂直关系。
上述考试中存在的问题，讲解后要求学生还要多加强训练，注重知识的掌握和运用，提高解题的技能技巧。
第十四章 勾股定理 回顾与思考 教学目标 1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的 勾股定理和其他性质解决实际问题。 2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。 3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱 国热情，培养探索知识的良好习惯。 教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。 教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。 教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等 教学方法：启发式教育 教学过程 一、回顾与思考 1．直角三角形的边存在着什么关系？ 2．直角三角形的角存在着什么关系？ 3．直角三角形还有哪些性质？ 4．如何判断一个三角形是直角三角形？ 5．你知道勾股定理的历史吗？ 一、 讲例 问题：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？ （留几分钟的时间给学生思考） 分析：1、求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ 2、如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m 至C ，请同学们猜一猜： （1）底端也将滑动0.5米吗？ （2）能否求出OD 的长？ 解：根据勾股定理，在Rt △OAB 中，AB=3m ，OA=2.5m ，OB 2 =AB 2 -OA 2 = 32 -2.52 =2.75。 ∴OB ≈1.658m ；在Rt △OCD 中，OC=OA-AC=2m ，CD=AB=3m ，OD 2 =CD 2 -OC 2 = 32 2 。BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m
∴如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.58m 。 例2 议一议P19 拼图与勾股定理 观察图 2 验证：c 2 ＝a 2 ＋b 2 证明：大正方形面积可表示为c 2 ，也可以表示为2 1ab ·4＋（b —a ）2 所以c 2 ＝ 2 1ab ·4＋（b —a ）2 ＝2ab ＋b 2 －2ab ＋a 2 ＝a 2 ＋b 2 故c 2 ＝a 2 十b 2 例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD ＝4，AB ＝3，DB ＝5，DC ＝12，BC ＝13，这个零件符合要求吗？ 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC 和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。 解：在△ABC 中，AB 2 ＋AD 2 ＝32 ＋42 ＝9＋16＝25＝BD 2 所以△ABC 为直角三角形，∠A ＝90° 在△DBC 中，BD 2 ＋DC 2 ＝52 ＋122 ＝25＋144＝169＝132 ＝BC 2 所以△DBC 是直角三角形，∠CDB ＝90° 因此这个零件符合要求。 二、 随堂练习 一、判断题。 1．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（） 二、填空题。 1．已知三角形的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个三角形是 2．△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，以BC 为边的正方形面积为 3．三条线段m 、n 、p 满足m 2 一 n 2 ＝ p 2 ，以这三条线段为边组成的三角形为 三、选择题。 B A 3 4
第60课时 14.1.1《直角三角形三边的关系》 一、教学目标 【知识与技能目标】：能说出勾股定理的内容,并运用它进行简单的计算和解决一些简单的实际问题。【能力与方法目标】：经历探索勾股定理的过程，让学生经历“观察—猜想—探索—归纳—验证”这几个思维阶段，发展数形结合、合情推理的能力和语言表达的能力。 【情感与态度目标】：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，使学生热爱祖国，热爱科学；通过探索过程获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生学习数学的信心。 二、教学重点 探究直角三角形三边的关系，归纳勾股定理及简单应用。 三、教学难点 勾股定理的探索过程。 四、教学方法 引导探索法、自主探究法、合作交流法、演示法 五、教学过程 （一）创设情境，引发思考 1、设置疑问：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。但小明量出长58厘米和宽46厘米，是不是售货搞错了呢？此时教师应向学生介绍“我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度”这一生活常识，进而引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题，激发学生的探究欲望。 2、回忆有关直角三角形的相关知识，教师引导提问直角三角形的三边有什么关系？揭示课题。（二）自主探索，合作交流 探究活动1： 1、猜想：将等腰直角三角形放到方格纸中研究，分别以等腰直角三角形的三边为边长向外作正方形，让学生猜想这三个正方形的面积有什么关系？ 2、观察思考：直角三角形三边的关系与猜想是否一样？ 3、引导点拨：将“R”分“割”成若4个大小一样的直角三角形或“补” 成边长为2的正方形面积的一半. 4、得出结论：S P+S Q=S R 探究活动2： 1、提出问题：是否所有的一般直角三角形都有这个结论呢？ 2、观察填空：学生交流合作，共同寻找办法，发现三个正方形的面积，并抽生交流方法。 3、议一议：（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。 4、得出结论：S P+S Q=S R 从而由面积的求法推出a2＋b2＝c2 5、验证结论：学生在P117页方格纸上作一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形。通过测
第14章勾股定理 §14.1勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 2. 直角三角形的判定 阅读材料勾股定理史话 美丽的勾股树 §14.2勾股定理的应用 小结 复习题 课题学习勾股定理的“无字证明”
第14章勾股定理 还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标． 那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图． §14.1 勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺． 试一试 测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
的面积之和等于大正方形的面积．即 AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2， 图14.1.1 这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 试一试 观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米； 正方形Q的面积＝平方厘米；
（每一小方格表示1平方厘米） 图14.1.2 正方形R的面积＝平方厘米． 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是． 由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系． 做一做 在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系 对这个直角三角形是否成立．
（每一小格代表1平方厘米） 图14.1.3 概括 数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理． 勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系． 例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 2 21 4c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 214c a b ab =-+?. ∴ 2 22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC . ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2 21 b a +. ∴ ()2 2212122 1 c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,
14.2勾股定理的应用（1） 教学目标 1．知识目标 (1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”. (2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2．过程性目标 (1)让学生亲自经历卷折圆柱. (2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）. (3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力. 教学重点、难点 教学重点：勾股定理的应用. 教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. 原因分析： 1.例1中学生因为其空间想象能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过制作圆柱模型解决难题. 2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维. 教学突破点：突出重点的教学策略： 通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”， 教学过程
小结：在上面两个小题中，我们应用了勾股定理：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则c2= a2+b2 . 加深定理的记忆理解，突出定理的作用. 新课讲解 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学 中有着广泛的应用． 例3：如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上 底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求 出爬行的最短路程． 【解析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一张白纸 卷折圆柱成圆柱形状，标出A.B.C.D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬 行的距离，与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什么？根 据是什么？（学生回答） D C B A 根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩 形ABCD对角线AC之长．我们可以利用勾股定理计算出AC的长. D C B A 解：如图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm， ∴AC＝2 2BC AB+＝2 210 4+ 通过动手作模 型，培养学生的动 手、动脑能力，解 决“学生空间想像 能力有限，想不到 蚂蚁爬行的路径” 的难题，从而突破 难点. 由学生回答“AC 之间的最短距离及 根据”，有利于帮 助学生找准新旧知 识的连接点，唤起 与形成新知识相关 的旧知识，从而使 学生的原认知结构 对新知识的学习具 有某种“召唤力” 再次提问，突出勾 股定理的作用，加 深记忆.
第14章勾股定理 一、选择题（共13小题） 1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（） A．48 B．60 C．76 D．80 2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（） A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理 3．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（） A．10 B．11 C．12 D．13 4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 5．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，， 6．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）
A．5 B．C．D．5或 7．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m）（） A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 9．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（） A．B．C．D． 10．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（） A．2 B．4 C． D． 11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（） A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限D．有无数个 12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（） A．1 B．1或C．1或D．或
《勾股定理》教学设计 一、地位与作用： 这节课所用的教材是华东师大版本《义务教育课程标准实验教科书》，本课讲授的是第十四章《勾股定理》的内容。勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面： 1、勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题。 2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生学习奠定良好的基础。 3、“勾股定理”的内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关。 二、教学目标： 1、理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题，能设计不同的情境验证勾股定理的正确性。 2、体验勾股定理的探索过程，通过勾股定理的应用培养方程的思想和逻辑推理能力以及解决问题的能力。 3、通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心。 三、教学重点：勾股定理的证明及应用 四、教学难点：学生数学语言的运用 五、教学媒体的选择与使用：多媒体课件 六、课前准备：学生准备好四个全等的直角三角形。 七、分课时教学过程设计： §14.1.1 直角三角形三边的关系 【教学目标】 一、知识目标 1.在探索基础上掌握勾股定理。 2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。 二、能力目标 1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。 3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。 三、情感态度目标 学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。 【重点难点】 重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 疑点：灵活运用勾股定理。 【教学设想】 课型：新授课 教学思路：探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。
勾股定理 本章总结提升 问题1 勾股定理 直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________． 【归纳总结】当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边． 问题2 用拼图证明勾股定理 勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 例 2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
① ② 图14－T －1 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2 . 证明：连结DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a . ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋1 2 ab ， S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝1 2c 2＋12 a ( b －a )， ∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋1 2a (b －a )． ∴a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想． 问题3 勾股定理的应用 勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？ 例3 如图14－T －2所示，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一堵竖直的墙AO 上，这时梯脚B 到墙底端O 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？
第14章勾股定理 课程内容标准 1.体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。 2.掌握勾股定理的逆定理（不证），会运用勾股定理的逆定理解决相关问题。 3.运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 4.感受数学文化价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与悠久文化的思想感情。 单元教学分析 1.整个教学分五步：探索结论——验证结论——初步应用结论——证明结论——应用结论解决实际问题. 2.在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与. 3.初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边. 4.证明结论阶段主要是讲清思路，而不只是介绍某一种证明方法. 5.应用结论解决实际问题分两类：探索性问题和应用性问题。 课时分配 全章教学时间为9课时，分配如下： §14.1 勾股定理--------------------5课时 §14.2 勾股定理的应用--------------2课时 复习-------------------------------1课时 课题学习---------------------------1课时 第1课时直角三角形三边的关系（1） 教学内容 教科书P.48——P.51的内容 教学目标 知识与技能：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题； 过程与方法：在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力； 情感态度与价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 教学分析 重点：探索和验证勾股定理过程。 难点：通过面积计算探索勾股定理。 关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。 教学方法及教学手段： 采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。 教学过程： 1．创设情境，导入课题 多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。 2．自主探索，合作交流 活动一：动脑想一想 1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？①这个问题你是怎样想的？请小明用一边长为cm 1），你能知说出你的想法。②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为cm 道斜边的长吗？ ③观察图形，并填空：
第14章勾股定理全章综合测试 一、填空题（每题2分，共20分） 1．三边长分别是1．5，2，2．5的三角形是__________． 2．在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边，若a+b=?14，?c=?10，?则△ABC?的面积是______． 3．在Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+BC2+AC2=________． 4．一个直角三角形两边长分别为10和24，则第三边长为_______． 5．等腰三角形ABC的面积为12cm2，底上的高AD=3cm，则它的周长为_______cm． 6．有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是______． 7．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S 1=30，S2=40， 则S3=_______． 8．若三角形三边分别为x+1，x+2，x+3，当x=______时，此三角 形是直角三角形． 9．已知三角形三边长分别是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，则最大的 角是____度． 10．如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=4，∠A=60°，则S△ABC=_______． 二、选择题（每题3分，共24分） 11．一直角三角形两直角边长分别为3和4，则下列说法不正确的 是（）． A．斜边长是25 B．斜边长是5 C．面积是6 D．周长是12 12．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（）． A．4 B．8 C．10 D．12 13．下列长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）． A．13，16，19 B．17，21，21 C．18，24，26 D．12，35，37 14．下列叙述中，正确的是（）． A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方; B．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠A=90°; C．如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么c2=b2-a2 D．如果∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形 15．CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=2，AC：BC=3：1，则CD为（）． A．1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 16．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）． A．42 B．32 C．37或33 D．42或32 17．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（）． A．121 B．120 C．132 D．以上都不对
华东师大版八年级上册数学第14章勾股定理单元训练检测卷 一、单选题 1．下列各组数据中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9、12、15 B C ．8、15、17 D ．9、40、41 2．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么（a+b ）2的值为（ ） A ．169 B ．25 C ．19 D ．13 3．如图，在ABC 中，90C ∠=?， 点E 是AB 的中点，点D 是AC 边上一点，且DE AB ⊥，连接DB ．若6AC =，3BC =，则CD 的长（ ） A ．112 B ．32 C ．94 D 4．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ABD △沿AD 翻折，得到AB D '，连接CB '，若2BD CB '==，3AD =，则AB C '的面积为（ ） A ．2 B ． C D ．2
5．如图，为了测量池塘的宽度DE ，在池塘周围的平地上选择了A 、B 、C 三点，且A 、D 、E 、C 四点在同一条直线上，90C ∠=?，已测得100m AB =，60m BC =，20m AD =，10m EC =，则池塘的宽度DE （ ） A ．80m B ．60m C ．50m D ．40m 6．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x 尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A ．x 2＝（x ﹣1）2+102 B ．（x +1）2＝x 2+102 C ．x 2＝（x ﹣1）2+12 D ．（x +1）2＝x 2+12 7．如图，一根长5米的竹竿AB 斜靠在竖直的墙上，这时AO 为4米，若竹竿的顶端A 沿墙下滑2米至C 处，则竹竿底端B 外移的距离BD （ ） A ．小于2米 B ．等于2米 C ．大于2米 D ．以上都不对 8．已知：ABC ?中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ?中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ） A ．③④②① B ．③④①② C ．①②③④ D ．④③①②
第14章检测试题 一、填空题 1. 如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到 BC的距离为. 2. 如图所示,网格是由边长为1的小正方形组成,△ABC的三个顶点都在格点上,则△ABC的 三条边中,长度为无理数的有条. 3.用反证法证明命题“在一个三角形中,不能有两个内角为钝角”时,第一步应假 设. 12.已知|x-24|+(y-26)2+|z-10|=0,则以x,y,z为三边长的三角形为 三角形. 4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),可以计算 出两圆孔中心A和B的距离为 mm. 5. 如图如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第 三个正方形AEGH,如此下去,……已知正方形ABCD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形 的面积依次为S2,S3,…,S n(n为正整数),那么第8个正方形的面积S8= . 三、解答题 6. (6分)如图,∠CAB=90°,AB=24,BC=26,DC=6,AD=8, (1)求AC的长; (2)求四边形ABCD的面积. 7. (6分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径画弧相交于 点M,N,连结MN,与AC,BC分别交于点D,E,连结AE, (1)求∠ADE(直接写出结果); (2)当AB=3,AC=5时,求△ABE的周长.
8. (8分)如图所示,长方体的底面边长为1.5 cm,高为4 cm,求一只蚂蚁从点A沿着长方体表面爬到C1处的最短路程. 9. (8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高? 10.(8分)有一根长为70 cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50 cm, 30 cm,40 cm的木箱中,能放进去吗? 11. (8分)某校要在一块三角形空地上种植花草,如图所示,AC=13米, AB=14米,BC=15米,若线段CD是一条引水渠,且点D在边AB上.已知水渠的造价为每米150元.问:点D与点C距离多远时,水渠的造价最低?最低造价是多少元?
勾股定理单元测试 （时间：100分钟 总分：120分） 班级 学号 姓名 得分 一、相信你一定能选对！（每小题4分，共32分） 1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A . 6 B . 4.5 C . 2.4 D . 8 2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）； ④2a ,12+a ,22 +a .其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A . ①② B . ②③ C . ①③ D . ③④ 3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a :b :c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2 2+=+,则这个三角形是( ) A . 等边三角形 B . 钝角三角形 C . 直角三角形 D . 锐角三角形. 5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A. 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 2 7．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A ．600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定 二、你能填得又快又对吗？（每小题4分，共32分） 9. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2 AB +2AC +2BC =_______． 10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合 而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ． 11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 13． 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米. 14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位： mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ． 15．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端 B 到地 面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于 1 第10题图 第13题图 第14题图 第15题图
第十四章 勾股定理 1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为b a 、，斜边为c ，那么 =+22b a ，即直角三角形两直角边的平方和等于 。 2. 勾股定理的变形式：由222c b a =+可得到（1）-=22c a ；（2）=2b 2a -； （3）K -=2c a ； （4）2a b -=K ； （5）K +=2a c 3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a 、、满足关系：222c b a =+， 那么这个三角形是 。 4. 利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形的步骤： （1）首先确定最大边（如最大边是c ，其他两边分别为b a 、）； （2）分别计算出2 c 和22b a +； （3）若222c b a =+，则△ABC 为直角三角形，且∠C=90o；若222c b a ≠+， 则△ABC 不是直角三角形。 5. 勾股数：满足222c b a =+的三个 数，称为勾股数。 【s t s C st B t s A 其中,,2,2222+==-=＞t ，且t s ,为正整数】 1．小心“勾三股四弦五”的惯性思维 例：已知直角三角形的两边长分别为3cm 、4cm ，则第三边的长为 。 错解：5cm 剖析：题目中隐含着两种情况：一种是已知的两边长3cm 、4cm 都是直角边，这时的第三边为斜边，长为5cm ；另一种是已知长为4cm 的边为斜边，长为3cm 的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为cm 73422=-。 正解：5cm 或cm 7 2．小心贪图简便，无中生有 例：在△ABC 中，125==b a ，，求c 。 错解：1312522=+=c 剖析：题目中并没有说明△ABC 是直角三角形，则不能应用勾股定理。若是直角三角形，则c 也不一定是斜边。犯这种错的原因是无中生有，不仅增加了直角的条件，而且增加了c 为斜边的条件。 正解：利用三角形三边之间的关系，得7＜c ＜17 3. 小心顾此失彼，考虑不周 例：在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC 的周长。 错解：如图，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理得： 8112-15AD -AB BD 22222===,2512-13AD -AC CD 22222=== 所以981BD ==，525CD ==，则1459CD B D B C =+=+=. 故△ABC 的周长为AC B C AB ++=15+14+13=42. 剖析：上述解法只考虑到△ABC 是锐角三角形的情形， 而忽略了钝角三角形的情况。 正解：有两种情况： （1）高AD 在△ABC 内，详见上面错解的过程； （2）高AD 在△ABC 外，如下图，同理可求得9BD =，5CD =， 此时459CD B D B C =-=-=，△ABC 的周长为AC B C AB ++ =15+4+13=32。综合得△ABC 的周长为42或32。
八上第14章勾股定理单元测试题 一、选择题(每题2分，共20分） 1.已知直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为9，则另一条直角边长为（) A45 B40 C13 D7 2.下列以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（） A a=7 b=24 c =25 B a=1.5 b=2 c =3 C a =0.6 b =0.8 c=1 D a =0.6 b=0.4 c=1 3.以边长为1的正方形的对角线为半径，以原点为圆心，则与x轴的负半轴上的交点P表示的数是（） C 2D无法确定 A -1.5 B 2 4.星期天，小红和小丽相约来到动物园门口，她们分别想去猴山鱼池，从门口分开后，分别沿东南方向和西南方向前进，若小红和小丽行走的速度都是40米每秒，小红用15分钟到侯山，小丽用20分钟到鱼池，则猴山和鱼池的直线距离为（） A 600米B800米Ｃ1000米D不能确定 5.一个三角形的三边长分别为6、8、10，则它的面积为（） A 24 B30 C 40 D48 6.三角形ABC是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将它折叠，使B与A 重合，折痕为ＤＥ,则ＤＥ长为() Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ１０ ７．有一块边长为２４米的正方形ＡＢCＤ绿地，在绿地旁边Ｍ处有健身器材，由于居住在Ａ地的居民走捷径践踏了绿地，小明想在A处树立一块标牌少走几米，踏之何忍，请问标牌处应填的数字为（） A３B４C５Ｄ６ ８．圆柱的底面的周长为24cm高为10cm，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到BC的中点S的最短路程为（） A 13cm B 15cm C 20cm D 25cm 9 . 一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A 、 B 、C、D 的边长分别为3、5、2、3则最大的正方形E的面积是（） A 13 B 26 C 47 D 94 10、已知△ABC中、AB=12 、AC=10、BC边上的高AD=8，则边长BC的长为（） A 9 B21 C6或15 D 9或21 二、填空题（每小题3分、共24分） 11、在△ABC中，∠B=90°，BC:AB=3:4,AC=10,则BC= 。 12、已知a、b 、c 是三角形的三边长，如果满足关系式（a-6)2+（b-8)2 +丨c-10丨=10，则该三角形是三角形。 13、如果一个直角三角形的一直角边长为7cm、斜边长为25cm，则此三角形的周长为。 14、李大爷要修育苗大棚，棚宽a=4m ，高b=3cm 长d=15m，请你帮助他计算一下盖在顶上的塑料薄膜需要m2.
第一课时：直角三角形三边的关系（44,45,46页） 自主学习目标：1、理解勾股定理。2、会用勾股定理。 自主学习过程： 1、学习课本试一试后回答： （1）30°直角三角尺三边长度分别是： 三边长度的平方请计算出来： 得到什么关系？（注意：测量都是近似值，关系也近似就可以） （2）45°直角三角尺三边长度分别是： 三边长度的平方请计算出来： 得到什么关系？（注意：测量都是近似值，关系也近似就可以） （3）请你在下面任意画出一个直角三角形（要尽量画的准确），再做上面的探索，你能发现什么？ （4）请你在下面任意画出一个三角形（不是直角三角形），再做上面的探索，你还能发现上述结论吗？ （5）通过以上探索，请你猜想，直角三角形的三边有什么关系？ 2、（1）在右下图中哪个是直角三角形？三边存在什么关系？为什么？
（2）请做课本“45页试一试，做一做”你能得到什么关系？ 3、比较1、2推导直角三角形三边关系的过程，分别用了什么方法？ 4、（1）请你用语言叙述勾股定理。 （2）请画出图形，标出字母，用式子表示勾股定理。 5、学习课本例1后回答：梯子构成的直角三角形三边存在什么关系？ＡＢ＝ －ＢＣ AC 22怎样理解？ 6、在Rt △ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ， ∠B ＝90°． （1） 已知a ＝6， b ＝10， 求c ；（2） 已知a ＝24， c ＝25， 求b ． 7. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?（精确到0.1厘米） 本课小结： 1、对照知识点你掌握了哪些？试着将本节知识点条理归纳： 2、有什么疑惑请写出来：
例1：勾股数的应用（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 （2）若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶7 例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中： ①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5；④△ABC 中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （2）若三角形的三边之比为 21::122 ，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形 （3）已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2 )＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 （4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A ． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 （5）若△ABC 的三边长a,b,c 满足222 a b c 20012a 16b 20c +++=++， 试判断△ABC 的形状。 （6）△ABC 的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c 是3的倍数，则c 应为 ，此三角形为 。 例3：求最大、最小角的问题 （1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。 （2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为 。 例1：面积问题 （1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 A B C D E S 2 S 3 S 1 A B C S 3 S 2 S 1 （图1） （图2） （图3） （3）如图，△ABC 为直角三角形，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（ ） A. S 1+ S 2> S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. 以上都不是 （2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 例2：求长度问题 （1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。 （2）在一棵树10m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；?另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ C A D B 例3：最短路程问题